Filtri analogici - Ingegneria elettrica ed elettronica

Filtri analogici
1915 Primi filtri elettrici per ripetitori
Tutte le applicazioni di trattamento e trasmissione
dei segnali
Un filtro è un calcolatore analogico
•
componenti poco precisi, soggetti a variazioni di temperatura ed
all’invecchiamento
•
tecnologia semplice
•
realizzazione poco costosa
•
dispositivo affidabile
Un filtro elettrico è un dispositivo progettato per
•separare
•far passare
•o sopprimere
un gruppo di segnali da diversi segnali che utilizzano lo
stesso canale di trasmissione.
E' difficile trovare un sistema elettronico che non impieghi un filtro.
1
Esempi
Eliminare ciò che contamina il segnale (rumore nei sistemi di
comunicazione)
Separare componenti in frequenza rilevanti da quelle irrilevanti
Demodulare segnali
Limitare i segnali in banda prima del campionamento
Convertire i segnali campionati in continui
Migliorare la qualità di segnali audio (altoparlanti)
Sintesi del parlato
Equalizzazione di cavi e linee di trasmissione
Su larga scala televisione e radio
Su scala più piccola i componenti elettronici base usati nei
telefoni, nella televisione, nella radio, nei radar e nei computer.
Filtri attivi (resistori, capacitori ed elementi attivi)
•economici (avanzamento della tecnologia dei circuiti
integrati)
•produzione di serie
•pesano poco e occupano poco spazio
•larghezza di banda finita (<30kHz)
Filtri passivi (resistori, capacitori ed induttori)
•problemi di costi e ingombri
•minore sensibilità rispetto ai filtri attivi
•larghezza di banda fino a 500kHz
2
Poiché ZL=ωL, valori elevati di reattanza richiedono alle basse
frequenze valori elevati di induttanza.
f=1 MHz ZL=6.28 kΩ
Ex. L=1mH
f=100 Hz ZL=0.628 Ω
Elevato numero di spire della bobina aumento della
R, della dimensione e del costo dell’induttore
Materiali ferromagnetici con elevata µ
Gli induttori sono generalmente incompatibili con la
miniaturizzazione
Filtri attivi
|H(jω)|
|H(jω)|
K
K
ωc
ω
filtro passa-basso ideale
|H(jω)|
ωc
ω
filtro passa-alto ideale
|H(jω)|
K
K
ω1 ω2
filtro passa-banda ideale
ω
ω1 ω2
ω
filtro elimina-banda ideale
3
1 per ω ≤ ωC
Il filtro passa basso ideale ha H(j ω) = 
.
0 altrove
La corrispondente risposta impulsiva è
1
h(t) =
2π
ωC
∫e
ω
−
C
jωt
dω =
( )
1
e jωt
2πjt
ωC
−ωC
=
sen (ωC t )
≠ 0 per t < 0
πt
Il filtro ideale è quindi NON CAUSALE
La risposta dovrebbe esistere prima dell’applicazione dell’impulso
h(t)
Tanto più alto è l’ordine del filtro reale,
tanto più si avvicina al filtro ideale
Procedura di sintesi di una data rete
1. Approssimazione
Generare una funzione di trasferimento che soddisfi
certe specifiche (ampiezza o fase etc.,).
Metodi in forma chiusa: il problema è risolto attraverso un
certo numero di passi utilizzando formule e trasformazioni
in forma chiusa (Butterworth, Chebyschev, etc).
•
•
•
Soluzioni molto precise
Pochi calcoli
Adatti per caratteristiche con distorsione in ampiezza costante a
tratti, all’interno di certe tolleranze.
Metodi iterativi: a partire da una soluzione iniziale
attraverso un metodo di ottimizzazione si ottengono una
serie di soluzioni migliori finché un certo criterio non è
soddisfatto.
•
•
Molti calcoli
Adatti per caratteristiche arbitrarie
4
2. Realizzazione
Conversione delle caratteristiche del filtro nella
corrispondente rete elettrica (ne esiste generalmente più
di una).
3. Studio delle imperfezioni
Al passo 1. i coefficienti della funzione di trasferimento
sono determinati con elevata precisione; la realizzazione
al punto 2. è ottenuta assumendo gli elementi ideali (C
senza perdite, L senza C parassite, amplificatori con
larghezza di banda infinita, etc.)
Occorre studiare l’effetto delle imperfezioni (tolleranze,
non linearità, etc.) mediante analisi di tolleranza, analisi
di sensibilità, analisi del rumore, etc..
2. Implementazione
Risposta in frequenza
Caratterizza la risposta a regime sinusoidale
+
Vi(s)
+
Vu(s)
-
H (s )
-
Funzione di trasferimento
s=j ω
+
Vi(j ω)
+
Vu(j ω)
-
H ( jω )
-
H ( jω ) = M (ω )e jφ (ω )
M (ω )

