Trasformata di Laplace

Trasformazione di Laplace
Gabriele Sicuro
1. Definizioni fondamentali
Sia data una funzione f : R → C; essa si dice originale se sono soddisfatte le seguenti
condizioni:
(1) f ( t) = 0 per t < 0, ovvero ha supporto contenuto nella semiretta R+
0 ≡ [0, +∞);
(2) f è continua a tratti, con al più discontinuità di prima specie (pertanto è integrabile
(R));
ed assolutamente integrabile su ogni intervallo compatto in R, ovvero f ∈ L(1)
loc
−σ t
| f ( t)| è limitata per t ≥ 0} 6= ∅.
(3) Σ( f ) = {σ ∈ R : e
L’ultima proprietà non è altro che la richiesta di assoluta trasformabilità secondo Laplace
(ovvero f si dice L-trasformabile): infatti equivale a richiedere che ∃ s 0 ∈ C tale che e−s0 t f ( t)
−s0 t
è integrabile e assolutamente integrabile su R+
f ( t) ∈ L(1) (R+
0, e
0 ). Possiamo infatti enunciare la seguente proprietà: se f è una funzione originale e σ1 ∈ Σ( f ), allora ∀ s ∈ C tale
che ℜ s > σ1 si ha che e−st f ( t) ∈ L(1) (R+
0 ). La dimostrazione è immediata se si considera che
σ1 ∈ Σ( f )¯ ⇒ e−σ1¯ t | f¯( t)| ≤ A ∀ t ≥ 0, con
¯ A > 0 costante. Per cui, ∀ s ∈ C : ℜ s > σ1 e ∀ t ≥ 0
abbiamo ¯ e st f ( t)¯ = ¯ e−(s−σ1 ) t e−σ1 t f ( t)¯ ≤ Ae−(ℜs−σ1 ) t , dove naturalmente e−(ℜs−σ1 ) t ∈ L(1) (R+
0 ).
Chiamiamo ascissa di assoluta convergenza di una funzione originale f la quantità σa ( f ) =
inf Σ( f ) ∈ R̄. Supporremo nelle dimostrazioni che seguiranno (per semplicità, ma senza perdere in generalità) che σa ( f ) ∈ Σ( f ), ovvero che | f ( t)| ≤ M eσa ( f ) t , dove M è una costante,
∀ t ≥ 0.
I risultati precedenti possono essere riassunti nel seguente
Teorema 1. Sia f una funzione originale. Allora ∀ s ∈ C : ℜ s > σa ( f ) si ha e−st f ( t) ∈ L(1) (R+
0 ).
D IMOSTRAZIONE . Poiché per ipotesi | f ( t)| ≤ M eσa ( f ) t ∀ t ≥ 0 si ha che
¯Z +∞
¯ Z +∞
Z +∞
¯
¯
¯ −st
¯
M
− st
¯
¯≤
¯ e f ( t )¯ d t ≤ M
e
f
(
t
)
d
t
e−(ℜs−σa ( f )) t =
¯
¯
ℜ s − σa ( f )
0
0
0
per ℜ s > σa ( f ).
(1)
Possiamo in altre parole dire che una funzione originale f con ascissa di assoluta convergenza σa ( f ) è L-trasformabile in ogni punto del semipiano ℜ s > σa ( f ). Chiamiamo trasformata di Laplace della funzione originale f la funzione di variabile complessa s
Z +∞
Ls [ f ( t)] =
e−st f ( t) d t,
0
definita nel semipiano ℜ s > σa ( f ), dove l’integrale risulta convergente e assolutamente convergente. La trasformata di Laplace di una funzione originale viene anche detta funzione
immagine e può essere indicata con F ( s).
1.1. Esempi. Riportiamo di seguito alcuni esempi sulle funzioni originali e sulla trasformata di Laplace.
1
2
GABRIELE SICURO
1.1.1. Esempi sulle funzioni originali.
(1) Sia f ( t) = ϑ( t), funzione gradino di Heaviside. Essa è una funzione originale e Σ(ϑ) =
R+
0 , per cui σa (ϑ) = 0 ∈ Σ(ϑ).
