Caratteristiche e predisposizione dei regolatori PID - ICAR

Controllo di Azionamenti Elettrici
Lezione n°3
Corso di Laurea in Ingegneria dell’Automazione
Facoltà di Ingegneria
Università degli Studi di Palermo
Caratteristiche e predisposizione
dei regolatori PID
1
Introduzione
I regolatori ad azione Proporzionale, Integrale e Derivativa (regolatori PID) sono i regolatori lineari
maggiormente utilizzati in ambito industriale. Infatti, nel controllo di molti processi industriali, a fronte di
notevoli variazioni delle caratteristiche dinamiche dei sistemi controllati, risulta economicamente
conveniente che gli apparati di controllo siano unificati. Più precisamente, la tendenza in atto è quella di fare
in modo di disporre di apparati di controllo standard, ma provvisti di dispositivi di correzione con parametri
regolabili entro certi limiti, in modo tale da potere essere adattati al particolare sistema di regolazione in cui
vengono inseriti. Quindi, nell’ambito dei sistemi di regolazione, l’apparato controllante viene di solito
realizzato a struttura fissa e a parametri aggiustabili. In tale situazione il compito del progettista consiste
nell’assegnare i valori dei parametri, nel loro campo di escursione, in modo tale che siano soddisfatte le
specifiche di progetto; l’operazione a seguito della quale vengono fissati i valori dei predetti parametri prende
il nome di predisposizione dei regolatori.
2
Caratteristiche dei regolatori PID
1.
Il loro impiego consente di controllare in modo soddisfacente un’ampia
gamma di processi
2.
Sono sviluppate semplici regole per la loro taratura automatica,
applicabili con buoni risultati anche nel caso in cui non sia disponibile un
modello matematico preciso del sistema da controllare
3.
Per la loro semplicità i regolatori PID possono essere realizzati con le
tecnologie più varie: elettroniche analogiche e digitali, meccaniche,
pneumatiche, idrauliche, etc.
4.
Rendono possibile la realizzazione di schemi di controllo complessi in
tempi brevi e con costi contenuti
3
Caratteristiche dei regolatori PID (2)
d
r
+
e
regolatore
u
attuatore
m
sistema
controllato
y
-
ym
trasduttore
di misura
La variabile di controllo m viene generata dalla somma di tre contributi
¾ un primo contributo proporzionale all’errore e tra il segnale di riferimento r e la variabile
d’uscita y (o una sua misura ym) del sistema controllato;
¾
un secondo contributo proporzionale all’integrale dell’errore e (e quindi al suo valore
medio), in modo che l’errore a regime si possa annullare a fronte di segnali di riferimento o
disturbi additivi costanti;
¾ un terzo contributo proporzionale alla derivata dell’errore e, in grado di fornire un’azione
anticipativa sull’andamento dell’errore stesso
4
Parametri dei regolatori PID
d
r
+
e
regolatore
u
attuatore
m
sistema
controllato
y
-
ym
trasduttore
di misura
KI
K Ds2 + K Ps + K I
TI TD s 2 + TI s + 1
GPID ( s ) = K P +
+ KDs =
= KP
s
s
TI s
KP prende il nome di coefficiente dell’azione proporzionale
KI e KD prendono il nome, rispettivamente, di coefficiente dell’azione integrale e coefficiente
dell’azione derivativa
banda proporzionale: PB=100/KP.
tempo integrale: TI = KP/KI
tempo derivativo: TD = KD/KP
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Tipi di regolatori
regolatore proporzionale (P):
GP ( s ) = K P
regolatore integrale (I):
GI ( s ) =
KP
TI s
regolatore proporzionale-integrale (PI)
:

1 

GPI ( s ) = K P 1 +
T
s

I 
regolatore proporzionale-derivativo (PD):
GPD ( s ) = K P (1+ TD s )
regolatore proporzionale-integrale-derivativo (PID):

