4) Teorema di Pitagora e applicazioni

Teorema di Pitagora
In ogni triangolo rettangolo la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente
all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.
Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando
con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teorema è
espresso dall'equazione:
Osserviamo la figura seguente:
Il quadrato costruito sul cateto minore del
triangolo rettangolo ha un’area di 9 quadretti.
Il quadrato costruito sul cateto maggiore ha
un’area di 16 quadretti.
Il quadrato costruito sull’ipotenusa ha un’area di
25 quadretti.
Vale perciò la relazione:
32 + 42 = 52
Sappiamo che per calcolare l’area di un quadrato occorre elevare alla seconda il valore del suo lato.
Viceversa, se conosciamo l’rea di un quadrato possiamo trovare la lunghezza del suo lato
calcolando la radice quadrata dell’area:
S=36cm2
=>
64 cm 36 = cm 6
Con il teorema di Pitagora possiamo calcolare il valore di un lato di un triangolo rettangolo
conoscendo il valore degli altri due.
Esempio 1:
In un triangolo rettangolo il cateto minore è lungo cm 5, quello maggiore cm 12. Calcola la
lunghezza dell’ipotenusa.
a = cm 5
a
c
b = cm 12
c=?
b
cm2(52) = cm2 25
(area del quadrato costruito sul cateto a)
cm2(122) = cm2 144 (area del quadrato costruito sul cateto b)
1
cm2(25 + 144) = cm2 169
(area del quadrato costruito sull’ipotenusa c)
cm 169 = cm 13
(ipotenusa c)
Risposta: l’ipotenusa misura cm 13.
Esempio 2:
In un triangolo rettangolo il cateto maggiore è lungo cm 15 e l’ipotenusa cm 17. Calcola la
lunghezza del cateto minore.
a=?
a
c
b = cm 15
c = cm 17
b
cm2(172) = cm2 289
(area del quadrato costruito sull’ipotenusa c)
cm2(152) = cm2 225
(area del quadrato costruito sul cateto b)
2
2
cm (289 – 225) = cm 64
(area del quadrato costruito sul cateto a)
cm 64 = cm 8
(cateto minore a)
Risposta: il cateto minore misura cm 8.
I valori
3 4 5
5 12 13
8 15 17
Sono esempi di terne pitagoriche.
Questi tre numeri possono cioè rappresentare i lati di un triangolo rettangolo
Esercizi
1) In un triangolo rettangolo i due cateti misurano rispettivamente 22,5 cm e 12 cm. Calcola
perimetro e area del triangolo.
[cm 60; cm2 135]
2) I cateti di un triangolo rettangolo sono lunghi rispettivamente cm 32 e cm 60. Calcola perimetro
e area del triangolo.
[cm 160; cm2 960]
3) In un triangolo rettangolo ipotenusa e cateto minore misurano rispettivamente 8,5 cm e 4 cm.
Calcola perimetro e area del triangolo.
[cm 20; cm2 15]
4) In un triangolo rettangolo l’ipotenusa e il cateto maggiore misurano rispettivamente 145 cm e
144 cm. Calcola perimetro e area del triangolo.
[cm 306; cm2 122,4]
5) In un triangolo rettangolo il cateto minore misura 33 cm e il cateto maggiore è i suoi 4/3.
Calcola perimetro e area del triangolo.
[cm 132; cm2 726]
6) In un triangolo rettangolo il cateto minore misura 50 cm ed è i 5/12 dell’altro cateto. Calcola
perimetro e area del triangolo.
[cm 504; cm2 6804]
7) In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 85 cm e un cateto è i 4/5 dell’ipotenusa. Calcola
perimetro e area del triangolo.
[cm 204; cm2 1734]
2
8) L’area di un triangolo rettangolo è di 120 cm e un suo cateto misura cm 10. Calcola la misura
del perimetro.
[60 cm]
9) L’area di un triangolo rettangolo è di 179,96 m2 e un suo cateto misura m 21,6. calcola la misura
dell’altezza relativa all’ipotenusa.
[12,96 m]
2
Il teorema di Pitagora è applicabile solo ai triangoli rettangoli.
Tutte le volte, però, che in una qualsiasi figura piana è possibile ricavare un triangolo rettangolo, si
può applicare la formula del teorema di Pitagora.
Vediamo alcuni esempi.
Rettangolo:
a
Disegniamo la diagonale d del rettangolo: si forma un triangolo rettangolo
(annerito in figura) che ha come cateti i lati del rettangolo.
Per calcolare la diagonale d, che corrisponde all’ipotenusa del triangolo,
scriveremo: d = a 2 + b 2
d
b
Rombo:
Sappiamo che in un rombo le diagonali sono perpendicolari e si tagliano una
con l’altra nel loro punto medio. Inoltre i lati sono uguali tra loro.
