Nicolina Malara - Loredana Gherpelli GREM

UN APPROCCIO AI RAZIONALI CENTRATO SUGLI ASPETTI DI
RAPPRESENTAZIONE E SUL RAGIONAMENTO PER ANALOGIA
Nicolina Malara - Loredana Gherpelli
GREM - Dipartimento di Matematica - Università di Modena e Reggio Emilia
In questo lavoro si riportano alcuni risultati relativi ad attività sperimentali di un progetto di ricerca- riguardante da
un lato le concezioni degli insegnanti e dall’altro l’innovazione nelle classi- finalizzato ad un approccio ai razionali
nella loro struttura algebrica e d’ordine. Elemento chiave nella implementazione delle attività è quello di dare corpo
ad una visione dei razionali come ampliamento numerico dei naturali ponendo agli allievi il problema della definizione
delle operazioni e dell’ordinamento nel nuovo ambito, avendo come punto fermo il mantenimento di quanto già noto.
Un altro importante leit motiv è il confronto ed il coordinamento di rappresentazioni diverse sia grafiche, sia di tipo
numerico (decimali e frazioni), attraverso l’osservazione di analogie e differenze che via via si individuano, mettendo
in luce potenzialità e limiti di ciascuna rappresentazione nelle diverse situazioni. I risultati sinora raggiunti mostrano
l’efficacia di questo approccio, sia sul versante della partecipazione attiva degli allievi nella risoluzione dei problemi
loro posti sia su quello della motivazione e del gradimento, ma evidenziano la necessità di tempi maggiori per
l’approfondimento e l’inquadramento delle questioni studiate sul piano globale, cosa forse oggi possibile grazie al
riordino dei cicli.
Introduzione
Il lavoro tratta di un approccio ai razionali di tipo strutturale, nell'ottica della
continuità con la scuola secondaria superiore. Quanto si presenta è l’evoluzione di un
precedente studio in cui si è focalizzata l'attenzione sulle frazioni mirando da un lato
alla generalizzazione (frazioni algebriche) e dall'altro ai problemi di estensione
dell’ambito numerico dei naturali, introducendo i razionali come insieme quoziente di
quello delle frazioni ed affrontando il problema della costruzione delle operazioni e
dell’ordinamento nel nuovo ambito (Malara, 1999, 2001). L’approccio proposto
enfatizza sia la pluralità di rappresentazioni del numero razionale, sia il ragionamento
per analogia per la costruzione della struttura algebrica e d'ordine del loro campo.
Come riportato in Malara & Gherpelli (2000) l’ipotesi di fondo è che in una didattica
in cui si attui: i) un avvio precoce al linguaggio algebrico; ii) un confronto tra le
proprietà delle operazioni di addizione e moltiplicazione nell’ambito dei naturali,
(anche in riferimento alle relazioni di maggioranza e divisibilità); iii) una riflessione
sulle conoscenze possedute sui decimali, in genere frammentarie e impecise, consenta
- già a livello di scuola media- di affrontare questioni sulle frazioni da un punto di
vista generale, in modo da raggiungere una maggiore flessibilità, incisività e
trasparenza nei modelli concettuali degli allievi in riferimento all’oggetto numero
razionale, all'ordinamento ed alle operazioni tra razionali in termini generali. La
finalità è quella di creare una base concettuale per gli studi successivi e di dare un
inquadramento strutturale a conoscenze di tipo numerico acquisite sin della scuola
elementare.
La ricerca, iniziata con un piccolo gruppo di insegnanti di scuola media dall’a.s.
