Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria

Fondamenti e didattica di
Matematica
Finanziaria
Silvana Stefani
Piazza dell’Ateneo Nuovo 1 - 20126 MILANO
U6-368
[email protected]
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Unità 10
Contenuti della lezione
Valutazione di titoli obbligazionari
Struttura per scadenza
2
Contenuti della lezione
3
Obbligazioni e loro valutazione
Sono titoli di debito contratto dall’emittente (Stato,
Agenzie governative, Enti pubblici e società private)
nei confronti dei sottoscrittori, da restituire e
remunerare secondo condizioni prefissate
corrispondendo ai portatori quote capitale e quote
interesse (cedole)
La valutazione dei titoli obbligazionari consente in
prima istanza di evidenziare la congruità del prezzo,
nonché, formulando ipotesi sull’andamento futuro del
mercato, stimare i prezzi futuri e calcolare quindi il
tasso di rendimento dell’investimento.
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TITOLI OBBLIGAZIONARI
e loro caratteristiche
Ogni obbligazione prevede il rimborso del
capitale in unica soluzione alla scadenza
(epoca T), mentre gli interessi possono
essere pagati:
integralmente alla scadenza (si tratta allora di
titoli di puro sconto o a capitalizzazione
integrale ovvero zero coupon bonds);
mediante cedole periodiche (nelle obbligazioni
con cedola o coupon bonds).
5
Il valore nominale D.
È su questo importo, che verrà
restituito al sottoscrittore, che
si calcola l’interesse. Per
convenzione le quotazioni di
mercato si enunciano per ogni
100 Euro di valore nominale
Il tasso di interesse nominale i .
Esso determina l’importo delle
cedole come percentuale del
valore nominale. Se i
pagamenti sono ad es.
semestrali, l’importo di
ciascuna cedola risulterà il
prodotto del valore nominale D
per i2=i/2
Il prezzo tel-quel Pt, in vigore
all’epoca t.
Nel caso particolare che si tratti
di sottoscrizione (cioè in
t=0) il prezzo si considera al
netto di eventuali oneri di
emissione.
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Calcolo della redditività di
un’obbligazione
valutazione ex post, di un investimento
effettuato all’epoca t di un titolo che
scade all’epoca s, e si utilizza il tasso di
rendimento realizzato (o holding period
yield):
Ps − Pt
r=
, t < s ≤T
Pt
dove Pt e Ps sono rispettivamente il prezzo pagato
all’epoca t per l’investimento e quello ottenuto per
disinvestimento alla successiva epoca s
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valutazione ex ante, ad esempio per poter
scegliere tra più titoli.
E’ necessario un indicatore di redditività
prospettica che permetta di sintetizzare ad un
certo istante, generalmente l’epoca di
acquisto, le successive prestazioni finanziarie
del titolo.
Si ricorre in questo caso al già noto tasso di
rendimento interno, in quanto l’investimento
in titoli obbligazionari risulta un investimento
in senso stretto (si ha un solo costo iniziale,
seguito da flussi in entrata);
alternativamente, si può procedere a una
valutazione comparativa dei titoli mediante i
tassi spot (che vedremo più avanti)
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Tasso di rendimento interno o
yield (to maturity)
E’ quel tasso y che realizza l’uguaglianza tra il prezzo
d’acquisto dell’obbligazione all’epoca t, Pt , e la
somma dei valori attuali di tutte le sue prestazioni
future:
Ch
Pt = ∑
(t
h (1 + y )
h −t )
,
•t è l’istante di valutazione, con 0≤t≤T
•th è l’istante di stacco (pagamento) della
cedola h-esima, con h = 1, 2, …, H
•tH = T maturità o scadenza dell’obbligazione
•Ch è il flusso di cassa all’istante th, comprensivo
dell’eventuale rimborso del capitale
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Esempi_1
Obbligazione che paga € C in ciascuno degli n
periodi in cui si suppone suddiviso l’intervallo
[t, T] e D = € 100 alla scadenza in T:
C
100
Pt = ∑
+
k
n
k =1 (1 + y )
(1 + y )
n
= Ca n y +
100
(1 + y )
n
10
Esempi_2
A: zero-coupon bond a 1 anno il cui prezzo
d’acquisto è PA = € 934.58 e paga € 1000 in
t=1
1000
934,58 =
1 + yA
da cui yA=7%
B: zero-coupon bond a 2 anni il cui
prezzo d’acquisto è PB= € 857.34 e
paga € 1000 in t=2.
857.34 =
1000
(1 + y B )2
da cui yB=8%
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Esempi_3
C: coupon bond il cui prezzo d’acquisto
è PC=€ 946.93 e paga € 50 in t=1 e €
1050 in t=2.