A
B
Conoscendo la diagonale maggiore AC e la diagonale minore BD, possiamo
D calcolare anche la misura del lato del rombo.
Infatti il triangolo AOD è un triangolo rettangolo che ha i cateti uguali a metà
di ciascuna diagonale: possiamo allora calcolarne l’ipotenusa (cioè il lato del
rombo) con la formula
O
C
Trapezio:
A
D
B
E
C
Nel trapezio rettangolo ABCD il lato obliquo DC è l’ipotenusa del
triangolo rettangolo DEC, in cui:
- Il cateto DE è l’altezza del trapezio (=AB)
- Il cateto EC è la differenza tra la base maggiore BC e la base
minore AD:
EC = BC – AD
Potremo allora scrivere:
D
A
B
E
F
DC = DE 2 + EC2
Nel trapezio isoscele ABCD i lati obliqui AD e BC sono le
ipotenuse dei due triangoli rettangoli ADE e BFC.
Consideriamo il triangolo ADE:
- Il cateto AE è l’altezza del trapezio (=BF)
C - Il cateto DE è uguale a FC, ma la differenza tra la base
maggiore
la base
minore
AD: allaEC
BC – AD
maggioreBC
e lae base
minore
è uguale
loro= somma:
DC - AB
2
Se quindi conosciamo la misura dell’altezza e delle due basi del trapezio, possiamo calcolare il lato
obliquo:
AD = AE 2 + DE 2
DC – AB = DE + FC,
perciò:
DE = FC =
Quadrato:
a
d
Se in un quadrato disegniamo la diagonale d otteniamo un triangolo
rettangolo (annerito in figura). Esso risulta essere anche isoscele poiché i lati
del quadrato sono tutti uguali.
Si avrà:
d = a2 + a2 = 2 × a2 = 2 × a2 = 2 × a
a
3
Triangolo isoscele:
a
a
h
x
Nel triangolo isoscele (e nel triangolo equilatero) l’altezza h cade
perpendicolarmente nel punto medio della base.
Il triangolo annerito è un triangolo rettangolo che ha un cateto uguale
all’altezza h e l’altro cateto x uguale a metà della base. Perciò:
a = h2 + x 2
Esercizi
1) In un rettangolo le due dimensioni misurano rispettivamente cm 30 e cm 12,5. Calcola la misura
della diagonale.
[cm 32,5]
2) In un rettangolo la base e la diagonale misurano rispettivamente cm 15 e cm 17. Calcola
perimetro e area.
[cm 46; cm2 120]
2
3) In un rettangolo avente l’area di cm 1500, l’altezza è lunga cm 25. Calcola la misura della
diagonale.
[cm 65]
4) In un rettangolo il perimetro è di 128 m e la base è il triplo dell’altezza. Calcola la misura della
diagonale e l’area del rettangolo.
[m 50,59; m2 768]
5) Un quadrato ha la superficie di 576 cm2. Calcola la misura della diagonale.
[cm 33,84]
6) Calcola l’area di un triangolo isoscele che ha la base di cm 9 e il perimetro di cm19,2.
[10,8 cm2]
7) Calcola l’area di un triangolo equilatero che ha la base di 30 cm.
[389,7 cm2]
8) Un rombo ha le diagonali lunghe rispettivamente cm 10 e cm 24. Calcola il perimetro del
rombo.
[cm 52]
9) Calcola la misura di una diagonale e dell’area di un rombo che ha il lato lungo cm 19,5 e l’altra
diagonale di cm 36.
[cm 15; cm2 270]
10) Un quadrato e un rombo hanno entrambi il lato di cm 37. Calcola la differenza tra le loro aree,
sapendo che la diagonale minore del rombo misura cm 24.
[cm2 529]
11) Calcola il perimetro di un trapezio rettangolo che ha le basi lunghe rispettivamente cm 12 e
cm 15,5 e l’altezza lunga cm 8,4.
[cm 45]
12) Un trapezio rettangolo ha le basi lunghe rispettivamente cm 7,5 e cm 17,1 e l’altezza lunga
cm 18. Calcola la lunghezza della diagonale minore e del perimetro del trapezio.
[cm 19,5; cm 63]
13) Calcola il perimetro di un trapezio isoscele che ha le basi lunghe rispettivamente cm 20 e
cm 100 e l’altezza lunga cm 75
[cm 290]
14) Calcola l’area di un trapezio isoscele, sapendo che la base minore è uguale al lato obliquo, che
la base maggiore è di cm 59, e che il perimetro misura cm 182.
[cm2 2000]
15) Calcola il perimetro e l’area di un trapezio isoscele che ha la diagonale e il lato obliquo
lunghi rispettivamente cm 52 e cm 39 e l’altezza lunga cm 31,2.
[cm 161,2; cm2 1297,92]
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