Studio Teorico dei Margini di Miglioramento della Corrente Massima
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UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI UDINE Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e Meccanica Tesi di Laurea Studio Teorico dei Margini di Miglioramento della Corrente Massima in Transistori MOS Nanometrici Relatore: Laureando: Prof. David Esseni Marco De Michielis Correlatori: Prof. Luca Selmi Dott. Ing. Pierpaolo Palestri Anno Accademico 2003-04 Indice 1 Introduzione 1.1 Il MOSFET come Interruttore Digitale . . . . . . . . . . . . . 1.2 Scaling dei MOSFET Nanometrici . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 MOSFET in Regime di Trasporto Balistico e Scopo della Tesi 1 1 2 4 2 Modelli per MOSFET Tradizionale e Balistico 2.1 Modello per MOSFET Tradizionale . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modello per MOSFET Balistico . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 14 3 Estensione del Modello per MOSFET Balistico 3.1 Struttura a Bande negli Strati d’Inversione . . . . . . . . . . 3.2 Generalizzazione per Ellissi Ruotate . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Velocità Elettronica e Densità degli Stati 2D . . . . . . . . . 3.4 Il Problema della Quantum Capacitance . . . . . . . . . . . . 3.5 Modello Analitico Approssimato per la Corrente Balistica: Caso Degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Dipendenza da mL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Dipendenza da mW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Dipendenza da nν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Dipendenza da Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Modello Analitico Approssimato per la Corrente Balistica: Caso non Degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 23 28 30 33 36 37 37 38 39 4 Simulatore Schr1D 41 4.1 Funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Modifiche Apportate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 Limiti del Simulatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Simulazioni 49 5.1 Risultati per Piccole Masse di Quantizzazione e Singola Banda Occupata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1.1 Confronto con il Modello Approssimato . . . . . . . . 53 5.2 Effetto del Caricamento di più Sottobande: Silicio (001) e Silicio (110) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 I 5.3 5.4 5.5 Effetto della Direzione del Trasporto nel Piano 5.3.1 Silicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Germanio e Arseniuro di Gallio . . . . . Confronto fra i Diversi Semiconduttori . . . . . Scaling del Tox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 . 58 . 62 . 63 . 67 6 Conclusioni 69 A Porzione del File solution.c Modificata 77 B Concentrazione Superficiale per Ellissi Ruotate 81 C Programma per l’Analisi Automatica dei Dati 83 II Elenco delle figure 1.1 Rappresentazione del MOSFET: (a) VDS = 0, (b) VDS > 0 . . 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 Tipi di trasporto: (a) lineare, (b) saturato . . . . . Curve v-x: (a) regime lineare, (b) regime saturato Caratteristiche I-V parametrizzate in µef f . . . . . Caratteristiche I-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caratteristiche I-V con L parametro . . . . . . . . Caratteristiche I-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trasporto balistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stati riempiti nel caso balistico . . . . . . . . . . . Curva v-x: regime balistico . . . . . . . . . . . . . Approssimazione di F 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Caratteristiche I-mW . . . . . . . . . . . . . . . . . Caratteristiche I-mL . . . . . . . . . . . . . . . . . Caratteristiche I-nν . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Rappresentazione schematica degli ellissi Sistemi di riferimento . . . . . . . . . . Dominio D in (kx0 , ky0 ) . . . . . . . . . . Dominio D in (ε, θ) . . . . . . . . . . . . Rappresentazione della DOS2D . . . . . Curve v-θ . . . . . . . . . . . . . . . . . Rappresentazione circuitale della Cef f . C Curva Cefoxf - Vg . . . . . . . . . . . . . . 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 Curva Curva Curva Curva Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . 10 . 11 . 12 . 13 . 13 . 14 . 14 . 17 . 17 . 19 . 19 . 20 equienergetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 . 24 . 26 . 27 . 29 . 29 . 31 . 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 35 36 38 39 4.1 Flow Chart di main.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.1 5.2 Curva ID - mL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva ID - mL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 50 C ef f Cox - Vg √ mID in I − mL . I − mW I − nν . . . . . . funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . di θr . . . . . . . . . III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5.25 Curva ID - mW . . . . . . . . . . . . Curva ID - mW . . . . . . . . . . . . Curva ID - nν . . . . . . . . . . . . . Curve ID - mW . . . . . . . . . . . . Curva ID - Vg . . . . . . . . . . . . . Curva nIN V - Vg . . . . . . . . . . . Curva vinj - Vg . . . . . . . . . . . . Curva Cef f - Vg . . . . . . . . . . . . Curva vinj - Vg . . . . . . . . . . . . Curva gm e ID in funzione di Vg . . Curva ID - Vg . . . . . . . . . . . . . Grafico polare di ID in funzione di β Curva ID - Vg . . . . . . . . . . . . . Grafico polare di ID in funzione di β Curva ID - Vg . . . . . . . . . . . . . Grafico polare di ID in funzione di β Grafico polare di ID in funzione di β Curva ID - Vg . . . . . . . . . . . . . ID - β . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva ID − Vg . . . . . . . . . . . . Curva nIN V − Vg . . . . . . . . . . . Curva vinj − Vg . . . . . . . . . . . . −1 . . . . . . . . . Curva IDM AX - Tox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 52 52 53 54 55 56 56 57 57 58 59 60 60 61 61 62 63 64 65 65 66 68 6.1 −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curva IDM AX - Tox 70 IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elenco delle tabelle 3.1 3.2 Masse efficaci per semiconduttori bulk . . . . . . . . . . . . . Masse efficaci per semiconduttori con quantizzazione . . . . . 22 23 4.1 4.2 Masse, degenerazioni ed angoli per Si (solo valli ∆) . . . . . . Masse, degenerazioni ed angoli per Ge . . . . . . . . . . . . . 44 44 V Capitolo 1 Introduzione 1.1 Il MOSFET come Interruttore Digitale Lo sviluppo che si è avuto nel campo della microelettronica negli ultimi 30 anni è unico nel suo genere. Basti pensare come l’elettronica integrata in complessi sistemi digitali sia penetrata progressivamente in ogni singolo aspetto della nostra vita e quali opportunità e benefici essa abbia procurato. Il MOSFET (Metal - Oxide - Semiconductor - Field - Effect - Transistor) è il dispositivo principale della moderna micro e nano-elettronica soprattutto per quanto riguarda le applicazioni di tipo digitale. Infatti esso realizza la funzione base di interruttore, indispensabile ad ogni sistema digitale. Il MOSFET può essere rappresentato come un condensatore in cui viene indotta carica elettrica per accoppiamento capacitivo attraverso la tensione applicata all’elettrodo di gate (Fig. 1.1(a)). L’applicazione di una tensione tra gli elettrodi di source e drain produce poi un campo elettrico longitudinale che, muovendo la carica indotta, produce una corrente lungo il canale (Fig. 1.1(b)). Dal punto di vista della massima corrente è quindi importante Vg>0 Source Vg>0 Drain Source v Drain Vd Strato invertito (a) (b) Figura 1.1: Rappresentazione del MOSFET: (a) VDS = 0, (b) VDS > 0 1 I indurre maggior carica di inversione ed aumentarne la velocità nel canale. Il processo di scaling, cioè di riduzione progressiva delle dimensioni fisiche, punta proprio a questo: attraverso la riduzione dello spessore dell’isolante Tox viene aumentata la capacità Cox del dispositivo portando cosı̀ ad un aumento della carica d’inversione. Allo stesso modo riducendo la lunghezza di gate LG (e quindi del canale L) si aumenta il campo elettrico longitudinale incentivando cosı̀ la velocità della carica d’inversione. A prescindere dall’effetto sul singolo dispositivo, lo scaling è stato determinante per l’aumento del numero di dispositivi sul chip e per la complessità delle funzioni implementate. Tale possibilità di avere funzioni sempre più complesse ha portato alla realizzazione di interi sistemi su un singolo chip. Nell’ambito dell’elettronica digitale la più naturale metrica di ritardo per una porta logica è CV /Ion , ovvero il rapporto tra la carica e la corrente di canale. Tuttavia i parassiti legati alle capacità di giunzione dei transistors ed alle capacità delle interconnessioni non scalano come la carica indotta nel canale e producono quindi dei ritardi inversamente proporzionali alla Ion . Quindi anche la semplice Ion è un’importante metrica di ritardo. In questa tesi l’attenzione è rivolta allo studio della massima Ion ottenibile da transistors nano-metrici in regime di trasporto pressochè balistico. 1.2 Scaling dei MOSFET Nanometrici La progressiva riduzione delle dimensioni dei transistors è regolata e programmata nella ITRS (International Technology Roadmap for Semiconductors) [1], che è un documento, pubblicato periodicamente, in cui si fissano i termini temporali da rispettare, nel breve e nel lungo periodo, per la realizzazione dei nodi tecnologici. Le varie specifiche elettriche vengono differenziate in base alle applicazioni a cui sono rivolte: HP(High Performance), LOP(Low Operating Power), LSTP(Low STandby Power). In questa tesi, essendo l’attenzione concentrata sulla corrente massima dei transistors, si farà riferimento alle specifiche dei dispositivi HP. La ITRS sta chiaramente spingendo la tecnologia CMOS al limite per soddisfare le crescenti richieste di prodotti ad alte prestazioni. In particolare, al fine di preservare un comportamento soddisfacente del MOSFET Bulk, il rapporto tra la lunghezza del gate LG e lo spessore dell’ossido Tox non deve scendere approssimativamente sotto 50. Questo vincolo impone spessori efficaci degli ossidi al di sotto di 1 nanometro per dispositivi HP dal 2006 in poi [1]. Tali spessori potrebbero soffrire di correnti di leakage eccessive e/o di problemi di affidabilità [2]. Anche se i dielettrici high-κ in un futuro sostituiranno l’ossido di silicio, lo scaling di Tox al di sotto di 1 nm non è tutt’oggi realizzabile. Assieme allo scaling aggressivo dell’ossido, il MOSFET Bulk richiede anche una concentrazione di drogaggio maggiore di 1018 cm−3 per ridurre gli 2 effetti di canale corto (SCE) per LG sotto i 100 nm. Le fluttuazioni statistiche del doping nel canale introducono un’apprezzabile dispersione della tensione di soglia (VT ) che è una limitazione fondamentale per la realizzazione di lunghezze di canale estremamente corte nei MOSFET Bulk. In aggiunta, un pesante doping nel canale aumenta le capacità di giunzione source-drain e riduce la mobilità efficace (µef f ) comportando quindi un degrado delle performance del dispositivo per un dato LG [3]. Infine, nei MOSFETs Bulk lo scaling della profondità delle giunzioni di source e drain è un altro ingrediente essenziale per ridurre gli effetti di canale corto [4]. Anche per questo problema non esistono ancora soluzioni note per realizzare le specifiche suggerite dalla Roadmap. In un futuro non prossimo forse nuovi dispositivi elettronici basati su principi di funzionamento quanto meccanici e caratterizzati da dimensioni nanometriche forniranno un’alternativa ai transistori MOS. Rimanendo invece nel campo dei CMOS, una valida alternativa al MOSFET Bulk è il transistor SOI (Silicon On Insulator) che, se realizzato con strati di silicio sottile (TSi < 10nm), rappresenta un dispositivo molto scalabile anche con canale praticamente non drogato [5] [6]. Il MOSFET SOI può funzionare con un singolo gate (SG) o con un gate doppio (DG). Simulazioni numeriche hanno mostrato che proprio il DG MOSFET con UTB (Ultra Thin Body) è probabilmente l’architettura con possibilità di scaling superiori [7]. In particolare gli UT-SOI MOSFET possono ridurre il rapporto tra LG e Tox rilassando cosı̀ il vincolo critico sullo scaling dell’ossido nei transistori Bulk. In aggiunta il sottile strato di silicio non drogato elimina il problema delle fluttuazioni statistiche del doping riducendo anche il campo elettrico efficace [8] data una certa densità d’inversione con possibili miglioramenti delle µef f rispetto ai MOSFET Bulk. Infine si ricorda che la riduzione dello spessore di silicio TSi limita la profondità delle giunzioni di source e drain comportando una riduzione delle loro capacità. Quindi l’introduzione di queste architetture di dispositivi su film di silicio sottile porta ad una ottima scalabilità ed ad una importante riduzione delle capacità parassite, tuttavia nasce anche il problema di un eventuale degrado del trasporto e della mobilità nei film di semiconduttore molto sottili. Quest’ultima problematica è stata affrontata sia dal punto di vista sperimentale [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] che modellistica attraverso simulazioni numeriche [16] [17]. Grazie a questo straordinario e continuo scaling geometrico si è quindi arrivati a produrre capacità di gate che corrispondono a spessori efficaci di ossido di silicio dell’ordine di 1 nm. Contestualmente anche le lunghezze di canale hanno raggiunto le poche decine di nanometri. In questa situazione il numero di eventi di scattering è cosı̀ ridotto che le relazioni tra campo elettrico e velocità elettronica sono profondamente diverse da quelle utilizzate nei dispositivi lunghi con trasporto uniforme. Inoltre anche la capacità di gate non è semplicemente la capacità dell’ossido Cox perchè la capacità in 3 serie dello strato d’inversione diventa comparabile alla Cox . 