φ (ω )
Risposta in frequenza
Risposta in ampiezza
Risposta in fase
5
Un filtro distorce il segnale in ingresso:
Distorsione d’ampiezza
Risposta in ampiezza non costante componenti in
frequenza diverse del segnale amplificate diversamente.
Distorsione di fase
Risposta in fase non lineare componenti in frequenza
diverse del segnale ritardate diversamente.
Esempio
x(t ) = X 0 cos(2πf 0t ) + X a cos(2πf a t ) + X b cos(2πfbt )
f0> fb >fa
xˆ (t ) = X a cos(2πf a t ) + X b cos(2πf bt )
segnale desiderato
Filtro passa basso con risposta in frequenza
1 1 < f < f C
A(2πf ) = 
0 f C < f
φ (2πf )
L’uscita accettabile è
risposta in ampiezza
fa < fb < fc< f0
risposta in fase
u a (t ) = kxˆ (t − τ )
ritardo
attenuazione
6
Esempio
x(t ) = X 0 cos(2πf 0t ) + X a cos(2πf a t ) + X b cos(2πfbt )
f0> fb >fa
xˆ (t ) = X a cos(2πf a t ) + X b cos(2πf bt )
segnale desiderato
Filtro passa basso con risposta in frequenza
1 1 < f < f C
A(2πf ) = 
0 f C < f
φ (2πf )
L’uscita accettabile è
risposta in ampiezza
fa < fb < fc< f0
risposta in fase
u a (t ) = kxˆ (t − τ )
ritardo
attenuazione
L’uscita del filtro è
u (t ) = X a cos(2πf a t + φ (2πf a )) + X b cos(2πfbt + φ (2πf b ))
Si ha u(t) = ua(t) se la risposta in fase è lineare
φ (2πf ) = −2πfτ
φ (2πf a ) = −2πf aτ
→
φ (2πfb ) = −2πfbτ
Infatti, in tal caso
u (t ) = X a cos(2πf a (t − τ ) ) + X b cos(2πfb (t − τ ) )
7
Esempio 1
Individuazione di segnali generati da un telefono in multifrequenza
(devono essere individuati i 10 digit decimali da 0 a 9 e 2 bottoni * e #
usati per scopi speciali)
697 Hz
Banda
bassa
1
ABC
2
DEF
3
770 Hz
GHI
4
JKL
5
MNO
6
852 Hz
PRS
7
TUV
8
WXY
9
*
oper
0
#
1209 Hz
1336 Hz
1477 Hz
941 Hz
1 segnale =
=1 coppia di toni
sinusoidali
Banda alta
Quando viene composto un n. di telefono viene trasmesso un insieme di
segnali, che vengono convertiti in segnali in continua usati da un sistema di
switch che connette il chiamante al chiamato.
Come si individuano i numeri da chiamare?
BP Filtri passa-banda
D Rilevatore
A Amplificatore
Passa
basso
BP1
D1
697 Hz
BP2
D2
770 Hz
BP3
D3
852 Hz
BP4
D4
941 Hz
Al sistema
di switch
A
D5
1209 Hz
BP6
D6
1336 Hz
BP7
D7
1477 Hz
BP5
Passa
alto
Ogni filtro passa-banda passa un solo tono ed è seguito da un rivelatore D che,
si attiva quando la sua tensione supera un determinato livello e fornisce il
segnale di switch in continua per connettere l’utente al numero chiamato.
8
Esempio 2
Un convertitore ac/dc consente di realizzare un alimentatore in continua
partendo da una rete di alimentazione in corrente alternata
Ingresso c.a.
Ingresso c.a.
Uscita c.c.
=
Trasformatore
Raddrizzatore
Filtro
Uscita c.c.
Il trasformatore isola galvanicamente l’uscita in continua dall’ingresso in
alternata ed adatta la tensione di rete alla tensione di uscita richiesta.
Il raddrizzatore è un componente non lineare che converte l’energia da
alternata a unidirezionale.
Il filtro assolve la funzione di far passare solo la componente continua
dello spettro prodotto dal raddrizzatore e di bloccare tutte le altre righe
dello spettro (armoniche)
La tensione (corrente) all’uscita del raddrizzatore non è
rigorosamente continua ma possiede un certo residuo
(ripple)
Ripple% =
Veffcarico
carico
Vmedio
(componente continua)
Per far passare la componente continua si utilizza un filtro
passa-basso
Filtro LC ad ingresso induttivo
Filtri ad ingresso capacitivo
9
Esempio 3
Il circuito crossover accoppia un amplificatore audio a degli altoparlanti
di tipo woofer o tweeter
Canale di
amplificatore
stereo
Tweeter
C
L
Vs
+
-
L
C
R1
Woofer
+
-
T
V1 V2
+
-
R2
W
Un woofer è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte
bassa dell’intervallo delle frequenze audio (<3 kHz)
Un tweeter è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte
alta dell’intervallo delle frequenze audio (3-20 kHz)
H 2 (ω )
H 1 (ω ) =
V1
jωR1C
=
Vs 1 + jωR1C
H 2 (ω ) =
V2
R2
=
passa basso
Vs R2 + jωL
passa alto
H 1 (ω )
ω
ωc
Filtri passa basso
•La funzione di rete di un passa basso del 1° ordine
H ( jω ) = k
ω0
jω + ω 0