2
(2) Consideriamo f ( t) = e− t ϑ( t); essa è una funzione originale con Σ( f ) = R, per cui
σa ( f ) = −∞.
2
(3) La funzione f ( t) = e t ϑ( t) non è una funzione originale, in quanto Σ( t) = ∅.
1.1.2. Esempi sulla trasformata di Laplace.
R +∞
R +∞
(1) Ls [ϑ( t)] = 0 e−st ϑ( t) d t = 0 e−st d t = 1s , per ℜ s > 0;
h −st i+∞
R +∞
R +∞
(2) Ls [ tϑ( t)] = 0 e−st tϑ( t) d t = − e s t
+ 1s 0 e−st d t = s12 , per ℜ s > 0;
0
£
¤ R +∞
(3) per α ∈ C costante, Ls eα t ϑ( t) = 0 e−(s−α) t d t = s−1α , per ℜ s > ℜα;
£ −t
¤ R +∞ −(s+1) t
(4) Ls te ϑ( t) = 0 te
ϑ( t) d t = (s+11)2 , per ℜ s > −1.
2. Proprietà della trasformata di Laplace
2.1. Proprietà fondamentali. La trasformata di Laplace gode di alcune interessanti
proprietà.
Comportamento asintotico: Sia f una funzione originale con ascissa di assoluta
convergenza σa ( f ). Allora
lim
s→∞
ℜ s>σa ( f )
Ls [ f ( t)] = 0.
(2)
Notiamo solo che dalla relazione (1) si deduce che limℜs→+∞ Ls [ f ( t)] = 0, che è una
ℑ s∈R
condizione meno forte della (2).
Analiticità della trasformata: La trasformata di Laplace di una funzione originale
f , F ( s) = Ls [ f ( t)], è analitica per ℜ s > σa ( f ); inoltre ∀ s ∈ C : ℜ s > σa ( f ) e ∀ n ∈ N si
ha che
£
¤
dn
n
(3)
n F ( s ) = L s (− t ) f ( t ) .
ds
L’ascissa di assoluta convergenza della funzione (− t)n f ( t) è uguale a σa ( f ). La
formula (3) può anche essere vista come uno strumento di calcolo.
Linearità: Se f e£ g sono due originali,
allora ∀α, β ∈ C α f + β g è una funzione origi¤
nale e si ha Ls α f ( t) + β g( t) = αLs [ f ( t)] + βLs [ g( t)] per ℜ s > max{σa ( f ), σa ( g)}.
Traslazione della trasformata:
αt
Teorema 2 (Traslazione).
Se
¡
¢ f è una funzione originale, lo è anche e f ( t), con α ∈ C
costante; inoltre σa eα t f ( t) = σa ( f ) + ℜα. Infine si ha
£
¤
La eα t f ( t) = Ls−α [ f ( t)] .
(4)
αt
D IMOSTRAZIONE . È immediato verificare che
¡ αet f (¢t) soddisfa alle condizioni di
originalità. Lo stesso dicesi per la proprietà σa e f ( t) = σa ( f ) + ℜα, che discende
£
¤
direttamente dal fatto che e−st eα t = e−(s−α) t ; sempre per tale ragione Ls eα t f ( t) =
R +∞ −(s−α) t
e
f ( t) d t = Ls−α [ f ( t)].
0
Teorema del ritardo:
Teorema 3 (del ritardo). Sia t 0 > 0 ed f sia una funzione originale. Allora
Ls [ f ( t − t0 )] = e−st0 Ls [ f ( t)] ,
ℜ s > σ a ( f ).
(5)
D IMOSTRAZIONE . È evidente che f ( t − t 0 ) è una funzione originale con la stessa
ascissa di assoluta convergenza di t; dunque
Z +∞
Z +∞
Ls [ f ( t − t0 )] =
e−st f ( t − t 0 ) d t =
e−st f ( t − t 0 ) d t
0
t0
+∞
Z
=
0
0
e−s( t + t0 ) f ( t0 ) d t0 = e−st0 Ls [ f ( t)] .
