Armonie di forme: la catenaria (Carla Simonetti

Armonie di forme: la catenaria
(Carla Simonetti - Mathesis di Firenze)
CATENARIA: curva piana secondo cui si dispone una fune o catena omogenea pesante,
sospesa con gli estremi a due punti posti alla medesima altezza.
GALILEO E LA CATENARIA
“Discorsi intorno a due nuove scienze”
Giornata seconda
Problema di statica: come alleggerire travi “grandissime e gravi” assottigliandole verso le
estremità senza diminuirne la “gagliardia”
Salviati: “…..resta il ritrovar secondo che linea si deve far camminar la sega: la quale proverò
che deve esser linea parabolica”
Salviati: “Fermansi ad alto due chiodi in un parete, equidistanti dall’orizonte e tra di loro lontani il
doppio della larghezza del rettangolo su ‘l quale vogliamo notare la semiparabola, e da questi
due chiodi penda una catenella sottile, e tanto lunga che la sua sacca si stenda quanta è la
lunghezza del prisma: questa catenella si piega in figura parabolica, sì che andando punteggiando sopra ‘l muro la strada che vi fa essa catenella, avremo descritta un’intera para-bola”
(Opere di Galileo – UTET: Franz Brunetti annota “… nella quarta giornata si correggerà…”)
Giornata quarta
Salviati: “Ma più voglio dirvi, recandovi insieme maraviglia e diletto, che la corda così tesa, e
poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai si avvicinano alle paraboliche: e la
similitudine è tanta, che se voi segnerete in una superficie piana ed eretta all’orizonte una linea
parabolica, e tenendola inversa, cioè col vertice in giù e con la base parallela all’orizonte, facendo pendere una catenella sostenuta nelle estre-mità della base della segnata parabola, vedrete, allentando più o meno la detta catenuzza, incurvarsi e adattarsi alla medesima parabola, e
tale adattamento tanto più esser preciso, quan-to la segnata parabola sarà men curva, cioè più
distesa; sì che nelle parabole descritte con elevazioni sotto i gr. 45, la catenella cammina
quasi ad unguem sopra la parabola”
Il così detto “errore” di Galileo
Boyer: “mentre Galileo aveva creduto che la catenaria fosse una parabola, Huygens
dimostrò che era una curva non algebrica”
Morris Kline: “Galileo pensava che la curva fosse una parabola. Huygens affermò che ciò non
era corretto”
1
Gino Loria: “Nei medesimi Discorsi s’incontrano due genesi meccaniche della parabola: una
esatta e notevole, l’altra irremissibilmente errata;…….. è falso che sia una parabola la posizione
secondo cui si dispone una fune omogenea pesante fissata per i suoi estremi (oggi è noto che
trattasi invece di una catenaria)”
Sembra che tutti si siano fermati, nella lettura dei “Discorsi”, alla seconda giornata!!
Galileo e l’appossimazione
“per fuggir il tedio di calcolare, non si è tenuto conto di alcune frazioni, le quali in somme così
grandi non sono di momento né di pregiudizio alcuno”
Galileo e l’esperimento
Galileo per primo mette a confronto parabola e catenaria, lo fa con l’unico mezzo in quel
momento disponibile e inoltre a lui particolarmente congeniale: l’esperimento
Il Galileo matematico constata, con l’esperimento, che la curva disegnata dalla “catenuzza”
non è una parabola, ma il Galileo fisico ritiene soddisfacente, relativamente al problema
trattato, l’approssimazione ottenuta rappresentando attraverso quella curva, così facilmente
tracciabile, una parabola.
EQUAZIONE DELLA CATENARIA
1690 Giacomo Bernoulli negli Acta Eruditorum pone il problema di determinare l’equazione
della curva che il matematico olandese Huygens chiamerà Catenaria
1691 Risolvono il problema: Huygens, Giovanni Bernoulli, Leibniz
Huygens è convinto di avere così corretto Galileo e si sente fortemente gratificato da ciò
Giovanni Bernoulli in una lettere ad un amico scrive di avere risolto il problema mentre il
fratello Gacomo stava ancora pensando “come Galileo, che la catenaria fosse una parabola”
Leibniz è orgoglioso che il suo calcolo abbia permesso di giungere alla equazione
Osserviamo che anche Huygens e i Bernulli ignoravano la quarta giornata dei “Discordi”.
Alcune considerazioni meccaniche permettono di individuare una caratteristica geometrica della
catenaria: la lunghezza di ogni suo arco è proporzionale alla tangente trigonometrica dell’angolo
che la tangente geometrica all’arco stesso nel suo punto più vicino al vertice, forma con la
direzione orizzontale
S=c
dy
dx
Da questa equazione differenziale, tenendo presente che (dx)2+(dy)2=(ds)2, si giunge
x
all’equazione della catenaria:
y=
x
−
c c
e +e c
2
2
La curva ha il vertice (0,c) ed è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate.
VELARIA
Dopo la soluzione del problema della catenaria, Giacomo Bernoulli studia la curva di profilo
della superficie di una vela rettangolare gonfiata dal vento, (trascurando la gravità).