1.3 MOSFET in Regime di Trasporto Balistico e Scopo della Tesi Anche per dispositivi con lunghezze intorno a 20 nm le simulazioni numeriche indicano che lo scattering nel canale riduce ancora la Ion del dispositivo rispetto al valore teoricamente raggiungibile in un MOSFET realmente balistico [18] [19] [17]. Tuttavia la discussione delle prestazioni balistiche è importante perchè studia la massima corrente ottenibile e consente di individuare quali elementi saranno importanti per la Ion quando ci si avvicinerà a tale regime di trasporto. In questo ambito si capisce che le massime Ion in regime balistico sono legate alle proprietà del materiale costituente il canale e quindi non sorprende il recente interesse per semiconduttori di canale diversi dal silicio e lo studio della ottima orientazione del trasporto nel piano, fissato il materiale. In particolare le prime formulazioni analitiche per la corrente balistica sono state discusse in [20] [21] e più di recente lo studio della massima Ion ottenibile in transistori MOSFET con canale in silicio o germanio è stato affrontato tramite complesse simulazioni numeriche [22] [23]. Lo scopo di questa tesi è invece quello di sviluppare modelli semianalitici per capire la dipendenza della Ion dalla: • Orientazione del trasporto nel piano • Masse efficaci nel piano del trasporto • Degenerazione delle valli A questo scopo si generalizza il modello sviluppato da Lundstrom per ellissi orientate arbitrariamente rispetto alla direzione del trasporto ottenendo delle espressioni compatte per la Ion dipendenti soltanto dalla tensione di gate e dalle proprietà del materiale [24]. Lo studio del materiale ottimo è condotto attraverso queste espressioni semianalitiche. Nel capitolo 2 della tesi si analizzano i modelli che descrivono il funzionamento del MOSFET tradizionale e del MOSFET balistico, osservando le differenze tra i 2 tipi di funzionamento. Nel capitolo 3 si generalizza la teoria del MOSFET balistico per qualsiasi orientazione del trasporto. Questo conduce alla derivazione di un modello analitico semplificato della dipendenza della Ion dalla orientazione del trasporto nel piano. Nel capitolo 4 si presenta il simulatore Schr1D utilizzato per implementare la teoria sviluppata, riportando anche le modifiche apportate. 4 Nel capitolo 5 sono riportate le simulazioni, i grafici e le tabelle utilizzate per verificare e comprendere i comportamenti dei dispositivi. La tesi termina con il capitolo 6 relativo alle conclusioni traibili del lavoro svolto. 5 6 Capitolo 2 Modelli per MOSFET Tradizionale e Balistico A partire dagli anni settanta diversi modelli per lo studio e per la comprensione del funzionamento del MOSFET sono stati sviluppati. In questo capitolo si analizzeranno i modelli tradizionali, anche usati per la simulazione circuitale, ed inoltre i modelli più recentemente studiati per descrivere i nano-MOSFET lunghi poche decine di nanometri in cui il trasporto di carica può avvicinarsi ad un regime balistico. 2.1 Modello per MOSFET Tradizionale Il modello che descrive il funzionamento del MOSFET tradizionale si basa sulla risoluzione approssimata della BTE (Boltzmann Transport Equation) tramite l’utilizzo del metodo dei momenti. Considerando solo i primi 2 momenti (di ordine 0 e 1) e sotto l’ipotesi che il gas elettronico sia sempre in equilibrio con il campo elettrico locale si giunge al modello drift-diffusion su cui si basano i modelli tradizionali del MOSFET. La condizione di equilibrio tra energia cinetica fornita dal campo elettrico locale e energia spesa negli eventi di scattering (figura 2.1 (a)) implica che la velocità ed energia media dei portatori sono univocamente correlate al campo elettrico longitudinale El . Si considera una struttura MOSFET orientata come segue: il canale (con lunghezza L) lungo l’asse x, la direzione ortogonale al piano del trasporto lungo y e la direzione nella larghezza del dispositivo (W ) lungo z. L’espressione della densità di corrente dovuta agli elettroni lungo il canale secondo il modello drift-diffusion è: dφ dn Jn = −qµn n + qDn (2.1) dx dx dove µn è la mobilità elettronica, φ è il potenziale, n la concentrazione di elettroni, q è la carica elettrica dell’elettrone e Dn il coefficiente di diffusione 7 Ec Ec Eav (a) (b) Figura 2.1: Tipi di trasporto: (a) lineare, (b) saturato elettronica. Integrando lungo le direzioni y e z, facendo l’ipotesi che tutta la carica di inversione sia concentrata in un sottile strato all’interfaccia tra ossido e semiconduttore e ricordando la relazione di Einstein Dn = µn Vth si può srivere che: Z Z +∞ dn dφ I = −qW µn dy nµn dy + qW Vth dx dx 0 0 dQn (x) dφs Qn (x) − W Vth µef f (2.2) = W µef f dx dx dove µef f è la mobilità media dello strato d’inversione ottenuta pesando µn con la concentrazione di elettroni lungo y. La mobilità µef f esprime la capacità degli elettroni di acquisire velocità tramite il campo elettrico ed è legata alla frequenza di scattering (cioè agli eventi di interazione fra i portatori e le deviazioni dalla idealità del cristallo che li ospita) e alla loro massa efficace nella direzione x del trasporto. Quindi la µef f è legata ai parametri fisici del materiale. Con φs (x) viene indicato il potenziale superficiale. Per il secondo addendo si è portato fuori dal segno di integrale l’operatore di derivazione parziale consentendo cosı̀ di ritrovare l’espressione di Qn . Si cerca ora di esprime la Qn (x) tramite φs (x) per giungere ad una Qn (φs ). Procedendo con l’integrazione lungo x si ha: W I= µef f L "Z +∞ φs (L) φs (0) Qn (φs )dφs − Vth (Qn (φs (L)) − Qn (φs (0))) # (2.3) che è essenzialmente costituita da 2 componenti: il primo addendo costituisce la parte ohmica mentre il secondo quella di diffusione. Facendo l’appros8 simazione di Canale Graduale, cioè supponendo che lungo tutta l’estensione del canale sia vero che il campo elettrico verticale sia molto più grande di quello longitudinale (Fy À Fx ), si ottiene: µ Qn (φs ) = −Cox VGB − VF B − φs + QB (φs ) Cox ¶ dove Cox è la capacità dell’ossido, VGB la tensione tra gate e bulk, VF B è la tensione di flat band e QB la carica di svuotamento nel bulk. Trascurando il secondo addendo della relazione (2.3) si ha che: W I' µef f L "Z φs (L) φs (0) Qn (φs )dφs # Assumendo condizioni di inversione dal source al drain, φs varia da (2φs + VSB ) a (2φs + VDB ) e ipotizzando la carica nel bulk costante per VGB > √ VT cioè QB (φs ) = −γCox φs = QB (2φs + VSB ) (dove γ è il coefficiente di effetto body), si risolve l’integrale giungendo cosı̀ al modello di prima approssimazione del MOSFET · 1 2 W µef f Cox (VGS − VT )VDS − VDS ID = L 2 ¸ (2.4) 2 nella (2.4) può essere trascurato e quindi la Per VDS piccoli il termine VDS stessa si riduce a: ID = W µef f Cox [(VGS − VT )VDS ] L In tal caso si dice che il MOSFET è in regione lineare. Per valori di VDS più grandi si ha che la corrente segue un andamento parabolico fino a raggiungere un valore massimo. Questa corrente è detta corrente di saturazione I Dsat e vale: W ID = IDsat = µef f Cox (VGS − VT )2 (2.5) 2L Fino a quando si ipotizza un trasporto di tipo lineare, in cui la velocità degli elettroni è proporzionale al campo elettrico longitudinale (figura 2.2 (a)), si può scrivere che: v = µef f Fx V Tuttavia per valori di Fx maggiori di circa 104 cm , misurazioni sperimentali evidenziano una dipendenza velocità-campo diversa dalla precedente. Se Fx supera il campo critico Fc , la velocità degli elettroni e la loro energia media (vedi figura 2.1 (b)) tende a crescere meno di quanto previsto dal modello del trasporto lineare. Per valori di campo elettrico longitudinali sempre più alti gli elettroni tenderanno a raggiungere una velocità limite detta di saturazione vsat (figura 2.2 (b)). In queste circostanze la relazione 9 v v vsat Fx crescente Fx crescente x x (a) (b) Figura 2.2: Curve v-x: (a) regime lineare, (b) regime saturato generale tra velocità e campo elettrico assume una nuova espressione del tipo (Caughey and Thomas): v= µef f Fx 1 [1 + ( FFxc )n ] n (2.6) dove n=2 per gli elettroni e n=1 per le lacune. Questa espressione racchiude sia il caso di trasporto lineare v = µef f Fx (a bassi campi il denominatore è circa 1) che quello di trasporto totalmente saturato in cui v = vsat = µef f Fc . Da qui si deduce che: vsat Fc = µef f Combinando la (2.6) con l’approssimazione di Canale Graduale si arriva a descrivere il trasporto in regime di velocità saturata; infatti si può dimostrare che in tale regime la densità di corrente assume l’espressione: q −VT ) 1 + 2µef f (VGS −1 IDsat vsat L = Cox vsat (VGS − VT ) q −VT ) W 1 + 2µef f (VGS +1 vsat L (2.7) Come è stato riportato in letteratura [3] [25], la mobilità negli strati invertiti dei MOSFET dipende da grandezze quali la temperatura e la concentrazione di droganti nel semiconduttore. Altre grandezze, quali le orientazioni di quantizzazione e trasporto (come si evince dal grafico 2.3), modificano le masse efficaci, quindi di conseguenza la mobilità e dunque la corrente. 10 VDS=VDD=4 V 1400 VT=0.2VDD L=200 nm (100) µ =350 cm2/Vs T =20nm eff ox (110) µ =80 cm2/Vs eff 2 (111) µ =120 cm /Vs eff (100) Tox=15nm 1200 (110) (111) (100) T =10nm 1000 ox IDsat/W [A/m] (110) (111) (100) T =5nm (110) (111) 800 ox 600 400 200 0 0 0.5 1 1.5 VGS−VT 2 2.5 3 3.5 Figura 2.3: Caratteristiche I-V parametrizzate in µef f Si nota subito, anche osservando la figura 2.4, che la dipendenza della relazione (2.7) da Cox è di tipo lineare con Cox : Cox = ²ox Tox Come si vede questa variabile dipende sia da parametri fisici (²ox ) relativi al materiale che costituisce l’isolante sia dalla grandezza geometrica relativa al suo spessore (Tox ). Per quanto riguarda la dipendenza della corrente dalla lunghezza del canale si può dimostrare che per L grande, cioè per canale lungo, la (2.7) si semplifica nell’espressione classica del MOSFET in regime di saturazione (2.5). Man mano che L diminuisce la corrente di saturazione è significativamente inferiore a quella prevista nel caso di canale lungo. Nel limite di L → 0 la (2.7) diventa: IDsat = Cox vsat (VGS − VT ) W (2.8) Si nota che, diversamente dal caso del MOSFET a canale lungo avente una IDsat con dipendenza quadratica da (VGS − VT ), la relazione (2.8) non dipende da L ed è funzione lineare dell’overdrive. Tale differenza di comportamento è evidenziata nelle figure 2.5 e 2.6. 11 10nm < Tox < 50 nm 800 VGS=VDS=VDD=4 V (100) L=500 nm (110) (111) (100) L=100 nm (110) (111) 700 600 IDsat/W [A/m] 500 400 300 200 100 0 0.5 1 1.5 2 Cox [F/m2] 2.5 3 3.5 −3 x 10 Figura 2.4: Caratteristiche I-C Nei dispositivi attuali le lunghezze di canale sono talmente corte da essere inferiori a quelle necessarie per l’equilibrio dinamico tra campo elettrico e eventi di scattering. Questo significa che gli elettroni tendono ad acquisire una temperatura superiore a quella del reticolo cristallino andando cosı̀ contro l’ipotesi base del modello drift-diffusion. Infatti questo modello non riesce a spiegare fenomeni come l’overshoot di velocità e la ionizzazione da impatto che sono dovuti proprio a condizioni di forte non equilibrio. Quindi, per poter spiegare i fenomeni che avvengono in dispositivi che tendono a comportarsi in modo diverso dal classico, sono necessari altri modelli basati su ipotesi differenti. 