Problemi d`esame di Ottimizzazione year 2016/17 – validi fino a

Problemi d’esame di Ottimizzazione
year 2016/17 – validi fino a Gennaio 2018
Per ogni progetto fare attenzione in particolare ai seguenti punti:
• testare la correttezza della propria implementazione e documentarla brevemente nella relazione, e
• ove possibile, valutare la compabilità dei risultati numerici con
quelli teorici.
La consegna corretta del progetto consiste in:
• Un file di formato pdf contenente la relazione (max. cinque pagine).
• I codici sorgenti, ma non gli eseguibili; allegati con eseguibili non
vengono accettati dalla protezione antivirus dell’Unimi.
Bisogna presentarsi all’esame orale con una copia cartacea della relazione. Per ulteriori informazioni consultare le modalità d’esame sulla
homepage del corso
www.mat.unimi.it/users/veeser/ott.html.
1. Preliminari: funzioni a cappello. Siano
0 = x0 < x1 < · · · < xd+1 = 1
(d + 2) punti equidistanti nell’intervallo [0, 1]. Tali punti definiscono
una partizione uniforme di [0, 1] in d + 1 sottointervalli. Sia S l’insieme delle funzioni continue da [0, 1] in R che sono affini in ognuno dei
suddetti sottointervalli e nulle negli estremi di [0, 1]. Infine, siano ϕi ,
i = 1, 2, ..., d, definite da
�
1
j = i,
ϕi ∈ S, ϕi (xj ) =
j = 1, . . . , d.
0
j �= i,
Tali funzioni ϕi , i = 1, . . . , d, costituiscono una base per
� S. Si può
quindi descrivere una generica funzione v ∈ S come v = dj=1 Vj ϕj con
Vj = v(xj ).
Suggerimento: Questo non è un progetto, ma una parte comune di
tutti i progetti.
2. Diffusione con radiazione. Utilizzando le funzioni a cappello di
§1, si definisca la mappa F = (F1 , . . . , Fd ) su S ovvero Rd tramite
� 1
� 1 �
� 1
d
d
�
� �
4
Fi (V ) =
Vj
kϕj ϕi +
σ(
V j ϕj ) ϕi −
f ϕi ,
j=1
i = 1, . . . , d,
0
0
j=1
0
V = (V1 , . . . , Vd ).
Implementare un metodo di Newton per trovare zeri di F e per visualizzare i grafici delle corrispondenti funzioni v ∈ S.
Trovare lo zero in particolare per i seguenti parametri:
• d ∈ {10, 100, 1000, . . . }, k = 1, σ = 0, f = 1;
• d ∈ {10, 100, 1000, . . . }, k = 1, σ = 1, f = 1;
• d = 100, k = 1, σ ∈ {0, 1, 10, 100}, f = 1.
Osservare e commentare la convergenza numerica.
Suggerimento: Le funzioni v ∈ S corrispondenti a zeri di F sono approssimazioni del campo di temperatura stazionario sotto la sorgente
f e contatto termico perfetto agli estremi dell’intervallo [0, 1], tenendo
conto di diffusione e radiazione.
3. Superficie minimi con gravitazione. Utilizzando le funzioni a
cappello di §1, si definisca la mappa F = (F1 , . . . , Fd ) su S ovvero Rd
tramite
� 1
� 1
d
�
ϕ�j ϕ�i
�
Fi (V ) =
Vj
−
f ϕi ,
�
0
0
j=1
1 + |( dk=1 Vk ϕk )� |2
i = 1, . . . , d,
V = (V1 , . . . , Vd ).
Implementare un metodo di Newton per trovare zeri di F e per visualizzare i grafici delle corrispondenti funzioni v ∈ S.
Trovare lo zero in particolare per i seguenti parametri:
d ∈ {10, 100, 1000, . . . } e f ∈ {−10, −1, 0, 1, 10, 100}.
Osservare e commentare la convergenza numerica.
Suggerimento: Le funzioni v ∈ S corrispondenti a zeri di F sono approssimazioni di superficie minimi fissati negli estremi 0 e 1 e sotto il
termine di gravitazione f .
4. Problema dell’ostacolo. Utilizzando le funzioni a cappello di §1,
si definisca la funzione f su S ovvero Rd tramite
�
� 1
d
d
�
1 1 �
� 2
f (V ) =
|(
V k ϕk ) | −
Vk
gϕk ,
2 0 k=1
0
k=1
i = 1, . . . , d,
V = (V1 , . . . , Vd ).
Implementare un metodo a scelta per trovare minimi di f nell’insieme
U = {V ∈ Rd | ∀i = 1, . . . , d Vi ≥ −1}
e per visualizzare i grafici delle corrispondenti funzioni v ∈ S.
In particolare trovare i minimi per i seguenti parametri:
d ∈ {10, 100, . . . } e g ∈ {10, 1, 0, −1, −10, −100, −1000}.
Osservare e commentare la convergenza numerica.
Suggerimento: Le funzioni v ∈ S corrispondenti ai suddetti minimi
sono approssimazione di un filo elastico teso tra due estremi di coordinate cartesiane planari (0, 0) e (1, 0), sottoposto a una forza esterna
g e vincolato al di sopra di un ostacolo impenetrabile descritto dalla
retta y = −1.
5. Torsione unodimensionale. Utilizzando le funzioni a cappello di
§1, si definisca la funzione f su S ovvero Rd tramite
�
� 1
d
d
�
1 1 �
� 2
|(
V k ϕk ) | − C
Vk
ϕk ,
f (V ) =
2 0 k=1
0
k=1
i = 1, . . . , d,
V = (V1 , . . . , Vd ).
Implementare un metodo a scelta per trovare minimi di f nell’insieme
�
�
�2
��
d
d �
��
U = V ∈ R | �( k=1 Vk ϕk ) � ≤ 1 .
In particolare trovare i minimi per i seguenti parametri:
d ∈ {10, 20, 50, 100} e C = 4.
Osservare e commentare la convergenza numerica.
Suggerimento: Le funzioni v ∈ S corrispondenti ai suddetti minimi
sono approssimazione di soluzioni di una contraparte unodimensionale
del problema della torsione di una sbarra elasto-plastica. Per C = 4 la
soluzione è

0 ≤ x < 1/4,
 x
2
1/4 ≤ x ≤ 3/4,
2(x − x ) − 1/8
v(x) =
 1−x
3/4 < x ≤ 1.