Intersezione e somma di sottospazi Definizione Siano V , W

Intersezione e somma di sottospazi
Definizione
Siano V , W sottospazi di uno spazio vettoriale V 0 . La somma tra i due
sottospazi è definita come segue:
~ ∈ V 0 : ~v ∈ V , w
~ ∈ W }.
V + W = {~v + w
Vale la formula di Grassmann:
dim(V + W ) = dim V + dim W − dim(V ∩ W ).
Esempio. Dati in R3 i sottospazi
V = h(1, 0, 1), (−1, 1, 0)i ,
W = h(0, 2, 3), (1, 1, 2)i ,
determinare la dimensione e una base per V , W , V ∩ W , V + W .
Intersezione e somma di sottospazi
Definizione
Siano V , W sottospazi di uno spazio vettoriale V 0 . La somma tra i due
sottospazi è definita come segue:
~ ∈ V 0 : ~v ∈ V , w
~ ∈ W }.
V + W = {~v + w
Vale la formula di Grassmann:
dim(V + W ) = dim V + dim W − dim(V ∩ W ).
Esempio. Dati in R3 i sottospazi
V = h(1, 0, 1), (−1, 1, 0)i ,
W = h(0, 2, 3), (1, 1, 2)i ,
determinare la dimensione e una base per V , W , V ∩ W , V + W .
Esercizio 10.
Determinare la dimensione e una base per ciascuno dei sottospazi
V , W , V + W , V ∩ W , dove:
a) V = {(0, a + b, b, a) ∈ R4 : a, b ∈ R},
W = {(x, y , x + z, x + y + z) ∈ R4 : x, y , z ∈ R};
b) V = h(0, 1, −1), (0, 1, 1), (2, 1, 0)i ,
W = h(0, 1, 2), (2, 3, 4), (2, 4, 6)i.
Compito.
c) V = {(a, 0, b, 0) ∈ R4 : a, b ∈ R},
W = {(x, 0, x + y , x + z) ∈ R4 : x, y , z ∈ R}.
Esercizio 10.
Determinare la dimensione e una base per ciascuno dei sottospazi
V , W , V + W , V ∩ W , dove:
a) V = {(0, a + b, b, a) ∈ R4 : a, b ∈ R},
W = {(x, y , x + z, x + y + z) ∈ R4 : x, y , z ∈ R};
b) V = h(0, 1, −1), (0, 1, 1), (2, 1, 0)i ,
W = h(0, 1, 2), (2, 3, 4), (2, 4, 6)i.
Compito.
c) V = {(a, 0, b, 0) ∈ R4 : a, b ∈ R},
W = {(x, 0, x + y , x + z) ∈ R4 : x, y , z ∈ R}.
Esercizio 11.
Dopo aver determinato una base e la dimensione di C2 [x] su R,
determinare hAi, hBi, hAi ∩ hBi, hAi + hBi, dove
A = {x 2 +1, x +i, i},
B = {x 2 +x +1, (2+i)x 2 +(2−i)x +2, ix 2 −ix}.
Esercizio 12.
In R3 (R), siano
A =< (−1, 0, 3) >
e
B =< (2, 0, 0) > .
Costruire A ∪ B e dire se si tratta di un sottospazio.
Dire se < A ∪ B > coincide con A + B.
Somme dirette di sottospazi
Definizione
Siano V , W sottospazi di uno spazio vettoriale V 0 . Diciamo che V e W
sono in somma diretta se V ∩ W = {~0}; indichiamo la somma diretta
con V ⊕ W .
Diciamo che V è complemento diretto di W se
V + W = V 0;
V ∩ W = {~0}.
In tal caso scriviamo V ⊕ W = V 0 .
Esempio. Stabilire se V = h(1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0)i e
W = h(2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)i sono in somma diretta.
Somme dirette di sottospazi
Definizione
Siano V , W sottospazi di uno spazio vettoriale V 0 . Diciamo che V e W
sono in somma diretta se V ∩ W = {~0}; indichiamo la somma diretta
con V ⊕ W .
Diciamo che V è complemento diretto di W se
V + W = V 0;
V ∩ W = {~0}.
In tal caso scriviamo V ⊕ W = V 0 .
Esempio. Stabilire se V = h(1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0)i e
W = h(2, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)i sono in somma diretta.
Esercizio 13.
Dati i sottoinsiemi di R3 :
A = {(x, y , z) ∈ R3 : y = 2x},
B = {(x, y , z) ∈ R3 : z = 2y },
dire se sono sottospazi di R3 , determinare la dimensione di ciascuno di
essi e di A + B; stabilire tale somma è diretta.
Esercizio 14.
Dati i sottospazi di Mat2 (R)
a 0
V =
∈ Mat2 (R) : a, b ∈ R ,
0 b
W =
0
x
−2x
∈ Mat2 (R) : x ∈ R ,
0
dire se V + W è una somma diretta e se sono uno il complemento diretto
dell’altro.
Esercizio 15.
a) Determinare un complemento diretto per il sottospazio di R3
U = h(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0)i .
b) In R4 determinare un complemento diretto per la chiusura di
A = {(1 + x, x, x, 0) ∈ R4 : x ∈ R}.
c) In R4 , al variare di k ∈ R, determinare un complemento diretto per
la chiusura di
Ak = {(1, 1, 0, 0), (k, 0, 1 − k, 0), (1, 0, k − 1, 1)}.
Esercizio 15.
a) Determinare un complemento diretto per il sottospazio di R3
U = h(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0)i .
b) In R4 determinare un complemento diretto per la chiusura di
A = {(1 + x, x, x, 0) ∈ R4 : x ∈ R}.
c) In R4 , al variare di k ∈ R, determinare un complemento diretto per
la chiusura di
Ak = {(1, 1, 0, 0), (k, 0, 1 − k, 0), (1, 0, k − 1, 1)}.
Esercizio 15.
a) Determinare un complemento diretto per il sottospazio di R3
U = h(1, 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0)i .
b) In R4 determinare un complemento diretto per la chiusura di
A = {(1 + x, x, x, 0) ∈ R4 : x ∈ R}.
c) In R4 , al variare di k ∈ R, determinare un complemento diretto per
la chiusura di
Ak = {(1, 1, 0, 0), (k, 0, 1 − k, 0), (1, 0, k − 1, 1)}.