Potenza di un fucile a molla

Energia e potenza
(un fucile a molla)
In un fucile a molla, per eseguire uno sparo, si comprime la molla per 0,032m. Sapendo che la
costante elastica della molla è K=750N/m, calcolare la velocità di uscita di un proiettile avente
massa m=12g.
Si può determinare la potenza del fucile?
Soluzione (veloce)
Quando una molla di costante elastica K è compressa di un tratto d ha immagazzinato energia
elastica Uel pari a
1
U el . = Kd 2 .
2
Nell’ipotesi che con lo sparo tutta l’energia elastica della molla venga trasferita al proiettile, e
quindi che siano nulli tutti gli attriti, questo acquisterà la velocità V che verifica la seguente
uguaglianza
1
1
Kd 2 = mV 2
2
2
Con i dati forniti la velocità in uscita del proiettile è:
V=
K
750 Nm−1
m
d=
⋅ 0, 032m = 8
−3
m
12 ⋅10 Kg
s
Quesito sulla potenza
Cosa può significare l’espressione “potenza del fucile”?
Com’è noto, la potenza è una grandezza fisica data dal rapporto tra energia e tempo. Per
esempio si può calcolare la potenza sviluppata da una persona che esegue un certo lavoro in un
tempo prestabilito. Il rapporto tra il lavoro compiuto e la misura dell’intervallo di tempo necessario
a compiere quel lavoro è proprio la potenza sviluppata.
In questo caso si deve pensare alla potenza sviluppata dalla forza elastica esercitata dalla molla.
Osserviamo che nel corso del fenomeno della dilatazione della molla la forza elastica
esercitata ha intensità variabile. Infatti dipende dall’entità della compressione x secondo la legge di
Hooke. L’espressione analitica è
Fel=kx
Si può determinare la potenza istantanea della forza elastica come prodotto dell’intensità
della forza per la velocità dello spostamento del suo punto di applicazione. Ma si può anche
determinare la potenza media sviluppata dalla molla del fucile facendo il rapporto tra il lavoro
sviluppato nella dilatazione ed il tempo necessario perché avvenga la dilatazione.
Per eseguire i calcoli, nella prima modalità si deve conoscere la velocità con cui si muove l’estremo
libero della molla durante la dilatazione in funzione della posizione, o se si preferisce in funzione
del tempo, e l’espressione dell’intensità della forza nella posizione in cui si trova l’estremo libero
della molla; nella seconda modalità è necessario conoscere il tempo complessivo impiegato per la
dilatazione della molla. Nella seconda modalità il lavoro eseguito dalla molla coincide con l’energia
elastica che la stessa ha immagazzinata e che cede al proiettile.
Si possono ottenere le informazioni indicate ma occorre impostare un’equazione differenziale
del secondo ordine e risolverla con le relative condizioni iniziali ( tecnicamente si dice che si deve
risolvere un problema di Cauchy). Nel rinviare il lettore alla discussione completa del problema che
sviluppo in un lavoro a parte, qui riporto solo le conclusioni.
1. Il tempo necessario per la dilatazione della molla, allorché deve spingere la massa m senza
la presenza di alcun attrito è
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
1
π
m
2 K
2. La potenza media sviluppata dalla molla che sia stata compressa di un tratto d è
K
K
Pmedia = d 2
π
m
Coni dati forniti nel problema si ricava
π m
∆t =
= 6, 28ms
2 K
∆t =
Pmedia =
K
π
d2
2
K 750 Nm −1
=
⋅ ( 3, 2 ⋅10−2 m )
m
π
750 Nm−1
= 61,1W
12 ⋅10−3 Kg
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
2