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Università di Roma “La Sapienza”
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
DALLA TEORIA DEI CAMPI
ELETTROMAGNETICI AL MODELLO
DI CIRCUITO A COSTANTI
CONCENTRATE
Seminario interdisciplinare del corso di
Teoria dei Circuiti 1 - I modulo
Docente: Prof. Raffaele Parisi
1
INDICE
1- Descrizione del fenomeno elettromagnetico
(grandezze fisiche, parametri e relazioni costitutive, eq. Maxwell)
2- Problema fondamentale dell’elettromagnetismo
(approccio campistico e circuitale)
3- Ipotesi di costanti concentrate (enunciati e limiti di validità)
4- Conseguenze dell’ipotesi di costanti concentrate
(suddivisione in regioni tipiche)
5- Modello del circuito a costanti concentrate
(caratterizzazione con V ed I, leggi di Kirchhoff, relazioni costitutive)
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE
• G. MARTINELLI - M. SALERNO:
“Fondamenti di Elettrotecnica” - Vol. I - pp. 22-32
• E. DI CLAUDIO:
“Introduzione alla Teoria dei Circuiti” - PP. 14-38
2
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico
• Il fenomeno elettromagnetico è dovuto all’esistenza delle cariche
elettriche
• Una struttura spaziale contenente corpi diversi (ambiente
eterogeneo) è sede di fenomeni e.m. quando è sollecitata dall’esterno
Trasformazioni energetiche
• Per una caratterizzazione quantitativa occorre introdurre:
a) Grandezze fisiche appropriate
b) Parametri rappresentativi dei corpi
c) Relazioni costitutive dei materiali
d) Equazioni di Maxwell
3
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
a)
GRANDEZZE FISICHE:
→
E CAMPO
→
ELETTRICO [Volt/metro]
determinato da una distribuzione di cariche
D INDUZIONE ELETTRICA [Coulomb/m2]
→
→
determinato dall’interazione di E con un materiale elettrico
H CAMPO
→
MAGNETICO [Amperspira/m]
determinato da cariche in movimento
B INDUZIONE MAGNETICA [Weber/m2]
→
→
J
determinato dall’interazione di H con un materiale magnetico
DENSITÀ DI CORRENTE DI CONDUZIONE [Ampere/m2]
legata al moto delle cariche
4
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
PROPRIETÀ DELLE GRANDEZZE FISICHE
•Le grandezze fisiche sono tutte di tipo vettoriale
•Sono descritte da opportuni modelli matematici e
possono essere determinate con metodi analitici,
sperimentali o numerici
5
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
b) PARAMETRI CHE CARATTERIZZANO I MATERIALI:
ε
COSTANTE DIELETTRICA o PERMETTIVITÀ
µ
PERMEABILITÀ MAGNETICA
γ
CONDUCIBILITÀ
ρ
DENSITÀ SPAZIALE DI CARICA [Coulomb/m3]
[Farad/m]
[Henry/m]
[Ω-1/m]
IPOTESI:
Hp 1: ISOTROPIA
quantità scalari
Hp2: LINEARITÀ, PERMANENZA ed OMOGENEITÀ
dallo stato e.m., dal tempo e dal punto.
COSTANTI SCALARI
indipendenti
6
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
c) RELAZIONI COSTITUTIVE (CORPI O MATERIALI SEMPLICI):
r
r
r
∂B
D = εE = −
∂t
r
r
B = µH
r
r r
r
J = γ (E − E 0 ) + J 0
→
R1
R2
R3
→
E0 e J0 rappresentano le ECCITAZIONI ESTERNE
(trasformazioni energetiche)
ρ
(densità di carica) può essere considerata SORGENTE INTERNA
7
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
d) EQUAZIONI DI MAXWELL:
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
r ∂D r
rot H =
+J
∂t
r
div B = 0
r
div D = ρ
Equazioni
indipendenti
M1
M2
M3
M4
r
∂B
: densità corrente
∂t magnetica di
spostamento
r
∂D
: densità corrente
∂t elettrica di
spostamento
8
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
•
Le equazioni di Maxwell costituiscono il modello matematico
fondamentale (di massima sintesi) del fenomeno e.m.
•
Ogni variazione temporale di un campo in un punto presuppone
l’esistenza, o la variazione temporale, del campo complementare
nello stesso punto
CHIUSURA ANALITICA DEL PROBLEMA E.M.:
•
•
5 incognite (
→→ → → →
E, D, H, B e J
)

