La probabilità non esiste - L`epistemologia soggettivista di Bruno de

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La probabilità non esiste
L’epistemologia soggettivista di
Bruno de Finetti
Hykel Hosni
http://homepage.sns.it/hosni/
Scuola Normale Superiore, Pisa
27 aprile 2010
Hykel Hosni (SNS Pisa)
27 aprile 2010
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Bruno de Finetti
Innsbruck, 13/06/ 1906 - Roma, 20/11/1985
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Un esempio attuale
I ministri dei trasporti dell’UE hanno deciso di chiudere gran parte
dello spazio aereo europeo per l’alta probabilità di malfunzionamento
dei propulsori dovuta alla cenere vulcanica.
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Decisione in condizioni di incertezza
La decisione della UE è stata estremamente costosa per l’economia e
in termini di disagio arrecato a migliaia di viaggiatori. Oggi, con il
senno di poi!, molti criticano i decision maker dell’Unione dicendo che
hanno sovrastimato il rischio
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Decisione in condizioni di incertezza
La decisione della UE è stata estremamente costosa per l’economia e
in termini di disagio arrecato a migliaia di viaggiatori. Oggi, con il
senno di poi!, molti criticano i decision maker dell’Unione dicendo che
hanno sovrastimato il rischio
Domande centrali
La probabilità è uno strumento fondamentale in tutte le circostanze
pratiche della vita quotidiana in cui ci troviamo a dover decidere in
condizioni di incertezza.
Ma come interpretare il concetto di probabilità?
In che senso non possiamo dire che è oggettiva?
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Sommario
1
Quali sono le domande?
2
Definizioni e interpretazioni del concetto
di probabilità
3
La probabilità come grado di convinzione
4
Dalla definizione alla misura
5
Sviluppi e suggerimenti per approfondire
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di probabilità
3
4
5
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Un sistema di coordinate
La probabilità svolge un ruolo fondamentale nella matematica, nelle
scienze naturali e in quelle sociali.
Per questo è utile distinguere tra
1
2
3
teoria delle probabilità
calcolo delle probabilità
inferenza probabilistica
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Un sistema di coordinate
La probabilità svolge un ruolo fondamentale nella matematica, nelle
scienze naturali e in quelle sociali.
Per questo è utile distinguere tra
1
2
3
teoria delle probabilità
calcolo delle probabilità
inferenza probabilistica
Attenzione!
Questa distinzione non corrisponde a una partizione in ambiti di
ricerca indipendenti, al contrario! La grande lezione di de Finetti è
proprio questa: soltanto attraverso una profonda riflessione
sull’interazione tra questi tre livelli è possibile comprendere in modo
sensato il problema del ragionamento in condizioni di incertezza.
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Teoria delle probabilità
Domanda centrale
Come si definisce, come si interpreta, e come si valuta la probabilità?
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Domanda centrale
Che vuol dire che la
probabilità di pioggia domani
è del 90%?
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Domanda centrale
Che vuol dire che la
probabilità di pioggia domani
è del 90%?
Come si misura il grado di
fiducia dei fisici sul fatto che
l’LHC permetterà di decidere
sull’esistenza del bosone di
Higgs?
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Calcolo delle probabilità
Domanda centrale
Quali sono le proprietà formali (i teoremi!) della probabilità?
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Calcolo delle probabilità
Domanda centrale
Quali sono le proprietà formali (i teoremi!) della probabilità?
Esempio
P(E | H) = P(E )
P(H | E )
P(H)
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Ragionamento probabilistico
Domanda centrale
Come possiamo/dobbiamo usare la probabiltià nell’inferenza
induttiva?
statistica
logica induttiva / logica probabilistica
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Mettendo le cose insieme
Affinché sia possibile applicare il calcolo delle probabilità ai problemi
di ragionamento in condizioni di incertezza è necessario che entrambi
siano sviluppati in accordo a un’adeguata teoria delle probabilità
Esempio: Certezza pratica
‘We were seeing things that were 25-standard-deviation events,
several days in a row,’ said David Viniar, CFO of the smartest
financial firm in the world, Goldman Sachs. According to Goldman’ s
mathematical models, August, Year of Our Lord 2007, was a very
special month. Things were happening that were only supposed to
happen once in every 100,000 years. Either that [. . .] or Goldmans
models were wronga .
a
B. Bonner, Financial Times, 13/8/2007
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di probabilità
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Classica/frequentista
Definizione
La probabilità di un evento è la sua frequenza relativa rispetto a una
classe di eventi (indipendenti ed) equiprobabili.