0

kω0
≅ k
H (ω ) =
ω02 + ω 2 
k

 2
ω0 = pulsazione di taglio
k guadagno
ω >> ω0
ω << ω0
|H(j ω)|
ω = ω0
Log(ωc)
log(j ω)
10
R
v (t )
C
vc (t )
1 / ( jωC )
1 / RC
Vc
=
=
V R + 1 / ( jωC ) jω + 1 / RC
ω0 = 1 / RC
H ( jω ) =
k =1
vR (t )
R
v (t )
L
Cf
Ri
Rf
+
vi (t )
vu (t )
1
− 1
Z
j ωC f
Ri C f
1
=
H ( jω ) = − f = −
1
Zi
Ri R + 1
jω +
f
jω C f
Rf C f
Rf
ω0 =
1
non dipende da Ri (se sommo diversi ingressi con diverse Ri , ω0 rimane la stessa
Rf C f
per tutti gli ingressi)
kω 0 = − 1
Ri C f
→ k=
Rf
Ri
>=< 1
11
Filtri passa alto
•La funzione di rete di un passa alto del 1° ordine
H ( jω ) = k
jω
jω + ω 0
ω0 = pulsazione di taglio
k guadagno in continua

0
ω << ω0

kω
≅ k
ω >> ω0
H (ω ) =
ω02 + ω 2 
k

ω = ω0
 2
R
vR (t )
v (t )
C
VR
R
jω
=
=
V R + 1 / ( jωC ) jω + 1 / RC
ω0 = 1 / RC
H ( jω ) =
k =1
R
v (t )
L
vL (t )
12
Rf
Ri
Ci
+
vu (t )
vi (t )
1
R
jω f
jωC f
Ri
H ( jω ) = −
=−
=−
1
1
Zi
Ri +
jω +
jω C i
Ri Ci
Zf
ω0 =
k=
1
Ri Ci
Rf
Ri
Filtri passa banda
FiLtri del II ordine
•Approssimazione poco costosa dei filtri ideali
•Blocco elementare per costruire filtri più complessi di tutti i tipi
•Ordine minimo per realizzare passa e oscura banda
La risposta in frequenza
ω0
Q
H ( jω ) = k
ω
− ω 2 + j 0 ω + ω02
Q
jω
0

k
≅
2
0
2
ω 
ω02 − ω 2 +  0 ω 
k / 2
Q 

ω0
Q
ω >> ω0
)
ω << ω0
ω
H (ω ) = k
(
k guadagno
ω0 pulsazione di centrobanda
Q fattore di qualità
ω1 pulsazione di taglio inferiore
ω2 pulsazione di taglio superiore
ω = ω0
ω = ω1,ω2
13
R
v (t )
H ( jω ) =
vR (t )
L
1 

