Posizione del punto P˚ nella configurazione di riferimento jB0 di

A. FORZE E INSIEMI DI FORZE
Nel seguito si riportano alcune definizioni e proprietà di sistemi di vettori di comune uso
nella trattazione degli argomenti oggetto del corso. Per approfondimenti si rimanda ai testi
di Meccanica Razionale.
A.1. Forza e momento di una forza
Si considera una forza rappresentata da un vettore f descritto da intensità, direzione
r e verso applicato ad un punto A del corpo. Tale vettore viene rappresentato nel
riferimento (e1, e2 , e3) mediante la notazione matriciale di vettore:
f1 
 
f = f 2  .
f 
 3
m(I)
_
m
_ = pollice
I
_a
π
r
b
mano
destra
_a = indice
_f
A
Fig. A.1. Momento di un un vettore rispetto al polo I.
A1-1
_f = medio
Si definisce momento della forza f applicata in A rispetto a polo I il vettore m
ottenuto dall'operazione di prodotto vettoriale:
m=a × f ,
(A.1.1)
avente direzione normale al piano π definito dal vettore forza f e dal vettore a = (A − I) ,
verso definito dalla regola della mano destra indicata in figura A.1 ed intensità
m= f b ,
(A.1.2)
essendo b il braccio della forza rispetto al polo I che corrisponde alla distanza della retta
d'azione del vettore dal polo I stesso.
Si considera nel seguito sistemi piani di vettori rappresentativi di sistemi piani di
forze, riferiti ad un sistema ortogonale di assi (e1, e2), come illustrato in figura A.2, che
definisce un piano che contiene tutti i vettori. Il generico vettore f= {f1 f 2 } è applicato al
punto A di coordinate
coordinate {i1 i 2 }
{a1
a 2 } , mentre si assume quale polo il punto generico I di
_f 2
a2
A
_f
_f 1
b2
I
i2
e2
b1
O
e1
i1
a1
Figura A.2. Forza, punto di applicazione A e polo I nel
piano (e1, e2).
Il momento della forza f rispetto al polo I risulta dalla definizione precedente
diretto normalmente al piano (e1, e2) e di intensità:
m ( I) = − f 1 (a 2 − i 2 ) + f 2 (a 1 − i 1 ) ,
(A.1.3)
dove la notazione m(I) ricorda che è riferito al polo I e dove si assume per coerenza il
verso positivo quello che antiorario, ovvero di rotazione che porta il versore e1 sul versore
e2.
A1-2
A.2. Sistemi piani di forze, risultante e momento risultante
Se si considera il sistema piano di vettori-forze F ( A h , f h ;h = 1,n ) descritto in
figura A.3, si definisce risultante del sistema di forze F il vettore r ottenuto dalla somma
vettoriale dei vettori-forze che in forma matriciale assume la forma:
 n h
∑ h f1 
n
r1  n
h
1
r =   = ∑ hf = ∑ h  = 
,
1
f 2h   n f h 
r2  1
h 2
∑