 2 equazioni indipendenti (M1 e M2)
5 equazioni 
 3 relazioni costitutive

9
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
RICHIAMO SU TEOREMI E RELAZIONI VETTORIALI
TEOR. DI STOKES (DEL ROTORE):
Sc
→ →
rot Γ⋅ n dS = ∫cΓ⋅ τ dc
→
τ
n
dS
∫∫
→ →
→
Sc
c
Applicato ad M1 ed M2
fornisce:
M1’)
∫
→ →
∫
→ →
E ⋅ τ dc = −
c
M2’)
H ⋅ τ dc =
c
→
∂B →
⋅ n dS
Sc ∂t
∫∫
→
∂D →
⋅ n dS +
Sc ∂t
∫∫
→
→
Circuitazioni di E ed H
∫∫
→ →
J ⋅ n dS
Sc
10
1-Descrizione del fenomeno elettromagnetico (continua...)
TEOR. DELLA DIVERGENZA:
∫∫∫
→
div Γ dV =
V
∫∫
→
n
→ →
Γ ⋅ n dS
SV
dS
V
dV
SV
Applicato ad M3 ed M4
fornisce:
M3’)
∫∫
∫∫
→ →
SV
M4’)
→
B⋅ n dS = 0
SV
→ →
D⋅ n dS =
→
Flussi di B e D
∫∫∫
ρdV
V
DIVERGENZA DEL ROTORE:
→
divrot Γ = 0
→
∀Γ
11
2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL’E.M.:
LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE
Eccitazioni (cause)
r r
E0 , J 0 , ρ
esterne
SEDE
SEDE DEL
DEL
FENOMENO
FENOMENO E.M.
E.M.
Uscite (effetti)
r r r r r
E, D, H, B, J
interna
Struttura eterogenea caratterizzata
da parametri fisici e geometrici noti
Due possibili approcci alla soluzione, distinti ma complementari:
1) Campistico
2) Circuitale
12
2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL’E.M.:
LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE (cont. …)
1) Approccio della teoria dei campi
Studio della dinamica del sistema sulla base delle equazioni di Maxwell
(considerazione diretta dei parametri introdotti e delle grandezze
specifiche di campo).
L’individuazione delle grandezze fisiche può essere molto complessa.
é Ipotesi semplificative:
Linearità: applicazione del principio sovrapposizione effetti
→
Caso quasi-statico magnetico:
Caso quasi-statico elettrico:
→
Caso statico:
→
∂ B ∂D
=
=0
∂t ∂t
∂B
=0
∂ →t
∂D
=0
∂t
13
2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL’E.M.:
LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE (cont. …)
2)
Approccio della teoria dei circuiti
Si impongono limitazioni su:
•
frequenze di lavoro
(campi e.m. lentamente variabili)
•
natura dei componenti
(presenza in un componente di un solo fenomeno e.m. per
volta, tempo-invarianza delle sue caratteristiche, ecc.)
14
2- IL PROBLEMA FONDAMENTALE DELL’E.M.:
LA SOLUZIONE CAMPISTICA E QUELLA CIRCUITALE (cont. …)
2) Approccio
della teoria dei circuiti (cont. …)
Si ottiene una grande semplificazione nella trattazione
del problema e.m.:
•Le
→ → → → →
grandezze vettoriali ( E , D, H , B, J ) sono sostituite da
grandezze scalari (V, I ).
•Le
Equazioni di Maxwell sono sostituite dalle Leggi di
Kirchhoff (topologiche)
•L’ambiente
eterogeneo, sede del fenomeno e.m., è
rappresentato da un circuito: ente astratto privo di
dimensioni fisiche e soggetto solo a proprietà topologiche
(grafo)
15
3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ
•
Tre diverse formulazioni (con conseguenze diverse):
1) Assenza di dimensioni:
Le dimensioni geometriche della struttura sede del fenomeno e.m. sono
sufficientemente piccole da poter essere trascurate
Ô APPROCCIO TOPOLOGICO
2) Velocità infinita:
La velocità di propagazione del fenomeno e.m. può considerarsi infinita
Ô
INDIVIDUAZIONE DI REGIONI TIPICHE (corpi
costitutivi dove è presente un solo fenomeno alla volta)
o
elementi
3) Assenza di ritardi:
Il tempo di trasmissione del fenomeno e.m. da un punto all’altro della
struttura può considerarsi nullo
Ô VERIFICA DI VALIDITÀ DELL’IPOTESI DI C.C.
16
3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua)
•
Limiti di validità (uso enunciato 3):
: estremo superiore delle bande di frequenza dei
campi e.m. presenti, rappresentati nel dominio delle
frequenze tramite Fourier (è una quantità nota)
fmax
1 :
t min =
2 f max
minimo intervallo di tempo apprezzabile (massima
rapidità di variazione temporale dei campi e.m.
presenti)
L
: dimensione geometrica massima della struttura
(nota)
c
: velocità di propagazione del campo e.m. nella