Chiama questa curva velaria, ma, cercando di determinarne l’equazione insieme al fratello
Giovanni, giunge alla conclusione che in realtà la velaria è una catenaria.
CATENARIA COME LUOGO GEOMETRICO
1 Posto c=1 l’equazione della catenaria diventa
y=
1
(ex+e-x)
2
Consideriamo le curve esponenziali
y=ex ed y=e-x
I punti di mezzo dei segmenti che si hanno unendo i punti di uguale ascissa appartenenti alle
due curve esponenziali, descrivono una catenaria con vertice (0,1)
2 L’astronomo francese Charles E. Delaunay (1816-1872) studia i luoghi geometrici descritti da
un fuoco di una conica che ruota su una retta senza scivolare.
Nel caso della parabola tale luogo è una catenaria.
Costruzione della catenaria per inviluppo
Trattrice: curva tale che il segmento di tangente in un suo punto, compreso tra il punto stesso e
una retta fissa, è costante
Studiano questa curva Leibniz e Huygens
La catenaria è l’evoluta della trattrice: le normali della trattrice inviluppano la catenaria
CATENOIDE
Il solido ottenuto dalla rotazione di un arco di catenaria intorno ad una retta ad esso esterna e
complanare, perpendicolare all’asse di simmetria, è detto Catenoide.
Catenoide: superficie di area minima
Due cerchi metallici con lo stesso asse e sufficientemente vicini, immersi in una soluzione
saponosa e poi estratti, danno luogo ad una superficie di area minima rispetto a tutte quelle
che possono essere tese su un tale telaio; questa superficie è una catenoide
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ARCHITETTURA: DA CATENARIA A PARABOLA
1 Ponti sospesi
Le curve disegnate dalle catene dei ponti sospesi non sono catenarie. Ciò perché l’impalco è
appeso mediante tiranti di acciaio ai cavi portanti collegati alla curva sulla quale in tal modo
agiscono forze che, facendo perdere alla catena la caratteristica di omogeneità, ne modificano
la forma da catenaria in parabola.
2 Le parabole di Gaudy
Nelle architetture dello spagnolo Antoni Gaudì, la forma parabolica costituisce un tema
geometrico ricorrente. Per tracciare archi e volte egli parte da catenarie ottenute empiricamente
con catenelle, a queste appende pesi proporzionali complessivamente al peso che la struttura
dovrà sostenere. In tal modo la catenaria si muta in parabola, infine costruisce per simmetria il
modello degli archi e ne modifica proporzionalmente le dimensioni.
FIRENZE - PONTE A SANTA TRINITA
“Per quasi quattro secoli tutti avevano ammirato quel ponte, non perché fosse dell’Ammannati o
di Michelangelo, ma per la sua indiscussa bellezza. E se mai qualche artista o studioso se ne
era occupato era stato per strappargli l’antico segreto, la formula geometrica con la quale si erano
potute tracciare curve così possenti e leggere.”
Paolo Paoletti
Ponte a Santa Trinita
Costruito dall’Ammannati
Distrutto dalle mine tedesche
1567-1570
4 maggio 1944
Ricostruito
1955-1957
Inaugurato
4 agosto 1957
Incaricati della ricostruzione:
architetto Riccardo Gizdulich,
Il ponte deve essere ricostruito:
ingegnere Emilio Brizzi
“com’era e dov’era”
“Occorre tener conto… anche delle modalità di costruzione proprie del XVI secolo …Secondo la
misura con la quale queste organiche modalità possono o non possono essere riprodotte, si
avrà uno scarto maggiore o minore dalla realizzazione originale . Occorre cioè, in altre parole,
‘storicizzare’ anche il problema tecnico costruttivo” C.L. Ragghianti
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Le arcate del ponte a Santa Trinita
1945
iniziano le indagini preparatorie basate su:
analisi di studi fatti nel 700 e nell’800
misure sulle rovine del ponte
misure su foto Alinari anteriori alla distruzione
Per sostituire le pietre non recuperate viene riaperta una vecchia cava nel giardino di Boboli
Nel 700 e 800 erano state fatte varie ipotesi sulla forma delle arcate: archi di ellisse, archi di
parabole, policentriche.
Il matematico Guido Grandi (1670-1742) aveva considerato il problema ed era arrivato alla
conclusione che si trattasse di archi di parabola con vertici al di sopra dell’imposta e asse di
simmetria inclinato rispetto all’orizzontale.
Le arcate secondo Brizzi
Anche per l’ingegnere Brizzi le curve di intradosso sono costituite da due archi di parabola; la
sua soluzione è analoga a quella del Grandi, ne differisce per la posizione dei vertici che lui
colloca all’imposta
Brizzi afferma che:“gli intradossi di S. Trinita erano archi di parabola…. Dal punto di vista
matematico questo è un fatto acquisito”
Per quanto riguarda la realizzazione delle curve Brizzi ritiene che l’Ammannati possa avere
applicato il procedimento di costruzione per inviluppo. Egli sostiene che questa ipotesi è
accettabile perché nella seconda metà del 500 erano uscite traduzioni in latino delle opere di
Apollonio nelle quali sono studiate varie proprietà della parabola. Una di queste afferma che le
tangenti ad una parabola determinano segmenti in rapporto costante sopra due tangenti fisse
ed è alla base della costruzione per inviluppo.