1998/99, si è successivamente sviluppata all’interno di un seminario di formazione
realizzato nell’ambito del progetto europeo ELTMAPS1. Il seminario ha coinvolto sia
1
Al progetto, coordinato da L. Rogers, partecipano: Faculty of Education, Roehampton Institute,
Londra,UK, Pedagogical Institute, Nicosia, CY; Pedagogical Institute, Charles University, Praga,
CZ; Dipartimento di Matematica, Università di Modena & Reggio E., I. Obiettivo del progetto è
insegnanti di scuola elementare che di scuola media per mettere a fuoco questioni
didattiche nel raccordo tra i due ordini scolastici sul nostro tema2. Durante il
seminario sono stati studiati frammenti significativi del percorso didattico presente in
Harper (1987), alternativo ai nostri usuali percorsi, centrato sul controllo dei
significati dei concetti ed operazioni in gioco e su un uso spinto della linea dei
numeri, cosa che ha consentito la presa in considerazione di attività interessanti,
lontane dalla nostra tradizione d’insegnamento, ma importanti ai fini delle nostre
ipotesi di lavoro3. Molto fruttuose sono risultate alcune discussioni circa la fruibilità a
livello di scuola elementare di certe attività studiate, viste dagli insegnanti di scuola
media come propedeutiche al nostro impianto di lavoro.
Il percorso didattico da noi messo in atto nelle classi, per espressa volontà degli
insegnanti, vede la costruzione dell’ambiente dei razionali assoluti e, dopo
l’introduzione degli interi relativi, l’estensione ai razionali tutti. I percorsi di
approccio agli interi relativi ed ai razionali risultano intrecciati, con proficui ritorni
ora all’uno ora all’altro ambito. Fondamentale nello sviluppo di tutto il percorso
risulta l’attività sulle rappresentazioni multiple dei naturali e l’accettazione e l’uso da
parte degli allievi di rappresentazioni di numeri, in particolare moltiplicative,
generate e/o indicanti processi di calcolo.
Un altro aspetto del lavoro soggiacente a quanto qui documentato riguarda la visione
di una frazione come divisione, con il coordinamento delle scritture “ a/b“ e “a:b”, ed
il riferimento al numero decimale, quoziente della divisione, come sua ulteriore
rappresentazione (seppure in molti casi approssimata).
Per questioni di spazio abbiamo scelto di concentrarci qui solo su alcune delle attività
sperimentali realizzate, che possono considerarsi di variazione, e/o completamento
rispetto a quelle prodotte nella prima fase della ricerca. Gli argomenti riguardano: i),
il concetto di reciproco e la genesi dell’algoritmo della operazione di divisione,
chiarendone aspetti che ne stanno alla base; ii) problemi di confronto nell’ambito dei
razionali e riflessioni sulla relativa struttura d'ordine, con particolare riferimento alla
densità. Rimandiamo a Malara (1999) e Malara & Gherpelli (2000) per quanto
realizzato sulla equivalenza di frazioni, sulla costruzione del concetto di numero
razionale4, sulle definizioni di addizione e moltiplicazione di razionali (costruite dagli
allievi a partire da casi particolari ed ottenute tenendo in considerazione le questioni
della indipendenza dalle frazioni rappresentanti, della conservazione e coerenza con
quanto gà noto per naturali e decimali, fino alla loro formalizzazione in termini
2
confrontare tradizioni di insegnamento e di ricerca dei paesi partecipanti ai fini della formazione
degli insegnanti ed in particolare circa il problema del raccordo scuola elementare–scuola media.
Gli insegnanti partecipanti al seminario sono: M. Bruno, S. Famiglietti, R. Fiorini, L. Gherpelli,
L. Marchesini, G. Mesini, A. Nigrone, D. Pellacani, C. Rubbiani, M.L. Toth.
3
Al di là degli aspetti contenutistici, tra i risultati di tipo “meta” di questo seminario segnaliamo: i) la presa di
coscienza negli insegnanti di scuola media di percorsi solitamente realizzati a livello di scuola elementare e della
insospettata poca attezione data a questo livello scolare ai legami relazionali tra operazioni dirette ed inverse; ii) il
forte coinvolgimento degli insegnanti elementari sul piano del confronto circa le loro conoscenze e prassi didattiche
e la acquisita consapevolezza di loro abitudini improprie dovute a concezioni carenti o errate.