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Definizione
le frequenze relative sono estremamente importanti nel
ragionamento induttivo (statistico) per la definizione della
probabilità non sono
I
I
né necessarie: qual è la probabilità di una nuova eruzione del
vulcano Eyjafjallajökull
né sufficienti: fallacia dei numeri ‘ritardatari’
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Definizione
le frequenze relative sono estremamente importanti nel
ragionamento induttivo (statistico) per la definizione della
probabilità non sono
I
I
né necessarie: qual è la probabilità di una nuova eruzione del
vulcano Eyjafjallajökull
né sufficienti: fallacia dei numeri ‘ritardatari’
il riferimento all’equiprobabilità rende la definizione ovviamente
circolare!
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Logicista
Definizione
La probabilità è una proprietà logica (analitica) degli eventi. Tutti gli
individui che dispogono delle medesime informazioni devono quindi
assegnare le medesime probabilità agli eventi.
Critica:
individui distinti valutano generalmente evidenze distinte
anche nel caso in cui tutti gli individui dispongano della
medesima evidenza, è perfettamente ragionevole che si trovino in
disaccordo nella valutazione finale
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Assiomatica
Definizione
Data una tripla (W, E, P) dove W è un insieme qualsiasi e E
un’algebra su W, definiamo la probabilità P come una funzione che
soddisfa i tre assiomi di Kolmogorov:
(K1) 0 ≤ P(E ) ≤ 1, ∀E ∈ E
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Assiomatica
Definizione
(K1) 0 ≤ P(E ) ≤ 1, ∀E ∈ E
(K2) P(W) = 1, P(∅) = 0
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Assiomatica
Definizione
(K1) 0 ≤ P(E ) ≤ 1, ∀E ∈ E
(K2) P(W) = 1, P(∅) = 0
(K3) Se E1 , E2 sono elementi disgiunti E, allora
P(E1 ∪ E2 ) = P(E1 ) + P(E2 )
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Assiomatica
Definizione
(K1) 0 ≤ P(E ) ≤ 1, ∀E ∈ E
(K2) P(W) = 1, P(∅) = 0
(K3) Se E1 , E2 sono elementi disgiunti E, allora
P(E1 ∪ E2 ) = P(E1 ) + P(E2 )
(K3’) Per ogni sequenza numerabile di eventi logicamente indipendenti
E1 , E2 . . . vale
X
P(E1 ∪ E2 ∪ . . .) =
P(Ei ).
i
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Fatti, eventi e fenomeni
De Finetti argomenta contro le interpetazioni oggettiviste e
assiomatiche mettendo mettendo in evidenza come queste non
caratterizzino in modo appropriato la nozione di evento e distingue
tra
1 evento: circostanza singola e ben definita su cui un individuo si
pone una domanda
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tra
pone una domanda
I
LHC dimostrerà l’esistenza del bosone di Higgs?
