Lo spazio delle coniche.

Pre-appunti versione 25 maggio 2004
Lo spazio delle coniche.
Lo spazio delle coniche.
Introduzione.
Vogliamo studiare l’insieme formato da tutte le coniche del piano proiettivo.
1. Preliminari.
Prima di parlare di coniche (“punti del piano proiettivo che soddisfano ad” equazioni di secondo grado
omogenee nelle tre variabili), vediamo come esercizio il caso più facile di quadriche sulla retta proiettiva
P1 (K), cioè “i luoghi dei punti della retta che soddisfano ad” equazioni omogenee di secondo grado nelle
due variabili. Si noti che noi identifichiamo le coniche con le loro equazioni; considerare l’insieme dei punti
che soddisfano tali equazioni può in generale dare dei problemi (che dipendono dal corpo che si usa: due
equazioni non proporzionali possono avere le stesse soluzioni, ad esempio l’insieme vuoto, se il corpo non è
algebricamente chiuso).
2
2
non tutti
Chiaramente, essendo identificata dall’equazione a00 X
0 + 2a01 X0 X1 a11 X1 = 0 a coefficienti
a00 a01
nulli, si tratta di una “coppia di punti”: se A = a01 a11 ponendo ∆ = − det(A) = a201 −a00 a11 possiamo
distinguere
tre casi:
√
(e) ∆ ∈
/ K, allora si tratta di due punti distinti non razionali su K (cioè in P1 (K) ma non in P1 (K):
coppia
ellittica di punti);
√
(i) ∆ ∈ K, ∆ 6= 0, allora di tratta di due punti distinti razionali su K (cioè di P1 (K): coppia iperbolica
di punti);
(p) ∆ = 0, allora si tratta un punto (doppio), razionale su K (coppia parabolica di punti).
D’altra parte scelto un riferimento della retta proiettiva, e detto C l’insieme di tutte le quadriche della
retta, abbiamo una applicazione
C −−−→ P2 (K)
che manda una conica di matrice A nel punto (a00 , a01 , a11 ) di P2 (K). Questa applicazione è ben definita
(non tutti i coefficienti di una quadrica sono zero, e sono definiti a meno di moltiplicazione per uno scalare
non nullo), ed è chiaramente una biiezione. Dunque le quadriche sulla retta proiettiva formano uno spazio
proiettivo di dimensione due.
L’esercizio consiste nel fare un disegno di questo piano identificando i seguenti sottinsiemi:
(1) le quadriche “paraboliche”;
(2) le quadriche “ellittiche”;
(3) le quadriche “iperboliche”;
(4) le quadriche che hanno esattamente un punto nella retta affine complementare del punto (0, 1) (cioè le
quadriche della retta proiettiva che contengono quel punto).
2. Lo spazio delle coniche.
2.1. Le coniche di P2 (K) formano uno spazio proiettivo su K di dimensione cinque. Infatti, scelto
un riferimento sul piano proiettivo, ogni conica è individuata da una matrice simmetrica A d’ordine tre a
coefficienti in K non tutti nulli. Quindi detto C l’insieme di tutte le coniche, l’applicazione
C −−−→ P5 (K)
che manda una conica di matrice A nel punto (aij ) = (a00 , a01 , a02 , a11 , a12 , a22 ) di P5 (K) è una biiezione.
Identifichiamo subito un sottinsieme notevole: le coniche degeneri sono quelle per cui det(A) = 0;
dunque corrispondono al sottinsieme di P5 (K) formato dai punti che soddisfano ad una equazione di terzo
grado nelle aij : scriverla esplicitamente.
2.2. Sistemi lineari di coniche Diciamo sistemi lineari di coniche le famiglie di coniche che corrispondono a varietà lineari di P5 (K), e condizioni lineari quelle che determinano un sistema lineare. La
condizione si dice n-pla se determina una varietà di dimensione 5 − n di P5 (C). Fasci sono i sistemi lineari
di dimensione uno.
Condizioni lineari sono:
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(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
il
il
il
il
il
passaggio
passaggio
passaggio
passaggio
passaggio
per
per
per
per
per
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un punto (condizione semplice);
due punti distinti (condizione doppia),
tre punti (condizione tripla),
quattro punti (condizione quadrupla, se i quattro punti non sono tutti allineati),
un punto e con data tangente (condizione doppia).
2.3. Esercizio. Per cinque punti in generale passa una ed una sola conica; spiegare questa affermazione,
specificando cosa significa l’espressione “in generale” (significa “sempre tranne che in casi speciali”).