1
GPID ( s ) = K P 1 +
+ TD
 TI s

s 

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Caratteristiche dell’azione proporzionale
¾ Per avere un errore a regime basso è necessario occorre un guadagno
d’anello elevato, occorre che sia elevato il coefficiente dell’azione
proporzionale (KP)
¾ Possibili problemi riguardanti la stabilità del sistema a catena chiusa
¾ Vantaggio dovuto al fatto che un valore elevato del coefficiente
dell’azione
proporzionale
riduce
gli
effetti
delle
variazioni
parametriche e dei disturbi
¾ Dal punto di vista dinamico l’azione proporzionale produce un
aumento della banda passante, quindi una migliore prontezza di
risposta, ma allo stesso tempo riduce i margini di stabilità.
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Caratteristiche dell’azione integrale
¾ La funzione principale dell’azione integrale è quella di annullare
l’errore a regime in presenza di disturbi costanti sulla variabile
d’uscita.
¾ Dal punto di vista dinamico l’azione integrale porta ad un
peggioramento dei margini di stabilità in quanto introduce nella
funzione di trasferimento a catena aperta un ritardo di fase pari a π/2.
¾ Riduzione della banda passante.
8
Caratteristiche dell’azione derivativa
¾ Migliora i margini di stabilità in quanto introduce un anticipo di fase
pari a π/2.
¾ Introduce un’azione di controllo proporzionale alla variazione
dell’errore, fornendo, quindi, una correzione che anticipa l’andamento
dell’errore nel tempo.
¾ Svantaggio legato all’aumento della banda passante che porta ad
amplificare i segnali con contenuto armonico a frequenze elevate
come ad esempio il rumore sovrapposto al segnale utile
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Caratteristiche dell’azione derivativa (2)
¾non è fisicamente realizzabile in quanto la risposta in frequenza ad essa associata ha
modulo crescente al crescere della frequenza
¾nella pratica i regolatori PID sono caratterizzati da un’azione derivativa definita dalla
seguente funzione di trasferimento:
D( s ) =
DN ( s ) K P s TD
=
DD ( s ) 1 + s TD
N
dove N è un parametro il cui valore viene posto pari a 10 ÷ 100 in modo tale che il
polo di valore –N/TD, introdotto in per ottenere la fisica realizzabilità, si collochi al di
fuori della banda di frequenze di interesse per il progetto del sistema di controllo.
¾sovente l'azione derivativa viene imposta soltanto sulla variabile d'uscita y secondo lo
schema riportato in figura.
I
+
r
+
e
+
G(s)
P
-
y
D
10
Il fenomeno del wind-up
¾Fenomeno dovuto alla presenza combinata dell’azione integrale e
della saturazione dell’attuatore
d
r
+
e
regolatore
u
attuatore
m
sistema
controllato
y
-
ym
trasduttore
di misura
− u M , u( t ) < −u M

