Geometria BAER 2016-2017 Canale A

Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K
Esercizi 12
Esercizio 1.
Si scrivano le equazioni delle parabole con vertice in (2, 3), asse di simmetria parallelo alla bisettrice
x − y = 0 e concavità rivolta in alto a destra.
Esercizio 2.
Ridurre in forma canonica, e scrivere il cambiamento di riferimento usato per la riduzione le
seguenti coniche.
• 2x2 − y 2 − 4x + 2y = 0
• x2 − xy − 2y 2 + x + y − 3 = 0
• x2 − 2xy + y 2 − 2x − 2y = 0
• 5x2 − 6xy + 5y 2 + 2x + 2y − 3 = 0
• 6xy − 3y 2 + x − 2y − 2 = 0
Esercizio 3.
Ridurre in forma canonica, e scrivere il cambiamento di riferimento usato per la riduzione le
seguenti quadriche
• 2x2 − 2y 2 − 2z 2 − 2yz − 3 = 0
• x2 − 2xy + y 2 − 4x − 4y − 4z = 0 (Suggerimento: la parte principale non ha rango massimo
ma con una trasformazione ortogonale trovo un’equazione con un solo termine di grado 1).
• x2 + 2xy + y 2 − z 2 + 2x + 2y + 2z = 0
Esercizio 4.
Classificare la conica di equazione in funzione di k.
x2 + ky 2 + 4xy + 2x + 2y − 1 = 0
Esercizio 5.
Si mostri che la relazione di congruenza tra matrici è una relazione di equivalenza (dunque riflessiva, simmetrica transitiva) e si verifichi che le coniche di equazione C1 : x2 +4y 2 −4x+8y+4 = 0
e C2 : 5x2 + 5y 2 + 6xy − 8 = 0 sono congruenti.
Esercizio 6.
Date le coniche
C : x2 + 4y 2 − 4x + 8y + 4 = 0
C 0 : 5x2 + 5y 2 + 6xy − 8 = 0
si scriva l’isometria che porta la conica C sulla conica C 0
Esercizio 7.
Si dimostri che con un’isometria la matrice associata

0 0
A = 0 λ
a b
a una parabola

a
b
c
è congruente alla matrice della parabola canonica λy 2 + δx = 0.
Esercizio 8.
Consideriamo due punti che si muovono nello spazio seguendo traiettorie r1 (t), r2 (t) in modo che
la loro distanza rimane costante. Si mostri che le proiezioni ortogonali delle loro velocità nella
direzione della retta che unisce i due punti sono uguali. Suggerimento: abbiamo che il vettore
r1 (t) − r2 (t) ha lunghezza costante ed è un vettore direttore della retta tra i due punti. Si calcoli
la derivata della sua norma al quadrato).
Esercizio 9.
Siano r e s due rette sghembe non perpendicolari, si dimostri che la superficie ottenuta ruotando
s attorno a r è un iperboloide iperbolico. Suggerimento: possiamo assumere che r sia l’asse delle
z, la retta di minima distanza tra r ed s sia l’asse delle x e che l’intersezione tra questo ed s sia
il punto (1, 0, 0). Moltplichiamo il punto mobile di s per la matrice della rotazione di asse l’asse
z per ottenere una parametrizzazione.