Ricerca Operativa Prova A – Grafi e Reti di flusso Cognome, Nome

Ricerca Operativa Prova A – Grafi e Reti di flusso
Cognome, Nome, Numero di Matricola:
Esercizio 1. Ogni domenica, un impiegato molto preciso prepara gli abiti per la settimana di lavoro, scegliendo
un completo per Lunedı̀, uno per Martedı̀, e cosı̀ via fino al Venerdı̀. Sapendo che nel suo guardaroba ci sono
20 abiti, in quanti modi può fare queste scelte? (ngr = non giustificare risposta)
Soluzione: L’impiegato deve scegliere un sottoinsieme ordinato di 5 elementi di un insieme con 20 elementi: i
20!
modi per farlo sono P(20, 5) = 15!
.
Esercizio 2. Supponete ora che l’impiegato oltre al completo per Lunedı̀, Martedı̀ etc. scelga anche un abito di
riserva per il Lunedı̀, uno per il Martedı̀, e cosı̀ via di nuovo fino al Venerdı̀. Sapendo che nel suo guardaroba
ci sono 20 abiti, in quanti modi può fare queste scelte? (ngr)
Soluzione: L’impiegato deve scegliere un sottoinsieme ordinato di 10 elementi di un insieme con 20 elementi:
i modi per farlo sono P(20, 10) = 20!
10! .
Esercizio 3. Considerate nuovamente l’esercizio precedente, ma supponete che gli abiti di riserva siano scelti
senza un particolare ordine (cioè nessuno di questi completi di riserva è associato ad un particolare giorno della
settimana). In quanti modi può ora effettuare le sue scelte? (ngr)
20!
Soluzione: Per i primi 5 abiti si può ragionare come negli esercizi precedenti, e quindi esistono P(20, 5) = 15!
possibili scelte. I rimanenti 5 abiti possono essere scelti in C(15, 5) = 15
5 modi diversi, poichè in quest’ultimo
15
insieme l’ordine non conta, come specificato nel testo. Dunque, il numero di possibili scelte è 20!
15! · 5 .
Esercizio 4. Per quali valori del parametro t l’albero evidenziato è un albero di cammini minimi con radice
nel nodo R per il grafo in figura? Fornire il sistema di disuguaglianze che restituisce il valore di t e la sua
soluzione.
Soluzione:
Dobbiamo verificare che, per ogni arco uv del grafo non appartenente all’albero dei cammini minimi, valga
yu + cuv ≥ yv . Si ha yR = 0, yA = 1, yB = 3, yC = 6, yD = 10 da cui otteniamo il sistema
yR + cRB ≥ yB
yR + cRC ≥ yC
yR + cRD ≥ yD
⇔ 6−t ≥ 3 ⇔
⇔ 4+t ≥ 6 ⇔
⇔ 2t ≥ 10
⇔
t ≤3
t ≥2
t ≥5
che non ha soluzioni. Non esiste quindi alcun valore del parametro t per cui l’albero in figura è dei cammini
minimi.
Esercizio 5. Individuare un flusso s −t di valore massimo per la rete in figura, partendo dal flusso iniziale dato,
e certificarne l’ottimalità. (Per illustrare lo svolgimento, riportate: i diversi cammini aumentanti utilizzati, con
le variazioni del valore del flusso su ciascun arco; il certificato di ottimalità.)
b. Il valore del massimo flusso cambia se la capacità dell’arco (s,D) aumenta di un’unità? (Per rispondere al
quesito, riportate un nuovo cammino aumentante oppure un certificato di ottimalità.)
Soluzione. La rete riportata in figura ha insieme di vertici V = {s, a, b, c, d, e, f ,t} ed insieme
E = {(s, a), (s, d), (s, f ), (a, b), (a, e), (b, c), (b, s), (c,t), (d, b), (d,t), (e, f ), ( f , c), (t, f )} .
Il vettore delle capacità è usa = 7, usd = 4, us f = 7, uab = 6, uae = 2, ubc = 6, ubs = 8 uct = 12, udb = 4, udt = 4,
ue f = 2, u f c = 10,ut f = 5. Le componenti non nulle del vettore di flusso assegnato sono fsa = 7, fsd = 2,
fs f = 3, fab = 6, fae = 1 fbc = 2, fbs = 4, fct = 6, fdt = 4, fe f = 1, f f c = 8, ft f = 0.