50
1050
946.93 =
+
1 + yC (1 + yC )2
da cui yC=7.975%
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Limiti dello yield to maturity
Lo yield presuppone due ipotesi: il reinvestimento dei flussi
intermedi ad un tasso costante, e il mantenimento del titolo fino
alla scadenza. Tali ipotesi segnalano un certo limite concettuale
dello yield nel catturare in modo appropriato gli effetti di
modificazioni nelle condizioni di reinvestimento delle cedole; né
lo yield offre alcuna garanzia che esso si mantenga costante
sino alla scadenza.
Per ovviare a questa “miopia” dello yield è necessario allargare
l’ottica di valutazione, confrontando ogni titolo con gli altri
presenti sul mercato. Questo sarà realizzato tramite lo studio
della curva dei rendimenti e della struttura a termine dei tassi
d’interesse
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La curva dei rendimenti
La curva dei rendimenti (yield curve) è la rappresentazione grafica, sul
piano cartesiano, delle coppie ordinate (Ti, yi) dove Ti e yi sono
rispettivamente la scadenza e lo yield del titolo i-esimo.
Di norma, titoli in scadenza a epoche diverse presentano yields
diversi; peraltro, vi possono essere obbligazioni riferite alla
medesima scadenza che mostrano yield diversi. Ciò non implica
necessariamente scarsa efficienza del mercato, ma deriva dalla
difficoltà, intrinseca dello yield, ad esprimere appieno l’influenza
delle cedole intermedie sul tasso di rendimento, Inoltre non vi è
una continuità nei valori, dipendendo questi delle scadenze dei
titoli (spesso a fine anno solare).
Tutto ciò implica che la rappresentazione grafica delle coppie
(Ti, yi) non costituisce una vera e propria curva.
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LA STRUTTURA PER SCADENZA DEI
TASSI DI INTERESSE.
Per ovviare a questi inconvenienti, si può
pensare di costruire la curva dei rendimenti
considerando solo gli zero-coupon bond che,
essendo privi di cedola, non danno problemi
di reinvestimento.
La particolare curva dei rendimenti che si
ottiene a partire da tali titoli costituisce la
struttura per scadenza.
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Tassi spot
Si definiscono tassi spot o tassi a pronti i tassi d’interesse che il
mercato finanziario adotta a una determinata epoca t per
valutare prestazioni finanziarie certe (ovvero zero-coupon bond)
esigibili alle scadenze future T (quindi di durata k = T- t).
I tassi spot si indicano con Rk, k=1,2,….. .
Dalla definizione risulta chiaro che il tasso spot Rk si identifica
con lo yield di un’obbligazione a capitalizzazione integrale che
scade tra k periodi.
Si definisce struttura per scadenza dei tassi di rendimento (o
term structure of interest rates) la successione
{Rk k = 1,2,...}
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Struttura per scadenza dei tassi
La struttura per scadenza descrive
completamente il mercato al tempo t e quindi
rappresenta compiutamente la valutazione di
non arbitraggio che il mercato esprime ad un
certo istante t per investimenti finanziari che
iniziano alla data corrente t e a scadenza
qualsiasi. Essa tuttavia evolve nel tempo, in
corrispondenza delle mutate condizioni del
mercato.
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Esempio_1
Si consideri un’obbligazione che prevede:
pagamenti periodici cedolari di importo C
il rimborso del capitale (100 €) alla scadenza.
Disponendo dei tassi spot ad ogni scadenza, la
valutazione di non arbitraggio dell’obbligazione risulta
allora la somma dei valori attuali dei pagamenti
futuri, ciascuno attualizzato al tasso che compete alla
scadenza in cui si manifesta.
Pertanto il valore V dell’obbligazione dovrà essere:
C
100
+
V =∑
n
k
k =1(1 + R )
(1 + Rn )
k
n
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Esempio_2
Un’obbligazione promette il pagamento di 5 € ogni 6 mesi e di
100 € alla scadenza fra 18 mesi. Si supponga inoltre che l’unità
di tempo sia il semestre, e che esistano sul mercato zerocoupon bond a scadenza 6, 12 e 18 mesi, cui sono associati i
rispettivi tassi spot R1=5%, R2=4.5%, R3= 4%. L’acquisto
dell’obbligazione dà diritto a ricevere le stesse prestazioni di un
paniere di zero-coupon bond così composto:
5 unità a scadenza 6 mesi
5 unità a scadenza 112 mesi
105 unità a scadenza 18 mesi
Il suo prezzo totale deve essere
5
5
105
+
+
= 102.69 €
2
3
(1.05) (1.045) (1.04)
Questo è il prezzo „equo“ dell‘obbligazione: se il suo prezzo di mercato
fosse superiore a € 102.69 il suo acquisto non sarebbe conveniente;
se fosse inferiore, risulterebbero sovraquotati gli zero-coupon bond.