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tra
pone una domanda
I
2
fatto: insieme di circostanze che sussistono indipendentemente
dal soggetto che si pone la domanda
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tra
pone una domanda
I
2
I
L’ossigeno ha tre istopi stabili
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tra
pone una domanda
I
2
I
3
fenomeno: circostanze che associamo naturalmente in quanto
simili
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tra
pone una domanda
I
2
I
3
fenomeno: circostanze che associamo naturalmente in quanto
simili
I
Il primo Ryanair del giorno da STN a PSA è più puntuale del
secondo
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Soggettivistmo (radicale)
Riassunto dei concetti fondamentali:
La probabilità misura il grado di convinzione (o fiducia, ecc.) di
un agente su evento relativamente al proprio stato di
informazione
La probabilità non è una proprietà del mondo (degli eventi) ma
uno stato psicologico di chi si interroghi circa l’esito di
determinati eventi
La valutazione soggettiva della probabilità avviene sempre alla
luce dello stato di informazione corrente di un individuo
Il concetto di ‘probabilità vera’ o ‘oggettiva’ è insensato
Ciascuno a modo suo, purché in modo coerente
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di probabilità
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Lo schema delle scommesse
Idea
La probabilità che un agente a assegna all’evento E è il prezzo equo
p = P(E ) che a è disposto a pagare per partecipare a una scommessa
in cui
(
1-p se l’evento E si verifica
a riceve
0
altrimenti
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Dutch Book
Idea
Una valutazione di probabilità di una agente a si dice inconsistente se
è possibile costruire un book contro a, cioé un insieme di scommesse
tali che
ogni scommessa è individualmente accettabile per a
ma che prese congiuntamente portano a a perdita sicura
Formalmente, una valutazione di probabilità si dice consistente se non
esistono Si , Ti > 0, Ei , Ej ∈ E, pi < P(Ei ), P(Ej ) < qj ,
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n tali che per ogni V
n
X
Si (V (Ei ) − pi ) −
1=i
m
X
Tj (V (Ej ) − qj ) < 0,
1=j
dove V (E ) = 1 se l’evento E si verifica e 0 altrimenti.
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La giustificazione
L’argomento del Dutch Book si completa con il seguente risultato che
ci fornisce una risposta epistemologicamente adeguata alla domanda
‘come si formalizza il concetto di grado di convinzione razionale?’
Teorema (de Finetti 1931, de Finetti 1970)
Le valutazioni di probabilità di un individuo in un book sono
consistenti se e solo se soddisfano gli assiomi K1-K3.
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La giustificazione
A meno di (non infrequenti!) appropriazioni indebite, l’espressione
probabilità bayesiana si usa in riferimento a questa caratterizzazione
della ‘convinzione come probabilità’
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La giustificazione
A meno di (non infrequenti!) appropriazioni indebite, l’espressione
probabilità bayesiana si usa in riferimento a questa caratterizzazione
della ‘convinzione come probabilità’
Concezioni analoghe si trovano per esempio in
Savage, L. J. (1954). The Foundations of Statistics. Wiley.
Ramsey, F. (1931). Truth and probability (1926). in R. Braithwaite (ed:)
The Foundations of Mathematics and other Logical Essays. Kegan, Paul,
Trence, Trubner & Co., London.
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Esempio
Per far fronte alla minaccia di una nuova crisi finanziaria globale, la
Banca Mondiale ha deciso di assumere un epistmologo. Supponiamo
che alla competizione partecipino due filosofi bayesiani B e F che che
il CFO della Banca assegni le seguenti probabilità
PB = 0.60 , PF = 0.20 P = 0.70, dove P sta per ‘vince un
bayesiano’.
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Esempio
bayesiano’. Le seguenti scommesse sono eque:
1 +40 se vince B, -60 se perde
2 +80 se vince F, -20 se perde
3 +30 se vince un bayesiano, -70 altrimenti
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Esempio
Ma questo è un book contro CFO!
In ogni caso vince una scommessa e se pere due, con una perdita
netta di 10 E
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Esempio
Ma questo è un book contro CFO!
In ogni caso vince una scommessa e se pere due, con una perdita
netta di 10 E
Se invece avesse assegnato p = pB + pF questo non sarebbe successo!
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Coerenza come razionalità
Il colpo di genio di de Finetti (e indipendentemente! di Ramsey)
consiste nel far riferimento alla perdita sicura.
una persona che consapevolmente si metta nella posizione di
perdere indipendentemente dal corso degli eventi su cui
scommette, di sicuro non agisce in modo razionale
sotto l’ipotesi che il comportamento dipenda dalle convinzioni
della persona se ne conclude l’inconsistenza
al fine di evitare obiezioni metodologiche è necessario escludere i
casi di ‘scommessa per amor del rischio’.
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Scommesse come contratti
La scommessa che sta alla base della definizione di book è
essenzialmete come un contratto completo tra due parti che decidono
le condizioni di scommessa: quota e pagamenti
2 le condizioni di pagamento: il contratto include le condizioni di
verifica dell’evento oggetto di scommessa
Il punto 2 è di importanza fondamentale per la logica degli eventi che
è, per de finetti a tre valori. Una scommessa su E infatti può essere:
vinta, se E si verifica
persa, se E non si verifica
annullata, se non si danno le condizioni di verifica di E (p.e.
