Sistemi dinamici lineari

1.19
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Sistemi dinamici lineari
La funzione di stato che descrive un sistema dinamico lineare, è rappresentabile
in forma matriciale nel seguente modo:
• Per sistemi continui:
• Per sistemi discreti:
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)
• Proposizione : Ogni sistema a dimensioni finite lineare e regolare è descrivibile in forma implicita per mezzo di una funzione di stato e di una
funzione di uscita, e in forma esplicita per mezzo di funzione di transizione
dello stato e di funzione di uscita.
• Caso continuo (t0 è istante iniziale):
⎧
⎪
⎪
⎨
ẋ(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t)
⎩
y(t) = C(t)x(t)+D(t)u(t)
Forma implicita ⇒ ⎪
⎪
⎧
⎪
⎪
⎨
x(t) = Φ(t, t0)x(t0)+Φf (t, t0, u(·))
⎩
y(t) = C(t)x(t)+D(t)u(t)
Forma esplicita ⇒ ⎪
⎪
dove Φ(t, t0) è la matrice di transizione dello stato, Φ(t, t0)x(t0) è l’evoluzione
libera e Φf (t, t0, u(·)) è l’evoluzione forzata.
• Caso discreto (h è l’istante iniziale):
⎧
⎪
⎪
⎨
x(k+1) = A(k)x(k)+B(k)u(k)
⎩
y(k) = C(k)x(k)+D(k)u(k)
Forma implicita ⇒ ⎪
⎪
⎧
⎪
⎪
⎨
x(k) = Φ(k, h)x(h)+Φf (k, h, u(·))
⎩
y(k) = C(k)x(k)+D(k)u(k)
Forma esplicita ⇒ ⎪
⎪
dove Φ(k, h) è la matrice di transizione dello stato, Φ(k, h)x(h) è l’evoluzione
libera e Φf (k, h, u(·)) è l’evoluzione forzata.
Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi
A.A. 2001/2002
1.20
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Proprietà della matrice Φ(t, t0)
L’evoluzione libera di un sistema lineare continuo è la seguente:
x(t) = Φ(t, t0)x(t0)
Come ogni altra funzione di transizione dello stato, anche questa evoluzione
libera deve soddisfare le proprietà di consistenza e di composizione, per cui
devono valere le seguenti relazioni:
• Consistenza. Per ogni t0 ∈ R si ha che:
x(t0) = Φ(t0, t0)x(t0)
da cui necessariamente segue che:
Φ(t0, t0) = I
• Composizione. Per ogni terna di valori t3 > t2 > t1 e per ogni stato
iniziale x1, se valgono le relazioni
x2 = Φ(t2, t1)x1,
x3 = Φ(t3, t2)x2
allora si ha che
x3 = Φ(t3, t1)x1 = Φ(t3, t2)x2 = Φ(t3, t2)Φ(t2, t1)x1
per cui deve valere anche la relazione
Φ(t3, t1) = Φ(t3, t2)Φ(t2, t1)
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A.A. 2001/2002
1.23
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Funzione di stato: caso discreto
Consideriamo il sistema lineare discreto, descritto dalla funzione di stato
x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)
a partire dall’istante iniziale h, fino all’istante finale k:
x(h + 1) = A(h)x(h) + B(h)u(h)
x(h + 2) = A(h + 1)x(h + 1) + B(h + 1)u(h + 1)
= A(h + 1) [A(h)x(h) + B(h)u(h)] + B(h + 1)u(h + 1)
= A(h
+1)A(h) x(h) + B(h + 1)u(h + 1) + A(h+ 1) B(h)u(h)
...
...
Φ(h+2,h)
Φ(h+2,h+1)
Definendo la matrice di transizione dello stato nel seguente modo:
⎧
⎪
⎪
⎨
A(k − 1) . . . A(h + 1)A(h)
se k > h
⎩
I (Matrice identità)
se k = h
Φ(k, h) = ⎪
⎪
si ottiene che:
x(k) = Φ(k, h)x(h) + Φ(k, h + 1)B(h)u(h) + . . .