TRASFORMAZIONE DI LAPLACE
3
Cambio di scala: Sia λ > 0 ed f una funzione originale. Allora f (λ t) è una funzione originale e Ls [ f (λ t)] = λ1 L s [ f ( t)] per ℜ s > λσa ( f ), come si può verificare
λ
direttamente.
2.2. Esempi.
(1) Sia α ∈ C costante ed n ∈ N0 ; allora, per ℜ s > ℜα,
Ls t n eα t ϑ( t) = Ls−α t n ϑ( t) =
£
¤
£
¤
n!
.
( s − α)n+1
(2) Siano α ∈ C e ω ∈ R costanti; allora, per ℜ s > ℜα,
£
¤
Ls eα t sin ω tϑ( t) = Ls−α [sin ω tϑ( t)] =
(3) Ls [ϑ( t − 1)] =
e−s
s .
ω
.
( s − α)2 + ω2
−2 s
(4) Ls [sin ω( t − 2)ϑ( t − 2)] = se2 +ωω2 .
£
¤
−3 s
(5) Ls eα( t−3) ϑ( t − 3) = es−α .
2.2.1. Esercizi.
(1) Sia ω ∈ R costante. Calcolare Ls [sin ω tϑ( t)], Ls [cos ω tϑ( t)], Ls [sinh ω tϑ( t)].
Soluzione. Per ℜ s > 0,
¶
h
i 1
h
i 1 µ 1
1
ω
1
iω t
− iω t
−
= 2
.
ϑ( t ) =
Ls [sin ω tϑ( t)] = Ls e ϑ( t) − Ls e
2i
2i
2 i s − iω s + iω
s + ω2
Procedendo nello stesso modo per le altre due funzioni si ottiene
ω
s
, ℜ s > 0;
Ls [sinh ω tϑ( t)] = 2
, ℜ s > |ω | .
Ls [cos ω tϑ( t)] = 2
s + ω2
s − ω2
(2) Sia ω ∈ R costante. Calcolare Ls [ t sin ω tϑ( t)].
Soluzione. Utilizzando la formula (3) possiamo scrivere
Ls [ t sin ω tϑ( t)] = −
d
2ω s
d
ω
=
.
Ls [sin ω tϑ( t)] = −
ds
d s s2 + ω2 ( s2 + ω2 )2
(3) Sia f una funzione originale, periodica per t ≥ 0 di periodo T . Calcolare Ls [ f ( t)].
Soluzione. Chiaramente σa ( f ) = 0, per cui, per ℜ s > 0, possiamo scrivere
Ls [ f ( t)] =
+∞
Z
0
e−st f ( t) d t =
∞ Z
X
( n+1)T
n=0 nT
=
e−st f ( t) d t =
∞
X
n=0
e−nT s
T
Z
0
∞ Z
X
n=0 0
0
T
0
e−st e−nT s f ( t0 + nT ) d t0
e−st f ( t0 ) d t0 =
1
1 − e −T s
T
Z
0
e−st f ( t0 ) d t0 ,
0
¯
¯
dove si è usato il fatto che ¯ e−nT s ¯ = e−nT ℜs < 1 essendo ℜ s > 0. Se ad esempio f ( t) =
P∞
2 n=0 (−1)n ϑ( t − n), essa è originale e periodica di periodo 2. Ovviamente σa ( f ) = 0.
R2
R (1)
La formula precedente diventa Ls [ f ( t)] = 1− e1−2s 0 e−st f ( t) d t = 1− e2−2s 0 e−st d t =
2
s(1+ e−s )
per ℜ s > 0.