struttura (nel vuoto = velocità della luce)
ttrasm
L
≤
c
: tempo impiegato dal campo per propagarsi da un
punto all’altro della struttura
17
3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua)
VERIFICA DELLA VALIDITÀ DELL’IPOTESI:
ttrasm << t min
L
1
→ <<
→
c
2 f max
Con la lunghezza
d’onda:
•
L
2 f max << 1
c
L << λ min
Le dimensioni fisiche della struttura sede del fenomeno e.m.
devono essere trascurabili rispetto alla lunghezza d’onda
minima (campo a banda più larga) in gioco.
18
3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua)
VALIDITÀ IPOTESI C.C. - ESEMPI
ES. 1) Amplificatore HI-FI:
8
f max −˜ 20kHz ; L −˜ 1m ; c −
˜ 3 ⋅10 m / s
L
2 fmax −˜
c
Oppure: λmin
[ ] = 1.3⋅10
3⋅10 [m ⋅s ]
2 ⋅1[m ]⋅ 20 ⋅10 3 s −1
8
−1
−4
<<1
c
3 ⋅108 [m ⋅ s −1 ]
=
=
= 7500 [m] >> 1 [m]
3
−1
2 f max
20 ⋅10 [s ]
AMPIAMENTE
VERIFICATA
AMPIAMENTE
VERIFICATA
19
3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua)
ES. 2) Dispositivo a microonde:
f max −˜ 2GHz ; L −˜ 0.1m
L
2 fmax −˜
c
Oppure:
λ min
[ ] −˜ 1.3 >1
3 ⋅10 [m ⋅ s ]
2 ⋅ 0.1[m ]⋅2 ⋅10 9 s −1
8
[
−1
]
= 0.075[m ] < 0.1[m]
=
2 ⋅ 2 ⋅10 [s ]
3 ⋅10 8 m ⋅ s −1
9
−1
NON
ACCETTABILE!
NON
ACCETTABILE!
20
3- L’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
ENUNCIATI e LIMITI DI VALIDITÀ (continua)
ES. 3) Rete distribuzione energia elettrica:
f max = 50Hz ; L ≥ 100Km
L
2 fmax −˜
c
[ ] −˜ 0.03 < 1
3 ⋅10 [m ⋅s ]
2 ⋅10 5 [m ]⋅50 s −1
8
•
[
] = 3.000Km > 100Km
2 ⋅ 50[s ]
3 ⋅10 m ⋅ s
8
λ min =
−1
IPOTESI
ACCETTABILE
−1
−1
IPOTESI
ACCETTABILE
In questo caso la validità dell’ipotesi non è evidente: per reti di
distribuzione di dimensione geografica potrebbe anche non essere
verificata
21
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
Entro il limite di validità dell’ipotesi di costanti concentrate,
verificabile tramite l’enunciato 3 (assenza di ritardi), si può
derivare il modello circuitale a cost. conc.
•
Dall’enunciato 1 (assenza di dimensioni): le proprietà del modello si
riducono a quelle puramente topologiche
•
Dall’enunciato 2 (istantaneità): la struttura eterogenea sede del
fenomeno e.m. può essere suddivisa in regioni semplici di pochi tipi.
Infatti:
–
Legame tra velocità di propagazione del campo e.m. e materiali
presenti (parametri costitutivi, ε, µ):
1
c=
ε ⋅µ
22
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI COSTANTI CONCENTRATE
(continua…)
Se l’ipotesi è verificata, in confronto a tutte le altre grandezze
in gioco si può pensare c→∞ e quindi:
ε⋅µ → 0
é Si hanno tre casi, che individuano tre tipologie di regioni
semplici:
I)
ε =µ=0
II )
ε =0 e µ≠0
(con cinque sottocasi)
III) ε ≠ 0 e µ = 0
23
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
REGIONE I
•
ε=µ=0
→
→
A partire dal vettore di Poynting ( P = E x H ) si definiscono le seguenti
densità volumetriche di energia:
1→ →
1→ →
B ⋅ H (magnetica)
D ⋅ E (elettrica)
2
•
→
2
Poiché (dalle prime due relaz. cost.)
si ha (dal punto di vista energetico):
→
→
D=εE=0
e
→
→
B= µH =0
1→ → 1→ →
D⋅ E = B ⋅ H = 0
2
2
û La regione I è priva di energia elettrica e magnetica immagazzinata
24
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
Dalle Equazioni di Maxwell:
da M4)
da M2)
→
→
D=0
→
div D = ρ = 0
→
rot H = J
non c’è accumulo di cariche
→
→
divrot H = div J = 0
e perciò (Teo. Divergenza):
∫
V
→
div J =
∫
(
→
J è “solenoidale”)
→ →
J ⋅ n dS = I = 0
SV
û Corrente di conduzione entrante = corr. di cond. uscente
(è definita univocamente la corrente I in tutta la regione I)
25
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
→
B=0
•
→
: da M1) rot E = 0
→
e perciò (Teo. Stokes):
→
E irrotazionale (ciclico o conservativo)
∫
→→
∫
→→
E⋅ τ dc= 0→∃ V = E⋅ τ dc
c
c
(differenza di
potenziale)
û In tutta la regione I è univocamente definita la
differenza di potenziale V tra due punti
26
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
•
Dalla terza relaz. costitutiva
→ →  →
J = γ  E − E0  + J0