. . . + Φ(k, k)B(k − 1)u(k − 1)
= Φ(k, h)x(h) +
k−1
j=h
Φ(k, j + 1)B(j)u(j)
Φf (k, h, u(·))
cioè che la funzione di transizione dello stato x(k)
x(k) = ϕ(k, h, x(h), u(·)) = ψl (k, h, x(h), 0) + ψf (k, h, 0, u(·))
può essere espressa come somma del movimento libero ψl (k, h, x(h), 0) =
Φ(k, h)x(h) e il movimento forzato ψf (k, h, 0, u(·)) = Φf (k, h, u(·)).
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A.A. 2001/2002
1.24
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Esercizio. Sia dato il seguente sistema lineare discreto tempo-variante
⎛
⎞
β
x(k + 1) = ⎝α + ⎠ x(k) + b(k)u(k)
k
definito per k ≥ 1. Determinare la funzione di transizione dello stato del
sistema a partire dalla condizione iniziale x(1) = x1.
• Nel caso generale tempo-variante, la matrice di transizione dello stato vale
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
Φ(k, h) = ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
β
β
(α + k−1
)(α + k−2
) . . . (α + βh ) per k > h
1
per k = h
La soluzione dell’equazione alle differenze è quindi la seguente:
x(k) = Φ(k, 1)x1 +
k−1
Φ(k, i + 1)b(i)u(i)
i=1
• Nel caso invece in cui si abbia β = 0, la matrice di transizione si semplifica
Φ(k, h) = αk−h
per cui la soluzione dell’equazione alle differenze diventa
x(k) = α
k−1
x1 +
k−1
αk−i−1 b(i)u(i)
i=1
• Se poi si considera il caso di ingresso costante u(k) = u0 (k ≥ 1) e
parametro b(k) = b costante, allora la soluzione si semplifica ulteriormente
⎛
x(k) = αk−1 x1 + ⎝
k−1
i=1
⎞
αk−i−1 ⎠ b u0
Il termine racchiuso tra parentesi può essere trasformato come segue
k−1
α
k−i−1
i=1
1 − αk−1
=
α =
1−α
i=0
k−2
i
per cui la soluzione diventa
x(k) = α
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k−1
1 − αk−1
b u0
x1 +
1−α
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1.25
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Nel caso lineare tempo-invariante
x(k + 1) = α x(k) + b u(k)
la risposta al gradino del sistema può essere calcolata anche utilizzando la
tecnica delle Z-trasformate:
z[X(z) − x(1)] = αX(z) + b U (z)
Posto x(1) = x1 e isolando X(z) si ottiene:
X(z) =
b
z
x1 +
U (z)
z−α
z−α
Nel caso di gradino unitario in ingresso
U (z) =
si ha che
X(z) =
u0 z
z−1
z
b u0 z
x1 +
z−α
(z − α)(z − 1)
⎡
⎤
b u0 z ⎣ 1
1 ⎦
z
x1 +
−
=
z−α
(1 − α) z − 1 z − α
Antitrasformando e traslando di un periodo di campionamento si ottiene:
x(k) = α
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k−1
1 − αk−1
x 1 + b u0
1−α
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1.26
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Funzione di stato: caso continuo
Consideriamo il sistema lineare continuo autonomo (cioè con funzione di ingresso nulla u(t) = 0) descritto dalla funzione di stato:
ẋ(t) = A(t)x(t)
(1)
La soluzione generica x(t) del sistema (1) a partire dallo stato iniziale
x(t0) = x1(t0)e1 + x2(t0)e2 + . . . + xn(t0)en
dove e1, . . ., en sono i vettori della base canonica
⎡
⎤
1⎥
⎥
0 ⎥⎥⎥
e1 = .. ⎥⎥ ,
.⎥
⎦
0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎤
0⎥
⎥
1 ⎥⎥⎥
e2 = .. ⎥⎥ ,
.⎥
⎦
0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
...,
⎡
⎤
0⎥
⎥
0 ⎥⎥⎥
en = .. ⎥⎥
.⎥
⎦
1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
deve potersi esprimere come combinazione lineare di n soluzioni linearmente
indipendenti Φi (t, t0) del sistema (1), cioè:
x(t) = x1(t0)Φ1(t, t0) + x2(t0)Φ2(t, t0) + . . . + xn(t0)Φn(t, t0)
Le n soluzioni Φi(t, t0) si ottengono risolvendo il sistema (1) a partire dalle n
condizioni iniziali e1, . . ., en. Per ipotesi, quindi, la i-esima soluzione Φi(t, t0)
soddisfa l’equazione differenziale
d
Φi(t, t0) = A(t)Φi(t, t0)
dt
con condizione iniziale: Φi (t0, t0) = ei, per i = 1, . . . , n. Le n soluzioni
Φi(t, t0), dette anche movimenti liberi del sistema, non sono altro che le colonne
della matrice di transizione dello stato:
Φ(t, t0) = [Φ1(t, t0), Φ2(t, t0), . . . Φn(t, t0)]
→
x(t) = Φ(t, t0)x(t0)
La matrice Φ(t, t0) soddisfa pertanto l’equazione differenziale matriciale:
d
Φ(t, t0) = A(t)Φ(t, t0)
dt
con condizione iniziale: Φ(t0, t0) = I.