2.3. Trasformata di Laplace della derivata di una funzione originale. Sia f : R →
C una funzione che gode delle seguenti proprietà:
(1) f ( t) = 0 per t < 0;
(2) f è continua per t ≥ 0 (può avere al più una discontinuità di prima specie in t = 0);
(3) f è di classe C (1) a tratti;
supponiamo inoltre che la derivata f 0 ( t) sia una
R t funzione originale con ascissa di assoluta
convergenza σa ( f 0 ). Allora la funzione g( t) = 0 f 0 (τ) dτ è una funzione originale continua in
4
GABRIELE SICURO
R con σa ( g) ≤ max{σa ( f 0 ), 0}. Infatti si ha g( t) = 0 (essendo
f 0 ( t) = 0) per t < 0, g( t) è conti(
nua e per t ≥ 0 si ha | g( t)| ≤
Mt
R t¯ 0 ¯
R
¯ f (τ)¯ dτ ≤ M t eσa ( f 0 )τ dτ =
0
0
M
σa ( f 0 )
se σa ( f 0 ) = 0,
³
e σa ( f
0 )t
−1
´
se σa ( f 0 ) 6= 0.
Pertanto abbiamo che

σa ( f 0 ) t

 A1 e
| g( t)| ≤ Mt


A2
se σa ( f 0 ) > 0,
se σa ( f 0 ) = 0,
se σa ( f 0 ) < 0,
dove A 1 e A 2 , oltre che M , sono costanti positive; pertanto Σ( g) 6= ∅, con σa ( g) ≤ max{σa ( f 0 ), 0}.
Teorema 4 (Trasformata della derivata prima). Sia f : R → C una funzione che gode delle
seguenti proprietà:
(1) f ( t) = 0 per t < 0;
(2) f ( t) è continua per t ≥ 0 (o presenta al più una discontinuità di prima specie per
t = 0);
(3) f è di classe C (1) a tratti.
Se la derivata f 0 è una funzione originale, allora f è una funzione originale con σa ( f ) ≤
max{σa ( f 0 ), 0} e per ℜ s > max{σa ( f 0 ), 0} si ha
£
¤
Ls f 0 ( t) = sLs [ f ( t)] − f (0+ ).
(6)
R
t
D IMOSTRAZIONE . Per ipotesi abbiamo che f ( t) = f (0+ ) + 0 f 0 (τ) dτ per t ≥ 0. Ripetendo
il solito ragionamento si arriva a dire che Σ( f ) 6= ∅ e che σa ≤ max{σa ( f 0 ), 0}. Allora possiamo
dire che f è una funzione originale. Per ℜ s > max{σa ( f 0 ), 0} si ha, integrando per parti, che
Z +∞
Z +∞
¯+∞
£ 0 ¤
− st 0
− st
¯
L s f ( t) =
e f ( t) d t = e f ( t) 0 + s
e−st f ( t) d t = sLs [ f ( t)] − f (0+ ).
0
0
Osserviamo che, poiché f è continua per t ≥ 0, è possibile appunto integrare per parti
e che inoltre lim t→+∞ e−st f ( t) = 0 per ℜ s > max{σa ( f 0 ), 0}, mentre lim t→0+ e−st f ( t) = f (0+ ).
Infine, nelle ipotesi del teorema precedente
£
¤
lim
L s f 0 ( t) = 0 ⇒
lim
sLs [ f ( t)] = f (0+ ).
s→∞
ℜ s>max{σa ( f 0 ),0}
s→∞
ℜ s>max{σa ( f 0 ),0}
Si può dimostrare anche la seguente proprietà:
Teorema 5 (Trasformata della derivata n-esima). Se f : R → C è nulla per t < 0, di classe
C n−1 , n ∈ N, per t ≥ 0, a tratti di classe C n e se la derivata n-esima f (n) ( t) è una funzione
originale, allora f , f 0 , . . . , f (n−1) sono funzioni originali con ascissa di assoluta convergenza
minori o uguali di max{σa ( f (n) ), 0} ed inoltre per ℜ s > max{σa ( f (n) ), 0} si ha
h
i
Ls f (k) ( t) = s k Ls [ f ( t)] −
kX
−1
s j f (k− j−1) (0+ ).