m( t ) = u( t ), u(t) ≤ u M
u
 M , u( t ) > u M
¾Quando l’errore cambia segno, prima che l’attuatore ritorni in
zona lineare, si deve attendere la scarica dell’azione integrale
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Uno schema anti-wind-up
r
¾ L’attuatore torna a funzionare in zona lineare non appena l’errore cambia segno
¾ Il rientro in zona lineare è istantaneo
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Taratura dei regolatori
¾ Si considerano processi caratterizzati da una dinamica lenta, cioè da una risposta
al gradino essenzialmente non oscillante e da una funzione di trasferimento
avente uno o due poli stabili ed eventualmente un ritardo di tempo
¾ Regole di Ziegler e Nichols: la taratura viene effettuata a partire da una parziale
conoscenza della funzione di trasferimento del processo G(s), ottenibile con
semplici esperimenti effettuati sul processo stesso
¾ Esperimenti in anello chiuso: si controlla il processo mediante un
regolatore proporzionale
¾ Esperimenti in anello aperto in anello aperto: si impongono opportuni
ingressi al sistema controllato
K
−τ s
G( s ) =
e
1+ s T
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Taratura dei regolatori (2)
¾ Il metodo classico di taratura in anello chiuso consiste nel considerare soltanto un’azione di
controllo di tipo proporzionale e nel modificare la sensibilità dell’azione proporzionale Kp
fino a quando il sistema reazionato viene portato ai limiti di stabilità, cioè quando, a fronte di
variazioni a gradino imposte al segnale di riferimento r, l’uscita y del sistema si porta in
oscillazione permanente di periodo T*. Il corrispondente guadagno proporzionale prende il
nome di guadagno critico e in base al suo valore e a quello assunto dal periodo T* i parametri
del regolatore vengono tarati in modo da assumere i valori riportati nella seguente tabella
Kp
P
PI
PID
0.5 K *p
TI
----
0.45 K *p
0.8 T *
0.6 K *p
0.5 T *
TD
----
----
0.125 T *
14
Taratura dei regolatori (3)
Svantaggi delle regole di Ziegler e Nichols :
¾ nel caso in cui il processo sia costituito da impianti particolarmente delicati, quali
ad esempio reattori chimici, non è pensabile portare il sistema ai limiti di
stabilità;
¾ per sistemi descritti da una funzione di trasferimento G(s) del primo ordine senza
ritardo non è possibile portare il sistema in oscillazione permanente agendo
unicamente sul guadagno del regolatore;
¾ il margine di fase che spesso si ottiene usando le regole su esposte risulta
insoddisfacente; ciò porta ad una risposta indiciale che presenta andamento
oscillante con notevole sovraelongazione.
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Altri metodi di taratura dei regolatori
Assegnamento dei poli:
¾ nel caso in cui il ritardo apparente di tempo τ del processo sia trascurabile,
ricorrendo ad un controllore PI è possibile assegnare i poli del sistema a
catena chiusa. In particolare, imponendo che il polinomio caratteristico del
sistema a catena chiusa assuma la seguente forma:
Λ( s) = s 2 + 2ξω n s + ω n2
2ξω n T − 1
KP =
K
TI =
2ξω n T − 1
Tω n2
Affinchè i i valori di Kp e TI siano positivi deve essere:
ξω n > 0.5 T
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Altri metodi di taratura dei regolatori
Assegnamento del margine di guadagno
¾ è possibile assegnare il margine di guadagno per il sistema a catena chiusa
avente funzione di trasferimento a catena aperta pari a
F ( jω ) = GPID ( jω )G( jω )
¾ il punto A, individuato mediante la procedura di taratura fornita dal metodo di
Ziegler e Nichols in anello chiuso precedentemente descritto, deve essere spostato
nel punto A1 corrispondente al margine di guadagno Km che si deve imporre
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Altri metodi di taratura dei regolatori
Assegnamento del margine di guadagno (2)
¾ si impone che la pulsazione ωπ in cui il diagramma polare F(jω) di
interseca il semiasse reale negativo coincida con la pulsazione critica ω* =
2π
T*
K *P
KP =
km
¾ Se si vogliono migliorare le prestazioni statiche del sistema a catena chiusa si deve
ricorrere all’azione integrale; inoltre, ipotizzando sempre ωπ = ω* , è necessario
introdurre anche l’azione derivativa in modo tale che lo sfasamento introdotto in
corrispondenza a ω* sia nullo. Quindi è necessario che sia verificata la relazione:
1
jω*TI
TI = 4 TD
+ jω*TD = 0
TI =
2
ω
*
TD =
1
2ω *
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Altri metodi di taratura dei regolatori
Assegnamento del margine di fase
¾ nel caso in cui si voglia ottenere un dato margine di fase ϕ m , si impone che la
pulsazione ωπ in cui il diagramma polare F(jω) di interseca il semiasse reale
negativo coincida con la pulsazione critica ω* = 2π*
*
*
arg( GPID ( jω )G( jω )) = (
ϕm
180
T
− 1 )π
GPID ( jω * )G( jω* ) = 1
¾ il punto A individuato con la procedura di Ziegler e Nichols in anello chiuso
viene spostato nel punto A2 corrispondente al margine di fase desiderato
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Altri metodi di taratura dei regolatori
Assegnamento del margine di fase (2)
¾ è necessario ricorrere all’azione derivativa del regolatore PID in modo tale da
poter ottenere l’anticipo di fase necessario in corrispondenza alla pulsazione
*
critica ω =
2π
T*
arg( K PG( jω * )) = −π
KP > 0
arg( 1 +
1
jω TI
K P(1 +
ω*TD −
*
+ jω*TD ) =
1
jω *TI
+ jω *TD )
ϕm
180
π
−1
=1
*
KP
1
*
(
)
=
tan
ϕ
K
=
K
m
P
P cos(ϕ m )
*
ω TI
TI = 4 TD
20
Altri metodi di taratura dei regolatori
Approccio a modello interno (IMC – Internal Model Control)
d
r
+
u
e
Q(s)
F(s)
+
+
y
G(s)
-
+
Gm(s)
-
Gm(s) rappresenta il modello del processo G(s) che si suppone essere
asintoticamente stabile
Q(s) viene scelta come un’inversa approssimata di Gm(s), cioè della parte di Gm(s)
a fase minima
F(s) viene considerata come un filtro del primo ordine con funzione di
trasferimento pari a:
1
F( s ) =
21
1+ s Tf
Altri metodi di taratura dei regolatori
Approccio a modello interno (2)
d
r
+
u
e
Q(s)
F(s)
+
+
y
G(s)
-
+
Gm(s)
Q( s ) =
-
1+ s T
K
¾ Lo schema di controllo a modello interno equivale ad un classico controllo in
retroazione nel quale la funzione di trasferimento del regolatore R(s) assume
la forma
Q( s )F ( s )
R( s ) =
1 − Q( s )F ( s )Gm ( s )
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Altri metodi di taratura dei regolatori
Approccio a modello interno (3)
Gm ( s ) =
K
e −τ s
1+ s T
¾ Se si approssima e −τ s con il suo sviluppo in serie troncato al primo termine
e−τ s ≅ 1 − τ s
si ottiene la seguente funzione di trasferimento R(s) del regolatore
R( s ) =
1+ s T
K s (τ + T f )
¾ Corrisponde ad un regolatore PI avente i seguenti parametri
Kp =
T
K(τ + Tf )
Ti = T
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Altri metodi di taratura dei regolatori
Approccio a modello interno (4)
K
e −τ s
1+ s T
¾ Se si approssima e −τ s con l’approssimante di Padé
Gm ( s ) =
e −τ s ≅
1− s
1+ s
τ
2
τ
2
si ottiene la seguente funzione di trasferimento R(s) del regolatore
τ
τ
( 1 + s )( 1 + s T )
( 1 + s )( 1 + s T )
2
2
R( s ) =
≅
τ
K s( τ + T f )
K s( τ + T f + s T f )
2
¾ Corrisponde ad un regolatore PID avente i seguenti parametri
T + 0.5τ
Kp =
K(τ +Tf )
Ti = 0.5τ +T
Td =
0.5τ T
0.5τ +T
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