Il flusso assegnato non è di valore massimo, perché esistono cammini aumentanti che vanno da s a t. Il
valore iniziale del flusso è 8. Le possibili soluzioni sono:
• Scegliere come cammini aumentanti s − d − t (sd + 2, dt + 2) s − f − c − t (s f + 4, f c + 4, ct + 4)
s − b − c − t (bs − 2, bc + 2, ct + 2)
• Scegliere come cammini aumentanti s − d − t (sd + 2, dt + 2) s − f − c − t (s f + 4, f c + 4, ct + 4)
s − b − a − e − f − c − t (bs − 1, ab − 1, ae + 1, e f + 1, f c + 1, ct + 1) s − b − c − t (bs − 1, bc + 1, ct + 1)
• Scegliere come cammini aumentanti s − b − c − t (bs − 4, bc + 4, ct + 4) s − d − t (sd + 2, dt + 2) s − f −
c − t (s f + 2, f c + 2, ct + 2)
In tutti e tre i casi il flusso cosı̀ determinato è massimo e ha valore 16. Il certificato di ottimalità è dato, in tutti
e tre i casi, dal taglio S = {s, a, b, c, e, f } e S = {d,t} che ha capacità 16.
Il valore del flusso non cambia perché c’è un nuovo taglio S = {s, a, b, c, d, e, f }, S = {t} di capacità 16.
SOLO PER ESAME GRF.
Esercizio 6. Per quali valori del parametro t l’albero evidenziato è un albero ricoprente di peso minimo per il
grafo in figura? (NGR: riportate l’intervallo dei valori di t ed il sistema di disequazioni che lo determina.)
Soluzione. Il grafo dell’esercizio ha il seguente insieme di vertici V = {a, b, c, d, e} ed il seguente insieme
di archi E = {ab, ac, bc, bd, be, cd, ce, de}. I costi assegnati agli archi sono i seguenti: cab = 2 − t, cac = t,
cbc = 1 + t, cbd = 3 + t, cbe = 4 − t, ccd = 3, cce = 3 − t, cde = 6. Infine gli archi evidenziati sono: ac, bc, cd,
ce.
Affinché l’albero evidenziato sia un albero ricoprente di peso minimo bisogna imporre le seguenti condizioni:
2−t ≥ 1+t
t +3 ≥ 3
3−t ≤ 6
4−t ≥ 1+t
Mettendo a sistema le tre condizioni si ottiene: 0 ≤ t ≤ 12 .
Esercizio 7. Applicando l’algoritmo che ritenete più opportuno, individuate per la rete in figura un albero di
cammini minimi con radice nel nodo A. Illustrate lo svolgimento attraverso la consueta tabella, con tutti i suoi
aggiornamenti.
Soluzione: Il grafo ha cicli e costi non-negativi: applichiamo l’algoritmo di Dijkstra.
AB
A
B
C
D
E
F
G
0, −
+∞, −1
+∞, −1
+∞, −1
+∞, −1
+∞, −1
+∞, −1
AC
AD
BG
GC
GF
CF
8G
7C
DE
DF
2A
7A
4G
5A
7D
6D
3B
L’albero cercato è quindi quello con archi AB, AD, BG, DE, DF, GC.
Esercizio 8. Si consideri il grafo bipartito G(X ∪Y, E) in figura. Si consideri il matching M = {AF, BH,CG, DI}.
Si certifichi l’ottimalità di tale matching oppure si trovi un cammino aumentante per un problema di massimo
flusso su una opportuna rete.
8.1.. Dire quindi se G ammette un matching X-completo, oppure fornire un insieme che viola la condizione di
Hall.
Soluzione. Il grafo dato ha insiemi dei vertici X = {A, B,C, D, E} ed Y = {F, G, H, I, J} ed insieme degli archi
E = {AF, AH, AJ, BF, BH, BJ,CG,CI, DG, DI, EG, EI}. Il matching dato è di cardinalità massima, il taglio che
certifica l’ottimalità di tale matching è S = {s,C, D, E, G, I} S̄ = {A, B, F, G, H,t}.
Il matching dato non è X-completo perché ha cardinalità 4 mentre |X| = 5. L’insieme che viola la condizione
di Hall è H = {C, D, E} con Γ(H) = {G, I}, infatti |Γ(H)| < |H|.