4
Si è operato anche sulla caratterizzazione di razionali rappresentabili con frazioni decimali e con
decimali finiti a partire da problemi quali “E’ possibile che una frazione come 2/7 sia esprimibile
in termini percentuali?”
generali5.).
Il concetto di reciproco e la genesi della divisione
Circa l'operazione di divisione, per evitare il ripetersi delle situazioni avvenute nelle
precedenti sperimentazioni (si veda Malara & Gherpelli 2000), delicate da un punto
di vista logico per gli aspetti di autoreferenza presentati, il percorso è stato centrato
sul concetto di divisione come operazione inversa della moltiplicazione e sul concetto
di reciproco; inoltre prendendo spunto dalle proposte di Harper (cit) si è attuata una
verifica di quanto costruito, su casi particolari, attivando il significato di divisione su
varie rappresentazioni grafiche, in special modo sulla retta. Più in particolare, posto
dall'insegnante il problema di ricercare una regola6 per eseguire la divisione, Emauela
fa l'ipotesi che, anche se per l’addizione e la sottrazione è richiesta la conversione allo
stesso denominatore delle frazioni in gioco, per la moltiplicazione no, allora anche
per la divisione, sua inversa, si può operare con denominatori diversi. La classe parte
dall'ipotesi che comunque il risultato della divisione deve essere sempre lo stesso
anche se si scelgono rapresentazioni diverse per lo stesso razionale. Si esamina allora
il caso 1 : 1 = a ? che si converte in 1 × a = 1 ossia a = 1 . A questo punto nella classe
3 6
b
6
b
6×b
3
3
si interpreta la relazione come uguaglianza di frazioni equivalenti e gli allievi dicono
che può essere a = 2 e b = 1 ossia a = 2 , si attua per chiarezza la verifica. La
b
conclusione è dunque che
1 1 2
: =
3 6 1
1
. Si cerca conferma attraverso rappresentazioni
grafiche, come un cerchio diviso in tre parti, e successivamente in sei parti e la cosa
1
vien confermata sulla base del'osservazione di un allievo che dice che
sta due volte
6
1
1
in , perché "in una fetta grande di pezzi uguali a ce ne sono due".
3
6
La "regola" viene analizzata in altri casi, come 2: 2 , e confermata sulla base della
3
suddivisione delle unità sulla retta, a partire dallo zero, in segmenti di lunghezza 1 , e
3
dall'osservazione che in segmento lungo 2 unità ci sono 3 segmenti lunghi 2 .
3
Un'ulteriore conferma si trova nel fatto che la divisione di un razionale per se stesso
deve dare 1 e questo conferma la regola di moltiplicare una frazione per il reciproco
dell’altra perché 1 si rappresenta anche con una frazione con numeratore e
denominatore uguali.
5
Il seguente esempio documenta il lavoro svolto sul mantenimento dell’isomorfismo strutturale
6 24 6 ⋅ 24 164 24
, seppure su casi particolari. Si osservi come, pur essendo l'allievo di non
×
=
=
=
2
3
2⋅ 3
6
1
elevata abilità, (egli esegue le moltiplicazioni), tuttavia verifica la
↓ ↓
3 x 8 = 24
conservazione del prodotto in N.
6
Questa espressione, adottata dall'insegnante, riflette più il gergo scolastico in uso ma dal tipo di
contratto è chiaro per gli allievi che si tratta di cercare una definizione per questa operazione,
compatibile con quanto noto.
Attività sul confronto
Queste attività sono centrate sulla evidenziazione delle differenze tra naturali e
razionali, abbiamo scelto due esempi.