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1.27
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Soluzione della funzione di stato (Caso continuo)
Consideriamo il seguente sistema lineare non autonomo:
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
La soluzione di questa equazione differenziale matriciale è la seguente:
x(t) = Φ(t, t0)x(t0) +
t
t0
Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ
t
dove Φ(t, t0)x(t0) rappresenta il movimento libero e t Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ il
0
movimento forzato.
La verifica si ottiene facilmente per sostituzione ed utilizzando la seguente
regola di derivazione di una funzione integrale:
b(t) d
d b(t)
d
d
f (t, τ )dτ = f (t, b(t)) b(t) − f (t, a(t)) a(t) + a(t) f (t, τ )dτ
dt a(t)
dt
dt
dt
Derivando la soluzione x(t) si ottiene infatti che:
t d
d
ẋ(t) =
Φ(t, t0)x(t0) + Φ(t, t)B(t)u(t) + t
Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ
0 dt
dt
= A(t)Φ(t, t0)x(t0) + B(t)u(t) +
= A(t) Φ(t, t0)x(t0) +
t
t0
t
t0
A(t)Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ
Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ +B(t)u(t)
x(t)
= A(t)x(t) + B(t)u(t)
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A.A. 2001/2002
1.28
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Esercizio. Si consideri il seguente sistema lineare continuo tempo-variante
ẋ(t) = a(t)x(t) + b(t)u(t)
Risolvere il sistema a partire dalla condizione iniziale x(t0) = x0.
• Nel caso tempo-variante, la matrice di transizione dello stato si determina
risolvendo la seguente equazione differenziale omogenea
Φ̇(t, t0) = a(t)Φ(t, t0)
a partire dalla condizione iniziale Φ(t0, t0) = 1. Operando le seguenti
trasformazioni
Φ̇(t, t0)
= a(t)
Φ(t, t0)
→
→
d ln Φ(t, t0)
= a(t)
dt
ln Φ(t, t0) =
t
t0
→
a(ρ)dρ
si ricava che
Φ(t, t0) = e
t
a(ρ)dρ
t0
La soluzione dell’equazione differenziale è quindi la seguente:
t
t0
x(t) = e
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a(ρ)dρ
x0 +
t
t0
t
τ a(ρ)dρ
e
b(τ )u(τ )dτ
A.A. 2001/2002
1.29
Capitolo 1. INTRODUZIONE
• Nel caso in cui si abbia un parametro a(t) costante, a(t) = a, la matrice
di transizione si semplifica come segue
Φ(t, t0) = ea(t−t0 )
per cui la soluzione dell’equazione differenziale diventa
a(t−t0 )
x(t) = e
x0 +
t
t0
ea(t−τ ) b(τ )u(τ ) dτ
• Nel caso di ingresso costante u(t) = u0 e parametro b(t) = b costante, la
soluzione si semplifica ulteriormente
a(t−t0 )
x(t) = e
x0 +
t
t0
a(t−τ )
e
dτ b u0
Il termine racchiuso tra parentesi può essere trasformato come segue
t
t0
a(t−τ )
e
1 a(t−τ ) t
ea(t−t0 ) − 1
dτ =
e
=
t0
−a
a
per cui, in questo caso, la soluzione del problema diventa
a(t−t0 )
x(t) = e
Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi
ea(t−t0 ) − 1
b u0
x0 +
a
A.A. 2001/2002
1.31
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Sistemi lineari invarianti discreti.
La condizione di invarianza per i sistemi discreti si traduce nella non dipendenza
dal tempo delle matrici che descrivono la funzione di stato e la funzione di uscita
del sistema
⎧
⎪
⎨ x(k + 1) = A x(k) + B u(k)
⎪
⎩
y(k) = C x(k) + D u(k)
In questo caso la matrice di transizione dello stato Φ(k, h) si semplifica.