LHC viene chiuso per mancanza di fondi)
1
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Probabilità condizionale
La logica a tre valori degli eventi è di importanza fondamentale
nell’interpetazione operativa della probabilità condizionale definita da
P(E2 | E1 ) =
P(E2 ∩ E1 )
P(E1 )
Ovviamente la sensatezza della definizione dipende fal fatto che
P(E1 ) > 0. Che succede, però se non si danno le condizioni di
verifica di E1 ?
V (E1 ) viene dichiarato nullo e la scommessa viene quindi annullata
(ognuno riprende i propri soldi).
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Trieventi
Riassumendo, per E1 , E2 ∈ E


0
V (E2 | E1 ) = 1


∅
se V (E1 ) = 1 e V (E2 ) = 0
se V (E1 ) = 1 e V (E2 ) = 1
se V (E1 ) = 0
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Trieventi


0
V (E2 | E1 ) = 1


∅
se V (E1 ) = 1 e V (E2 ) = 0
se V (E1 ) = 1 e V (E2 ) = 1
se V (E1 ) = 0
Osservazione
La logica degli eventi (condizionali) ha la stessa semantica della
logica tre valori di Kleene, ma non possiamo trattare | come un
connettivo composizionale! Altrimenti incorriamo nel Teorema
limitativo (Triviality) di D. Lewis.
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Trieventi


0
V (E2 | E1 ) = 1


∅
se V (E1 ) = 1 e V (E2 ) = 0
se V (E1 ) = 1 e V (E2 ) = 1
se V (E1 ) = 0
Osservazione
La logica degli eventi (condizionali) ha la stessa semantica della
logica tre valori di Kleene, ma non possiamo trattare | come un
connettivo composizionale! Altrimenti incorriamo nel Teorema
limitativo (Triviality) di D. Lewis.
Lewis, D. (1976). Probabilities of Conditionals and Conditional
Probabilities. The Philosophical Review, 85(3), 297.
Lewis, D. (1986). Probability of Conditionals and Conditional Probabilities
II. The Philosophical Review,
54(4), 581-589.
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di probabilità
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Valutazione sincera di probabilità
Lo schema delle scommesse permette di dare una definizione
operativa del grado di convinzione razionale di una persona che si
trovi a valutare l’esito di un evento E in condizioni di incertezza
gli assiomi della probabilità ci mettono a riparo da valutazioni
incoerenti
ma non ci dicono nulla sul modo più appropriato di misurare tale
probabilità
Idea
Cerchiamo uno strumento per forzare, nel suo proprio interesse, un
agente a dichiarare sinceramente il propri valori di probabilità. In
questo modo si elimina la componente strategica intrinseca nello
schema delle scommesse.
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Regola di Brier
L’idea centrale consiste nell’informare l’agente che deve valutare la
probabilità di essere soggetto alla penalizzazione:
(
(π)2
se E non si verifica
L=
(1 − π)2 se E si verifica
dove π rappresenta il valore indicato da a.
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Regola di Brier
(
(π)2
L=
Proprietà fondamentale
Ponendo π = p si minimizza la previsione di penalizzazione.
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Regola di Brier
(
(π)2
L=
Proprietà fondamentale
Ponendo π = p si minimizza la previsione di penalizzazione.
Riferimenti:
Lindley, D. V. (1982). Scoring Rules and the Inevitability of Probability.
International Statistical Review, 50(1), 1-11.
de Finetti, B. (1981). The Role of ’Dutch Books’ and of ’Proper Scoring
Rules’. British Journal for the Philosophy of Science, 32(1), 55- 56.
M D’Agostino, C Sinigaglia (2010) Epistemic Accuracy and Subjective
Probability In: EPSA Epistemology and Methodology of Science Edited
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Argomento algebrico
Supponiamo che un agente a reputi che la probabilità di un certo
evento sia p ma che indichi invece π 6= p.
