Ancora esercizi sulla Normale

ESERCIZI SULLA DISTRIBUZIONE NORMALE
1.
Si assume che la lunghezza del petalo, in una popolazione di piante appartenenti alla specie x, sia una variabile
distribuita normalmente con media di 3,2 cm e deviazione standard di 1,8 cm. Qual è sarà la proporzione di piante con
una lunghezza del petalo: a) Maggiore di 4,5 cm? b) Maggiore di 1,78 cm? c) Tra 2,9 e 3,6 cm?
2.
Supponendo che i quozienti d’intelligenza (Q.I.) siano distribuiti normalmente in una popolazione definita con media
100 e deviazione standard 15. Quale proporzione della popolazione avrà un Q.I.:
a) minore di 90?
b) maggiore di 145?
c) compreso tra 120 e 140?
3.
Lunghezza media dei pesci di una certa specie N (6 cm ,4 cm2),Costruire il grafico della distribuzione e trovare:
a) % di pesci > 5 cm
b) % di pesci fino a 5 cm
c) % tra 4 e 8 cm
d) % tra 5 e 9 cm
e) quale valore include il 75% dei pesci?
4.
Per le rane allo stato naturale, la lunghezza della vita è distribuita normalmente con media di 10 anni e deviazione
standard di 3 anni.
a) Quale percentuale di rane vive oltre i 14 anni?
b) Calcola il valore del quinto percentile.
c) Se consideriamo campioni di 4 rane e calcoliamo per ogni campione la durata della vita media, x , quale sarà il
valore medio e l’errore standard delle quantità x in campioni ripetuti?
d) Se consideriamo 200 campioni di 4 rane, calcola il numero di campioni per i quali la durata di vita x sarà compresa
tra 8 e 11.5 anni.
5.
Si assuma che tra i non diabetici il livello di glucosio nel sangue a digiuno sia distribuito in maniera
approssimativamente normale con una media di 105 mg/100 ml ed una deviazione standard di 9 mg/100ml.
a) quale percentuale di non diabetici hanno livelli compresi tra 90 e 125 mg/100ml?
b) quale livello lascia il 10% dei non diabetici nella coda di sinistra?
c) quali livelli comprendono il 95% dei non diabetici?
d) costruire la curva, ricordando che μ ± σ contiene il 68% della distribuzione
6.
Il numero medio di venature delle foglie dei faggi, misurato in una indagine su larga scala in una certa regione, è
risultato pari a 16,11 venature con una deviazione standard di 1,74 venature. Altre indagini, in diverse zone, indicano
che il numero di venature può variare con la località ma che la deviazione standard si può a ragione considerare
costante. Un campione di 15 foglie raccolto in una determinata località presenta un valore medio di 9,8 venature. Si può
dedurre che in questa località le foglie di faggio hanno un numero medio di venature inferiore a quello trovato nell'
indagine su larga scala?
7.
In un certo numero di persone è stato registrato il tempo necessario perchè il sangue cessi di fuoriuscire da una puntura
praticata su un dito. Il tempo medio è stato di 1,407 minuti con una deviazione standard di 0,588 minuti. Si è pensato
che applicando una pressione nella parte superiore del braccio aumenti il tempo necessario all' arresto del flusso del
sangue. Si sono quindi scelte 3 persone al cui braccio è stata applicata un' uguale pressione di 20 mm di Hg prima di
praticare la puntura. I tempi registrati in minuti sono stati: 1,15
1,75
2,50.
Si può pensare che la pressione applicata al braccio faccia allungare il tempo di fuoriuscita del sangue?
8.
Supponendo che la pressione diastolica media per una certa classe d’età sia 78, e la deviazione standard sia 9,
approssima la probabilità che in un campione di 16 individui di quella classe d’età la media del campione sia maggiore
di 81.
9.
In 134 esemplari di farfalle maschio di una particolare famiglia catturata in un parco di una città, l'antenna sinistra
aveva una lunghezza media di 11,35 con una deviazione standard di 0,47 mm. In un' altra zona della stessa città sono
state catturate 5 farfalle maschio della stessa famiglia e le lunghezze dell'antenna sinistra sono, espresse in mm: 11,25
11,55 11,65 11,95 12,20. Si può pensare che la lunghezza media dell' antenna sinistra della farfalla maschio di questa
specie varia nelle due località?
