Scomposizione di un polinomio

Scomposizione di un polinomio
Capitolo
6
Scomposizione di polinomi 1
Verifica per la classe prima
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Raccoglimento 1.a Stabilire se le seguenti uguaglianze sono vere o false:
a fattor
1. 2ab2 4a2b ab ab12b 4a 2
comune
2. 3a4 2a 3a3 2 13a3 2 2 1a 1 2
Punti
V
F
V
F
1.b Il polinomio 2x3 2x2y 6x2 3xy2 3y3 9y2 si scompone in:
a
b
c
d
12x 3y2 1x2 y2 3 2
.../...
.../...
12x2 3y2 2 1x y 3 2
12x2 3y2 2 1x 2y 3 2
12x2 3y2 1x y2 3 2
1.c Scomporre in fattori i seguenti polinomi:
1. 15x 1 2 2x15x 1 2 5x 1
.../...
2
2.
4
1
4
1
b c2 ac2 ab
9
9
3
3
Prodotti 2.a La differenza tra due quadrati può essere scomposta come prodotto
della ................... delle loro basi per la ...................... tra le loro basi.
notevoli
.../...
2.b Completare i seguenti trinomi in modo da ottenere quadrati di binomi:
.../...
1. 4x 8xyz ....... 1..... ..... 2
9
2. a2b2 25b2 ...... 1..... ..... 2 2
4
2
2
2.c Completare i seguenti quadrinomi in modo da ottenere cubi di binomi:
125
27 9 9 6
1.
a a ...... 1....... ....... 2 3
125
5
27
.../...
2.d Scomporre in fattori il seguente polinomio:
4 2 2 1 2
8
2
x y z 4t 2 xyz xyt 2zt
9
4
3
3
.../...
Trinomio 3.a Scomporre in fattori i seguenti trinomi di secondo grado:
di secondo
1. x 2 12x 35
grado
2. x 2 7xy 12y2
.../...
2. x6 12x4 482 ..... 1....... ....... 2 3
© 2007 RCS Libri S.p.A.
79
3.b Determinare i possibili valori di k per i quali il trinomio Punti
.../...
x 2 kx 16 può essere scomposto in fattori a coefficienti interi.
80
3.c Determinare i possibili valori di k per i quali il trinomio x 2 7x k
può essere scomposto in fattori a coefficienti interi e positivi.
.../...
Polinomi in 4.a Indicare quali dei seguenti valori di x sono zeri per la funzione polinomiale x4 x 3 11x 2 9x 18.
una variabile
.../...
a
1
c
3
b
3
d
2
4.b Dati due polinomi p1x2 2x 1 e g1x2 x 2 , determinare p(0) e
g(0).
Verificare inoltre che p11 2 g11 2 .
.../...
4.c Determinare per quali valori del parametro k il polinomio
p1x2 x 3 4x 2 2x k 8 verifica la condizione p11 2 2 .
.../...
© 2007 RCS Libri S.p.A.
Capitolo
Scomposizione di un polinomio
6
Scomposizione di polinomi 2
Verifica per la classe prima
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema 1.a Un polinomio P 1x2 è divisibile per il binomio 1x k2 se:
del resto
a P 1k2 0
c P 1k2 0
b
k è il resto della divisione 1x k2 : P 1x2
d
1.b Il resto della divisione 1x 2 4x 8 2 : 1x 2 2 è:
a
12
b
2
c
8
d
Punti
.../...
P 1x2 k
.../...
0
1.c Il polinomio x 4 x 3 4x 2 4x è divisibile per:
.../...
1. x 1
V
F
2. x 2
V
F
3. x 2
V
F
Regola 2.a Secondo la regola di Ruffini, stabilire quali sono i numeri razionali k
di Ruffini
che possono essere sostituiti in 1x k2 per ricercare i divisori di primo grado del seguente polinomio:
.../...
10x 9x 2 3 4x 3
2.b Fattorizzare il polinomio dell’esercizio 2.a applicando la regola di
Ruffini.
.../...
.../...
Binomi 3.a Scomporre in fattori i seguenti binomi:
del tipo
1. y4 16
xn an
2. 27 a 3
3. x 3y 3 1
M.C.D. 4.a Completare la seguente tabella:
m.c.m.
polinomio
fattori
.../...
M.C.D.
m.c.m.
x2 2x 8
x 4 16
x 3 7x 2 10x
Equazioni 5.a Dopo aver scomposto in fattori di primo grado il polinomio a primo
membro, risolvere le seguenti equazioni:
25
1. x 2 0
16
.../...