Un problema sulla diversità di comportamento della moltiplicazione nel passaggio
naturali –razionali
E’ un problema di collegamento tra moltiplicazione e ordinamento, proposto per
enfatizzare la proprietà di “rimpicciolimento” della potenza di un numero minore di 1
e favorire lo scardinamento di concezioni originate dal modello primitivo dei naturali
dove la moltiplicazione amplifica l’ordine di grandezza di un numero. Il problema,
tratto da Harper (1987, vol. 3, cap. 21 ), è il seguente:
Dopo quante moltiplicazioni
2 2 2
1
× × ×.... il prodotto è minore di
?
3 3 3
10
Il quesito non è stato molto problematico per gli allievi, anche se non sono
ovviamente mancate riflessioni individuali che hanno evidenziato il conflitto tra
l’ingrandire e il rimpicciolire nei confronti della moltiplicazione. La maggior parte lo
ha risolto con una certa facilità, seppure attraverso differenti strategie. Ci sono stati
allievi che pur operando direttamente sulle frazioni in gioco, hanno effettuato il
confronto attraverso una valutazione del valore approssimato di 1/10 rappresentato
Tavola 1
Protocollo A
2 2 4 2
8 2 16
;
× = × =
× =
3 3 9 3 27 3 81
1
72
72
72 64
;
;
=
<
<
10 720 729 720 729
2 2 2
8 2 2 2 2 2 2
64
; × × × × × =
× × =
3 3 3 27 3 3 3 3 3 3 729
72
dopo cinque moltiplicazioni si ha un numero più piccolo.
729
Protocollo B
2 2 4 2
8 2 16 2 2 2
8 2
1
→ 0,6 ;
→ 0,1
; × ×
;
× = × =
× =
=
3 3 9 3 27 3 81 3 3 3 27 3
10
0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,07776 ; 0,6 × 0,6 = 0,36 ; 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,216
Perché diventa più piccolo e sembra solo che diventi più grande?
0,216 × 0,6 = 0,1296 ; 0,1296 × 0,6 = 0, 07776 ; 0,6 ; 0,36 ; 0,216 ; 0,1296; 0, 07776
Essndo il numero prima della virgola 0, che resta invariato, moltiplicando cambiano solo i numeri dietro (dopo) la
virgola infatti se moltiplichiamo 1,6x1,6 abbiamo non 2,36 ma 2,56.
2 2 2 2 2 2
64
64 ×10 1 ×729
;
;
.; 640<729.
× × × × × =
3 3 3 3 3 3 729 729 ×10 10 ×729
Si notino in entrambi i protocolli l'uso prcedurale dell'uguale. Il protocollo B mostra come l'allievo non controlli
inizialmente l significato delle scritture decimali e commetta errori nel moltiplicarli, interessante è tuttavia il suo modo
di procedere alternativamente con i due codici di rappresentazione
da una frazione equivalente ma con lo stesso denominatore della potenza di 2/3 in
esame (protocollo A in tavola 1). Altri hanno affrontato il problema in termini
decimali, sostituendo 2/3 con il valore approssimato 0,6 (periodico); altri ancora
hanno operato su entrambe le rappresentazioni, iniziando prima dalla
rappresentazione 0,6 di 2/3, confrontando i risultati numerici ottenuti eseguendo le
successive potenze, ma hanno anche lavorato direttamente con le potenze della
frazione e risolto il problema convertendo tali frazioni e 1/10 con altre equivalenti
aventi lo stesso denominatore e confrontando tra loro i numeratori (si veda il
protocollo B in tavola 1). Molto fruttuosa è stata poi la discussione di classe sul
2
×
3
confronto delle strategie adottate e sui limiti, in questo caso, del ricorso alla
rappresentazione decimale per l’amplificazione dell’errore di approssimazione.
Un problema sulla diversità dell’ordinamento nel passaggio naturali – razionali
Ci soffermiamo sul seguente problema, finalizzato ad un confronto sulla relazione di
minoranza nei naturali e razionali ed alla distinzione tra ordinamento discreto e
denso.
1. Si può stabilire quanti e quali sono i numeri compresi: a) fra due naturali, b) fra
due razionali?