Essendo la matrice A indipendente dal tempo, si ha che, per k > h:
A(h) = A(h + 1) = . . . = A(k − 1) = A
e quindi la matrice Φ(k, h) risulta funzione della sola differenza k − h:
Φ(k, h) = A(k − 1)A(k − 2) . . . A(h) = Ak−h
Posto h = 0, la funzione di transizione dello stato diventa quindi:
k
x(k) = A x(0) +
k−1
A(k−j−1)Bu(j)
j=0
L’evoluzione forzata può anche essere scritta nella seguente forma matriciale:
⎡
k−1
A
(k−j−1)
Bu(j) = B AB A2B . . . Ak−1B
j=0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
u(k−1) ⎥
⎥
u(k−2) ⎥⎥⎥
⎥
u(k−3) ⎥⎥⎥
⎥
...
⎥
⎥
⎦
u(0)
Nota. Nell’ipotesi che la matrice A sia invertibile, il sistema risulta reversibile, cioè è sempre possibile determinare lo stato iniziale x(0) partendo dalla
conoscenza dello stato x(k) all’istante k e dell’ingresso u(·) nell’intervallo
[0, k − 1]:
x(0) = A−k x(k) − A−k
= A−k x(k) −
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k−1
k−1
A(k−j−1) Bu(j) =
j=0
A(−j−1) Bu(j)
j=0
A.A. 2001/2002
1.32
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Sistemi lineari invarianti continui
La condizione di invarianza per i sistemi continui si traduce nella non dipendenza dal tempo delle matrici che descrivono la funzione di stato e la funzione
di uscita
⎧
⎪
⎨
ẋ(t) = A x(t) + B u(t)
⎪
⎩ y(t) = C x(t) + D u(t)
• Nel caso stazionario, la matrice di transizione Φ(t, t0) dipende soltanto
dalla differenza t − t0: Φ(t, t0) = Φ(t − t0). Senza togliere in generalità,
potremo quindi porre t0 = 0 e scrivere:
d
Φ(t − t0) = AΦ(t − t0)
dt
d
Φ(t) = AΦ(t)
dt
t0 =0
⇒
con condizione iniziale Φ(0) = I.
• La soluzione della precedente equazione differenziale matriciale è la serie
di potenze a coefficienti matriciali:
Φ(t) = I + At + A
2t
2
2!
+ ...+ A
nt
n
n!
+ . . . = eAt
La verifica per sostituzione è immediata se si applica il teorema di derivazione per serie:
⎡
⎤
2
n
⎢
2t
nt
Φ̇(t) = A ⎣I + At + A + . . . + A
+ . . .⎥⎦ = AΦ(t)
2!
n!
• In modo formale, tale serie esponenziale viene indicata con il simbolo eAt,
oppure exp(At):
e
Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi
(At)n
=
n=0 n!
∞
At A.A. 2001/2002
1.33
Capitolo 1. INTRODUZIONE
Per sistemi lineari stazionari la matrice di transizione dello stato è
Φ(t, t0) = eA(t−t0 )
per cui la funzione di transizione dello stato diventa
A(t−t0 )
x(t) = e
x(t0) +
t
t0
eA(t−τ ) Bu(τ )dτ
Nel caso in cui si scelga t0 = 0 si ha:
Φ(t) = eAt
e quindi
At
x(t) = e x(0) +
t A(t−τ )
e
Bu(τ )dτ
0
————–
Nota. A differenza del caso discreto, nel caso di sistemi continui la funzione
di transizione Φ(t) è sempre invertibile. Infatti, se la Φ(t) fosse singolare,
dovrebbe esistere un vettore v = o, tale che Φ(t)v = o, ma anche per il
vettore nullo deve valere che Φ(t)o = o, ma ciò contraddice l’unicità della
soluzione di una equazione differenziale.
Nota. Dalla invertibilità della matrice Φ(t) segue che è sempre possibile determinare lo stato iniziale x(t0), noti lo stato finale x(t) e i valori assunti dalla
funzione di ingresso u(t) nell’intervallo di tempo considerato.
x(t0) = eA(t0 −t) x(t) −
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t
t0
eA(t0−τ ) Bu(τ )dτ
A.A. 2001/2002