R + j  ωL −

ωC 

=
jω R L
− ω + jω R L + 1 LC
2
1
LC
ω0 =
C
R
k =1
ω0 R
ωL
= →Q = 0
Q L
R
R
R
v (t )
C
vL (t )
Cascata di passa basso e
passa alto
L
ω0= ω2
vi(t)
ω0= ω1
Passa
basso
ω0= ω2
Passa
alto
ω0= ω1
C1
+
R C2
vo(t)
k
R
R
R
Invertitore
+
vi (t )
vu (t )
ω0pbasso= ω2=1/RC1
ω0palto= ω1=1/RC2
Rf
Ri
+
vu (t )
k=-Rf / R1
14
1


R


jω
RC
R
1
 −
H ( jω ) = ∏ H i =  −



1
1
(Vedi slide successiva)
 jω + RC  jω + RC
1 
2

jω
Rf
RC1
=−
1
Ri − ω 2 + jω C1 + C2 +
2
RC1C2 R C1C2
ω0 =
1
R C1C2
ω1 =
1
1
; ω2 =
RC2
RC1
H (ω0 ) = k =


 − R f
 Ri



 =

Rf
C2
Ri C1 + C2
Filtri di ordine elevato
Spesso realizzati come cascata di filtri del II ordine
V1 ( s )
H1(s)
V2 ( s )
H2(s)
V3 ( s )
Vn (s )
Hn(s)
Vn+1 ( s )
Cascata di n stadi del II ordine
Molto spesso il comportamento di uno stadio cambia quando viene
connesso ad un altro stadio (caricamento)
Zu(s)
Vi (s )
+
Zi(s) - H ( s )Vi ( s )
Modello circuitale di uno stadio
adatto all’analisi del caricamento
15
Zu1(s)
Zi1(s) +-
V1 ( s )
H 1V1
Zu2(s)
V2
Zi2(s) +
-
H 2V2
V3 ( s )
V3 = H 2V2
V2 =
Zi2
H 1V1
Z u1 + Z i 2
Con il 2° stadio
Senza il 2° stadio
V2 = H 1V1
Il 2° stadio carica il 1°. Ciò si può eliminare rendendo infinita
la Zi2 o nulla la Zu1
V3 = H 2V2 = H 2
H=
Zi2
H 1V1
Z u1 + Z i 2
V3
Zi2
H1
= H2
V1
Z u1 + Z i 2
Se Z u1 = 0 o se Z i 2 = ∞,
H = H 2 H1
I filtri di Sallen Key hanno Zu=0, pertanto possono essere collegati in
cascata senza caricare l’uscita.
H = ∏ Hi
i
I filtri RLC hanno Zu≠0, e Zi ≠∞
H ≠ ∏ Hi
i
16
Esempio
Sallen Key Passa Banda – Calcolo della Zu
R
R
1 C
2
+
-
C 2R
Vi (s )
3
u
Vu (s )
I u (s )
R (A-1)R
V1
V1 − Vu V1 − V2
V1
 R + 1 / sC + R + 1 / sC = 0

V2 − V1 V2
+
=0

 1 / sC 2 R
V2 V2 − Vu
(V3=V2)
 R + ( A − 1) R = 0

R
vi (t )
R
Filtro di Sallen Key
+
R
(A-1)R
vu (t ) PB
R
C
vi (t )
R
Vu
Iu
Vu= 0 Zu= 0
C
C
C
Zu =
+
R
(A-1)R
PA
vu (t )
1
RC
1
Q=
3− A
k=A
ω0 =
1
RC
1
Q=
3− A
k=A
ω0 =
17