La geometria del ponte a Santa Trinita
Luigi Campedelli 1954 (rivista Sapere)
Campedelli non prende una posizione specifica ma esprime un ragionevole dubbio riguardo alle
affermazioni del Brizzi.
Ricorda che altri ritengono “di poter suggerire una diversa conclusione: si tratterebbe di un arco
di catenaria…”
“Abbiamo detto come un arco di parabola si possa costruire quale inviluppo delle proprie
tangenti. Ciò richiede un procedimento facilmente realizzabile anche in cantiere mediante assi
di legno o funi……… Ma poteva valersene l’Ammannati? Ai suoi tempi il concetto di “curva
inviluppo” non era ancora acquisito: tuttavia la proprietà delle tangenti di una parabola …... già
si trova in Apollonio, le cui opere ben potevano essere note all’Ammannati …….”
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Le arcate secondo Gizdulich
Dopo la liberazione di Firenze l’architetto Riccardo Gizdulich riceve l’incarico:
- dal Comitato Toscano di Liberazione Nazionale di studiare la possibilità di costruire il ponte
- dalla Commissione delle Macerie di recuperare il materiale crollato e consolidare quello
pericolante
Gizdulich per l’ intradosso propone una curva facilmente realizzabile in modo empirico: la
catenaria. Egli ritiene risolta la questione con due archi di catenaria con i vertici all’imposta
Appendendo a due punti una catenella di metallo realizza la curva, ruotando opportu-namente
un ramo di questa ottiene curve che si sovrappongono a quelle delle arcate del ponte rilevate
dalle fotografie Alinari. Successivamente il procedimento viene verificato presso l’Istituto
Nazionale di Ottica di Arcetri.
Nel 1952 il Comune di Firenze incarica l’ingegnere Brizzi di perfezionare gli aspetti strutturali e
l’architetto Gizdulich quelli formali del ponte.
Nel 1956 viene nominata una commissione costituita da:
- soprintendente Alfredo Barbacci
- matematico Luigi Campedelli
- architetto Giovanni Michelucci
La commissione ritiene ammissibile il metodo presentato da Gizdulich
“Lo stesso procedimento sperimentato in scala ridotta con una catenella, viene ripetuto, al
vero, sulla grande parete dello sferisterio alla Cascine, in modo da ottenere la sagoma di
ciascuna delle dodici curve che descrivono le armille. Da queste sagome vengono ricavati
altrettanti curvilinei in masonite che serviranno, sulle tre platee approntate presso l’Istituto d’Arte
di Porta Romana, per raccordare i punti determinati con i rilievi e permettere l’approntamento
delle centine e dei conci delle arcate”
Gianluca Belli
Brizzi- Gizdulich
Differenti le curve geometriche di riferimento, ma soprattutto:
differenti le tecniche per la realizzazione
differente la scelta di adattare o no la curva realizzata a tavolino alle misure rilevate
Gizdulich scrive:
l’intento deve essere di “conferire al manufatto quello spirito e quel tocco che caratterizzavano
l’opera originale”.
”La traduzione fisica è nient’altro che ‘interpre-tazione’….. devesi pensare che l’interprete debba
essere intelletto dotato di gusto, che rinnovi in sé con vivacità e finezza l’atto creativo
dell’Ammannati. ….. In questa fedeltà risiede l’efficacia della sua interpretazione”
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Se Galileo ci ha fatto vedere come la catenaria possa essere diversamente interpretata dal
fisico e dal matematico, le arcate del ponte a Santa Trinita ci indicano come, nella realizzazione architettonica, siano l’intuizione e la sensibilità dell’artista a fare la differenza
Bibliografia
1. A. Belluzzi, G. Belli – Il ponte a Santa Trinita - Edizioni Polistampa, Firenze, 2003
2. Carl B. Boyer – Storia della matematica – Mondadori, Milano 1998
3. Emilio Brizzi . Attualità statica e geometria classica del ponte a Santa Trinita – Su: Panorami della
nuova città – Firenze, luglio 1951
4. Luigi Campedelli – La geometria nel ponte a Santa Trinita – Su: Sapere – Hoepli, Milano luglio
1954
5. Galileo Galilei – Opere di Galileo Galilei - a cura di F. Brunetti, v. II, UTET, Torino 1964
6. Morris Kline – Storia del pensiero matematico, v.I – Einaudi, Torino 1991
7. Gino Loria – Curve piane speciali algebriche e trascendenti. Teoria e storia – V.2° - Hoepli 1930
8. Paolo Paoletti – Il Ponte a Santa Trinita. Com’era e dov’era - Edizioni Becocci, Firenze 1987
9. N. Sala, G. Cappellato – Viaggio matematico nell’arte e nell’architettura – Franco Angeli, Milano
2003
10. Hugo Steinhaus – Matematica per istantanee – Zanichelli, Bologna 1999
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