2. x 3 x 2 20x 0
5.b Determinare per quali valori di k l’equazione
.../...
x 4 kx 3 13x 2 38x 12k 0
ha soluzione x 1 .
© 2007 RCS Libri S.p.A.
81
Capitolo
6
Scomposizione di un polinomio
Scomposizione di polinomi
Test a risposta multipla per la classe prima
COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Riportare in tabella le lettere corrispondenti alle risposte esatte.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
1. Il polinomio x 2 7x 10 si scompone in fattori in:
a
b
1x 5 2 1x 2 2
c
1x 10 2 1x 1 2
d
1x 5 2 1x 2 2
non si scompone in fattori.
2. Gli zeri del polinomio x 2 7x 10 sono:
a
5; 2
b
10; 1
c
5; 2
d
non ammette zeri.
3. Il binomio x n a n ( a H 0, n H 0 ) si può scomporre in fattori solo se:
a
a 7 0 oppure n dispari
c
n dispari con n 1
b
a 6 0
d
a 6 0 con n pari
4. Il binomio x n a n ( a H 0, n H 0 ) si può scomporre in fattori solo se:
a
a 6 0
5. Il polinomio
b
n dispari
c
n pari
d
n 7 1
8 2 2 2
xy x si scompone in:
3
9
a
2 x2
a 4xy2 b
3 3
c
2
1
x 2 a4y2 b
3
3
b
2
x1x 12y2 2
9
d
2x a
4 2
y 9x b
3
6. Quale dei seguenti polinomi è irriducibile?
a
9 x2
b
9 x2
c
8 x3
d
8 x3
7. Quale valore deve assumere k affinché il polinomio x2 4kx 1 sia il quadrato di un binomio?
1
1
a k 1
b k
c k
d k2
4
2
8. Il valore x0 si chiama zero della funzione f 1x2 se risulta:
a
x0 0
b
f 1x0 2 0
c
f 1x2 x0
d
f 10 2 x0
9. La funzione f 1x2 3kx 7k 4 è tale che f 15 2 0 per
1
a k0
b k5
c k d k 2
2
82
© 2007 RCS Libri S.p.A.
10. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?
a Un trinomio può essere lo sviluppo del quadrato di un binomio.
b La somma di due potenze a esponente dispari è sempre scomponibile.
c Un polinomio di quarto grado può essere lo sviluppo del quadrato di un binomio.
d Un binomio (di grado n 7 1) si può scomporre solo se i suoi termini hanno segno opposto.
11. Il resto della divisione del polinomio A1x2 x 3 2x 3 per il polinomio B1x2 x 1 è
a
4
b
2
c
0
d
6
d
x 4a
d
nessuna delle precedenti
d
nessuna delle precedenti
12. Il polinomio x 3 4ax 2 3a2x è multiplo di
a
x 3a
b
x 3a
c
x 4a
13. Il m.c.m. tra i due polinomi x 2 1 e x 2 1 è:
a 2x 2
b 1
c 1x 1 2
14. Il M.C.D. tra i due polinomi x 3 x e x 3 x è:
a
x
b
1x 1 2x
c
x6
15. L’equazione x 4 9x 3 0 ha le soluzioni:
a
x 0; x 9
c
x 0; x 3
b
x 0; x 9
d
x 0; x 3
16. L’equazione 4x 2 k 2 ha le soluzioni x 2; x 2 se k è:
a
4
b
16
c
4
d
16
17. Quale valore dovrebbe assumere k affinché il polinomio kx 2 1 non sia scomponibile in fattori?
a
k2
b
k1
c
k 1
d
nessuna delle precedenti
18. Il polinomio P1x2 è divisibile per x a se
a
P1a 2 0
b
P1a 2 0
c
P1x a 2 0
d
P1x2 0
19. Quale dei seguenti polinomi è lo sviluppo del quadrato di un binomio?
a
x4 2x3 1
c
x4 1
b
x 2x 1
d
x6 2x 3 1
6
4
20. Quale dei seguenti polinomi non è divisibile per x A ?
a
b
Ax 2 A2x
x 2 1A 1 2 x A
c
x 2 Ax A 1
d
x 2 Ax
21. Il polinomio 2y2 2xz yz 4xy scomposto in fattori è:
a
b
12x y2 12y z 2
12x y2 1z 4x2
© 2007 RCS Libri S.p.A.