12 VDS=VDD=4 V 3500 Tox=3nm (100) L=1µm (110) (111) (100) L=500 nm (110) (111) (100) L=100 nm (110) (111) (100) L=10 nm (110) (111) 3000 2500 IDsat/W [A/m] VT=0.2VDD 2000 1500 1000 500 0 0 0.5 1 1.5 2 VGS−VT [V] 2.5 3 3.5 Figura 2.5: Caratteristiche I-V con L parametro Tox=5 nm 2200 VGS=VDS=VDD=4 V (100) (110) (111) 2000 1800 IDsat/W [A/m] 1600 1400 1200 1000 800 600 400 0 0.5 1 1.5 L [m] 2 Figura 2.6: Caratteristiche I-L 13 2.5 3 −7 x 10 Ec Figura 2.7: Trasporto balistico E(k) Ef Ef−qVds +k Ec(x) Figura 2.8: Stati riempiti nel caso balistico 2.2 Modello per MOSFET Balistico Nel limite balistico, gli elettroni responsabili del trasporto nel MOSFET percorrono il canale senza incorrere in eventi di scattering (con fononi, impurezze o asperità dell’interfaccia semiconduttore-ossido) (vedi figura 2.7). Questo è possibile quando il libero cammino medio degli elettroni, cioè la distanza media percorsa dell’elettrone tra due eventi consecutivi di scattering, è inferiore alla lunghezza del canale. Questo tipo di trasporto è completamente diverso da quello di tipo lineare e saturato: infatti in regime balistico si ha una forte condizione di non equilibrio tra campo elettrico e gas elettronico vista l’assenza di eventi di scattering. Fissata la differenza di potenziale tra drain e source, per bassi valori 14 delle tensione di gate (per esempio sotto soglia), il profilo della banda di conduzione evidenzia una barriera di energia potenziale relativamente alta lungo il canale che non consente il transito di una corrente apprezzabile. Un aumento della tensione di gate abbassa questa barriera di energia potenziale consentendo cosı̀ il flusso di corrente. Tipicamente si analizza il MOSFET in termini di carica nel canale, ma in questo caso è la modulazione della altezza della barriera di energia da parte della tensione di gate che consente il fluire della carica dal source nel canale. La capacità e la tensione di gate determinano la carica in un punto di massimo di energia potenziale lungo il canale in prossimità del source detto source virtuale. Questa carica deriva dagli elettroni iniettati, all’interno del canale, sia dal source che dal drain. In condizioni di balisticità si ha che gli stati elettronici con k > 0 (nella direzione source - drain) sono occupati da una funzione di Fermi d’equilibrio con livello di Fermi del source e che quelli con k < 0 (nella direzione drain - source) sono occupati in accordo con una funzione di Fermi d’equilibrio ma con livello di Fermi del drain (figura 2.8). Si conclude cosı̀ che la carica totale nel massimo del profilo della banda di conduzione ha due componenti: una con velocità positive e determinata del livello di Fermi al source e l’altra con velocità negative e dipendente dal livello di Fermi del drain. In modo analogo si avranno due componenti di corrente che sommate algebricamente andranno a comporre il flusso totale di carica nel MOSFET: una positiva determinata dal livello di Fermi del source e una negativa determinata dal livello di Fermi del drain. La velocità degli elettroni all’uscita dal source viene definita velocità d’iniezione e per campi longitudinali sempre più alti aumenta e tende poi a saturare alla velocità di equilibrio termico [26]. Quindi per differenze di potenziali tra drain e source sufficientemente grandi la velocità d’iniezione non dipende più dal campo longitudinale. Una volta entrati nel canale gli elettroni, essendo sottoposti al campo elettrico longitudinale, sono progressivamente accelerati dal campo elettrico fino al drain come rappresentato in figura 2.9. Per arrivare ad un modello per transistor balistico si procede considerando un MOSFET (SG o DG) con direzione di quantizzazione lungo l’asse z. Con il termine quantizzazione si indica che il campo elettrico ortogonale al gate è tale da rendere il piegamento della banda di conduzione (nella zona dell’interfaccia tra silico e ossido) cosı̀ accentuato da non poter essere più considerata vera l’ipotesi di un continuo di livelli energetici in quella direzione; infatti si parlerà di sottobande energetiche. Si ha quindi una quantizzazione del vettore d’onda kz che porta ad un gas elettronico di tipo 2D. Si intende analizzare le dipendenze della corrente dalle varie grandezze fisiche. Per far ciò si indica l’espressione della corrente e della concentrazione elettronica nel caso di transistore balistico. La corrente e la concentrazione di elettroni per ogni sottobanda i-esima, derivate da [24] trascurando l’inie15 zione di elettroni dal drain e quindi ipotizzando il riempimento dei soli stati elettronici con k positivi, sono: (i) ID q =√ 2 W 2h̄ µ (i) ns(i) KT π (i) nν m d = πh̄2 ¶3 2 µ nν(i) KT 2 ¶ q (i) mW F 1 (ηi ) ln(1 + eηi ) con F 1 (ηi ) integrale di Fermi completo di ordine 2 Fj (η) = con j = 12 . Nell’eq. (2.9) ηi = (i) nν EF −Ei KT Z 1 Γ(1 + j) +∞ 0 (2.9) 2 1 2 (2.10) definito come: tj dt 1 + et−η (2.11) con EF energia di Fermi e Ei energia dell’au(i) tovalore i-esimo; è la degenerazione di ogni sottobanda; mW è la massa efficace dell’elettrone dell’i-esima sottobanda nella direzione della larghezza (i) (i) del canale mentre mL è quella nella direzione del canale; infine con md si indica la massa efficace della densità degli stati. Dal rapporto tra la (2.9) e la (2.10) si ricava l’espressione della velocità di iniezione (vinj ) per ogni sottobanda. Tale velocità è espressa da: (i) (i) vinj = ID W (i) qns = s 2KT F 21 (ηi ) πmL ln(1 + eηi ) (2.12) L’origine fisica di questa velocità è totalmente diversa da quella della velocità di saturazione. Qui, come già detto, non si fa riferimento a condizioni di equilibrio tra energia acquisita dal campo e quella persa in eventi di scattering ma si prende in considerazione solo la porzione della funzione di occupazione d’equilibrio al source caratterizzata da una componente positiva della velocità nella direzione da source a drain. Quindi le relazioni (2.9), (2.10), (2.12) descrivono il comportamento dei transistors balistici servendosi in parte della teoria sviluppata per le emissioni di tipo termoionico. Nell’ipotesi di gas degenere (ηi > 3÷4) la F 1 (ηi ) può essere approssimata 2 con l’espressione derivata da [27] (vedi figura 2.10): 3 4 F 1 (ηi ) ≈ √ (ηi ) 2 2 3 π (2.13) ed inoltre la (2.10) si semplifica in: (i) ns(i) (i) nν m d ≈ πh̄2 16 µ KT 2 ¶ ηi v vinj L x Figura 2.9: Curva v-x: regime balistico Figura 2.10: Approssimazione di F 1 2 in quanto ln(1 + eηi ) ≈ ηi per ηi grandi. (i) Ecco che è possibile esprimere ηi e quindi F 1 (ηi ) in funzione di ns : 2 (i) ηi ≈ 2ns KT à πh̄2 (i) (i) nν m d ! ed elevando alla 32 quest’ultima espressione e sostituendola nella (2.13) e poi nella (2.9) si ha: (i) ID W ≈ = q √ 2 2h̄ µ KT π 8qh̄ 1 √ q 3 π (i) nν ¶3 à 2 nν(i) q (i) mW 1 (i) (i) (mL )3 mW π 4 √ √ 2 2 3 π KT µ !1 4 3 (ns(i) ) 2 17 ¶3 2 (i) h̄ 3 (ns ) 2 3 (i) 3 (i) (i) 3 (nν ) 2 (mL mW ) 4 (2.14) (i) md q (i) (i) dove è stata sostituita = mL mW , definizione della massa efficace degli stati. Per poter procedere nel ragionamento è necessario introdurre un’ ipotesi semplificativa: si fà l’ipotesi di singola sottobanda occupata. Questo comporta che: nIN V = N sub X ns(i) ≈ n(1) s i=1 e che quindi tutte le concentrazioni delle altre siano trascurabili; in più si ha che: N (i) (1) sub X ID ID ID = ≈ (2.15) W W W i=1 E’ ora necessario introdurre una relazione che leghi la ns alle grandezze misurabili ai morsetti; la relazione più semplice che leghi la carica alla tensione è quella relativa all’elettrostatica del condensatore MOS classico (per comodità non si indica la singola sottobanda ad apice): 1 nIN V = ns = Cox (VDD − VT ) q Sostituendo quest’ultima espressione nella (2.14) e poi nella (2.15) si ha: 8qh̄ 1 ID ≈ √ √ W 3 π nν µ 1 (mL )3 mW ¶1 µ 4 1 Cox (VDD − VT ) q ¶3 2 (2.16) Rispetto alle espressioni per ID ricordate al paragrafo 2.1 l’eq. (2.16) mette in evidenza la dipendenza da nν , mL e mW le quali intervengono direttamente nella determinazione della densità di corrente erogabile dal dispositivo. Si nota subito che la corrente non ha più alcuna dipendenza dalla mobilità efficace in quanto gli scattering non sono più presi in considerazione e quindi la definizione stessa di mobilità viene meno. Si nota anche la totale assenza del parametro geometrico L. Analizzando le derivate rispetto mW , mL e nν si nota una dipendenza di tipo monotono decrescente per la IWD (vedi figure 2.11, 2.12 e 2.13); quindi questo modello implica che, per migliorare la corrente massima erogabile dal MOSFET, il materiale e/o l’orientazione del canale deve essere tale da ridurre quanto più possibile nν , mL e mW . Per quanto riguarda la dipendenza da Cox , si nota che la ID non ha un andamento di tipo lineare (come 3 2 nel caso di MOSFET classico) ma del tipo Cox . 18 T =1 nm ox 5500 m =0.19m L 0 n =2 V ν =0.5 V V =0.2V DD T DD 5000 4500 ID/W [A/m] 4000 3500 3000 2500 2000 1500 0 0.5 mW [m0] 1 1.5 Figura 2.11: Caratteristiche I-mW 4 2.5 x 10 Tox=1 nm mW=0.19m0 nν=2 VDD=0.5 V VT=0.2VDD 2 ID/W [A/m] 1.5 1 0.5 0 0 0.5 mL [m0] 1 Figura 2.12: Caratteristiche I-mL 19 1.5 T =1 nm m =m =0.19m ox 12000 W L 0 V =0.5 V DD V =0.2V T DD 10000 ID/W [A/m] 8000 6000 4000 2000 0 0 1 2 3 nν 4 Figura 2.13: Caratteristiche I-nν 20 5 6 Capitolo 3 Estensione del Modello per MOSFET Balistico In questo capitolo si estenderà il modello presentato nel paragrafo 2.2 generalizzandolo per qualsiasi orientazione del materiale costituente il canale. Da questo si estrarrà un modello analitico approssimato per correnti balistiche che consentirà di studiare le dipendenze della massima corrente dalle caratteristiche del materiale semiconduttore. 3.1 Struttura a Bande negli Strati d’Inversione La conoscenza della struttura a bande dei semiconduttori ha aperto la strada ai successivi studi sulle proprietà degli strati invertiti. Infatti la presenza di quantizzazione modifica la distribuzione energetica di tipo ellissoidale nello spazio k portando alla genesi di ellissi equienergetici nel piano ortogonale alla direzione quantizzata. Tali ellissi assumono nella zona di Brillouin forme e posizioni che dipendono dalla direzione di quantizzazione. Fra i primi studi sugli strati d’inversione per diverse direzioni di quantizzazione si ricorda quello di Stern and Howard [28]. In tale studio si cercano i livelli energetici E e e le funzioni inviluppo ψ che soddisfano l’equazione di massa efficace [T − qφ(z) − E]ψ = 0 (3.1) dove φ(z) è il potenziale elettrostatico e T è l’operatore energia-cinetica definito cosı̀ 1X T = wij pi pj (3.2) 2 i,j dove pj = −ih̄( ∂x∂ j ) e wij è il tensore dei reciproci delle masse efficaci in un sistema di riferimento in cui l’interfaccia del dispositivo è nel piano z = 0. Tramite una trasformazione di coordinate da gli assi principali degli ellissoidi equienergetici ad un sistema di riferimento opportuno e la sostituzione di una 21 funzione ξ(z) = f (ζ(z)) nella soluzione di prova ψ(x, y, z) = f (ξ(z)), si ha che dall’equazione di Schrödinger si ottiene una relazione del tipo: d2 ζi 2mz 00 + 2 [Ei + qφ(z)]ζi (z) = 0 dz 2 h̄ (3.3) che dipende dalla coordinata dell’asse di quantizzazione. Il moto lungo gli assi del sistema di riferimento solidale al dispositivo rientra solo attraverso la seguente relazione: 1 Ei (k1 , k2 ) = Ei + h̄2 2 00 "à w2 w11 − 13 w33 ! ¶ µ k12 + à w2 w13 w23 k1 k2 + w22 − 23 + 2 w12 − w33 w33 ! k22 # (3.4) Nella (3.3) con ζi (z) si indica una soluzione della relazione dipendente dalla funzione inviluppo ψ che a sua volta soluzione della equazione di massa efficace (3.1). Nella (3.4) k1 , k2 sono le componenti dei vettori d’onda nel 00 piano mentre Ei è l’autovalore i-esimo indipendente da k1 e k2 . In tal modo 3 masse efficaci entrano nei livelli energetici degli elettroni nello strato −1 invertito: mz = w33 è la massa che determina il livello energetico per il moto ortogonale alla superficie attraverso la (3.3) mentre m long e mtr sono le principali masse efficaci degli ellissi equienergetici associate al moto parallelo alla superficie che possono essere dedotte dalla (3.4). Nella tabella 3.1 sono indicate le masse efficaci longitudinali ml e trasversali mt per i vari tipi di valli nei rispettivi semiconduttori bulk. Usando Materiali Si Ge GaAs mt−∆ [m0 ] 0.19 0.2 - ml−∆ [m0 ] 0.916 0.95 - mt−Λ [m0 ] 0.12 0.08 - ml−Λ [m0 ] 1.7 1.64 - mΓ [m0 ] 0.067 Tabella 3.1: Masse efficaci per semiconduttori bulk i valori della tabella 3.1 si è compilata la tabella 3.2 dove si sono indicate le 3 masse efficaci per le sottobande a energia quantizzata derivate da valli di tipo ∆ nel Si e di tipo Λ nel Ge (il GaAs mantiene sempre la stessa massa mtr = mlong = mz = mΓ ) per 3 orientazioni superficiali ad alta simmetria (che diagonalizzano la 3.4), indicando anche la degenerazione nν cioè il numero di ellissoidi nel materiale bulk che hanno i set di valori equivalenti. Nei casi in cui sono indicate 2 masse di quantizzazione, quella a valore più alto (unprimed) rappresenta la sottobanda a energia più bassa mentre quella a valore più basso (primed) implica sottobanda a energia più alta. In figura 3.1 sono riportati gli ellissi equienergetici nella prima zona di Brillouin per le principali direzioni di quantizzazione per Ge e Si. Dove 22 Orientazione Superficiale Si Ge mtr [m0 ] mlong [m0 ] ∆ mz [m0 ] nν mtr [m0 ] mlong [m0 ] Λ mz [m0 ] nν 0.190 0.916 0.553 0.916 0.674 0.916 0.190 0.315 0.190 0.258 2 4 4 2 6 0.080 1.120 0.117 4 (111) 0.190 0.190 0.190 0.190 0.190 0.080 0.080 0.080 0.080 0.600 1.640 0.080 1.467 0.219 0.080 1.640 0.089 2 2 1 3 (001) 0.120 1.173 0.174 4 (110) 0.120 0.120 0.120 0.120 0.647 1.700 0.120 1.524 0.315 0.120 1.700 0.134 2 2 1 3 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.950 0.575 0.950 0.700 0.950 0.200 0.330 0.200 0.271 2 4 4 2 6 (001) (110) Λ (111) ∆ Tabella 3.2: Masse efficaci per semiconduttori con quantizzazione appaiono contemporaneamente le curve a tratto continuo e tratteggiato, quelle a tratto continuo rappresentano le sottobande a energia più bassa. Con gli ellissi concentrici si indicano i livelli doppiamente degeneri. ky−kx ky Si kx kx+ky−2kz ky−kx ky Ge kz kx−ky kx+ky−2kz kx (001) kx−ky (111) kz (110) Figura 3.1: Rappresentazione schematica degli ellissi equienergetici 3.2 Generalizzazione per Ellissi Ruotate Si affronta il calcolo della corrente balistica in un MOSFET nel caso in cui le ellissi abbiano un’orientazione qualunque rispetto al sistema di riferimento solidale al dispositivo. Si indicherà con (kx0 , ky0 ) il sistema di riferimento dell’ellisse, mentre con (kx , ky ) quello del dispositivo; θr sarà l’angolo da kx0 a kx (vedi figura 3.2). Si indicheranno con mtr e mlong rispettivamente la mas23 k’y kx ky θr 0 k’x Figura 3.2: Sistemi di riferimento sa efficace trasversale e longitudinale dell’elettrone lungo gli assi principali dell’ellisse. Per convenzione si impone mlong ≥ mtr . Nel riferimento (kx0 , ky0 ) la velocità di gruppo sarà: vg0 = h̄ mlong k0x + h̄ 0 k mtr y mentre per il calcolo della ID si ha che: ID q X = vx fL (E) W A k0 ,v >0 x dove vx è la velocità lungo kx (direzione del trasporto source-drain) e la fL (E) è la Fermi-Dirac. Si è trascurata l’iniezione di elettroni dal drain. L’espressione del modulo della velocità vx in (kx0 , ky0 ) sarà: vx = vg0 · ikˆx = vx0 cos(θr ) + vy0 sin(θr ) = h̄ mlong kx0 cos(θr ) + h̄ 0 k sin(θr ) mtr y Il vincolo sulla componente vx della velocità nella direzione source-drain si traduce in: vx > 0 =⇒ =⇒ h̄ h̄ 0 k sin(θr ) > 0 mlong mtr y 1 0 1 ky sin(θr ) > − k 0 cos(θr ) mtr mlong x kx0 cos(θr ) + 24 Se cos(θr ) > 0 cioè θr ∈ ] − π2 , π2 [ si ha: kx0 > − Si ha quindi che: mlong