→
derivano
ulteriori proprietà che individuano 5 sottoregioni, a seconda della
presenza o meno delle eccitazioni e del valore di
γ.
• Dal punto di vista energetico, si definisce la densità
potenza elettrica:
volumetrica di
→ →
J⋅E
(è dovuta alle correnti di conduzione e fornisce una misura dei
fenomeni di trasformazione energetica)
27
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
IA) VUOTO:
→ →
 E0 = J 0 = 0 (nessuna eccitazione)

γ = 0
(conducibilità nulla)

û
→
→
J =γ E = 0 e
→
J⋅E = 0
Non passa corrente di conduzione e non c’è dissipazione di
potenza
IB) CONDUTTORE PERFETTO:
→ →
 E0 = J 0 = 0

γ = ∞ (conducibilità infinita)

û
→
→
J
E= =0
γ
e
→
J⋅E = 0
Potenziale costante in ogni punto (regione equipotenziale) e non
c’è potenza elettrica dissipata
28
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
IC) REGIONE RESISTIVA:
→ →
 E0 = J 0 = 0

γ ≠ 0 (conducibilità finita)

û
→2
→
→
→
→2
J =γ E ≠ 0 e J ⋅E =γ E =
J
≠0
γ
È presente una corrente di conduzione e c’è dissipazione di potenza
(trasformazione irreversibile di energia elettrica in altra forma:
effetto Joule)
ID) GENERATORE INDIPENDENTE DI CORRENTE:
→
→
 E0 = 0 e J 0 ≠ 0 (finita)

γ = 0

→
→
J = J0
→ →
e
J0 ⋅ E ≠ 0
La regione imprime una corrente I0 ed è sede di trasformazioni
reversibili di energia non elettrica in energia elettrica.
û
→
(Nota: quando J0 = 0 si ha il vuoto IA)
29
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
IE) GENERATORE INDIPENDENTE DI TENSIONE:
→
 E0 ≠ 0 (finito) e