(7)
j =0
2.3.1. Esercizio. Utilizzando la formula (7) calcolare Ls [sin ω tϑ( t)] e Ls [cos ω tϑ( t)].
Soluzione. Osserviamo che f ( t) = sin ω tϑ( t), f 0 ( t) = ω cos ω tϑ( t), f 00 ( t) = −ω2 sin ω tϑ( t), con
+
f (0 ) = 0 mentre f 0 (0+ ) = ω. Dalla (7) si ha
£
¤
Ls f 00 ( t) = s2 Ls [ f ( t)] − f 0 (0+ ) − s f (0+ ) = s2 Ls [ f ( t)] − ω.
£
¤
Dato f 00 ( t) = −ω2 f ( t) ⇒ Ls f 00 ( t) = −ω2 Ls [ f ( t)], che, per la precedente, diventa s2 Ls [ f ( t)] −
ω = ω2 Ls [ f ( t)] per cui Ls [ f ( t)] = s2 +ωω2 . Procedendo analogamente per la seconda si ottiene
Ls [cos ω tϑ( t)] = s2 +sω2 .
TRASFORMAZIONE DI LAPLACE
5
2.4. Convoluzione. Siano f 1 e f 2 due funzioni originali. Si definisce convoluzione di f 1
ed f 2 la funzione
Z +∞
Z t
f 1 ( t − τ) f 2 (τ) dτ =
f 1 ( t − τ) f 2 (τ) dτ.
(8)
( f 1 ? f 2 ) ( t) =
0
−∞
È immediato verificare che la convoluzione gode della proprietà commutativa, f 1 ? f 2 = f 2 ?
f 1 ; inoltre la convoluzione di due funzioni originali è una funzione originale continua in R.
Infatti, se f 1 ed f 2 sono due funzioni originali con ascissa di assoluta convergenza σ1 e σ2
rispettivamente, si ha che
(1) ( f 1 ? f 2 )( t) = 0 per t < 0;
(2) ( f 1 ? f 2 )( t) è continua in virtù della stessa definizione;
σ2 t
(3) per t ≥ 0, tenendo presente che | fR1 ( t)| ≤ M1 eσ1 t e | f 2 ( t)| ≤ M
e ponendo σ0 =
R t2 e
t
max{σ1 , σ2 }, |( f 1 ? f 2 )( t)| ≤ M1 M2 0 eσ1 ( t−τ) eσ2 τ dτ ≤ M1 M2 0 eσ0 t dτ = M1 M2 teσ0 t .
Questo risultato implica che Σ( f 1 ? f 2 ) 6= ∅ e σa ( f 1 ? f 2 ) ≤ max{σ1 , σ2 }.
Vale il seguente teorema
Teorema 6 (Trasformata della convoluzione). Siano f 1 ed f 2 due funzioni originali con
ascissa di assoluta convergenza σ1 e σ2 rispettivamente. Allora
Ls [( f 1 ? f 2 )( t)] = Ls [ f 1 ( t)] Ls [ f 2 ( t)]
per ℜ s > max{σ1 , σ2 }.
(9)
hR
i
t
Osserviamo che Ls [ϑ( t)] = 1s , per cui 1s Ls [ f ( t)] = Ls [( f ? ϑ)( t)] = Ls 0 ϑ( t − τ) f (τ) dτ
per ℜ s > max{σa ( f ), 0}, ovvero
·Z t
¸
1
Ls
per ℜ s > max{σa ( f ), 0}.
(10)
f (τ) dτ = Ls [ f ( t)]
s
0
hR
i
t
2.4.1. Esempio. Dal fatto s21+1 s2s+1 = Ls [sin tϑ( t)]·Ls [cos tϑ( t)] = Ls 0 sin( t − τ) cos τ dτ .
Rt
Rt
1
t
Ora, 0 sin( t − τ) cos τ dτ = 21 0 [sin t + sin( t − 2τ)] dτ = 21 t sin t + 41 [cos( t − 2τ)]ττ=
=0 = 2 t sin t per
£1
¤
s
t > 0. In conclusione Ls 2 t sin tϑ( t) = (s2 +1)2 .
