(b) a = 3,3 m /s2 , T = 13 N (c) V = 0.001 m3 v = 3,96 m /s h = 0,80 m

A
B
Esercizio 1: 27/03/2009 Due blocchi A e B, di masse m1 e m2
con (m2>m1) sono collegati mediante una sottile cordicella
passante per la gola di una carrucola molto leggera e priva di
attrito. (a) Trascurando le masse del filo e della carrucola,
determinare le espressioni dell’accelerazione a e della
tensione T. (b) Eseguire un’applicazione numerica con
m1=1.0Kg e m2=2.0Kg. (c) Supponiamo ora d’immergere
completamente il blocco B in acqua. Con i dati del punto (b)
si ha che il sistema e’ perfettamente in equilibrio. Qual è il
valore del volume dell’oggetto B ? (ρ =1.0 x 103 Kg/m3)
Soluzione:
Il quesito (a) si risolve se si considera ognuno dei blocchi come un sistema a se stante e si applica
ad esso la seconda legge della dinamica.
(a) T =m 1 (g +a) oppure T =m 2 ( g −a)
(b) a = 3,3 m /s2
,
T = 13 N
(c) V = 0.001 m3
Esercizio 3: 27/03/2009 Una botte piena di acqua ha un rubinetto vicino al fondo, ad
una profondita' di 0.80 m sotto la superficie libera dell’acqua. Con quale velocita'
esce l’acqua se il rubinetto è orientato orizzontalmente e viene aperto ? Quale altezza
raggiunge lo zampillo se invece è orientato verso l’alto ?
Soluzione:
Dall’equazione di Torricelli si ha che la velocità del fluido all’uscita del rubinetto vale
v = 3,96 m /s
il valore della quota massima e'
h = 0,80 m
Esercizio 2: 17/09/09
Una sferetta di densita' ρ= 0,3 g/cm3 e' trattenuta a d = 40 cm sotto il livello
dell’acqua contenuta in un recipiente. Trascurando ogni forma di resistenza al
moto, si calcoli l’altezza massima h raggiunta dalla sferetta sopra il livello
dell’acqua una volta che essa, non più trattenuta, risale in superficie.
Soluzione:
Possiamo dividere lo svolgimento di questo esercizio in due parti:
1. Studio del moto (accelerazione e velocità finale) della sferetta sotto l’acqua;
2. Studio del moto della sferetta nell’aria e calcolo dell’altezza
h = 0,93 m
Esercizio 3 (9/9/10):
Un condotto marino presenta una strozzatura, passando da una sezione S1=1,6
cm2 a una sezione S2=0,8 cm2. Assumendo il moto stazionario, la densita'
dell’acqua di mare pari a 1025 Kg / m3 e la velocita' v1=0,8 m/s, calcolare la
velocita' v2 e la differenza di pressione p1-p2. Si trascurino gli effetti dovuti alla
viscosita' e le eventuali differenze di quota delle sezioni.
Soluzione:
Dato che il fluido è ideale, cioè incompressibile e privo di viscosità interna, e il moto è stazionario,
possiamo applicare il teorema di Bernoulli e l’equazione di continuità. La portata di acqua Q
attraverso il condotto si conserva lungo il condotto medesimo, per cui si ha:
Q=S 1 v 1
Q=S 2 v 2
da cui eguagliando i secondi membri delle due equazioni di cui sopra si ricava la relazione
S1
S2
Il teorema di Bernoulli per le due sezioni S1 e S2 si scrive:
v 2=v 1
S 1 v 1=S 2 v 2 cioe'
h
p1 v 12
p
v2
 =h 2  2
 g 2g
 g 2g
E sostituendo nella formula precedente si ottiene
[ ]
v 21  S 12
1 2 2
p 1− p 2= v 2 −v 1  g=
−1
2g
2 S 22
Inserendo i dati del problema si avra' pertanto:
0,8 m/ s2×1025
p 1− p 2=
2
Kg
2 2
3
m 1,6cm 
−1 =328 Kg m s 2×3=984 Pa~9,8 Pa
2 2
0,8cm 
[
]
Problema 3 (15/07/10)
Dell'acqua fuoriesce da un condotto orizzontale alla velocita' di 30 m/s.
Il condotto, che in ingresso ha una sezione circolare di diametro D1 = 5 cm, si
restringe ad un valore (in uscita) pari a D2 = 3 cm.
a) Qual'e' il volume d'acqua che esce dal condotto in 12 minuti ?
b) Qual' e' la velocita' dell'acqua in ingresso ?
Soluzione:
La portata di un condotto e' pari a Q = S v dove S e' la sezione del condotto e v la
velocita' del fluido. All'uscita varra'
Q=S 2 v 2= r 22 v 2=3,14⋅
3⋅10−2 2
m ⋅30 m/s=0,0212 m3 /s
2
Per l'equazione di continuita' la portata e' uguale per tutto il condotto. Inoltre dalla
definizione di portata si ha Q = V / Dt dove V e' il volume del fluido che attraversa
la sezione del tubo nel tempo Dt = 12 min = 720 s. Pertanto
3
V =Q⋅ t=0,0212 m / s×720 s~15 m
3
b) Essendo la portata in uscita uguale a quella in ingresso
Q=S 2⋅v 2=S 1⋅v 1
La sezione del condotto all'ingresso vale
S 1=⋅r 21=3,14⋅
5⋅10−2 2
m =1,96 10−3 m2
2
La velocita' dell'acqua in ingresso del condotto vale quindi
3
0,0212 m / s
v 1=Q /S 1=
=10,8 m/ s~11 m/s
−3 2
1,96⋅10 m
Esercizio 3 (29/03/10): Una diga trattiene il mare da una città che si trova
al di sotto del livello del mare. Se nella diga si apre una fessura 3.0 m al di
sotto della superficie dell’acqua e l’area della fessura è 1.0 cm2, quale
forza deve essere esercitata nella fessura per salvare la città?
Soluzione:
Dalla legge dell'idrostatica
p= p0acqua mare g h
F = p A si ottiene
F = p 0 acqua mare g h  A= 1.01×10 Pa1.024×103 Kg /m 3×9.81 m/ s 2×3.0 m  ×10−4 m 2
e dalla definizione di pressione
4
 1.13113×10 5 Pa  ×10−4 m2=13 N