tan(θr ) ky0 mtr {z | } CR X q X q vx fL (E) = A k0 ,v >0 A k0 ,k0 >−C y x x vx fL (E) 0 R ky e passando dalle somme in k agli integrali: X q A k0 ,k0 >−C y x 0 R ky 2q vx fL (E) −→ nν (2π)2 Z +∞ −∞ dky0 Z +∞ −CR ky0 dkx0 vx fL (E) (3.5) Ma indicando per comodità di notazione con Ξ l’integrale della 3.5 si ha: Ξ= = Z +∞ −∞ dky0 Z +∞ −CR ky0 " h̄ mlong Z +∞ −∞ kx0 cos(θr ) dky0 Z +∞ −CR ky0 dkx0 vx fL (E) = # h̄ 0 + k sin(θr ) fL (E)dkx0 mtr y (3.6) Per risolvere l’integrale, si esegue sul sistema di riferimento la seguente trasformazione : (kx0 , ky0 ) −→ (ε, θ) con ε = E − Ei e: √ √ 2mlong cos(θ) ε kx0 = h̄ k0 = y √ 2mtr h̄ √ =⇒ det(J) = √ mtr mlong h̄2 sin(θ) ε Invece per quanto concerne gli estremi del dominio di integrazione (figura 3.3) si ha: D = {(kx0 , ky0 )| kx0 > −CR ky0 } Si considera il solo caso θr > 0 in quanto per semplice simmetria si nota che è equivalente al caso opposto. A seguito della trasformazione il domino D sarà (vedi figura 3.4) µ 1 D = {(ε, θ)| ε > 0; arctan − CR | {z A ¶ } Sostituendo nella (3.6) si ha che: √ mtr mlong Z +∞ √ Ξ = εfL (ε)dε × h̄2 0 25 µ 1 < θ < arctan − CR | {z B ¶ + π} } k’y k’x > -C Rk’y θr > 0 0 k’x Figura 3.3: Dominio D in (kx0 , ky0 ) ! √ 2mlong 2mtr cos(θ) cos(θr ) + sin(θ) sin(θr ) dθ = × mlong mtr A √ √mtr mlong Z +∞ √ 2 εfL (ε)dε × = h̄2 0 {z } | Z B Ãp G " # cos(θr ) sin(θr ) × [sin(θ)]B [− cos(θ)]B √ A + √ A = mlong mtr √ √mtr mlong G× = 2 2 h̄2 " ¶¶ ¶¶# µ µ µ µ cos(θr ) sin(θr ) 1 1 × + √ (3.7) sin arctan cos arctan √ mlong CR mtr CR Sostituendo la (3.7) nella (3.5) si ha: ID W √ √mtr mlong 2q n 2 2 G× ν (2π)2 h̄2 " µ µ ¶¶ µ µ ¶¶# cos(θr ) 1 sin(θr ) 1 sin arctan + √ cos arctan × √ mlong CR mtr CR = Risolvendo G, ricordando la definizione di CR e la relazione tra cot e tan cioè: √ 3 π EF −Ei G = 2 (KT ) 2 F 21 ( KT ) m tan(θr ) CR = mlong tr cot(θr ) = tan( π2 − θr ) 26 θ π + arctan(-1/C R) 0 ε arctan(-1/C R ) Figura 3.4: Dominio D in (ε, θ) si arriva a concludere che: ID W ¶3 µ ¶ µ qnν KT 2 EF − E i F1 = √ 2 × 2 π KT 2h̄ " à à µ ¶! ! √ mtr π × mtr cos(θr ) sin arctan tan − θr + mlong 2 √ + mlong sin(θr ) cos qn √ ν2 2h̄ = µ KT π ¶3 2 F1 2 à à arctan µ EF − E i √ mID KT µ π mtr tan − θr mlong 2 ¶! !# ¶ (3.8) Quest’ultima espressione può essere considerata una generalizzazione della √ (2.9) con mID definita cosı̀: √ √ mID = mtr cos(θr ) sin + √ mlong sin(θr ) cos 3 = à arctan à à arctan µ mtr π − θr tan mlong 2 à mtr π tan − θr mlong 2 + ¶! ! 3 2 2 mtr cos2 (θr ) + mlong sin2 (θr ) q µ ¶! ! m2tr cos2 (θr ) + m2long sin2 (θr ) (3.9) Questa espressione consente il calcolo della corrente balistica in tutte le direzioni tra 0 e π2 . Ovviamente, viste le simmetrie del reticolo reciproco, quest’analisi copre tutte le possibili orientazioni. 27 3.3 Velocità Elettronica e Densità degli Stati 2D Ora si vuole mettere in risalto le diverse dipendenze della velocità elettronica e della densità degli stati 2D dalle masse efficaci. La densità degli stati 2D è cosı̀ definita: X nν(i) m(i) d DOS2D (E) = (3.10) 2 H(E − Ei ) πh̄ i (dove H(E) è la funzione a gradino) e quindi è direttamente proporzionale alla massa efficace della densità degli stati md . All’aumentare della radice del prodotto delle masse efficaci mL e mW aumenta la disponibilità di stati elettronici (vedi figura 3.5) che possono essere riempiti dagli elettroni contribuendo cosı̀ alla carica d’inversione. Altra dipendenza ha la velocità dello stato k dalle varie masse efficaci; infatti nell’ipotesi di bande paraboliche si ha: E(kx , ky ) = Ei + h̄2 2 h̄2 2 kx + k 2mL 2mW y (3.11) e dalla definizione di velocità con una trasformazione in coordinate polari si ha: h̄kx h̄ 1 ∂E = = k cos(θ) (3.12) vx = h̄ ∂kx mL mL Ricavando il modulo di k dal’eq. (3.11) e sostituendolo nel’eq. (3.12), la velocità può essere espressa cosı̀: v u u vx = t mL 2 E − Ei + m2L 2mW tan2 θ (3.13) Come si vede in figura 3.6 la dipendenza della velocità dalle masse efficaci è tale per cui sia ipotizzabile la presenza di una massa efficace ottima tale da mantenere alta sia la velocità che la DOS2D . 28 DOS2D [1/(eV cm^2) ] Ef md2>md1 proporz. a md1 E0 E1 E [eV] Figura 3.5: Rappresentazione della DOS2D E−Ei=100 meV 7 7 x 10 6 vx [cm/s] 5 4 3 2 m =m =0.19m L W 0 m =0.08m m =0.19m L 0 W 0 mL=0.19m0 mW=0.08m0 mL=mW=0.08m0 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 θ [rad] 1 Figura 3.6: Curve v-θ 29 1.2 1.4 1.6 3.4 Il Problema della Quantum Capacitance Il MOSFET può essere schematizzato come un condensatore nel quale viene indotta carica che sottoposta ad un campo elettrico acquisisce velocità. Carica e velocità sono gli ingredienti che compongono la corrente. Per procedere alla scrittura del modello analitico semplificato, è necessario tenere in considerazione un fenomeno non più trascurabile nel caso di forte quantizzazione che influenza la capacità del MOSFET di accumulare carica. Infatti se si considera una struttura SOI (SG o DG) con spessore dell’ossido pari a Tox e spessore del silicio pari a TSi in regime di inversione con tensione di gate pari a VG si avrà: QSCT ' QIN V + QDEP con QDEP = qNA TSi visto il regime di inversione. Si considera il MOSFET SOI come un condensatore e si può quindi scrivere che: Cox = − dQSCT dQSCT =− d(VG − VF B − ϕs ) d(VG − ϕs ) dove l’ultimo passaggio è possibile in quanto VF B è una costante. Ma dato che QDEP , in regime di forte inversione, è indipendente da (VG − VF B ) si ha che: dQIN V dQSCT ≈− − d(VG − ϕs ) d(VG − ϕs ) quindi Cox = − Si può quindi scrivere che: µ −1 Cox = − | dQIN V dVG {z dQIN V d(VG − ϕs ) ¶−1 } −1 Cef f µ − − | dQIN V dϕs {z ¶−1 −1 CIN V (3.14) } Da quest’ultima relazione si ricava che la Drive Capacitance è: Cef f = Cox CIN V Cox + CIN V (3.15) Per il MOSFET classico con CIN V À Cox si ha che Cef f ' Cox . Nel caso di quantizzazione, la QIN V è cosı̀ definita: QIN V = −q N sub X i=1 (i) nIN V (EF − Ei ) 30 | {z ηf i } (3.16) Vg Cox Qinv Cqm Vs Figura 3.7: Rappresentazione circuitale della Cef f (i) Se si considera la derivata parziale di nIN V rispetto ϕs si può scrivere che: (i) ∂nIN V = ∂ϕs à (i) ∂n − IN V ∂Ei !µ − ∂Ei ∂ϕs ¶ (i) = (i) CQM αs q (i) dove CQM è la Quantum Capacitance della sottobanda i-esima definita come: à (i) ! ∂nIN V (i) CQM = −q 2 ∂Ei e µ ¶ ∂Ei 1 αs(i) = − − q ∂ϕs è un numero positivo minore di 1 che dà un indicazione di come l’autovalore i-esimo segua il potenziale superficiale ϕs . Sostituendo nella (3.16) si ottiene: N sub X ∂QIN V (i) (ef f ) − = αs(i) CQM = CQM ∂ϕs i=1 Sostituendo infine nella (3.14) si trova l’espressione per Cef f : (ef f ) Cef f = Cox CQM (ef f ) Cox + CQM analoga alla (3.15). Per un dispositivo single-gate la Cox è la capacità dell’ossido Cox = T²ox ox . mentre in un double-gate la presenza di due gate si traduce in Cox = 2 T²ox ox Questo effetto può essere riassunto dicendo che la quantizzazione comporta una diminuzione del massimo della densità di carica di inversione rispetto al caso non quantizzato e un suo spostamento dall’interfaccia isolantesemiconduttore verso l’interno del semiconduttore facendo cosı̀ diminuire 31 DG 1 TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1uA/um 0.9 Si (110) Ge (110) GaAs 0.8 Ceff / Cox 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Vg [V] Figura 3.8: Curva DG 1 0.7 0.5 0.6 Cef f Cox - Vg 0.8 TSi=3nm Tox=0.6nm Ioff=1uA/um 0.9 Si (110) Ge (110) GaAs 0.8 Ceff / Cox 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Vg [V] Figura 3.9: Curva 0.5 0.6 Cef f Cox - Vg 0.7 0.8 ulteriormente la CQM e abbassando quindi la Cef f (vedi figure 3.8 e 3.9). Quindi in tal modo diminuisce progressivamente l’attitudine del MOSFET a controllare l’induzione della carica d’inversione. In bande paraboliche: (i) nIN V = Z +∞ Ei (i) dove F (ηF ) è la Fermi-Dirac e ηF = secondo Ei si ha: (i) (i) (i) nν m d F (ηF )dE πh̄2 E−EF KT (i) nν m d ∂nIN V F =− ∂Ei πh̄2 . Se ne si considera la derivata µ Ei − E F KT ¶ Questo passaggio si estende immediatamente alle bande non paraboliche. In 32 generale si ha: (i) CQM = (i) (i) 2 nν m d q 2 F πh̄ µ Ei − E F KT ¶ E’ da notare con attenzione che nel caso balistico con stati riempiti solo per (i) k positivi nella direzione del canale si ha un fattore 21 nel calcolo della nIN V (i) e quindi nel calcolo della CQM ; infatti si ha: (i) CQM (i) (i) 1 nν m d = q2 F 2 πh̄2 µ Ei − E F KT ¶ (3.17) −EF Nel caso degenere (F ( EiKT ) ≈ 1) e tralasciando la scrittura dell’apice si riduce a: 1 nν m d CQM = q 2 (3.18) 2 πh̄2 3.5 Modello Analitico Approssimato per la Corrente Balistica: Caso Degenere Possono essere applicate al modello generalizzato le stesse considerazioni fatte nel paragrafo 2.2: partendo da un modello fisico in cui la corrente balistica è espressa solo attraverso grandezze interne al dispositivo si continua introducendo nel modello anche gli aspetti legati alla capacità quanto meccanica del semiconduttore. Aggiungendo la relazione che lega le grandezze fisiche a quelle ai morsetti si giunge ad un modello analitico semplificato per le correnti balistiche. La (3.8) può essere scritta cosı̀: (i) ID q =√ 2 W 2h̄ µ KT π ¶3 2 nν(i) q (i) mID F 1 (ηi ) 2 Per gas degenere vale la semplificazione: 3 4 F 1 (ηi ) ≈ √ (ηi ) 2 2 3 π ed è poi possibile esprimere ns in funzione di ηi tramite la (i) ns(i) (i) nν m d ≈ πh̄2 µ KT 2 ¶ ηi Si fa anche qui l’ipotesi di singola sottobanda occupata: nIN V = N sub X i=1 33 ns(i) ≈ n(1) s N (1) (i) sub X I ID ID = ≈ D W W W i=1 e si utilizza come relazione per legare la ns alle grandezze ai morsetti la: 1 nIN V = ns = Cef f (VDD − VT ) q (3.19) dove è stata presa in considerazione anche la CQM a differenza del modello sviluppato nel capitolo precedente. Si giunge quindi alla seguente espressione: 3 (ef f ) √ 2 mID 1 Cox CQM ID 8qh̄ 1 (VDD − VT ) ≈ √ √ W 3 π nν (md ) 32 q Cox + C (ef f ) QM (3.20) (ef f ) dove si è sostituita alla Cef f la sua espressione in Cox e CQM . Infine per poter giungere ad un modello analitico si semplifica ulteriormente imponendo: (ef f ) αs = 1 =⇒ CQM = CQM In tal modo la (3.20) si semplifica in: à !3 √ 2 mID 1 Cox CQM ID 8qh̄ 1 ≈ √ √ (V − V ) DD T W 3 π nν (md ) 32 q Cox + CQM Per giungere all’espressione finale si sostituisce la definizione della CQM balistica (3.18). Si arriva cosı̀ a: √ ID ≈ Anν mID W con A= B= µ Cox Cox + Bnν md ¶3 2 3 5 2 4q 2 (V √DD −VT ) 3 2h̄2 π 2 q2 2πh̄2 3 3 2 cos2 (θ )+m 2 sin2 (θr ) mtr √ r long p m = ID m2tr cos2 (θr )+m2long sin2 (θr ) √ md = mtr mlong dove si è scelta questa scrittura per evidenziare le dipendenze da mlong , mtr , nν e Cox . L’identificazione di mW e mL è chiara solo nei casi in cui queste coincidano con le due masse dell’ellisse (mtr , mlong ): questi casi sono rappresentati da: ( mW = mtr θr = 0 =⇒ mL = mlong 34 π θr = =⇒ 2 ( mW = mlong mL = mtr Essendo stata fatta l’ipotesi di mlong ≥ mtr si ha che l’angolo che assicura la massima corrente è θr = π2 come si vede in figura 3.10. Quindi si sceglie 1.2 m =m =0.19m tr long 0 m =0.19m m =0.916m tr 0 long 0 m =0.08m m =0.6m tr 0 long 0 m =0.08m m =1.12m 1.1 tr 1 0 long 0 0.9 mID1/2 [m0] 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0 0.2 0.4 0.6 Figura 3.10: Curva 0.8 θr [rad] 1 1.2 1.4 1.6 √ mID in funzione di θr di studiare quest’ultimo caso. Fatte le opportune sostituzioni si può scrivere: √ ID = Anν mW W à Cox √ Cox + Bnν mW mL !3 2 (3.21) Dall’eq. (3.21) si possono mettere in risalto i due ingredienti che compongono la corrente: la carica di inversione e la velocità di iniezione, espressi in funzione di nν , mW e mL . Infatti, attraverso l’eq. (3.19) e la definizione di capacità quanto meccanica balistica, la nIN V può essere espressa cosı̀: nIN V B(VDD − VT ) √ = nν m W m L q à Cox √ Cox + Bnν mW mL mentre sfruttando la definizione di velocità di iniezione si ha: vinj 1 = √ B(VDD − VT ) mL A à 35 Cox √ Cox + Bnν mW mL !1 2 ! Da una semplice analisi qualitativa si osserva che la nIN V è monotona crescente in nν , mW e mL mentre la vinj è sempre monotona ma decrescente. Da qui si evince l’esistenza di un compromesso sulla corrente che verrà trattato più nel dettaglio analizzando il comportamento dell’eq. (3.21) in m L , mW , nν e Cox . 3.5.1 Dipendenza da mL Per quanto riguarda la dipendenza da mL si ha un comportamento di tipo monotonico decrescente. Infatti ∀mL > 0: ∂ IWD ∂mL 10000 s Cox 3 = − Anν 2 mW 3/2 Cox B × √ 4 Cox + Bnν mW mL √ 1 × (Cox + Bnν mW mL )−2 √ <0 m W mL Tox=1nm mW=0.19m0 nν=2 VDD=0.5 V VT=0.2VDD 9000 8000 IDsat/W [A/m] 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 −3 10 −2 10 −1 10 mL [m0] 0 10 1 10 Figura 3.11: Curva I − mL Dall’andamento in figura 3.11 si capisce che sono favorevoli quelle orientazioni e/o materiali che esibiscono una massa efficace piccola nella direzione del trasporto e quindi del canale. Questo andamento deriva dal fatto che elettroni con massa efficace più leggera raggiungono velocità più alte e quindi 36 aumentano il loro contributo alla corrente totale. L’andamento della corrente in funzione di mL non si discosta di molto da quello trovato nel modello precedente. 3.5.2 Dipendenza da mW In questo caso si ha la possibilità di ottimizzare in mW . E’ necessario procedere con il calcolo della derivata parziale prima rispetto m W . Si ha: ∂ IWD ∂mW = × × 1 nν 2 à Cox √ Cox + Bnν mW mL !3/2 √ 1 3 − Anν 2 mW × √ mW 4 s √ Cox Cox BmL (Cox + Bnν mW mL )−2 × √ Cox + Bnν mW mL 1 = √ m W mL s Cox Cox × √ Cox + Bnν mW mL ³ ´ √ √ × −2Cox 2 mW mL − nν mW Cox BmL + nν 2 mW B 2 mL mW mL × 1 = − Anν 4 √ 1 1 × (Cox + Bnν mW mL )−3 √ √ mW m W mL che si annulla per: mW = 2 4Cox B 2 n2ν mL (3.22) In figura 3.12 si ha la presenza di un punto di massimo relativo; si ha quindi una sorta di compromesso sulla mW che è in netto contrasto con l’andamento monotonico previsto dal modello precedente. 