2.4. Esercizio. Non è lineare invece la condizione di avere una data tangente, se non si prefissa il
punto di tangenza. Sappiamo infatti che le parabole del piano affine complementare della retta X0 = 0 sono
le coniche tangenti a quella retta. D’altra parte si riconoscono dall’equazione a11 a22 − a212 = 0. Dunque
esse formano una quadrica dentro allo spazio delle coniche. Classificare questa quadrica, tenendo conto del
significato geometrico in termini di famiglie di coniche; in particolare:
(1) far vedere che si tratta di una quadrica degenere di rango 3; dunque un cono di vertice un piano (che
proietta una conica non degenere di un piano complementare);
(2) il vertice è il piano di equazioni a11 = a12 = a22 = 0 e i suoi punti corrispondono a coniche degeneri,
unione della retta X0 = 0 con un’altra retta.
(3) nel piano di equazioni a00 = a01 = a02 = 0 (complementare del vertice), la quadrica taglia un conica
non degenere i cui punti corrispondono a coniche degeneri costituite da doppie rette;
(4) concludere che ogni parabola (non degenere) si scrive (unicamente?) come somma di due coniche
degeneri: una retta doppia, e l’unione di una retta con la retta all’infinito.
2.5. Esercizio. Studiare la condizione di essere tangenti a due fissate rette, senza prefissare i punti di
tangenza.
2.6. Fasci di coniche. Sia ora K = R e studiamo i fasci di coniche, cioè le famiglie di coniche
corrispondenti a una retta dello spazio P5 (R) delle coniche. Tre coniche di matrici A, B, A + B di un fascio
determinano un sistema di coordinate proiettivo sul fascio, per cui ogni conica C(λ, µ) del fascio si scrive
tramite l’equazione X t (λA+µB)X = 0 e le coniche degeneri del fascio sono individuate da det(λA+µB) = 0,
equazione omogenea di grado tre in λ e µ. Ogni fascio di coniche irriducibile (i.e. tale che non tutte le sue
coniche siano riducibili) contiene dunque da una a tre coniche riducibili. Si dice ciclo base di un fascio la
somma formale dei punti per cui passano tutte le coniche di quel fascio.
2.7. Esercizio. Prima di affrontare la classificazione dei fasci irriducibili, conviene studiare le possibili
intersezioni di due coniche nel piano proiettivo reale; vi sono vari casi possibili: elencarli tutti.
2.8. Classificazione dei fasci irriducibili:
(i) fascio di ciclo base A + B + C + D, cioè passanti per i quattro punti assegnati; vi sono tre coniche
degeneri: (A ∨ B) + (C ∨ D), (A ∨ C) + (B ∨ D), (A ∨ D) + (B ∨ C);
D
C
B
A
(ii) fascio di ciclo base 2A + B + C, cioè passante per i tre punti dati e con tangente r assegnata in A; vi
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sono due coniche degeneri: r + (B ∨ C) e (A ∨ B) + (A ∨ C);
C
B
A
r
(iii) fascio di ciclo base 2A + 2B, cioè passante per i due punti dati e con tangenti r ed s assegnate tali che
A∈
/seB∈
/ r; vi sono due coniche degeneri: r + s e 2(A ∨ B);
B
s
A
r
(iv) fascio di coniche osculatrici a una conica irriducibile C in A (r sia la tangente); ciclo base 3A + B con
B 6= A un punto di C ; unica conica degenere del fascio è r + (A ∨ B);
B
A
r
(v) fascio di coniche iperosculatrici a una conica irriducibile C in A (r sia la tangente); ciclo base 4A; unica
conica degenere del fascio è 2r.
A
r
2.9. Esercizio. Consideriamo la struttura di piano euclideo standard sul piano affine complementare
della retta X0 = 0. Studiare la famiglia delle circonferenze. In particolare, mostrare che si tratta di (un
sottinsieme di) un sistema lineare di dimensione tre, con ciclo base due punti complessi, uno coniugato
dell’altro.
2.10. Esercizio. Nel piano affine complementare della retta X0 = 0, consideriamo un fascio di coniche
i cui elementi non siano tutti parabole; quante parabole può contenere quel fascio?