3. Antitrasformata di Laplace
3.1. Il lemma di Jordan generalizzato. Poniamo s = iz ⇔ z = − is: osserviamo che
| s| = | z| (dunque, ad esempio, la circonferenza centrata in z = 0 e raggio r nel piano complesso
z è mappata, nel piano complesso s, nella circonferenza centrata in s = 0 e di raggio r ) ed
inoltre ℑ z ≥ −a ⇔ ℜ s ≤ a. Allora possiamo riformulare nel piano complesso s il lemma di
Jordan generalizzato.
Lemma di Jordan (generalizzato) 7. Sia F una funzione continua nel dominio
©
ª
H R0 ,a = s ∈ C : | s| > R 0 , ℜ s Q a ,
a ∈ R.
Se lim
s→∞
s∈ H R0 ,a
F ( s) = 0, allora ∀α ≷ 0 si ha
Z
lim
R →+∞ γR
eαs F ( s) d s = 0,
©
ª
γ R = s ∈ C : | s| = R > R 0 , ℜ s Q a .
3.1.1. Esercizi. Calcolare, utilizzando il teorema dei residui e il lemma di Jordan, i
seguenti integrali:
R a+ i∞ st
(1) f ( t) = 21π i a− i∞ es d s, con a > 0, ∀ t ∈ R − {0};
R a+ i∞ st
(2) f ( t) = 21π i a− i∞ s2e+ω2 d s, con a > 0 e ω > 0 ∀ t ∈ R − {0}.
6
GABRIELE SICURO
Soluzione.
(1) Poniamo F ( s) = 1s : questa funzione è analitica in C − {0}. Il punto s = 0 è un polo
= { s ∈ C : | s| <
= { s ∈ C : | s| < R, ℜ s > a} e D (2)
semplice. Sia R > a > 0 e siano D (1)
R
R
R, ℜ s < a}. Chiamiamo a − ib e a + ib i p
punti di intersezione della retta ℜ s = a con la
circonferenza | s| = R (ovviamente b = R 2 − a2 ). Notiamo che lims→∞ F ( s) = 0. Sia
t < 0: F ( s) è analitica in D̄ (1)
, per cui
R
Z
Z
Z a+ ib st
1
e st
1
e st
1
e
d
s
=0⇔
d
s
−
d s = 0.
(1) s
2π i ∂D (1)
s
2
π
i
2
π
i
s
γ
a
−
ib
R
R
R
st
Per il lemma di Jordan si ha che limR →+∞ 21π i γ(1) es d s = 0 per t < 0. Se invece t > 0,
R
(2)
− {0}. Per il teorema dei residui abbiamo che
poiché F ( s) è analitica in D̄ (2)
R
Z
Z
Z a+ ib st
1
e st
e st
1
e st
1
e
d
s
= Ress=0
=1⇔
d
s
+
ds = 1
(2) s
2π i ∂D (2)
s
s
2
π
i
2
π
i
s
γ
a
−
ib
R
R
R
st
valida ∀R > a. Per il lemma di Jordan limR →+∞ γ(2) es d s = 0, per cui, se t > 0, si
R
R a+ i∞ st
ha 21π i a− i∞ es d s = 1. In definitiva f ( t) = ϑ( t) (si può dimostrare rigorosamente che
R a+ i∞ st
∀ t ∈ R − {0} l’integrale 21π i a− i∞ es d s, con a > 0, è convergente).
3.2. Antitrasformata di Laplace. Sia f ( t) una funzione originale ed F ( s) = Ls [ f ( t)] la
sua funzione immagine. Allora, nei punti t in cui f è continua, si ha
Z a+ ib
Z a+ i ∞
1
1
e st F ( s) d s =
e st F ( s) d s, a > σa ( f ).