3.5.3 Dipendenza da nν Anche per quanto concerne la dipendenza da nν si procede con la derivazione secondo nν ; si ha: ∂ IWD ∂nν √ = A mW × s à Cox √ Cox + Bnν mW mL !3/2 √ 3 − Anν mW × 2 √ √ Cox Cox B mW mL (Cox + Bnν mW mL )−2 = √ Cox + Bnν mW mL 1 √ A mW 2 s Cox Cox × √ Cox + Bnν mW mL ³ ´ √ √ × 2Cox 2 + nν Cox B mW mL − nν 2 mW B 2 mL (Cox + Bnν mW mL )−3 = 37 2000 Tox=1nm mL=0.19m0 nν=2 VDD=0.5 V VT=0.2VDD 1900 IDsat/W [A/m] 1800 1700 1600 1500 1400 1300 −3 10 −2 −1 10 10 mW [m0] 0 10 1 10 Figura 3.12: Curva I − mW che si annulla per: nν = 2Cox √ B m W mL (3.23) Anche nella figura 3.13 si ha un punto di massimo relativo che contrasta nettamente con le previsioni di totale monotonicità del modello precedente. In aggiunta si nota che la (3.23) coincide con la (3.22) e che quindi rappresenta la condizione per un punto di massimo assoluto per la ID (mW , nν ). Questa condizione può essere espressa tramite la definizione di capacità quanto meccanica per il caso balistico. Infatti sostituendo la condizione di ottimo alla (3.18) si ha: CQM = 2Cox 3.5.4 Dipendenza da Cox Salta subito all’occhio che il modello del paragrafo 2.2 e quello svolto in questo capitolo prevedono dipendenze di ID da Cox fortemente diverse. La differenza maggiormente importante è che: lim Cox →+∞ √ ID = Anν mW W 38 Tox=1nm 2000 mW=mL=0.19m0 VDD=0.5 V VT=0.2VDD 1800 1600 IDsat/W [A/m] 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0 1 2 3 nν 4 5 6 Figura 3.13: Curva I − nν cioè la corrente balistica tende ad un valore limite costante mentre il modello iniziale prevede che per Cox → +∞ =⇒ IWD → +∞. Questa differenza è fondamentale in quanto il nuovo modello indica una progressiva vanificazione dei miglioramenti derivanti da ogni successiva riduzione di Tox . Più lo scaling sarà aggressivo, più la capacità quanto meccanica del dispositivo predominerà sulla Cox e quindi la corrente balistica verrà controllata da CQM e non dalla capacità dell’ossido. Questo fa presumere che sarà sempre più critica la scelta dell’orientazione e del tipo di materiale costituente il canale dei transistors balistici. Infatti è ipotizzabile che orientazioni e materiali scartati per MOSFETs con trasporto classico vengano rivalutati alla luce dei nuovi parametri principalmente responsabili delle performances dei dispositivi balistici. 3.6 Modello Analitico Approssimato per la Corrente Balistica: Caso non Degenere Nel caso di gas elettronico non degenere cioè per ηi < −4 si ha che F 1 (ηi ) ≈ 2 eηi e che ln(1+eηi ) ≈ ηi . Queste approssimazioni comportano che l’eq. (2.9) 39 divenga: (i) ID q =√ 2 W 2h̄ µ KT π ¶3 (i) (i) µ 2 nν(i) q (i) mW eηi (3.24) eηi (3.25) e la (2.10) si riduca a: ns(i) = nν m d πh̄2 KT 2 ¶ Di conseguenza la velocità di iniezione è: (i) (i) vinj = ID W (i) qns = s 2KT πmL (3.26) Differentemente dal caso degenere qui la velocità di iniezione dipende soI (i) (i) D ∝ ns . Nell’ipolamente dalla massa efficace mL proprio perchè la W tesi di singola banda occupata e ricavando dall’eq. (3.25) il termine eη e sostituendolo nell’eq. (3.24) si ha: ID =q W s 2KT 1 nIN V √ π mL Sostituendo la (3.19) (relativa alla nIN V ) all’ultima espressione ricavata si ha: s 2KT 1 ID = Cef f (VDD − VT ) (3.27) √ W π mL Nel caso in cui si abbia che CQM À Cox l’eq. (3.19) si riduce a: ID = W s 2KT 1 Cox (VDD − VT ) √ π mL Nel caso di gas non degenere e di drive capacitance non perturbata dalla capacità dello strato invertito si ha quindi che la corrente balistica dipende linearmente da Cox differentemente da quello che accade nel caso degenere 3 2 . dove la dipendenza è del tipo Cox 40 Capitolo 4 Simulatore Schr1D Il modello analitico sviluppato nel precedente capitolo, è stato confrontato con i risultati di un simulatore numerico. Si è utilizzato il simulatore Schr1D: esso rientra in quella classe di codici chiamata Self-consistent Schröedinger - Poisson Solver ed originalmente il suo scopo era quello di poter simulare le caratteristiche carica tensione e quindi capacità tensione di un sistema MOS unidimensionale, cioè uniforme e molto esteso nel piano normale all’interfaccia silicio ossido. Durante lo svolgimento della presente tesi sono state aggiunte delle porzioni di codice che rendono possibile il calcolo delle variabili relative al trasporto balistico nei transistori MOSFET. 4.1 Funzionamento Il simulatore Schr1D necessita di 2 file d’ingresso. Nel primo file vengono specificate tutte le variabili geometriche unidimensionali del dispositivo (spessore degli ossidi), il tipo di dispositivo (SG, DG), il numero di nodi negli ossidi e nel silicio, il numero massimo di iterazioni del simulatore, il tipo di valli considerate (unprimed, primed), la loro degenerazione, le masse efficaci degli elettroni e delle lacune nelle varie direzioni (quantizzazione, trasporto e ortogonale alle due precedenti), le tensioni di gate iniziale e finali con relativo step, il tipo di soluzione (balistica o classica) e la scelta dell’output (autovalori, autofunzioni, profili di potenziale, concentrazioni di carica, correnti balistiche, velocità di iniezione, capacità quanto meccaniche). Nel secondo file viene specificato il profilo di drogaggio della zona del canale con il relativo spessore. Come si vede dalla figura 4.1 il main() del simulatore si limita a chiamare in sequenza i blocchi costituenti il programma organizzando cosı̀ il flusso di calcoli che generano la simulazione a partire dai file di input fino ad arrivare a quelli di output. Dopo avere individuato le richieste per specificare i files di input, output ed error tramite la routine parCheck() e aver stampato l’intestazione 41 START parCheck.c controllo parametri header.c stampa intestazione parInit.c inizializzazione parametri parse.c interprete input file meshInit.c inizializzazione mesh solution.c calcola soluzione simEnd.c fine END Figura 4.1: Flow Chart di main.c (header.c) il programma è in grado di ricevere i dati d’ingresso e la routine parInit(), tramite la chiamata all’interprete contenuto nel file parse.c, inizializza i valori dei comandi e delle opzioni impartite. Queste informazioni sono sufficienti per creare un modello ad elementi finiti del dispositivo che viene generato automaticamente dal modulo meshInit.c, individuando cosı̀ le porzioni principali costituenti il transistor: gate, ossido, e substrato. Inizializzata in tal modo la mesh, il simulatore procede nel calcolare la soluzione. Il cuore dello Schr1D risiede nel file solution.c in cui il calcolo complessivo è diviso in due flussi principali: uno si occupa di risolvere il singolo punto di bias mentre l’altro consente il passaggio da un punto di bias all’altro, fino al termine della simulazione. La soluzione del punto di bias richiede di risolvere l’equazione di Poisson con potenziale imposto dal 42 precedente punto di bias. Trovata cosı̀ la carica si ricalcola il potenziale in equilibrio con quest’ultima nelle nuove condizioni di bias. Se si è richiesto il calcolo di tipo quantistico, quest’ultimo potenziale è inserito nella equazione di Schröedinger che fornisce in uscita le autofunzioni e gli autovalori per gli elettroni confinati nella buca di potenziale tra isolante e semiconduttore. Tramite questi è possibile calcolare le concentrazioni di elettroni e di lacune che poi vengono nuovamente inserite nell’equazione di Poisson. Quest’ultima fornisce il nuovo potenziale che, se sufficientemente vicino a quello del ciclo precedente determina la convergenza del processo di calcolo. A convergenza avvenuta si hanno cosı̀ carica, potenziali e autostati nel punto di bias considerato. Tramite aggiunte successive al file solution.c, il simulatore è stato dotato di formule che, partendo dalle grandezze in un punto di bias, consentono il calcolo delle correnti balistiche, delle concentrazioni di elettroni, delle velocità di iniezione e delle capacità quanto meccaniche per ogni sottobanda. Essenzialmente sono state implementate le relazioni (2.9), (2.10), (2.12) e (3.17) che vengono attivate se nel campo solve del file di input è presente il flag ballistic. Ripetendo questa routine per ogni punto di bias fino al potenziale finale vengono generanti in uscita i file che contengono i valori delle variabili richieste. La routine simEnd() conclude la simulazione informando sul tempo di CPU occorso e sull’eventuale presenza di messaggi di warning. Gli eventuali errori e/o eccezioni vengono gestiti dal modulo except.c che risulta trasversale a tutto il programma. 4.2 Modifiche Apportate Nel file solution.c si è aggiunta una porzione di codice per simulare dispositivi in cui il materiale costituente il canale non si trovi con gli assi cristallografici allineati con gli assi principali del dispositivo. Per far ciò si usa la generalizzazione svolta nel capitolo 3 sfruttando l’eq. (3.9). Da questa discende che il simulatore continuerà a servirsi della massa efficace nella direzione di quantizzazione mz ma non accetterà più quelle degli elettroni nella direzione del trasporto e quella lungo la larghezza del dispositivo. Infatti esso richiederà nel file di input le masse efficaci degli elettroni relative agli assi principali degli ellissi (mtr , mlong ) che nel codice del programma verranno cosı̀ identificate: EmStarX indica la massa efficace elettronica mlong . EmStarY indica la massa efficace elettronica mtr . EmStarZ indica la massa efficace di quantizzazione mz . 43 Ovviamente tutte le ellissi partecipano alla conduzione di corrente ma contribuiscono in modi diversi in base alla loro disposizione sul piano del trasporto. Comunque, data la simmetricità degli ellissi risultanti dalla quantizzazione, si è ritenuto sufficiente dotare il simulatore di 3 possibili gruppi di ellissi cosı̀ da specificare per ognuno di essi la molteplicità nνIDi e l’angolo θrIDi rispetto alla direzione del trasporto. Tali valori vengono indicati cosı̀ nel codice del simulatore: EmultID1, EmultID2, EmultID3 indicano la molteplicità nνID dell’ellisse di ogni set. tetaID1, tetaID2, tetaID3 indicano l’angolo θrID tra l’asse maggiore dell’ellisse (di ogni set) e la direzione del trasporto. A titolo esemplificativo vengono riportate delle tabelle compilate con molteplicità ed angoli per direzioni di quantizzazione e trasporto che comportino alta simmetria spaziale tra gli ellissi equienergetici. Orientazione Superf./Tras. (001)/[100] (110)/[001] (111)/[112] mtr 0.19 0.19 0.19 mlong 0.19 0.553 0.674 mz 0.916 0.315 0.258 nν 2 4 6 nνID1 2 4 2 Si - ∆ θrID1 [0 : π2 ] π 2 0 nνID2 0 0 4 θrID2 0 0 π 3 nνID3 0 0 0 θrID3 0 0 0 Tabella 4.1: Masse, degenerazioni ed angoli per Si (solo valli ∆) Orientazione Superf./Tras. (001)/[100] (110)/[001] (111)/[112] mtr 0.08 0.08 0.08 mlong 1.12 0.6 0.08 mz 0.117 0.219 1.640 nν 4 2 1 nνID1 4 2 1 mtr 0.2 0.2 0.2 mlong 0.2 0.575 0.7 mz 0.95 0.33 0.271 nν 2 4 6 nνID1 2 4 2 Orientazione Superf./Tras. (001)/[100] (110)/[001] (111)/[112] Ge - Λ θrID1 π 4 0 [0 : π2 ] Ge - ∆ θrID1 [0 : π2 ] π 2 0 nνID2 0 0 4 θrID2 0 0 0 nνID3 0 0 0 θrID3 0 0 0 nνID2 0 0 4 θrID2 0 0 nνID3 0 0 0 θrID3 0 0 0 π 3 Tabella 4.2: Masse, degenerazioni ed angoli per Ge Di seguito vengono riportati degli input files di esempio che sfruttano i valori delle tabelle 4.1 e 4.2. 44 title control debug mesh solution solve print "Si(001)/[100]"; POISloops = 2000 exitOnPoissonNotConverged; POISprint; tox=10 Sox=10 oxideNodes = 300 SoxNodes = 300 siliconNodes = 300 dopingFile = "doping" NHMASS = 2 NEMASS = 1 Hmult0 = 1 Hmult1 = 1 Emult0 = 2 Emult1 = 0 EmStarZ = 0.916 EmStarX = 0.19 EmStarY = 0.19 HmStarZ = 0.49 HmStarX = 0.16 HmStarY = 0.16 EmultID1 = 2 tetaID1 = 0.0 EmultID2 = 0 tetaID2 = 0.0 EmultID3 = 0 tetaID3 = 0.0; fromGateBias = -0.2 toGateBias = 1.4 withGateBiasStep=0.05; doubleGate schrPoints = 600 howManyEigs = 100 doCapacitance capacitanceDeltaV = 0.03 ballistic; poisFinalAllPrint WavesPrint subQMCprint = 10 QM6columnsPrint; end; title control debug mesh solution solve print "Ge(110)/[1-10]"; POISloops = 2000 exitOnPoissonNotConverged; POISprint; tox = 10 Sox = 10 oxideNodes =300 SoxNodes = 300 siliconNodes = 300 dopingFile = "doping" NHMASS = 2 NEMASS = 1 Hmult0 = 1 Hmult1 = 1 Emult0 = 2 Emult1 = 0 EmStarZ = 0.219 EmStarX = 0.6 EmStarY = 0.080 HmStarZ = 0.49 HmStarX = 0.16 HmStarY = 0.16 EmultID1 = 2 tetaID1 = 1.57079 EmultID2 = 0 tetaID2 = 0.0 EmultID3 = 0 tetaID3 = 0.0; fromGateBias = -0.2 toGateBias = 1.4 withGateBiasStep = 0.05; doubleGate schrPoints = 600 howManyEigs = 100 doCapacitance capacitanceDeltaV = 0.03 ballistic; poisFinalAllPrint WavesPrint subQMCprint = 10 QM6columnsPrint; end; Questo secondo input file è relativo al Ge(110)/[110] che non è presente in tabella 4.2. L’unica modifica che lo contraddistingue del caso Ge(110)/[001] 45 è una sua rotazione di π2 attorno all’asse di quantizzazione che viene specificata tramite il differente valore di tetaID1 rispetto a quello riportato in tabella 4.2. I valori relativi alle lacune non influenzano le simulazioni considerate dato che è stato assunto un doping di canale molto basso. Si è poi aggiunta una porzione di codice che consente il calcolo di una mIDi , massa efficace di ogni singolo set di ellissi, analoga alla (3.9). Tramite √ una somma pesata delle mIDi con le nνi su ogni set di ellissi i si giunge √ alla determinazione della mID . La formula implementata è la seguente: √ mID = √ 1 X (nνIDi mIDi ) nν i dove nν = X (4.1) nνIDi i In tal modo è possibile inserire la (4.1) direttamente nella espressione (2.9), sommare le correnti di ogni sottobanda (vedi appendice per il listato) e giungere cosı̀ al calcolo delle correnti totali nei MOSFET balistici aventi materiali di canale con le principali direzioni di quantizzazione ([001], [110] e [111]) e con ogni direzioni nel piano del trasporto. Non sono necessarie modifiche alla parte relativa al calcolo dell’elettrostatica del dispositivo in quanto, a parità di direzione di quantizzazione, è indipendente dall’angolo di rotazione (dimostrazione in appendice). 