2. Si può parlare, come per i naturali, di successivo di un numero razionale?
Questo problema è stato posto una prima volta lo scorso anno, in una classe dove
l’attività sui razionali era stata centrata sul costante ricorso a quanto noto dagli allievi
nell’ambito dei numeri decimali, al fine di dare significato alle operazioni e al
confronto, in via di definizione, nell’ambito dei razionali. La libertà operativa degli
allievi spesso li portava alla scelta di frazioni con rappresentazioni decimali non finite
e questo creava ovviamente problemi di approssimazione. Quest’anno il percorso è
stato modificato, esso si è appoggiato in modo più forte sul concetto di classi di
frazioni equivalenti e gli allievi sono stati educati a lavorare “navigando”
continuamente nelle varie classi associate alle frazioni considerate; il ricorso alla
rappresentazione decimale è stato fatto prevalentemente solo nel caso di razionali con
rappresentazione decimale finita e unicamente come forma di controllo di quanto in
precedenza costruito. I diversi approcci adottati dall’insegnante nelle due classi hanno
dato luogo alla attivazione da parte degli allievi di strategie risolutive diverse.
Il percorso del primo anno. L’insegnante parte con il far considerare su casi
particolari cosa accade in N. passa poi ai razionali e propone di considerare se ci
siano numeri tra la coppia 1/5 ed 1/2, i ragazzi passano alla rappresentazione
decimale finita, cosa che li induce e considerare come razionali compresi tra loro i
decimali 0,3, e 0,4. L’insegnante chiede se si può continuare l’operazione di
“riempimento” tra 0,4 e 0,5. Un allievo (Alberto) converte 0,4 in 40/100 e 0,5 in
50/100 e propone 45/100 ossia 0,45 come razionale tra di loro; un’altra (Chiara) dice
che ci sono anche 41/100; 42/100; … ; 49/100. L’insegnante ripropone il problema
per la coppia 41/100 e 42/100, i ragazzi passano ai millesimi iterando il procedimento
precedente. Emerge dalla discussione l’impossibilità di determinare il numero di
razionali compresi tra due dati e si evidenzia la loro densità. Quanto all’ipotetico
successivo di un razionale un allievo (Marco) partendo da 7/5 cioè 1,4, scrive
0,40001, 0,400001 e dice di avere osservato con altri che non si può stabilire chi
viene dopo perché si possono attaccare di seguito a 4 quanti zero si vogliono e poi
mettere 1 come elemento di differenza, così ogni volta si ottiene sempre un numero
più piccolo perché si può aggiungere zero all’infinito scivolando sempre di un posto.
Il percorso del secondo anno. Dopo aver lavorato sull’ordinamento di N mettendone
il luce la discretezza, l’insegnante propone alla classe di indagare se tra 2/5 e 3/5 ci
siano numeri razionali. Gli allievi risolvono il problema semplicemente facendo
ricorso al concetto di frazioni equivalenti, moltiplicando per 10, 100, 1000 entrambi i
termini delle due frazioni e verificando che tra essi se ne possono inserire quanti se ne
vogliono. E' interessante rilevare che in questo secondo approccio, in cui si fatto
ricorso anche alla rappresentazione sulla retta, gli allievi prendono coscienza dei
limiti di tale rappresentazione, affermano “soltanto lo spazio limita le infinite frazioni
che ci sono” e giungono a dire che utilizzando la retta per i naturali "si va per salti",
mentre utilizzandola nei razionali "si va per tagli". Questa visione dell’addensarsi dei
razionali tra due assegnati, che prescinde dai limiti della rappresentazione grafica li
porta anche ad escludere che si possa parlare di successivo di uno razionale dato.
