UNIVERSITA` DI TORINO FAC

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GEOMETRIA II
Prova scritta del 22 giugno 2007 - Tema B
1 (punti 13)
Sia f un endomorfismo di uno spazio vettoriale Hermitiano la cui matrice rispetto ad una base
ortonormale è A. Provare che f è autoaggiunto se e solo se A è Hermitiana.
2 (punti 2+9+2+2)
Si consideri la seguente forma bilineare simmetrica ϕ: R3 × R3 → R, dove R3 è dotato del
prodotto scalare standard:
ϕ(x, y) = 2x1y1 + 2x2y2 + 2x3y3 − (x1y2 + x2y1) + (x1y3 + x3y1) + (x2y3 + x3y2).
a)Scrivere la relativa forma quadratica Φ e la corrispondente matrice A;
b)ridurre Φ a forma canonica usando il metodo degli autovalori e determinare una base
ortonormale di autovettori;
c)per ϕ e Φ valgono le diseguaglianze di Schwarz e di Minkowski?
d)esistono vettori isotropi rispetto a Φ che non appartengono a kerϕ?
3 (punti 6)
Una matrice A del terzo ordine ammette l'autovalore −1. Inoltre risulta trA = − detA.
Provare che −detA ed 1 sono i restanti autovalori di A.
Soluzioni
Esercizio 2
a)La forma quadratica Φ : R → R associata a ϕ è:
Φ(x) = 2(x12 + x22 + x32 − x1x2 + x1x3 + x2x3)
2 −1 1
e la corrispondente matrice è A = − 1 2 1 .
1 1 2
3
a)Per ridurre la foma quadratica a forma canonica occorre calcolare gli autovalori di A. Allo
scopo si deve risolvere l’equazione caratteristica det(A–λI3) = 0, cioè:
2−λ
−1
1
−1 2 − λ
1 = 0. (2 – λ)3 −1 – 1 − 3(2 – λ) = 0 da cui λ(−λ2 + 6λ – 9) = 0 che ha
det
1
1 2−λ
soluzioni λ = 0 e λ = 3 doppia. Una forma canonica risulta Φ(X) = 3X12 + 3X22.
Per determinare una base ortonormale di autovettori occorre determinare gli autospazi.
L’autospazio relativo all’autovalore λ = 0 si ottiene risolvendo il sistema:
2 −1 1
x
0
 2x − y + z = 0

−1 2 1
y = 0 da cui − x + 2 y + z = 0 , osservato che la terza equazione è la
 x + y + 2z = 0
1 1 2
z
0

x=y
somma delle altre due, si ottengono le soluzioni: 
con x qualunque.
z = − x
Quindi Eλ = 0 = {(h, h, −h) / h ∈ R} ha dimensione 1, una sua base è {(1, 1, −1)}.
Geometria II - Tema B - 22/06/2007
2
L’autospazio relativo all’autovalore λ = 3 si ottiene risolvendo il sistema:
−1 −1
1
x
0
−1 −1
1
y = 0 da cui x + y − z = 0, ossia z = x + y.
1 1 −1
z
0
Quindi Eλ = 3 = {(x, y, x + y) / x, y ∈ R} ha dimensione 2, una sua base è {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}.
E' noto dalla teoria che autovettori di autospazi distinti sono ortogonali: determiniamo una
base di Eλ = 3 formata da vettori ortogonali a partire da u(1, 0, 1) e v(0, 1, 1) con il metodo di
Gram-Schmidt. Poniamo u' = u e determiniamo un vettore v' = v + λu ortogonale ad u e quindi
u•v
1
1
tale che u • v' = 0. Deve essere λ = −
= − e si ottiene v' = (0, 1, 1) − (1, 0, 1) =
u•v
2
2

1
 1
 1 1 
 − , 1,  . Una base formata da vettori ortogonali è (1, 1,−1), (1, 0, 1),  − , 1,  e per
2
 2
 2 2 

ottenere una base ortonormale normalizziamo ciascun vettore dividendolo per il suo modulo.
 1 1
1  1
1 
3
3
3 
 .
,
,−
, 0,
,
,
, 
,  −

3  2
2   2 2 2 2 2 
 3 3
a)Dalla forma canonica di Φ segue che Φ è semidefinita positiva in quanto la matrice A ha due
autovalori positivi ed uno nullo.
La disuguaglianza di Schwarz vale se Φ è positiva o negativa (definita o semidefinita) quindi
vale nel nostro caso.
La disuguaglianza di Minkowski vale nell'ipotesi che Φ sia una forma quadratica reale positiva
definita o semidefinita, quindi vale nel nostro caso.
b)Non esistono vettori isotropi rispetto a Φ che non appartengono al nucleo in quanto vale la
proprietà: il nucleo di una forma bilineare simmetrica reale ϕ positiva o negativa (definita o
semidefinita) coincide con l'insieme dei vettori isotropi della forma quadratica associata Φ.
Esercizio 3
E' noto dalla teoria che il polinomio caratteristico di una matrice A del terzo ordine si può
scrivere −λ3 + λ2 trA − kλ + detA dove con −k si indica il coefficiente di λ.
La matrice A ammette l'autovalore λ = −1 se −1 è radice dell'equazione caratteristica, ossia:
1 + trA + k + detA = 0. Essendo inoltre trA = −detA risulta k = −1. Sostituendo nell'equazione
caratteristica si ottiene: −λ3 − λ2 detA + λ + detA = 0 da cui λ(1 −λ2) + detA(1 − λ2) = 0 ossia
(1 − λ2)(λ + detA) = 0 che ha radici λ = 1, λ = −1, λ = −detA.
Geometria II - Tema B - 22/06/2007