γ = ∞

→
J0 = 0
→
→
E = E0
e
→ →
J0 ⋅ E ≠ 0
→
(Nota: quando E0 = 0 si ha il conduttore perfetto IB)
ûÈ
impressa una d.d.p. V0 e c’è una trasformazione
reversibile di energia
30
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
ε =0 e µ ≠0
REGIONE II)
•
→
Prime due rel. cost.: D = ε E = 0
û
•
→
→
1→ →
B = µ H ≠ 0 → B⋅ H ≠ 0
2
È presente energia magnetica immagazzinata
→
Essendo D = 0 : da M4) ed M2)
û
e
→
ρ=0 e
→
J
solenoidale
Anche in questo caso: corrente entrante = corrente uscente
(corrente I definita univocamente in tutta la regione II)
31
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
•
→
→
Essendo B ≠ 0 : da M1) rot E = −µ
→
• E
→
∂H
∂t
risulta quindi non conservativo
û Non è univoca la d.d.p. V all’interno della regione II
•
La regione II (di tipo magnetico) è costituente essenziale degli elementi
ideali:
– Induttore
– Induttori mutuamente accoppiati
– Trasformatore
32
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
REGIONE III)
•
Poiché
→
→
D=εE≠0 e
ε ≠0 e µ =0
→
→
B = µ H = 0 si ha
1→ →
D⋅ E ≠ 0
2
ûÈ presente energia elettrica immagazzinata
•
→
→
Essendo D ≠ 0 : da M4) div D = ρ ≠ 0
→
può esserci accumulo di cariche
al suo interno
∂D
da M2) rot H =
+J
∂t
→
→
→
→
∂div D
divrot H =
+ div J = 0
∂t
→
e quindi...
33
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
•
… per il teorema di Continuità o Principio di Conservazione delle cariche
elettriche:
∂ρ
div J = −
∂t
→
→
J
non è solenoidale
ûCorrente entrante
diversa dalla corrente uscente
(occorre tener conto della corrente di spostamento)
Teo. Divergenza:
∂
∫V div J = ∫SVJ ⋅ n dS = − ∂t
→
→ →
∂q
∫V ρdV → I = − ∂t
34
4 - CONSEGUENZE DELL’IPOTESI DI C.C. (continua…)
•
Essendo
→
→
B = 0 , da M1) rot E = 0
→
E conservativo
ûÈ definita in modo univoco la d.d.p.
•
V in tutta la regione III
La regione III (di tipo elettrico) è costituente essenziale dell’elemento
ideale:
- Condensatore
(Nota: solo nella regione III si può avere accumulo di cariche)
NOTE: È da rimarcare il basso numero di elementi semplici ricavati. Casi
più complessi (misti) possono essere ottenuti a partire da essi. È
inoltre possibile ricavare il circuito magnetico in modo del tutto
analogo.
35
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
•
Verificata l’ipotesi di c.c. (enunciato 3) ed individuate le regioni tipiche
(enunciato 2), la struttura eterogenea sede del fenomeno e.m. può essere
schematizzata tramite corpi elementari semplici che immettono le
eccitazioni (regioni ID ed IE) o in cui avvengono fenomeni di un solo tipo
(IC, II, III), connessi tra di loro tramite conduttori perfetti (IB), il tutto
immerso nel vuoto (IA).
•
Le dimensioni geometriche dei corpi sono trascurabili (enunciato 1).
ID
IB
IA
IB
II
IC
IB
IB
IE
IB
III
36
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua …)
NOTA 1: Lo schema introdotto può apparire “non fisico”, ma
l’obiettivo è quello di giustificare il modo pratico (cioè valido
operativamente) in cui vengono costruiti i circuiti elettrici, non di
studiare e descrivere il comportamento e.m. dei materiali nel modo
più generale possibile
NOTA 2: La concentrazione dei fenomeni elettromagnetici all’interno
di singole regioni opportune può essere vista come una condizione di
“robustezza” del modello. [Di Claudio p. 21]
37
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