Allora
π 2 (1 − p) + (1 − π)2 p = π 2 − π 2 p + (1 + π 2 − 2π)p
= π 2 − π 2 p + p + π 2 p − 2πp
= π 2 + p − 2πp.
Se invece a avesse indicato p (e quindi π = p) sostuendo nell’ultima
riga sopra avremmo che la sua previsione di penalizzazione sarebbe
stata p 2 + p − 2p 2 = p − p 2 . Possiamo calcolare, quindi, la differenza:
(π 2 + p − 2πp) − (p − p 2 ) = π 2 + p − 2πp − p + p 2
= π 2 + p 2 − 2πp
= (π 2 − p)2 .
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Argomento geometrico
ascisse: [0, 1] (codominio
di P)
ordinate: previsione di
penalizzazione
Pp (Lπ ) = π 2 + p − 2πp =
p(1 − 2π) + π 2
la scelta ottima, per ogni
p consiste nello scegliere il
π che corrisponde alla
retta che ha ordinata
minima in p
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di probabilità
3
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Epistemologia bayesiana
L’area di ricerca che affronta questioni epistemologiche attraverso la
concezione soggettivista della probabilità è nota con il nome di
epistemologia bayesiana
Domande centrali
revisione delle convinzioni (belief revision)
giustificazione e evidenza
causalità
coerenza
Riferimenti:
Luc Bovens and Stephan Hartmann (2003), Bayesian Epistemology Oxford:
Clarendon Press.
Talbott, W,, ‘Bayesian Epistemology’, The Stanford Encyclopedia of
Philosophy (Fall 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato.
stanford.edu/archives/fall2008/entries/epistemology-bayesian
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Alcune critiche
troppo permissivo
I
consistenza come condizione necessaria ma non sufficiente
troppo restrittivo
la consistenza non è necessaria per costruire una misura della
convinzione razionale in condizioni di incertezza
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Alcune critiche
troppo permissivo
I
consistenza come condizione necessaria ma non sufficiente
troppo restrittivo
la consistenza non è necessaria per costruire una misura della
convinzione razionale in condizioni di incertezza
Riferimenti:
Paris, J. B. (1994). The uncertain reasoner’s companion: A mathematical
perspective. Cambridge University Press.
Halpern, J. Y. (2003). Reasoning about Uncertainty. MIT Press.
27 aprile 2010
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Oltre la coerenza
Massima entropia
Paris, J. (1999). Common sense and maximum entropy. Synthese,
Volume 117(1) , 75-93.
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Oltre la coerenza
Massima entropia
Volume 117(1) , 75-93.
Bayesianesimo oggettivo
Williamson, J. (2010). In Defence of Objective Bayesianism. Oxford
University Press.
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Oltre la coerenza
Massima entropia
Volume 117(1) , 75-93.
Bayesianesimo oggettivo
Williamson, J. (2010). In Defence of Objective Bayesianism. Oxford
University Press.
Pluralismo probabilistico
Gillies, D. (2000). Philosophical Theories of Probability. Routledge.
27 aprile 2010
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Soggettivismo e logica del probabile
Il calcolo delle probabilità è la logica del probabile. Come la
logica formale insegna a dedurre la verità o falsità di certe
conseguenze dalla verità o falsità di certe premesse, cosı̀ il
calcolo delle probabilità insegna a dedurre la maggiore o
minore verosimiglianza o probabilità di certe conseguenze
dalla maggiore o minore verosimiglianza o probabilità di
certe premesse. Per chi attribuisca alla probabilità un
significato obbiettivo, il calcolo delle probabilità dovrebbe
avere un significato obiettivo, i suoi teoremi esprimere delle
prorietà che nel campo del reale risultano soddisfatte.
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Ma è inutile fare simili ipotesi. Basta limitarsi alla
concezione soggettiva, considerare cioé la probabilità come
grado di fiducia sentito da un dato individuo nell’avverarsi
di un dato evento, e si può dimostrare che i noti teoremi del
caclolo delle probabilità sono condizioni necessarie e
sufficienti perché le opinioni di un dato individuo non siano
intrinsecamente contraddittorie e incoerenti.1
1
B. de Finetti, ‘Fondamenti logici del ragionamento probabilistico’, Boll. Un.
Mat. Ital., 9, 258-261, 1930
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