c
d
1y 2x2 12y z2
14x y2 12y z2
83
22. Quale dei seguenti polinomi è scomposto in fattori?
a
b
3x 2 3x
3x 2 11 3x 2 2
c
d
3x 2 11 3x 2 2 3x 2
nessuno dei precedenti
23. Se il polinomio A1x2 è divisibile per il polinomio B1x2 2x 2a, qual è il resto della divisione di A1x2 per B1x2 ?
a
2a
c
2
b
0
d
a
24. Il quoziente della divisione del polinomio A1x2 di grado n 1 per il polinomio B1x2 di grado n 1 1n 7 1 2 è un polinomio di grado:
a
2
c
2n 1
b
2n
d
2n 1
25. Due polinomi P1x2 e Q1x2 hanno m.c.m. 1x 3 2 1x 1 2 e M.C.D. 1. Quali potrebbero essere tra i seguenti?
P1x2 x2 9 6x
a
Q1x2 x2 1 2x
P1x2 1
b
Q1x2 1x 3 2 1x 1 2
P1x2 x 3
c
Q1x2 1x 3 2 1x 1 2
P1x2 x 1
d
Q1x2 x2 2x 3
26. Il prodotto 12x 1 2 14x 2 1 2x2 è equivalente a:
a
b
84
12x 1 2 3
14x 2 1 2 12x 1 2
c
d
8x 3 1
14x 1 2 2 12x 1 2
© 2007 RCS Libri S.p.A.
Capitolo
Scomposizione di un polinomio
6
Scomposizione di polinomi 1: verifica e prova strutturata a risposta multipla
Obiettivi
Scomporre un polinomio mediante raccoglimenti a fattor comune
Scomporre un polinomio mediante prodotti notevoli
Scomporre un trinomio mediante la regola del trinomio
Calcolare il valore della funzione polinomiale
●
●
●
Test
1.a; 1.b; 1.c
2.a; 2.b; 2.c; 2.d
3.a; 3.b; 3.c
4.a; 4.b; 4.c
5, 21
7, 10, 19, 26
1, 20
8, 9, 10
Soluzioni degli esercizi
1.a
b
§2
§3
§5
§6
tempo previsto: 60 min
1.b 1.c
1. F;
2. F
Teoria al
paragrafo
Verifica
2.a
2.b
1. 7x(5x 1) somma; 1. (2x2yz)
2
differenza
1
3
2. (4b 2.
a
ab
5bb
9
2
c2) (3a 1)
2
2.c
2.d
3.a
1.
1. (x5)(x7)
2
3
5 3 a xy 2. (x3y)(x4y)
a a3 b 3
5
3 2.
2
1
z2t b
2.
2
(x2 4)3
3.b
3.c 4.a 4.b
4.c
8; 6; b; c 1; 0 5
10; 10;
17 12
Scomposizione di polinomi 2: verifica e prova strutturata a risposta multipla
Obiettivi
Utilizzare il teorema del resto
Scomporre un polinomio mediante la regola di Ruffini
Scomporre un binomio del tipo xn an
Determinare M.C.D. e m.c.m. di polinomi
Risolvere un’equazione di grado superiore al primo (applicando la legge
di annullamento del prodotto)
Calcolare il valore di un parametro di un’equazione letterale, dato il valore di una radice
●
●
●
●
●
Teoria al
paragrafo
Verifica
Test
1.a; 1.b; 1.c
2.a; 2.b
3.a
4.a
5.a
11, 23
12, 18, 24
3, 4, 5, 6
13, 14, 25
2, 15
§7
§9
§ 10
§ 11
§ 12
5.b
16, 17
§6
Soluzioni degli esercizi
tempo previsto: 60 min
1.a
1.b
1.c
2.b
3.a
a
a
1. F; 2. V; 4(1 x) (x 3. V
1
) (x 3)
4
4.a
5.b
1. (y 2) (y 2) (y2 4) M.C.D. x 2
5
2. (a 3) (a2 3a 9) m.c.m. x(x 2) 1. x 4
3. (xy 1) (x2 xy 1) (x 2) (x 4) 2. x 0; x 4;
(x 5) (x2 4)
x5
Soluzioni quesiti prova strutturata a risposta multipla
k2
tempo previsto: 60 min
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
a
c
c
d
b
b
c
b
c
d
a
b
d
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
a
b
c
c
a
d
c
a
d
b
a
b
c
© 2007 RCS Libri S.p.A.
5.a
85