1
f1h 
(A.2.1)
mentre si definisce momento risultante rispetto al polo I del sistema di forze F il vettore
somma vettoriale dei momenti delle forze rispetto al polo I, individuato dal vettore
i = {i1 i 2 } , che ha direzione normale al piano (e1, e2) e intensità mr(I) data dalla
relazione:
n
[
]
m r (I) = ∑ h − f1h (a h2 − i 2 ) + f 2h (a 1h − i1) .
1
(A.2.2)
h
_f
1
_f
a2
Ah
i2
I
A1
e2
_i
O
a1
e1 i 1
Figura A.3. Sistema piano di vettori - forze.
Si consideri un nuovo polo I' , individuato dal vettore i ' = {i'1 i'2 } , e si definisca il
vettore differenza di posizione tra i due poli s=i-i' , per cui i=i'+s . Sostituendo nella
equazione (A.2.2) che esprime il momento risultante rispetto al polo I si ottiene:
n
[
]
m r (I) = ∑ h − f1h (a h2 − i' 2 −s 2 ) + f 2h (a 1h − i'1 − s1 ) =
1
A1-3
n
[
]
= ∑ h − f1h (a h2 − i i2 ) + f 2h (a 1h − i1i ) + r1s 2 − r2 s1 =
1
(A.2.3)
= m r (I') − r1 (i 2 − i'2 ) + r2 (i1 − i1' )
che esprime la legge di variazione del momento risultante di un sistema piano di forze al
variare del polo. Tale relazione consente di affermare che se il sistema di forze è a
risultante nulla r = 0 allora il momento risultante è invariante rispetto al polo:
m r (I) = m r (I') .
(A.2.4)
Si definisce coppia un sistema di due forze C ( f , − f, d ) aventi retta d’azione
distinta e parallela a distanza d, verso opposto e uguale intensità (figura A.4.)
_
m
r1
r2
π
d
e3
e2
0
e1
_f
-f
_
Figura A.4. Coppia di forze ( f , − f ) a distanza d.
Una coppia di forze a distanza d ha risultante nullo e momento risultante o momento della
coppia di intensità (o modulo) m=|f|d , che è indipendente dal polo rispetto al quale è
determinata. La coppia viene spesso rappresentata con una freccia semicircolare orientata
secondo il verso di rotazione della coppia e contenuta nel piano π della coppia stessa
A1-4
A.3. Sistemi di forze equivalenti, composizione e riduzione
Sistemi di forze equivalenti
Due sistemi di forze F e F ' sono equivalenti se e solo se hanno eguale risultante e
momento risultante. Nel caso piano, due sistemi di forze sono equivalenti se e solo se:
r = r ' , m r (I) = m'r (I) , ∀I ∈ π .
(A.3.1)
Un sistema di forze è equivalente a zero se ha risultante nullo e se esiste un punto I
nel piano rispetto al quale risulta:
r = 0 , m r (I) = 0 ,
(A.3.2)
condizione che assicura l'equivalenza a zero rispetto ad un qualunque polo.
Trasporto di una forza su una retta parallela
Data una forza f applicata ad un punto della retta r e costituente il sistema F ,
questo è equivalente ad un sistema di forze F ' costituito da una forza parallela a f traslata
di b e da una coppia di momento m= f b . Infatti, si consideri una coppia di forze ( f , − f )
aventi come retta d'azione r1 distante b dalla retta r data; tale sistema di forze è equivalente
a zero avendo la stessa retta d'azione (figura A5.(a)). Se, viceversa, si considera la coppia
che ne risulta (figura A5.(b)) con braccio b, si può vedere come tale sistema sia equivalente
a quello F ' riportato in figura A5.(c)
F
F'
r'
r'
r
_f
_f
r'
r
_f
=
r
_f
=
_
-f
m=|f|b
b
(a)
(b)
(c)
Figura A.5. Trasporto di una forza su una retta parallela r'.
A1-5
Composizione di una forza e di una coppia
Data una forza f ed una coppia di momento m contenuta nel piano, si determina un
sistema di forze equivalenti costituito esclusivamente dalla forza applicata. Con
riferimento alla figura A.6, si considera una coppia di forze ( f , − f ) aventi retta d'azione
parallela alla retta r data e poste a distanza b=m/ f . Si ottiene una coppia di forze ( f , − f )
entrambe aventi come retta d'azione r equivalenti a zero, mentre rimane l'unica forza non
nulla con retta d'azione r' a distanza b dalla retta d'azione data.
r
r
r'
_f
_f
_f
=
r'
r
_f
=
_
-f
b=
m
__
|f|
b
F
F'
Figura A.5. Trasporto di una forza su una retta parallela r'.
Riduzione di un sistema piano di forze ad un vettore applicato e ad una coppia
Un sistema di m forze F (Ah, f h; h=1,n) è equivalente ad un sistema F '(P, r, mr(P))
costituito dal risultante r del sistema F applicato in un punto arbitrario P detto polo di
riduzione ed una coppia di momento mr(P) pari al momento risultante del sistema F
rispetto a P.
A1-6
_f h
n
_f
ah2
Ah
An
F ' ={P,_r, mr (P)}
A1
mr (P)
P2
e2
_f 1
_r
P
F ={Ah, _f h ;h=1,m}
O