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Come si calcola un tasso spot a k periodi se non
sono disponibili zero-coupon bonds
Si supponga ad esempio che si voglia determinare il
tasso spot R2 (periodi misurati in anni) ma che non
esistano zero-coupon bond di scadenza 2 anni,
mentre esista invece un’obbligazione con cedola, a
scadenza 2 anni con prezzo P2, valore alla scadenza
M2 e un pagamento ad un anno dall’istante iniziale
con cedola di valore C1 (l’obbligazione D); si
supponga inoltre che sia noto il tasso spot ad un
anno R1. Il tasso spot a 2 anni si può allora
determinare risolvendo nell’incognita R2 l’equazione
C1
M2
P2 =
+
.
2
(1 + R1 ) (1 + R2 )
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Esempio
Riprendendo l’esempio di pag.10,
considerando l’obbligazione A (per la
quale R1 = 7%) e l’obbligazione D si
ottiene:
50
1050
946.93 =
+
(1 + 0.07) (1 + R2 )2
da cui R2 = 8%.
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Tassi forward
Si definiscono tassi forward (o tassi a termine o tassi
impliciti) i tassi d’interesse implicati dai tassi spot per
periodi di tempo nel futuro. I tassi forward sono degli
strumenti di valorizzazione dei contratti differiti nel
tempo.
Il tasso forward srp indica il tasso d’interesse che il
mercato ritiene debba manifestarsi tra s periodi per
impegni che si protrarranno per ulteriori p periodi.
Indicando con Rk il tasso spot a k periodi, dovrà
risultare:
(1+Rs+p)s+p = (1+Rs)s(1+srp)p
1
s+ p
s+ p p
(1
+
R
)
s+ p
 (1 + Rs + p ) 
(1+srp)p =
e quindi srp = 
−1

s
 (1 + Rs ) 
(1 + Rs )s
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Esempio
In un mercato che presenta i seguenti
tassi spot: R1=7%, R2= 8% , quale è il
tasso forward 1r1 tra un periodo per un
ulteriore periodo?
Si ha s=1, p=1, s+p=2, pertanto si
ottiene
(1 + R2 )
−1
(1 + R1 )
2
1r1
=
e quindi 1r1 = 9.01%.
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Duration
Durata media finanziaria
Interessante è esaminare la variazione
istantanea del prezzo conseguente a una
variazione infinitesima dello yield, conseguente
ad esempio a mutate condizioni del mercato
obbligazionario. A tale scopo si calcola la
derivata della funzione prezzo rispetto a y
mantenendo costante il tempo t0 (la funzione è
continua e derivabile per ogni y>-1)
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Non è difficile dimostrare
(vedi libro di testo) che
questa derivata non è altro
che la duration della rendita,
H
le cui rate costituiscono i
D= th −t0 wh
flussi di cassa
h=1
dell’obbligazione.
Essa esprime una media
delle scadenze dei flussi di
con
cassa, ponderate per i
rispettivi valori attuali come
1
t0 −th
w
=
C
(
1
+
y
)
quote del valore
h
h
P
complessivo
dell’obbligazione.
∑(
)
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Duration
Dopo ulteriori passaggi (vedi libro di
testo) si ottiene
dP
d (1 + y )
= −D
1+ y
P
ossia la variazione del prezzo
dell’obbligazione provocata da una
variazione del fattore di montante
(1+y) (ovvero del tasso y) è
proporzionale alla duration.
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Infine abbiamo l’espressione della
duration come (a meno del segno)
l’elasticità del prezzo rispetto al fattore
di montante (1+y).
D=−
dP
d (1 + y )
P
(1 + y )
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Esempio_1
Duration di uno Zero-coupon bond
(ZCB)
Uno ZCB prevede un unico pagamento
alla scadenza, cioè a tH-t0 e pertanto il
suo prezzo vale
CH
P=
(1 + y )t H −t0
quindi
1
t0 −t H
D = (t H − t0 ) C H (1 + y )
= t H − t0
P
La duration di uno ZCB è uguale
alla sua vita residua (tH−t0).
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Esempio_2
Duration di una rendita perpetua a
cedola costante C.
Il valore di una rendita perpetua allo
stacco cedola è P=C/y. Quindi
dP
C
=−
2
dy
y
si ha
e siccome
1+ y
D=
y
−
C
y2
=−
P
D
1+ y
Questa quantità rappresenta un “valore limite” per le
obbligazioni a scadenza finita e cedole periodiche. In
altre parole, all’aumentare della scadenza, la duration
tende ad avvicinarsi alla duration di una rendita
perpetua.
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