4.3 Limiti del Simulatore Tutta una serie di decisioni che hanno semplificato la realizzazione del simulatore Schr1D ora vanno a scapito della sua flessibilità d’utilizzo. Si prevede che si avrà conduzione di tipo balistico già a lunghezze di canale attorno a L=10 nm e che quindi saranno necessari simulatori di tipo bi-dimensionale (nello spazio reale) per rappresentare in modo più adeguato il trasporto degli elettroni, per considerare l’influenza del trasporto stesso sull’elettrostatica del dispositivo e per simulare i fenomeni quantistici nella direzione del trasporto come tunneling quantistico e band to band tunneling. E’ comunque vero che col continuo ridursi della lunghezza di canale le ipotesi su cui è fondato il modello implementato nel simulatore saranno via via sempre più vere e quindi i risultati forniti sempre più verosimili. Una causa di limitazioni all’utilizzo è il fatto che lo Schr1D sia stato pensato per simulare principalmente dispositivi in Si. Nel Si, le valli che sono responsabili della conduzione di corrente, cioè quelle in cui si trova la carica elettronica sono quelle di tipo ∆. Solamente queste sono state prese in considerazione ed il loro comportamento implementato nel codice. In altri semiconduttori, come ad esempio il Ge, sono 2 i tipi di valli che contribuiscono alla conduzione: prima quelle di tipo Λ e subito dopo quelle 46 di tipo ∆. Solo in alcuni casi è possibile identificare un solo tipo di banda principalmente responsabile della conduzione; in tutti gli altri casi lo stato attuale del simulatore Schr1D rende inaffidabile la simulazione. 47 48 Capitolo 5 Simulazioni In questo capitolo vengono mostrati e commentati i risultati delle simulazioni che sono state effettuate a conferma della teoria sviluppata. Si confronteranno gli andamenti della corrente in funzione delle masse e degenerazioni delle valli calcolate col modello analitico con quelli ottenuti dalle simulazioni numeriche. Si procederà quindi confrontando le ID ottenibili con diversi semiconduttori reali e al variare dell’orientazione. 5.1 Risultati per Piccole Masse di Quantizzazione e Singola Banda Occupata Si sono simulati dispositivi DG con TSi = 3nm, aventi concentrazione di drogante accettore pari a 1015 cm−3 e con Tox uguali a 1.0nm, 0.8nm e 0.6nm. In questo gruppo di simulazioni si è impostato mz = 0.2m0 in modo tale che gli autovalori derivanti dalla soluzione dell’equazione di Schrödinger risultino fortemente separati in energia. In tal modo la carica indotta nel dispositivo va a popolare unicamente la prima sottobanda verificando cosı̀ l’ipotesi di singola banda occupata necessaria per il corretto confronto dei dati numerici con quelli del modello analitico. Per una trattazione omogenea dei risultati si è impostata la stessa corrente di riposo Iof f grazie all’utilizzo di un programma creato opportunamente per eseguire traslazioni rigide in VG delle caratteristiche di tutte le grandezze elettriche d’interesse. In aggiunta è stato realizzato anche un secondo programma che, partendo dalle caratteristiche I − V prodotte dal simulatore, genera in modo automatico le corrispondenti caratteristiche I − m normalizzate alla stessa I of f ed entro un range di tensioni VG impostabile (vedi listato in appendice). Si procede con l’esposizione dei risultati ottenuti. 49 Id_av - mL DG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V 22000 Id_av [uA/um] 20000 nv=2 18000 Tox=0.6nm Tox=0.8nm Tox=1.0nm 16000 simbolo vuoto: mW=0.19m0 14000 simbolo pieno: mW=0.553m0 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 mL [m0] 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Figura 5.1: Curva ID - mL Id_av - mL DG TSi=3nm mz=0.2m0 24000 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V nv=4 Tox=0.6nm Tox=0.8nm Tox=1.0nm 22000 20000 simbolo vuoto: mW=0.19m0 Id_av [uA/um] 18000 simbolo pieno: mW=0.553m0 16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 mL [m0] 0.3 0.35 Figura 5.2: Curva ID - mL 50 0.4 0.45 0.5 Id_av - mW DG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V 10000 9000 8000 Id_av [uA/um] 7000 6000 5000 4000 nv=2 3000 Tox=0.6nm Tox=0.8nm Tox=1.0nm 2000 simbolo vuoto: mL=0.08m0 simbolo pieno: mL=0.19m0 1000 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.25 mW [m0] 0.35 0.4 0.45 0.5 Figura 5.3: Curva ID - mW Come si nota dalle figure 5.1 e 5.2 gli andamenti della ID in funzione della massa nella direzione del trasporto mL è di tipo monotonico decrescente. Si osserva che all’aumentare della molteplicità delle valli si ha l’accentuarsi della corrente balistica per valori piccoli di mL . Da notare anche come per valori non troppo piccoli della mL si abbia una debole modulazione della corrente al variare della mW . Differenti sono gli andamenti ID − mW rappresentati in figura 5.3 e 5.4. In questo caso gli andamenti non sono monotonici: infatti mostrano la presenza di un punto di massimo che si sposta a valori di mW più piccoli per nν crescente e a valori più grandi per Cox crescente. Gli andamenti hanno una forte sensibilità alla mL . Lo stesso tipo di comportamento non monotono della ID in funzione di nν è evidenziato in figura 5.5. 51 Id_av - mW DG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V 10000 9000 8000 Id_av [uA/um] 7000 6000 5000 4000 nv=4 3000 Tox=0.6nm Tox=0.8nm Tox=1.0nm 2000 simbolo vuoto: mL=0.08m0 simbolo pieno: mL=0.19m0 1000 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.3 0.25 mW [m0] 0.35 0.4 0.45 0.5 Figura 5.4: Curva ID - mW Id_av - nv DG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V 7000 6000 Id_av [uA/um] 5000 4000 3000 mL=mW=0.19m0 Tox=0.6 nm Tox=0.8 nm Tox=1.0 nm 2000 1000 0 1 2 3 nv 4 Figura 5.5: Curva ID - nν 52 5 6 DG TSi=3nm mz=0.2m0 valley 0 Ioff=10 nA/um Vdd=0.8 V 10000 Id_av [uA/um] 8000 6000 4000 Tox=0.6nm Tox=0.8nm Tox=1.0nm nv=2 Modello analitico Simulazioni 2000 0 0 0.1 0.2 simbolo vuoto: mL=0.08m0 simbolo pieno: mL=0.19m0 0.3 mW [m0] 0.4 0.5 Figura 5.6: Curve ID - mW 5.1.1 Confronto con il Modello Approssimato Si può notare come, dal punto di vista qualitativo, gli andamenti evidenziati dal modello analitico sviluppato nel capitolo 3 vengano confermati da quelli delle simulazioni appena commentate. Però, come si vede dalla figura 5.6, dal punto di vista quantitativo il modello analitico non copre in modo sufficientemente accurato i risultati delle simulazione numeriche. Ciò deriva dal non verificarsi (nelle simulazioni) di un’ipotesi³fatta ´nel modello analitico. Infatti si era supposto che il termine ∂Ei fosse pari a 1 (e quindi indipendente dalle masse efficaci αs = − 1q − ∂ϕ s degli elettroni) in modo tale da consentire la scrittura compatta della condizione di massimo per la ID . La dipendenza di α dalle masse efficaci rientra nella condizione di massimo influenzandone cosı̀ la posizione. 5.2 Effetto del Caricamento di più Sottobande: Silicio (001) e Silicio (110) Vengono riportati gli andamenti delle grandezze fondamentali delle simulazioni per MOSFET DG in Si con TSi = 3nm, con Tox pari a 0.8 e 0.6 µA nm aventi Iof f = 1 µm . Sono state prese in considerazione le direzioni di quantizzazione [001] e [110] con direzioni del trasporto [100] e [001] rispettivamente. In figura 5.7 si può notare nel caso di Si (110) come per bassi valori di Vg la corrente balistica media sia pressochè uguale a quella del Si (110) mentre per alti valori della tensione di gate, quest’ultimo esibisca 53 DG TSi=3nm valley 0 Ioff=1 uA/um 9000 8000 Si (001) mz=0.916m0 nv=2 Si (110) mz=0.315m0 nv=4 7000 simbolo vuoto: Tox=0.8 nm simbolo pieno: Tox=0.6 nm Id [uA/um] 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Vg [V] 0.5 0.6 0.7 0.8 Figura 5.7: Curva ID - Vg una corrente più bassa. Dall’analisi delle figure 5.8 e 5.9 si nota come il Si (001) abbia una carica di inversione inferiore al caso Si (110) ma una velocità di iniezione media superiore. Si ha una flessione della velocità di iniezione nel caso di Si (001) perchè tale orientazione è caratterizzata da una massa di quantizzazione mz = 0.916m0 che risulta superiore a quella del caso (110) (mz = 0.315m0 ). Ciò si traduce (nel caso (001)) in un più ristretto salto energetico tra sottobande che rende più facile il caricamento di ulteriori bande energetiche. Proprio il caricamento della seconda sottobanda è responsabile della flessione dell’andamento della velocità d’iniezione del caso (001). Tale caricamento può essere evinto anche dalla figura 5.10 dalla presenza di un netto aumento della drive capacitance. La seconda sottobanda caricandosi contribuisce cosı̀ alla carica d’inversione ma la velocità dei portatori che la popolano è funzione della differenza tra il livello di Fermi e l’autovalore della sottobanda. Ciò vuol dire che inizialmente la seconda sottobanda contribuirà con portatori caratterizzati da una velocità ridotta rispetto a quella dei portatori della banda fondamentale che andranno quindi a penalizzare la velocità di iniezione media, come mostrato in figura 5.11. Per definizione la transconduttanza è: gm = ∂ID ∂Vg ed indicando in maniera semplice la densità di corrente come: ID = qnIN V vinj 54 DG TSi=3nm valley 0 Ioff=1 uA/um Si (001) mz=0.916m0 nv=2 Si (110) mz=0.315m0 nv=4 2e+13 Ninv [cm^-2] simbolo vuoto: Tox=0.8 nm simbolo pieno: Tox=0.6 nm 1e+13 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Vg [V] 0.5 0.6 0.7 0.8 Figura 5.8: Curva nIN V - Vg si ha che: gm = Cef f vinj + qnIN V ∂vinj ∂Vg Da ciò si deduce che la transconduttanza contiene anche la dipendenza della velocità d’iniezione da Vg e cosı̀ si spiega la flessione di gm in funzione della tensione di gate riportato in figura 5.12. 55 DG TSi=3nm valley 0 Ioff=1 uA/um 2.5e+07 Si (001) mz=0.916m0 nv=2 Si (110) mz=0.315m0 nv=4 simbolo vuoto: Tox=0.8 nm simbolo pieno: Tox=0.6 nm vinj [cm/s] 2e+07 1.5e+07 1e+07 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Vg [V] 0.5 0.7 0.6 0.8 Figura 5.9: Curva vinj - Vg DG TSi=3nm valley 0 Ioff=1 uA/um 7e-06 6e-06 Ceff [F/cm^2] 5e-06 4e-06 3e-06 Si (001) mz=0.916m0 nv=2 Si (110) mz=0.315m0 nv=4 2e-06 simbolo vuoto: Tox=0.8 nm simbolo pieno: Tox=0.6 nm 1e-06 0 0 0.2 0.4 Vg [V] 0.6 Figura 5.10: Curva Cef f - Vg 56 0.8 1 Si (001) DG TSi=3nm Tox=0.6 nm Ioff=1 uA/um 2.6e+07 vinj media vinj I sottobanda vinj II sottobanda 2.4e+07 v [cm/s] 2.2e+07 2e+07 1.8e+07 1.6e+07 1.4e+07 1.2e+07 1e+07 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Vg [V] 0.5 0.6 0.7 0.8 Figura 5.11: Curva vinj - Vg Si (001) TSi=3nm Tox=0.6nm Ioff=1uA/um 20000 9000 18000 8000 16000 7000 6000 gm 12000 5000 10000 4000 8000 3000 Id_av 6000 2000 4000 1000 2000 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.8 Figura 5.12: Curva gm e ID in funzione di Vg 57 Id_av [uA/um] gm [uS/um] 14000 Si (001) DG TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1uA/um 3500 direzione del trasporto: 3000 [100] [110] [010] Id_av [uA/um] 2500 2000 1500 1000 500 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Vg [V] 0.4 0.45 0.5 0.55 Figura 5.13: Curva ID - Vg 5.3 Effetto della Direzione del Trasporto nel Piano Fissati gli assi cristallografici, si andranno ad analizzare i risultati derivanti dalle simulazioni di MOSFET DG eseguite con diverse direzioni del trasporto per diversi semiconduttori come Si, Ge e GaAs e nelle tre principali direzioni di quantizzazione: [001], [110], [111]. Si manterranno per tutta la sezione le medesime condizioni: TSi = 3nm e Tox = 1.0nm e Iof f = 1µA/µm. 5.3.1 Silicio Nel Si la differenza di energia tra i minimi delle valli di tipo ∆ e Λ è cosı̀ alta da far sı̀ che solo le prime contribuiscono significativamente al trasporto di corrente. Infatti il minimo della valle ∆ è sotto a quello delle Λ di più di 1 eV. Tale differenza è cosı̀ grande che questa condizione continua a valere anche nei casi di forte quantizzazione. Il caso quantizzato (001) è caratterizzato da una banda circolare (con molteplicità 2). Questo comporta che le masse efficaci nel piano siano indipendenti dalla direzione scelta per il trasporto. Da ciò consegue la perfetta isotropia del trasporto, come si vede in figura 5.13 e in figura 5.14 dove con β si è indicato l’angolo tra la direzione del trasporto e la direzione di riferimento [100]. Si analizza ora il caso (110). Se la direzione di quantizzazione è la [110], il silicio mostra nel piano un trasporto fortemente anisotropo (figura 5.15). La direzione del trasporto per cui si ha un massimo è la [001]: infatti con tale orientazione gli assi minori degli ellissi (a più bassa energia e con molteplicità 58 DG Tox=1.0nm TSi=3nm Id_av/W [uA/um] [010] Si (001) Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V 90° 45° 500 [100] 0° 0 Figura 5.14: Grafico polare di ID in funzione di β 4), che comportano masse efficaci minori, si trovano in direzione parallela a quella del trasporto massimizzando il valore della mID e quindi della corrente. Lo stesso ragionamento vale per la direzione in cui si evidenzia un minimo della corrente balistica: nel caso di trasporto lungo la [110] sono gli assi maggiori ad essere paralleli alla direzione del trasporto andando cosı̀ a ridurre la velocità degli elettroni e quindi la corrente a causa della maggiore massa efficace. Per le direzioni intermedie (β 6= 0, π2 ) si ha una modulazione della mID che porta ad un grafico polare riportato in figura 5.16. In questo caso l’angolo β è l’angolo compreso tra la direzione del trasporto e la [001]. Il silicio (111) è caratterizzato da un grafico polare del trasporto simile a quello del caso (001) anche se la sua disposizione degli ellissi nel piano è totalmente diversa. Infatti sul piano (111) si identificano 6 ellissi separati da angoli di π3 . Variando β, che in questo caso è l’angolo compreso tra la direzione della conduzione e la [112], cambia profondamente il contributo al trasporto di ogni singolo ellisse (come succedeva nel caso (110)) ma la loro disposizione simmetrica fa sı̀ che la corrente balistica media dipenda molto poco dalla direzione del trasporto, come si vede in figure 5.17 e 5.18. Confrontando le tre orientazioni si osserva che la corrente balistica massima si ha nel caso di Si (001) anche se si hanno valori molto simili nel caso (110)/[001]. 