3. Esercizi.
3.1. Per i seguenti fasci di coniche, dare una espressione esplicita per il fascio, classificare affinemente
le coniche nel piano affine complementare della retta di equazione X0 = 0, e nel piano affine complementare
della retta di equazione X1 = 0:
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(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
coniche passanti per i quattro punti (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) e (0, 0, 1).
coniche passanti per (0, 1, 1) e (0, 1, −1) e ivi tangenti alle rette passanti per (1, 0, 0).
coniche passanti per (0, 1, 1), (1, 1, 1) e (0, 1, −1) e ivi tangenti alla retta passante per (1, 0, 0).
coniche passanti per (1, −1, 0) e tangenti in (1, 0, 1) alla conica di equazione X02 − X22 + X0 X1 = 0.
coniche iperosculatrici in (1, −1, 0) alla conica di equazione −X02 + X12 + X22 = 0.
3.2. Studiare i seguenti fasci di coniche, specificando le coniche degeneri, il ciclo di base e classificando
affinemente le coniche nei piani affini complementari delle rette di equazioni X0 = 0, e X1 = 0:
(a) λX02 + µX12 − (λ + µ)X22 = 0
(b) λX02 + µX12 − (λ + µ)X1 X2 = 0
(c) λX02 + µX12 − µX22 = 0
(d) (λ + µ)X02 − (λ − µ)X12 − λX22 − 2µX0 X1 + µX0 X2 − µX1 X2
(e) (λ + µ)X02 − (λ − µ)X12 − λX22 − 2µX0 X1 .
3.3. Per ogni α ∈ R trovare l’unica conica passante per i punti (1, 1, 1), (1, 1, −1), (1, −1, 1), (1, −1, −1)
e (1, α, 0). Classificare affinemente tutte queste coniche al variare di α e fare un disegno dei risultati.
3.4. Per ogni α ∈ R trovare l’unica conica tangente in (1, 1, 0) alla retta X1 = X0 , tangente in (1, −1, 0)
alla retta X1 = −X0 , e passante per (1, α, 0). Classificare affinemente tutte queste coniche al variare di α e
fare un disegno dei risultati.
3.5. Per ogni α ∈ R trovare l’unica conica tangente in (1, 1, 1) alla retta X1 = X0 , tangente in (1, −1, −1)
alla retta X1 = −X0 , e passante per (1, α, 0). Classificare affinemente tutte queste coniche al variare di α e
fare un disegno dei risultati.
3.6. In A2 (R) si consideri la famiglia di coniche di equazione
X 2 + (2 + λ)Y 2 + 2XY − 4(1 + λ)Y + 3 + 5λ = 0
al variare di λ in R.
(a) Determinare tutte le coniche degeneri della famiglia.
(b) Classificare affinemente le coniche non degeneri al variare del parametro λ.
(c) Trovare una trasformazione di coordinate che diagonalizzi contemporaneamente tutte le coniche della
famiglia.
(d) È vero o falso che tutte le coniche della data famiglia si scrivono come combinazione lineare delle sue
coniche degeneri?
(e) Si consideri l’estensione usuale a P2R (con coordinate X0 , X1 ed X2 tali che X = X1 /X0 ed Y = X2 /X0 )
delle coniche date; si studi la classificazione (come nei punti (a) e (b)) della data famiglia di coniche nel
piano affine complementare della retta di P2R di equazione X1 = 0.
3.7. In A2 (R) si consideri la famiglia di coniche di equazione
X 2 + (1 + λ)Y 2 − 6λX + 5 = 0
al variare di λ in R.
(a) Determinare tutte le coniche degeneri della famiglia.
(b) Classificare affinemente le coniche non degeneri al variare del parametro λ.
(c) Trovare una trasformazione di coordinate (eventualmente dipendente da λ) che diagonalizzi le coniche
della famiglia.
(d) È vero o falso che tutte le coniche della data famiglia si scrivono come combinazione lineare di una
ellisse e di una parabola?
3.8. In A2 (R) si consideri la famiglia di coniche di equazione
(3 − λ)X 2 − Y 2 + 2XY + 4X + λ = 0
[(λ − 4)X 2 + (λ + 4)Y 2 + 6XY + 4Y + 1 = 0]
al variare di λ in R.
(a) Determinare tutte le coniche degeneri della famiglia.
(b) Classificare affinemente le coniche non degeneri al variare del parametro λ.
(c) Trovare una trasformazione di coordinate che diagonalizzi le coniche non degeneri a centro della famiglia.
(d) È vero o falso che tutte le coniche della data famiglia si scrivono come combinazione lineare delle sue
coniche degeneri?
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