(11)
f ( t) =
lim
2π i b→+∞ a− ib
2π i a − i ∞
Una conseguenza importante del precedente teorema (di cui omettiamo la dimostrazione) è
che la trasformata di Laplace è una operazione iniettiva. La formula (11) è detta formula di
Mellin; essa costituisce l’antitrasformata di Laplace. Possiamo scrivere, almeno nei punti in
cui f è continua, f ( t) = L t−1 [F ( s)]. Un problema importante è stabilire se una funzione complessa F ( s) è una funzione immagine; in caso affermativo si può, tramite la formula di Mellin,
determinare la funzione originale corrispondente. Purtroppo non esistono condizioni necessarie e sufficienti perché la funzione F ( s) sia una funzione immagine. Si possono però enunciare condizioni sufficienti che permettono di stabilire se una funzione di variabile complessa
è una funzione immagine. Vi sono casi in cui è possibile affermare con certezza che una funP
zione F ( s) non è una funzione immagine (ad esempio nel caso in cui F ( s) = nk=0 a k s k , n ∈ N0 ,
a k ∈ C, oppure se F ( s) è una funzione razionale impropria, tale cioè che il grado del numeratore superi quello del denominatore, in quanto in tali casi non si avrebbe limℜs→+∞ F ( s) = 0).
ℑ s∈R
Ricordiamo inoltre che, perché F ( s) sia una funzione immagine, è necessario che essa sia
analitica in un semipiano ℜ s > σ0 , σ0 ∈ R.
Teorema 8 (Antitrasformata di una funzione razionale propria). Se F ( s) è una funzione razionale propria della variabile complessa s, le sue singolarità polari siano s 1 , s 2 , . . . , s r , allora
essa è una funzione immagine ed è, in particolare, l’immagine della funzione originale
r
X
f ( t ) = ϑ( t )
Ress=s k e st F ( s).
(12)
k=1
4. Applicazioni
4.1. Risoluzione di equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti. È possibile applicare la trasformata di Laplace alla risoluzione di un’equazione differenziale ordinaria lineare a coefficienti costanti con condizioni iniziali assegnate, facendo
l’ipotesi che il termine non omogeneo sia una funzione originale.
P
Sia dunque data l’equazione differenziale lineare ordinaria di ordine n ∈ N nk=0 a k x(k) ( t) =
f ( t), dove le quantità a k ∈ C sono tutte costanti non nulle ed f : R → C è una funzione
TRASFORMAZIONE DI LAPLACE
7
originale nota. Supponiamo che siano assegnate le condizioni iniziali x(k) (0) = xk , xk ∈ C,
k = 0, 1, . . . , n − 1. Cerchiamo una soluzione x : R → C del problema di Cauchy che abbia le
seguenti proprietà:
• x( t) = 0 ∀ t < 0;
• x( t) sia di classe C n−1 e di classe C n a tratti per t ≥ 0;
• x(n) ( t) sia una funzione originale.
Queste proprietà implicano che, per k = 0, 1, . . . , n − 1, x(k) ( t) è una funzione originale. Si
può dimostrare che una tale soluzione esiste ed è unica. Noi ci limiteremo qui a trovare tale soluzione, utilizzando un metodo basato sull’uso della trasformata di Laplace. Sia dunque
X ( s) = Ls [ x( t)] ed F ( s) = Ls [ f ( t)]. Ovviamente,£ essendo
incognita, X ( s) non
¤ x( t) una funzione
P
è nota. Sappiamo che ∀ k = 1, 2, . . . , n si ha Ls x(k) ( t) = s k X ( s) − kj=−01 s j xk− j−1 . Considerando allora la trasformata di Laplace di ambo i membri dell’equazione differenziale si ottiene
Pn
P
P
P
P
P
a s k X ( s)− nk=0 a k kj=−01 s j xk− j−1 = F ( s) e quindi X ( s) nk=0 a k s k − nj=−01 s j nk= j+1 a k xk− j−1 =
k=0 k
P
P
P
F ( s), da cui ponendo A ( s) = nk=0 a k s k e B( s) = nj=−01 s j nk= j+1 a k xk− j−1 si ottiene X ( s) =
+ FA((ss)) , che è una funzione immagine perché è somma di due funzioni immagini (la prima
è una funzione razionale propria, mentre la seconda è un prodotto di due funzioni immagini).
In conclusione la soluzione del problema di Cauchy è data da x( t) = L t−1 [ X ( s)].
B ( s)
A ( s)