59 Si (110) DG TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1 uA/um 3500 direzione del trasporto: [001] [1-12] [2-21] [1-10] 3000 2000 1500 1000 500 0 0 0.05 0.1 0.2 0.15 0.25 0.3 0.35 Vg [V] 0.4 0.45 0.5 0.55 Figura 5.15: Curva ID - Vg DG Tox=1.0nm TSi=3nm [1-10] Si (110) Id_av/W [uA/um] Id_av [uA/um] 2500 Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V 90° 45° 500 [001] 0° 0 Figura 5.16: Grafico polare di ID in funzione di β 60 Si (111) DG TSi=3nm Tox=1.0nm Ioff=1 uA/um 3000 direzione del trasporto: [11-2] [13-4] [-13-2] [-110] 2500 1500 1000 500 0 0 0.05 0.1 0.2 0.15 0.25 0.3 0.35 Vg [V] 0.4 0.45 0.5 0.55 Figura 5.17: Curva ID - Vg DG Tox=1.0nm TSi=3nm [-110] Si (111) Id_av/W [uA/um] Id_av [uA/um] 2000 Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V 90° 45° 500 [11-2] 0° 0 Figura 5.18: Grafico polare di ID in funzione di β 61 DG Tox=1.0nm Id_av/W [uA/um] [010] GaAs TSi=3nm Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V 90° 45° 1000 [100] 0° 0 Figura 5.19: Grafico polare di ID in funzione di β 5.3.2 Germanio e Arseniuro di Gallio Si procede analizzando le dipendenze della corrente balistica dalla direzione del trasporto per semiconduttori alternativi al silicio: arseniuro di gallio e germanio. Il GaAs è caratterizzato da una singola valle dominante di tipo Γ a geometria sferica centrata nella prima zona di Brillouin. Quindi per ogni direzione di quantizzazione si ha la formazione di bande circolari che sono contraddistinte da masse efficaci uguali in tutte le direzioni del piano del trasporto. Da ciò deriva il comportamento di tipo isotropo dell’arseniuro di gallio (vedi figura 5.19) per ogni direzione di quantizzazione e per ogni direzione del trasporto. A causa della sua particolare struttura a bande, il caso del Ge è il più delicato da trattare: generalmente, data l’esigua differenza energetica (173 meV) tra i due sistemi di minimi ∆ e Λ, si ha che entrambe le due famiglie di ellissoidi contribuiscono al trasporto di corrente. Quindi, a rigore, entrambe le valli dovrebbero essere prese in considerazione: prima le Λ e successivamente le ∆. Nel caso di MOSFET DG con tensioni di gate pari a VDD =0.5 V e con spessori di canale TSi =3nm e di ossido Tox =1nm, il contributo delle valli ∆ risulta trascurabile per il Ge (111) mentre nel caso (110) tale contributo rappresenta il 15% della corrente totale erogabile. Invece nel caso (001) quasi la totalità della corrente è dovuta al contributo delle valli ∆ [22]. Quest’ultimo fatto è possibile dato che, nel caso di Ge (001) fortemente quantizzato, la mz delle valli ∆ è maggiore della mz delle Λ. Ne consegue che gli autovalori delle Λ sono maggiormente distanziati tra di loro rispetto a quelli delle ∆. Quindi, all’aumentare dell’effetto di quantizzazione cioè al ridursi della larghezza della buca di energia potenziale, si può giungere al 62 DG TSi=3nm Tox=1.0nm valley 0 Ioff=1 uA/um 6000 5500 Ge (001)/[100] (valli ∆) Ge (110)/[001] (valli Λ) Ge (110)/[1-10] (valli Λ ) Ge (111)/[11-2] (valli Λ) GaAs (valle Γ ) 5000 Id_av/W [uA/um] 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Vg [V] 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 Figura 5.20: Curva ID - Vg punto in cui la prima sottobanda delle ∆ risulti quella ad energia minima divenendo cosı̀ la sottobanda che contribuisce maggiormente alla conduzione elettrica. Nel caso (001) si hanno quindi solo valli ∆ quantizzate con bande circolari che implicano trasporto isotropo. Nel caso (110) dominano i 2 ellissi derivanti dalla quantizzazione delle bande Λ. Le stesse considerazioni fatte per il caso del Si(110) portando ad una diagramma polare anisotropo e caratterizzato da un massimo di corrente nella direzione [110] e da un minimo nella [001]. Per il caso (111) si ha una singola banda circolare che porta a trasporto isotropo. Queste ultime considerazioni sono condensate graficamente in forma polare in figura 5.21, che evidenzia nettamente come il caso (110)/[110] sia quello a corrente maggiore e quindi da preferire, come confermato in [22]. Tale vantaggio può essere apprezzato anche in figura 5.20. 5.4 Confronto fra i Diversi Semiconduttori Ora si vuole presentare un confronto generale tra i diversi semiconduttori presi con la direzione del trasporto tale da massimizzare la corrente balistica. In figura 5.22 si nota come per Tox = 0.6nm il MOSFET che assicura una corrente balistica più alta è quello con canale in Ge (110)/[110]. Ciò è dovuto alla sua relativamente alta densità degli stati 2D come si può notare in figura 5.23 e alla sua altrettanto alta velocità di iniezione media (figura 5.24). Gli altri semiconduttori perdono nel confronto in quanto non possiedono contemporaneamente grande carica di inversione e alta velocità di iniezione. 63 Id_av/W [uA/um] 90° (110) [-110] (001) [1-10] [010] Ge 90° DG Tox=1.0nm 45° 1000 0° [001] 0 1000 0° [100] 0 0 90° 45° 45° 1000 (111) 0° [11-2] TSi=3nm valley 0 Ioff=1 uA/um Vdd=0.5 V Figura 5.21: ID - β Si nota in figura 5.24 come per basse tensioni di gate VG , cioè nel caso di gas non degenere, le differenze tra le varie velocità di iniezione siano indipendenti da VG e siano funzione esclusivamente delle masse efficaci elettroniche nella direzione del trasporto. Infatti il semiconduttore a massa efficace più bassa è proprio il GaAs seguito dal Ge (110)/[110] e dal Si (001) e (110)/[001]. Quest’ultime due configurazioni del silicio possiedono massa efficace nella direzione del trasporto uguale e quindi le due velocità di iniezione sono praticamente identiche. In figura 5.23 si vede come l’ordine tra i materiali nella carica d’inversione sia opposto a quello riscontrato nella velocità di iniezione. Infatti i MOSFET che riescono a indurre una maggiore concentrazione di carica elettronica sono quelli con semiconduttore a massa efficace della densità degli stati 2D più alta. 64 DG TSi=3 nm Tox=0.6 nm Ioff=1 µA/µm 14000 Si (001) Si (110)/[001] Ge (110)/[110] GaAs 12000 IDav [µA/µm] 10000 8000 6000 4000 2000 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 VG [V] 0.5 0.6 0.7 0.8 0.7 0.8 Figura 5.22: Curva ID − Vg DG TSi=3 nm Tox=0.6 nm Ioff=1 µA/µm 13 2.5×10 Si (001) Si (110)/[001] Ge (110)/[110] GaAs 13 2 nINV [F/cm ] 2.0×10 13 1.5×10 13 1.0×10 12 5.0×10 0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 VG [V] 0.5 0.6 Figura 5.23: Curva nIN V − Vg 65 DG 7 TSi=3 nm Tox=0.6 nm Ioff=1 µA/µm 7×10 Si (001) Si (110)/[001] Ge (110)/[110] GaAs 7 6×10 7 vinj [cm/s] 5×10 7 4×10 7 3×10 7 2×10 7 1×10 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 VG [V] 0.5 Figura 5.24: Curva vinj − Vg 66 0.6 0.7 0.8 5.5 Scaling del Tox Si conclude il capitolo commentando le caratteristiche riportate in figura 5.25 che sottolineano, per diversi tipi di materiale costituente il canale, gli andamenti delle correnti balistiche con direzione del trasporto ottima. Per confronto è stato riportato anche il comune Si (001). Si nota come le correnti balistiche massime aumentino all’aumentare di Cox in modo fortemente sub-lineare per Tox < 1nm, con tendenza a saturare verso una corrente balistica limite. Come previsto dal modello nel paragrafo 3.5 per il caso degenere, tutte le curve I − Tox −1 saturano a causa della limitata drive capacitance non più vicina alla capacità dell’ossido ma deteriorata da quella dello strato invertito. Si evidenzia come il Si (001) e soprattutto il GaAs saturino all’aumentare di Cox in modo più deciso rispetto agli altri, data la loro bassa CQM dovuta alle basse masse efficaci nel piano del trasporto. Rimanendo nell’ambito del silicio, il Si (110)/[001] rimane sotto al silicio (001) per i Tox considerati ma continua ad avere una pendenza leggermente superiore a quella del Si (001) e del Ge (110)/[110]. Proprio il Ge (110)/[110] risulta essere il migliore per i Tox più aggressivi con margini di miglioramento del 40% rispetto le correnti massime del miglior concorrente. Invece per Tox molto alti, essendoci condizioni di non degenerazione (VDD bassa), la dipendenza della corrente balistica massima da Cox è lineare come previsto dal modello sviluppato nel paragrafo 3.6 per il caso non degenere. Tale modello spiega anche il motivo per cui a Cox bassi le curve relative ai vari semiconduttori si incrocino favorendo i materiali con masse efficaci più piccole e quindi con velocità di iniezione più alte. 67 10000 DG TSi=3nm VDD=0.6 V Ioff=1 µA/µm -1 IDav_MAX [µA/µm] Tox Si (001) Si (110)/[001] Ge (110)/[110] GaAs 1000 0.1 -1 -1 1 Tox [nm ] −1 Figura 5.25: Curva IDM AX - Tox 68 Capitolo 6 Conclusioni Con l’avanzare dell’innovazione tecnologica possono essere realizzati MOSFETs sempre più corti in cui il trasporto di corrente si avvicina a quello di tipo balistico. Per poter sfruttare i vantaggi derivanti da tale tipo di trasporto è necessaria una ingegnerizzazione dei parametri del materiale costituente il canale del dispositivo. Infatti si è messo in luce come i parametri dei semiconduttori come le masse efficaci elettroniche mW e mL e la degenerazione delle sottobande nν influenzino il trasporto e come la direzione del trasporto rispetto all’orientazione cristallografica del materiale sia fondamentale per consentire al dispositivo la massima erogazione di corrente. In questa tesi si è sviluppato un modello analitico che esprime in forma semplice e compatta la dipendenza della corrente balistica dalla direzione del trasporto e dalle masse efficaci mlong e mtr relative agli ellissi che descrivono la relazione di dispersione del gas elettronico 2D vicino ai minimi energetici. L’equazione: ID qnν =√ 2 W 2h̄ con µ KT π ¶3 2 F1 2 µ ¶ EF − E i √ mID KT 3 3 2 2 cos2 (θr ) + mlong sin2 (θr ) mtr √ mID = q m2tr cos2 (θr ) + m2long sin2 (θr ) è stata implementata nel simulatore numerico Schr1D. Si è poi passati all’analisi del compromesso esistente tra la densità degli stati 2D e la velocità di iniezione al fine di ottimizzare la corrente balistica espressa cosı̀: √ ID = qnIN V vinj = Anν mW W à Cox √ Cox + Bnν mW mL !3 2 Si sono analizzate le dipendenze della corrente balistica ID da mW , mL , e nν evidenziando come la ID abbia un comportamento monotono in mL ma 69 presenti una massimo in mW e nν . Tale massimo assoluto è individuato dalla condizione di ottimo: CQM = 2Cox Il modello sviluppato per lo studio di tale trade-off ha portato ad un confronto qualitativo congruente con le simulazioni numeriche. In seguito si è passati a simulare dispositivi con materiali reali quali silicio, germanio e arseniurio di gallio con varie direzioni del trasporto e per Tox molto scalati evidenziando come per tali Tox la capacità dello strato invertito assuma un peso rilevante sugli andamenti delle correnti massime. Dai risultati di queste simulazioni si è stabilito che il semiconduttore più promettente per il canale dei MOSFETs balistici è il Ge (110)/[110]. 10000 DG TSi=3nm VDD=0.6 V Ioff=1 µA/µm -1 IDav_MAX [µA/µm] Tox Si (001) Si (110)/[001] Ge (110)/[110] GaAs 1000 0.1 -1 -1 1 Tox [nm ] −1 Figura 6.1: Curva IDM AX - Tox Si conclude ribadendo come lo sviluppo di modelli analitici (anche se approssimati) è molto importante tanto per la comprensione degli elementi fisici quanto per il progetto e l’ottimizzazione dei dispositivi MOSFET nanometrici. 70 Ringraziamenti Desidero ringraziare tutti coloro che mi hanno indirizzato e seguito nel lavoro di tesi. Un grazie particolare va al professor David Esseni che durante questi lunghi mesi di studio mi ha supportato e guidato in modo preciso nella stesura della tesi. Assieme a lui ringrazio anche il professor Selmi, il professor Sangiorgi e il Dott. Ing. Palestri per gli insegnamenti che mi hanno trasmesso nei 5 anni trascorsi all’università di Udine. Ringrazio anche i dottorandi di microelettronica per le loro innumerevoli ”dritte” su come risolvere i mille problemi connessi al lavoro da svolgere. Fondamentale è stato il supporto fornitomi dalla mia famiglia nei momenti di difficoltà e nelle decisioni importanti ed altrettanto basilare è stata la presenza di tutti i miei amici, tra cui in particolare Zena, Carlo, Federico, Bistek, tutto il gruppo dei ”medici” di Udine, Andrea, Ilenia ed Anna. 71 72 Bibliografia [1] International Technology Roadmap for Semiconductors: 2004 Update. Austin, TX, SEMATECH, 2004. [2] R. Degrave, B. Kaczer, and G. Groeseneken, “Reliability: a possible showstopper for oxide thickness scaling ?,” Semiconductor Science Technology, vol. 15, pp. 436–444, 2000. [3] S.Takagi, A.Toriumi, M.Iwase, and H.Tango, “On the Universality of Inversion-layer Mobilty in Si MOSFETs. Part I- Effect of Substrate Impurity Concentration,” IEEE Transaction on Electron Devices, vol. 41, no. 12, pp. 2357–62, 1994. [4] C. Fiegna, I. Iwai, T. Wada, M. Saito, E. Sangiorgi, and B. Riccò, “Scaling the MOS transistor below 0.1µm: Methodology, Device Structures and Technology Requirements ,” IEEE Transaction on Electron Devices, p. 941, June 1994. [5] E. Suzuki, K. Ishii, S. Kanemaru, T. Maeda, T. Tsutsumi, T. Sekigawa, K. Nagai, and H. Hiroshima, “Highly Suppressed Short-Channel Effects in Ultrathin SOI n-MOSFET’s,” IEEE Transaction on Electron Devices, vol. 47, no. 2, pp. 354–359, 2000. [6] M.Jurczak, T.Skotnicki, M. Paoli, B.Tormen, J.Martins, J.L. Regolini, D.Dutartre, P.Ribot, D.Lenoble, R.Pantel, and S.Monfray, “Silicon-onNothing (SON) - an Innovative Process for Advanced CMOS,” IEEE Transaction on Electron Devices, vol. 47, no. 11, pp. 2179–2187, 2000. [7] H.S.Wong, D. Frank, and P. Solomon, “Device Design Considerations for Double-Gate, Ground-Plane and Single-Gated Ultra-Thin SOI Mosfet’s at the 25 nm Channel Length Generation,” in IEEE IEDM Technical Digest, p. 407, 1998. [8] A. G. Sabnis and J. T. Clemens, “Characterization of the electron mobility in the inverted h100i Si surface,” in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 18–21, 1979. 