10) Un geologo controllando i risultati ottenuti dai suoi sondaggi in una certa area, trova che il numero di strati differenti
identificabili è normalmente distribuito con media 12 e deviazione standard 2. Egli fa altri 4 sondaggi e trova che in
questa occasione sono identificabili 9 strati in media. E risultato significativamente differente?
SOLUZIONI
1) μ =3,2 σ = 1,8
a)
z=(4,5-3,2)/1,8= 0,722 P(x>4,5cm)= P(z>0,722 )=0,235
23,5%
b)
z=(1,78-3,2)/1,8= -0,7888 P(x>1,78cm)= P(z>-0,789 )=0.785 78,5%
c)
z=(2,9-3,2)/1,8=-0.167 P(x>2,9cm)= P(z>-0,167)=0.566 56,6%
z=(3,6-3,2)/1,8=0.222 P(x>3,6cm)= P(z>0,222)=0.412 41,2% P(2,9<x<3.6)=56,6-41,2=15,4%
2) μ =100 σ = 15
a)
z=(90-100)/15 P(x<90)= P(z<0,666)=0,2524
25,24%
b)
z=(145-100)/15 P(x>145)= P(z>3)=0,00135
0,13%
c)
z=(120-100)/15=1,333 z=(140-100)/15=2,666
P(120<QI<140)= P(1,333<z<2,666)=(0,0912-0,0038)=0,0873;
3) μ =6
a)
b)
c)
d)
e)
8,73%
σ=2
Z=( 5-6 )/ 2= -1/2 = -0,5 P(l>5cm)= P(z>-0,5)= 0,50+(0,50-0,3085)=0,6915;
69,15%
Z=( 5-6 )/ 2= -1/2 = -0,5 P(l<5cm)= P(z<-0,5)= P(z>0,5) =0,3085;
30,85%
Z=( 4-6 )/ 2= -2/2 = -1 Z=( 8-6 )/ 2= +2/2 = +1 P(4<l <8cm) = P(-1<z<1) = 1-(0,1587*2)=1-0,316=0,684;
Z=( 5-6 )/ 2= -1/2 = -0,5; Z=( 9-6 )/ 2= +3/2 = +1,5; P(5<l <9cm)=P(-0,5<z<1,5)=1-(0,3085+0,0668)=0,6247;
P(z>?) =0,75 P(z>?) =0,25
z=0,67
0,67=( x-6) /2 x=6+ 2*0,67=7,34 cm
4) μ=10
σ=3
a)
Z=( 14-10 )/ 3= 4/3=1,33 P(vita>14anni)= P(z>1,33)= 0,0918; 9,18%
b)
P(z<?)= 0,05; z=-1,64
-1,64=( x-10) /3
x=10- 3*1,64=5.08 anni
c)
μ=10 n= 4
e.s.=3/2=1.5
d)
P(8< ⎯x < 11.5) z= (8-10)/1,5 = -2 /1,5. = -1.33
z= (11.5-10)/1,5 = 1
P( z < -1.33) = 0.0918
P( z > 1) = 0.1587
P(1,33< z < 1)= 1-0.2505= 0.7495
200x 0.7495= 149.9 campioni
5) μ=105
σ=9
a)
z= (x-μ)/σ
z= (90-105)/9 = -1,67
z= (125-105)/9 = 2,22
P(x > 90) = P(z > -1,67) = 0.952 P(x ≥ 125) = P(z ≥ 2,22) = 0,0131 P(2,9<x<3.6)=95,2-1,3=93,9%
b)
P(x ≤ ? ) = 0,10 = P(z ≤ -1,28) z= (x – 105)/9 = -1,28
x= 93,5
c)
P( ? ≤ x ≤ ? ) = 0,95 = P(-1,96 ≤ z ≤ +1,96)
z=(x – 105)/9 = +1,96
x2= 122,6
z= (x – 105)/9 = -1,96 x1= 87,4
6) z = 19,05; si.
7) μ =1,407 σ = 0,588 x medio = 1,8 e.s.= 0,588/radq(3)=0.34
z=(1,8-1,407)/0.34= 1.16 P(z>1.16)= 0,12
12% no
8) μ =78
σ=9
n=16
9) μ=11,35 σ = 0,47
media=81
⎯x = 11,72
z= 1,333
P(x>81)=0,0918
e.s. = 0,47/ 2,236 = 0,2102
z = (11,72- 11,35)/0,2102 =1,76; no.
10) μ=12 σ = 2
n=4
⎯x = 9
z=(9-12)/ 1 = -3
si
68,4%
62,47%