correnti indotte su una microstriscia di spessore finito

CORRENTI INDOTTE SU UNA MICROSTRISCIA DI SPESSORE FINITO
D. Assante, L. Verolino
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
Università Federico II di Napoli
Via Claudio, 21 I-80125 Napoli
In letteratura sono presenti diversi modelli per lo studio di interconnessioni ad alta velocità,
ed in particolare microstrisce [1-3]. Nei modelli in cui si cerca di risolvere esattamente la
geometria proposta, senza voler ricorrere ad approssimate trasformazioni [3], si incontra una
fondamentale difficoltà nel calcolo del campo elettromagnetico a partire dalle sorgenti,
ovvero nella determinazione della funzione di Green per mezzi stratificati in forma chiusa.
Pertanto, attualmente i modelli più accurati sono risolti per mezzo di un’approssimazione
della funzione di Green tramite opportune tecniche di fitting [2], oppure tengono conto del
solo contributo quasi-statico della funzione di Green.
In questa memoria si propone un modello bidimensionale per lo studio di una microstriscia di
spessore finito. Il modello proposto è full-wave e consente di calcolare il campo
elettromagnetico senza effettuare operazioni di fitting o approssimazioni [4].
La geometria del problema è mostrata in figura 1 e consiste in una microstriscia di larghezza
2a e spessore 2b, indefinita lungo l’asse z, perfettamente conduttrice, posta su un dielettrico di
spessore d e permeabilità dielettrica εr. Il dielettrico è posto su un piano di massa anch’esso
perfettamente conduttrice. Come forzamento è possibile utilizzare sia un filo di corrente
impressa I(ω), posto in posizione (α,β), che un’onda piana polarizzata TM, in modo da
considerare anche la propagazione lungo l’asse z.
y
1
4
micros trip 's
walls
I (ω)
β
2
3
2a
2b
d
εr
α
z
x
Figura 1: geometria del problema.
La funzione di Green del problema può essere calcolata introducendo una semplice
trasformata di Fourier spaziale lungo l’asse x. In tal caso, con qualche semplice
manipolazione, la funzione può essere scritta al di sopra del dielettrico come somma di due
termini:

− ωµ 0  e jw ( x − x ) − j k − w | y − y|
e jw ( x − x )
− j k − w (y + y−2d )

,
G ( w , y, x 0 , y 0 ) =
e
+
T ( w )e
2
2
2  k 02 − w 2

k
−
w
0

0
2
0
0
2
0
2
0
2
0
con T( w ) =
(
tan (d
)
)+
j k 02 − w 2 tan d ε r k 02 − w 2 − ε r k 02 − w 2
.
j k 02 − w 2
ε r k 02 − w 2
ε r k 02 − w 2
Non è possibile antitrasformare completamente la funzione G(·), tuttavia è possibile farlo per
il suo primo termine, che rappresenta il campo prodotto da un filo elementare di corrente nel
vuoto. Se non si vuole utilizzare una procedura di fitting per la restante parte della funzione di
~
Green, è possibile aggirare il problema introducendo le trasformate spaziali Ji ( w ) delle
correnti indotte sulle microstrisce. Effettuando opportune manipolazioni sugli integrali, il
problema può essere ricondotto al calcolo di integrali semplici. Ad esempio, la componente Ez
del campo elettrico prodotto dalla parete superiore della microstriscia può essere così scritta:
ωµ 0 + a
E z1 ( x , y) = −
J 1 ( x 0 )H (02 ) k 0 ( x − x 0 ) 2 + ( y − d − 2b) 2 dx 0 +
∫
4 −a
[
+∞
]
e jw ( x − x ) − j k − w ( y −d + 2 b )
~
J
(
w
)
T
(
w
)
e
dw
∫1
k 02 − w 2
−∞
Procedendo analogamente per le altre facce, è possibile trovare l’espressione di tutti i campi.
Tramite un’efficiente espansione delle densità di corrente e una procedura di point-matching
opportunamente realizzata è possibile calcolare le densità di corrente indotte incognite [4].
Nelle figure 2 e 3 si mostrano le densità di corrente normalizzate indotte sulla microstriscia.
Sono stati utilizzati i seguenti valori: a = 1 mm, b = 0.1 mm, d = 1 mm, εr = 9.2, f = 1 GHz.
Come forzamento si è utilizzato un filo di corrente posto in α = 0.5 mm e β = 4 mm.
ωµ 0
4π
0
2
0
Sopra
Sotto
COMSOL
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x/a
Figura 2: densità di corrente normalizzate
indotte sulle facce superiore ed inferiore.
2
Densità di corrente normalizzate
Densità di corrente normalizzate
−
0.1
Destra
Sinistra
COMSOL
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-1
-0.5
0
0.5
1
y/b
Figura 3: densità di corrente normalizzate
indotte sulle facce laterali.
Bibliografia
[1] Special Issue on “Recent advances in EMC of Printed Circuit Boards”, IEEE Transactions
on Electomag. Comp., Vol. 43, No. 4, 2001.
[2] J.D. Morsey, V.I. Okhmatovski, A.C. Cangellaris, “Finite thickness conductor models for
full-wave analysis of interconnects with a fast integral equation method”, IEEE Trans. on
Advanced Packaging, February 2004.
[3] G.A. Kouzaev, M.J. Deen, N.K. Nikolova, “A parallel-plate waveguide model of lossy
microstrip line”, IEEE Microwave and Wireless components letters, vol. 15, January 2005.
[4] D. Assante, S. D’Agostino, L. Verolino, “Induced Currents On A Microstrip Of Finite
Thickness”, International Symposium on Electromagnetic Compatibility (EMC Europe 2006),
Barcellona, Settembre 2006.