73 [9] D. Esseni, M.Mastrapasqua, G.K. Celler, F.H. Baumann, C. Fiegna, L.Selmi, and E.Sangiorgi, “Low Field mobility of Ultra-Thin SOI Nand P-MOSFETs: Measurements and Implications on the Performance of Ultra-Short MOSFETs,” in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 671– 674, 2000. [10] D. 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D.Esseni, P.Palestri, C.Fiegna, L.Selmi, and E.Sangiorgi, “Enhanced Ballisticity in nano-MOSFET along the ITRS Roadmap: A Monte Carlo Study,” in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 609–612, 2004. 74 [19] P.Palestri, D.Esseni, S.Eminente, C.Fiegna, E.Sangiorgi, and L.Selmi, “A Monte-Carlo Study of the Role of Scattering in Deca-nanometer MOSFETs,” in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 605–609, 2004. [20] M. Lundstrom and Z. Ren, “Essential Physics of carrier transport in nanoscale MOSFETs,” IEEE Transaction on Electron Devices, vol. 49, no. 1, pp. 133–141, 2002. [21] M.Lundstrom, “Device Physics at the Scaling Limit: What Matters,” in IEEE IEDM Technical Digest, p. 789, 2003. [22] T. Low, Y.T.Hou, M.F.Li, C. Zhu, A. Chin, G. Samudra, L.Chan, and D.-L.Kwong, “Investigation of Performance Limits of Germanium Double-Gated MOSFETs ,” in IEEE IEDM Technical Digest, pp. 691– 694, 2003. [23] S. 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Howard, “Properties of Semiconductor Surface Inversion Layers in the Electric Quantum Limit ,” Physical Review, vol. 163, no. 3, pp. 816–835, 1967. 75 76 Appendice A Porzione del File solution.c Modificata Viene riportata di seguito la porzione del file solution.c modificato con le formule del trasporto balistico con direzione della conduzione arbitraria sviluppate nel capitolo 3. ... /* Calculation of the drain current, of the velocity and of the quantum capacitance */ N_inv = 0.0; Id_av = 0.0; v_av = 0.0; nEigs = mesh->RenEigs; for(im = 0; im < NEMASS; im++) { mStar = *(mesh->EmStar + im); mDos = *(mesh->EmDos + im); ReEval = mesh->ReEval + im * nEigs; if (Gib % 2) fprintf(fqmc, "# valley %d \n", im); for (ie0 = 0; ie0 < nEigs; ie0++, ReEval++) { if (*ReEval == MAXDOUBLE) continue; fi = exp((nEfRight - *ReEval) / vT); if ((fabs(fi) > 2.1e-16) && FermiStatistics) fi = log(1.0 + fi); fi *= kT; if (ballistic) { n_E = 0.5 * ((double) *(mesh->Emult + im)) * mDos * 1e-4 / (PI * hbar * hbar) * fi; Cqm_E = 0.5 * cNorm * q * ((double) *(mesh->Emult + im)) * mDos / (PI * hbar * hbar) / (1.0+ exp(-(nEfRight - *ReEval)/vT)); m1 = EmStarY; m2 = EmStarX; if (!((EmultID1 == 0) && (EmultID2 == 0) && (EmultID3 == 0))) 77 { if (tetaID1 == 0.0) temp = (EmultID1 / (double)Emult0) * pow(m1, 0.5); else if ((tetaID1 >= 1.5707 ) && (tetaID1 <= 1.5708)) temp = (EmultID1 / (double)Emult0) * pow(m2, 0.5); else temp = (EmultID1 / (double)Emult0) * (pow(m1, 0.5) * cos(tetaID1) * sin(atan((m1/m2) * tan(PI/2 - tetaID1))) + pow(m2, 0.5) * sin(tetaID1) * cos(atan((m1/m2) * tan(PI/2 - tetaID1)))); if (tetaID2 == 0.0) temp += (EmultID2 / (double)Emult0) * pow(m1, 0.5); else if ((tetaID2 >= 1.5707 ) && (tetaID2 <= 1.5708)) temp += (EmultID2 / (double)Emult0) * pow(m2, 0.5); else temp += (EmultID2 / (double)Emult0) * (pow(m1, 0.5) * cos(tetaID2) * sin(atan((m1/m2) * tan(PI/2 - tetaID2))) + pow(m2, 0.5) * sin(tetaID2) * cos(atan((m1/m2) *tan(PI/2 - tetaID2)))); if (tetaID3 == 0.0) temp += (EmultID3 / (double)Emult0) * pow(m1, 0.5); else if ((tetaID3 >= 1.5707 ) && (tetaID3 <= 1.5708)) temp += (EmultID3 / (double)Emult0) * pow(m2, 0.5); else temp += (EmultID3 / (double)Emult0) * (pow(m1, 0.5) * cos(tetaID3) * sin(atan((m1/m2) tan(PI/2 - tetaID3))) + pow(m2, 0.5) * sin(tetaID3) * cos(atan((m1/m2) * tan(PI/2 - tetaID3)))); m_ID = pow(temp, 2) * m0; } else m_ID = *(mesh->EmStar + 2); Id_E = q / (sqrt(2.0) * hbar * hbar) * pow((kT/PI), 1.5) * ((double) *(mesh->Emult + im)) * sqrt(m_ID) * fermi(((nEfRight - *ReEval) / vT),0.0); v_E = 1e-2 * Id_E / (q * n_E); } else { n_E = ((double) *(mesh->Emult + im)) * mDos * 1e-4 / (PI * hbar * hbar) * fi; Cqm_E = cNorm * q * ((double) 78 *(mesh->Emult + im)) * mDos / (PI * hbar * hbar) / (1.0+ exp(-(nEfRight - *ReEval)/vT)); Id_E = 0.0; v_E = 0.0; } alpha_E = -(*ReEval - *(prevReEval + ie0 + im * howManyEigs)) / (*(mesh->V + mesh->iSilicon) - prevV); if (!(Gib % 2)) { *(n_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = n_E; *(Cqm_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = Cqm_E; *(Id_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = Id_E; *(v_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = v_E; EV_saved++; /* per contare gli autovalori salvati } else *(alpha_eigen + ie0 + im * howManyEigs) = alpha_E; if ((Gib % 2) && (ie0 < subQMCprint) && (ie0 < EV_saved)) { fprintf(fqmc, "%e %e %e %e %e %e\n", *(prevReEval + ie0 + im * howManyEigs), *(n_eigen + ie0 + im * howManyEigs), *(Id_eigen + ie0 + im * howManyEigs), *(v_eigen + ie0 + im * howManyEigs), *(Cqm_eigen + ie0 + im * howManyEigs), *(alpha_eigen + ie0 + im * howManyEigs)); fflush(fqmc); if ((ie0 == 0) && (im == 0)) alpha_1 = *(alpha_eigen + ie0 + im * howManyEigs); } N_inv += n_E; Id_av += Id_E; v_av += n_E * v_E; *(prevReEval + ie0 + im * howManyEigs) = *ReEval; } } v_av /= N_inv; ... 79 80 Appendice B Concentrazione Superficiale per Ellissi Ruotate Si affronta il calcolo della concentrazione superficiale di un MOSFET nel caso in cui le ellissi, derivanti dalla quantizzazione degli ellissoidi equienergetici, abbiano un orientazione qualunque rispetto al sistema di riferimento solidale al dispositivo. Si indicherà con (kx0 , ky0 ) il sistema di riferimento dell’ellisse, mentre con (kx , ky ) quello del dispositivo; θr sarà l’angolo da kx0 a kx . Si indicheranno con mtr e mlong rispettivamente la massa efficace trasversale e longitudinale dell’elettrone. Nel riferimento (kx0 , ky0 ) la concentrazione superficiale sarà: 1 X fL (E) ns = A k0 ,k >0 x dove kx è la direzione del trasporto (source-drain) e la fL (E) è la FermiDirac. Si è trascurata l’iniezione di elettroni dal drain. L’espressione del modulo del vettore d’onda lungo x kx in (kx0 , ky0 ) sarà: kx = k0 · ikˆx = kx0 cos(θr ) + ky0 sin(θr ) Il vincolo sulla concentrazione superficiale: kx > 0 =⇒ kx0 cos(θr ) + ky0 sin(θr ) > 0 Se cos(θr ) > 0 cioè θr ∈ ] − π2 , π2 [ si ha: kx0 > − tan(θr ) ky0 | {z } CR Si ha quindi che: X 1 X 1 fL (E) = A k0 ,k >0 A k0 ,k0 >−C y x 81 x fL (E) 0 R ky e passando da P X 1 A k0 ,k0 >−C y x a 0 R ky R si ha: 2 fL (E) −→ nν (2π)2 Z +∞ −∞ dky0 Z +∞ −CR ky0 dkx0 fL (E) (B.1) Per risolvere l’integrale, si esegue sul sistema di riferimento la seguente trasformazione : (kx0 , ky0 ) −→ (ε, θ) con ε = E − Ei e: √ √ 2mlong 0 cos(θ) ε kx = h̄ k0 = y √ 2mtr h̄ √ sin(θ) ε =⇒ det(J) = √ mtr mlong h̄2 Invece per quanto concerne gli estremi del dominio di integrazione si ha: D = {(kx0 , ky0 )|kx0 > −CR ky0 } Si considera il solo caso θr > 0 in quanto per semplice simmetria si nota che è equivalente al caso opposto. A seguito della trasformazione si avrà: µ 1 D = {(ε, θ)| ε > 0; arctan − CR | {z A ¶ } µ 1 < θ < arctan − CR | {z B ¶ + π} } Sostituendo al doppio integrale si ha che: √ Z B Z +∞ Z +∞ mtr mlong Z +∞ dθ dkx0 fL (E) = f (ε)dε dky0 L h̄2 A −CR ky0 0 −∞ √ mtr mlong Z +∞ = π fL (ε)dε (B.2) h̄2 0 Sostituendo la (B.2) nella (B.1) si ha: √ mtr mlong Z +∞ 2 ns = n π fL (ε)dε ν (2π)2 h̄2 0 √ nν mtr mlong Z +∞ dE = E−EF 2πh̄2 Ei 1 + e KT √ EF −Ei KT nν mtr mlong ln(1 + e KT ) = 2 2 πh̄ Questo significa che ns è indipendente da θr . 82 (B.3) Appendice C Programma per l’Analisi Automatica dei Dati Il listato riportato fa riferimento ad un programma realizzato in linguaggio C per la generazione automatica di file di dati partendo dai file d’uscita del simulatore Schr1D. Infatti partendo dalle tabelle delle grandezze elettriche in funzione della tensione di gate esso genera una famiglia di caratteristiche in funzione della massa efficace prendendo come parametri i valori indicati a riga di comando. Essenzialmente sfrutta un interpolatore lineare per normalizzare alla stessa Iof f le caratteristiche in VG stampando poi nel file d’uscita le grandezze in funzione della massa efficace d’interesse. #include<time.h> #include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<string.h> #include<math.h> #include "nrutil.h" #include"routine.h" #define nmax_sets 40 #define nmax_points 500 #define maxline 80 int main(int argc, char ** argv) { FILE *Dout; double **Vg, **Id, **v_inj, **Ninv, **Cinv, **Ctot, **alpha_1; double *mx, *my; double Ioff; double Vg_start, Vg_stop, Vg_step, Vg_run; double Vg_off; double Id_intrp; double v_inj_intrp; double Ninv_intrp; double Cinv_intrp; double Ctot_intrp; 83 double alpha_1_intrp; int int int int int Nsets; nstep[nmax_sets]; cnt_sets; status; var; if(argc < 8) { printf("\nusage: %s Source_file Mass_file Target_file Ioff[nA/um] Vg_start[V] Vg_stop[V] Vg_step[V] var\n", argv[0]); printf("if var=0 -> print mx else print my\n"); exit(-1); }; printf("\n********************************ATTENZIONE*************** **********************************\n"); printf("Se si modifica i valori o il numero delle simulazioni modificare il file delle masse efficaci\n"); printf("*********************************************************** **********************************\n\n"); Dout = myfopen(argv[3],"w"); Ioff = 1e-3 * atof(argv[4]); Vg_start = atof(argv[5]); Vg_stop = atof(argv[6]); Vg_step = atof(argv[7]); var = atoi(argv[8]); /* alloco spazio in mem*/ Vg = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points); Id = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points); v_inj = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points); Ninv = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points); Cinv = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points); Ctot = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points); alpha_1 = matrix(1,nmax_sets,1,nmax_points); mx = vector(1, nmax_sets); my = vector(1, nmax_sets); /* leggo il file dei dati */ if(!(status = readXMGRACE_MULTsets_7columns(argv[1], Vg, Id, Ninv, v_inj, Cinv, Ctot, alpha_1, &Nsets, nstep))) { fprintf(stderr,"\nError while reading %s\n",argv[1]); exit(-1); } /* leggo il file delle masse efficaci */ if(!(status = readXVGR(argv[2], mx, my, nstep))) { fprintf(stderr,"\nError while reading %s\n",argv[2]); 84 exit(-1); } fprintf(Dout, "# Grandezze in funzione di mx e my \n"); fprintf(Dout, "# Ioff=%e [uA/um] \n#\n", Ioff); for (Vg_run = Vg_start; Vg_run <= Vg_stop; Vg_run += Vg_step) { fprintf(Dout, "# Vg= %e [V] \n", Vg_run); if (var == 0) fprintf(Dout, "# mx [m0]"); else fprintf(Dout, "# my [m0]"); fprintf(Dout, " Id [uA/um] Ninv [cm^-2] v_inj [cm/s] Cinv [F/cm^2] Ctot [F/cm^2] Alpha_1 \n#\n"); /* interpolo le grandezze */ for(cnt_sets = 1; cnt_sets <= Nsets; cnt_sets++) { intrpPWL_EXP(Ioff, &Vg_off, Id[cnt_sets], Vg[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1); intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &Id_intrp, Vg[cnt_sets], Id[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1); intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &v_inj_intrp, Vg[cnt_sets], v_inj[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1); intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &Ninv_intrp, Vg[cnt_sets], Ninv[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1); intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &Cinv_intrp, Vg[cnt_sets], Cinv[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1); intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &Ctot_intrp, Vg[cnt_sets], Ctot[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1); intrpPWL_EXP(Vg_off + Vg_run, &alpha_1_intrp, Vg[cnt_sets], alpha_1[cnt_sets], 1, nstep[cnt_sets], 1); if (var == 0) fprintf(Dout, "%e %e %e %e %e %e %e\n", mx[cnt_sets], Id_intrp, Ninv_intrp, v_inj_intrp, Cinv_intrp, Ctot_intrp, alpha_1_intrp); else fprintf(Dout, "%e %e %e %e %e %e %e\n", my[cnt_sets], Id_intrp, Ninv_intrp, v_inj_intrp, Cinv_intrp, Ctot_intrp, alpha_1_intrp); } fprintf(Dout, "#\n&\n"); } /* libero la mem*/ free_matrix(Vg,1,nmax_sets,1,nmax_points); free_matrix(Id,1,nmax_sets,1,nmax_points); free_matrix(v_inj,1,nmax_sets,1,nmax_points); free_matrix(Ninv,1,nmax_sets,1,nmax_points); free_matrix(Cinv,1,nmax_sets,1,nmax_points); free_matrix(Ctot,1,nmax_sets,1,nmax_points); 85 free_matrix(alpha_1,1,nmax_sets,1,nmax_points); free_vector(mx, 1, nmax_sets); free_vector(my, 1, nmax_sets); fclose(Dout); return 1; } 86