•
Per la completa formalizzazione del modello circuitale occorre
ancora dimostrare che:
A - I corpi presenti possono essere caratterizzati da due
variabili scalari di interfaccia: tensione V (“grandezza agli
estremi”) e corrente I (“grandezza attraverso”)
B - V ed I soddisfano le leggi di equilibrio di Kirchhoff (K1 e K2)
C - Le V ed I che caratterizzano gli elementi ideali individuati
(IC, ID, IE, II e III) sono messe in relazione tramite
opportune equazioni costitutive
38
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
A - Si ha che:
→
• Le regioni di connessione IB (morsetti) sono equipotenziali (E = 0)
→
•
e non c’è accumulo di cariche ( div D = ρ = 0 ).
→
In IA (vuoto) è definita una d.d.p. ( E conservativo) e non si
accumulano cariche.
äSi può parlare in modo univoco di tensione V applicata ad un
elemento ideale (IC, ID, IE, II e III) come d.d.p. tra i suoi due
morsetti IB.
äSi può parlare in modo univoco di corrente I che attraversa un
elemento ideale. Infatti:...
39
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
→
n
IA
A1 IB
III
IB
Superficie chiusa SV di volume V che
racchiude un elemento ideale e attraversa
solo il vuoto IA ed i due morsetti IB
(non deve passare all’interno della regione
III)
A2
SV
• Da M4) e Teo. della Div.:
→
∫ div D dV = ∫ D⋅ n dS = ∫ ρdV = q = 0
V
→
→
→ →
SV
(Gauss)
V
( D = ε E = 0)
• Da M2) e Teo. Div.:
→
→
div rot H = 0 = div J
→
→ →
∫ div J dV = ∫ J ⋅ n ds = 0
V
SV
la corrente complessiva che passa attraverso SV è nulla.
→
äPoiché in IA risulta J = 0
, la corrente scorre tutta attraverso
le sezioni di IB di area A1ed A2: corrente entrante = corrente
40
uscente
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
B Si ha che:
K1 - LEGGE DI EQUILIBRIO DELLE CORRENTI
IA
I4
A2
IB
A4
IB
A1
→
I1
Superficie chiusa Sv che passa →
nel
vuoto IA e nei morsetti IB (dove J è
solenoidale) racchiudendo un numero
arbitrario di elementi ideali
n
A3
SV
Risulta:
→
→ →
∫ div J dV = ∫ J ⋅ n dS =
V
SV
∑
i
Ii = 0
dove Ii è la corrente che passa attraverso la sezione Ai
41
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
K2 - LEGGE DI EQUILIBRIO DELLE TENSIONI
.
IA
.I
Curva
chiusa
C
(circuitazione)
all’interno di IA e IB che interessi un
numero arbitrario di elementi ideali
passando in corrispondenza dei loro
morsetti (entrambi).
B
IB
.P
1
.P
2
C
→
→
• Essendo: rot E = 0 ( E conservativo) all’interno di IA ed IB:
∫
→ →
E ⋅ τ dc =
c
∑
i
Vi = 0
dove Vi è la d.d.p. tra i due morsetti dell’elemento i-mo
Es.: V1 = −
∫
P2 → →
P1
E ⋅τ dc
42
5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
C Si ricava la relazione costitutiva nel caso della regione di tipo
resistivo IC (Resistore):
LR
.
P1
.P
2
IC
→
→
E conservativo
tensione
SR
→
rot E = 0 E
P2 → →
VR = − ∫P E ⋅τ dc = Eo ⋅ LR
1
→
→
J =γ E
corrente
IR =
∫
→ →
SR
J ⋅ n dS = γE1 ⋅ SR
TEOREMA
DELLA MEDIA
TEOREMA
DELLA MEDIA
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5 - MODELLO DEL CIRCUITO A COSTANTI CONCENTRATE
(continua...)
VR Eo L R
=
=R
I R γE1S R
RESISTENZA [Ω] unico parametro caratteristico
Eo LR
rLR
⋅
= hR
R=
E1 γSR
SR
h R : fattore di forma
r = 1 γ : resistività
• Per campo uniforme si ha
• In pratica
hR = 1 →
R=rLR / SR
hR ≅ 1
: il modello è semplice e robusto
(bassa criticità realizzativa del resistore)
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