e1
P1
ah1
Figura A.6. Riduzione di un sistema piano di forze ad
un vettore applicato e ad una coppia.
Un sistema piano di forze F (Ah, f h; h=1,n) è riducibile ad una coppia o ad un vettore
secondo le seguenti condizioni:
•
Se r = 0 e mr ≠ 0 , il sistema di forze è riducibile ad una coppia di momento mr;
•
Se r ≠ 0 e mr(P) ≠ 0, il sistema di forze (di risultante r e momento risultante mr(P)) è
riducibile ad una forza con polo di riduzione ottenuto componendo la forza r e la
coppia di momento mr(P), come illustrato in figura A.7.
ρ
_f h
Ah
F
ρ
ρ'
_r
=
P
mr (P)
∼
F
_r
=
b
b=
mr (P)
r
Figura A.7. Equivalenza di un sistema piano di forze
F(Ah, f h; h=1,n) a risultante non nulla al risultante.
A1-7
F'
Esempi di riduzione di distribuzioni di forze parallele
1.Distribuzione uniforme di forze parallele
Si considera la distribuzione uniforme di forze parallele di intensità p illustrata in
figura A.8.
/2
p
p
s
A=P
B
dx
Figura A.8. Sistema di forze parallele uniformemente
distribuite.
Il risultante è parallelo alle forze e l'intensità è data dall'integrazione della distribuzione sul
dominio di applicazione:
r = ∫0 pds = p ,
mentre il momento risultante rispetto al polo A=P risulta:
m r (P) = + ∫0 psds =
1 2
p .
2
Il sistema di forze p uniformemente distribuito sul segmento AB è riducibile ad
una forza p parallela alle forze date ed ad una coppia p2/2 rispetto al polo P. Tale sistema
può essere ulteriormente composto in una forza p equiversa alle forze date e applicata nel
punto medio C di AB .
A1-8
◊ riduzione
2
mr = 1 p 2
◊ composizione
r = p
C
r = p
b= 2
2. Distribuzione generica di forze parallele
Si considera la distribuzione generica di forze parallele di intensità p(s) illustrata in
figura A.8.
La risultante ed il momento risultante rispetto al polo A=P valgono rispettivamente:
r = ∫0 p(s)ds ,
m r (P) = ∫0 p(s)sds ,
mentre il braccio di riduzione b è dato dalla relazione:
b=
m r (P)
.
r
r
mr(P)
A=P
p(s)
s
C
r
B
b
Figura A.11. Sistema di forze parallele con
distribuzione generica.
A1-9
Il sistema di forze p(s) è riducibile alla risultante r applicata al centro C distante b
da P.
3.Distribuzione lineare (triangolare) di forze parallele
Si considera la distribuzione lineare in s di forze parallele di intensità massima p
illustrata in figura A.9.
p = p _s
_
p
s
A=P
B
ds
Figura A.9. Sistema di forze parallele con distribuzione
lineare (triangolare).
In questo caso la distribuzione è espressa mediante l'equazione:
p=p
s
, (p(s = 0) = 0 , p(s = ) = p) .
2
mr = 1 p 3
C
◊ riduzione
r=
◊ composizione
r=
1p
2
1p
2
b= 2
3
Figura A10. Riduzione del sistema di forze parallele
con distribuzione lineare (triangolare).
La risultante ed il momento risultante rispetto al polo A=P valgono rispettivamente:
A1-10
1
s
r = ∫0 p(s)ds = ∫0 p ds = p ,
2
m r = ∫0 p(s)sds = ∫0 p
b=
s2
1
ds = p 2 ,
3
m r (P) 2
= .
r
3
Il sistema di forze p(s) variabili linearmente con forma triangolare sul segmento
AB è riducibile ad una forza p / 2 parallela ed equiversa alle forze date e applicata a
2 / 3 dall’estremo scarico (p = 0) nel C centro del sistema di forze:
4.Distribuzione lineare di forze parallele (trapezia)
p
B
p
A
s
P=A
B
Figura A.12. Sistema di forze parallele con
distribuzione lineare (trapezia).
Si considera la distribuzione generica di forze parallele di intensità p(s) illustrata in
figura A.8.
La risultante ed il momento risultante rispetto al polo A=P valgono rispettivamente:
A1-11
p A
p
A
/
2
~p /
2
~p p p
= B− A
2
_
3
Figura A.13. Distribuzioni elementari in cui è
decomposta la distribuzione trapezia.
La riduzione viene effettuata considerando due sistemi elementari (figura A.13):
distribuzione uniforme di intensità pA e distribuzione lineare (triangolare) di intensità
massima p , come illustrato in figura A.13. La risultante ed il momento risultante della
distribuzione trapezia valgono, rispettivamente,
r = (p A + p B )
m r (P) = p A
,
2
2
3 1
+ p = (p A + 2p B ) 2 .
2
3 6
Il braccio di riduzione b rispetto al punto P=A è dato dalla relazione:
 pA + 2 
 m r (P)  p A + 2p B   p B
=
=
b=

 3 .
r
 p A + pB  3  p A + 1 
 pB

La distribuzione trapezia di forze p(s) è riducibile alla risultante r applicata al
centro C distante b da P. Il caso di distribuzione triangolare viene ottenuta ponendo
pB = 0 .
A1-12