Gli approfondimenti
Nonostante il lavoro svolto rimangono ancora importanti aspetti da approfondire o
esplorare. Innanzi tutto appare importante far lavorare gli allievi in modo che essi
acquistino una adeguata visione di come vari un razionale al variare dei suoi termini,
come anche raccomandato da Lopez Real (1998), ad esempio aggiungendo una stessa
quantità al numeratore o al denominatore e ancor più aggiungendo quantità diverse ad
entrambi, anche attraverso attività concrete che possano favorire tale visione7. Un
importante aspetto, tuttora ancora da esplorare, riguarda il collegamento razionali
assoluti e razionali relativi nell’ambito del confronto, in particolare quando si
utilizzino rappresentazioni letterali, per far maturare negli allievi la consapevolezza
del mutamento della relazione “minore” in “maggiore” e viceversa nel caso di
moltiplicazione per un razionale negativo. Inoltre, una questione ancora aperta
rimane la questione della caratterizzazione delle classi di equivalenza (Malara 1999),
perché considerata dagli insegnanti così raffinata da un punto di vista logico da poter
creare problemi agli allievi.
Considerazioni conclusive
Gli studi sperimentali sin qui svolti evidenziano un buon livello nella partecipazione
raggiunta dagli allievi, nella loro capacità di appropriarsi dei problemi e di affrontarli
anche da punti di vista diversi e dare loro soluzione. Al di là della bontà delle loro
produzioni rimane tuttavia problematica la questione della stabilità in tempi
adeguatamente lunghi delle conoscenze costruite e soprattutto della loro visione
globale in un quadro organico, per questo occorrerebbe maggior tempo da dedicare a
riflessioni di tipo generale sui concetti esaminati. Non va dimenticato che tali attività
vengono realizzate negli usuali tempi scolastici e che, negli stessi tempi, occorre
anche fare spazio all’acquisizione delle abilità tecniche. Sempre per questioni di
tempo risulta difficile verificare l’incidenza di questo percorso sull’eventuale
ridimensionamento di errori standard nella esecuzione di processi di calcolo sui
razionali o nella elaborazione di trasformazioni sintattiche di frazioni algebriche (si
veda Fishbein & Barach, 1993). Occorrebbe inoltre anche poter affrontare gli
approfondimenti sopra citati, in particolare sul versante dell’ordinamento, lavorando
sulle leggi di monotonia, o spingendosi verso l’ambiente dei reali.
Tutto ciò potrebbe essere fattibile ma richiede uno scivolamento a livello di scuola
elementare di varie attività sulle frazioni ed un lavoro fine sui decimali, come ad
esempio quello realizzato da C. Bonotto e la sua equipe (1995, 1996) e nell’ottica del
7
Sono in via di sperimentazione anche alla scuola elementare alcuni problemi interessanti tratti da Harper (cit) vol.
2B cap; 19, vol 3B cap. 6 , dove il contesto reale aiuta ad effettuare il confronto tra i rapporti in gioco.
raccordo frazioni - decimali. In questo senso noi stiamo attualmente operando nelle
citate attività seminariali di formazione con insegnanti dei due ordini scolastici.
Per quanto riguarda gli atteggiamenti degli insegnanti, c’è da segnalare che nel corso
della ricerca questi sono via via mutati; come già visto, mentre all’inizio nel porre i
problemi era in loro dominante il riferimento alla rappresentazione decimale,
successivamente hanno privilegiato l’attenzione alle classi di frazioni equivalenti ed
il riferimento ai decimali è stato limitato a questioni di verifica della coerenza sui
risultati raggiunti nei due ambiti, implicitamente affrontando il concetto di
isomorfismo di immersione tra strutture. Inoltre appare evidente nei loro interventi
didattici più recenti l’influenza dello studio del progetto Harper, per il recupero, a
livello dei significati delle operazioni in via di definizione, di attività lontane dalla
nostra tradizione di insegnamento, relative a questioni di ripartizione o contenenza
sulla linea dei numeri in relazione a segmenti rappresentanti unità frazionarie o loro
multipli.
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Integrate, 18A, n. 4, 311-338
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