programma dettagliato

Corso di Superfici di Riemann e curve algebriche
Programma
(1) Carta complessa, compatibilità di carte complesse, atlante complesso.
Definizione di superficie di Riemann. Primi esempi di superfici di Riemann: il piano complesso C, la sfera S 2 . Proprietà topologiche di una
superficie di Riemann: connessione, orientabilità, genere topologico.
Esempi di superfici di Riemann: la retta proiettiva complessa P1C , il
toro complesso T , i grafici di funzioni olomorfe. Definizione di curva
piana affine complessa non singolare. Teorema: una curva piana affine
non singolare è una superficie di Riemann. Definizione di curva piana
proiettiva complessa non singolare. Teorema: una curva piana proiettiva complessa non singolare è una superficie di Riemann compatta.
(2) Funzioni olomorfe su una superficie di Riemann. Esempi di funzioni
olomorfe su superfici di Riemann. Funzioni meromorfe su una superficie di Riemann e loro caratterizzazione. Gli spazi O(W ) e M(W ),
per un aperto W di una superifice di Riemann. Esempi: funzioni
meromorfe su S 2 , P1C , sul toro complesso e su una curva proiettiva
non singolare. Definizione di ordine di una funzione meromorfa f in
un punto: ordp (f ). Teorema: gli zeri e i poli di una funzione meromorfa non nulla su una superficie di Riemann sono un sottoinsieme
discreto. Teorema: una funzione olomorfa su una superficie di Riemann compatta è costante. Applicazioni olomorfe tra superfici di Riemann. Biolomorfismi e superfici di Riemann biolomorfe. Esempio: S 2
è biolomorfa a P1C . Teorema: sia F : X → Y un’ applicazione olomorfa
non costante, se X è compatta, F è suriettiva e Y è compatta. Corrispondenza tra le funzioni meromorfe su una superficie compatta X
e le applicazioni olomorfe di X in P1C . Descrizione della fibra di un’
applicazione olomorfa non costante tra superfici di Riemann compatte.
Teorema della forma locale normale per un’applicazione olomorfa non
costante tra superfici di Riemann compatte. Definizione di molteplicità
di un’ applicazione F in un punto: multp (F ). Definizione di punto di
ramificazione e di punto di diramazione. Teorema del rivestimento e
definizione del grado di un’applicazione olomorfa tra superfici di Riemann compatte. Formula di Hurwitz.
(3) Lo spazio E(U ) delle funzioni derivabili infinite volte in x e y, z = x+iy,
(1)
coordinata locale in U . Lo spazio cotangente Ta ad una superficie
di Riemann in un punto a. Il differenziale di una funzione f ∈ E(U ).
(1)
Basi per lo spazio Ta . Vettori cotangenti di tipo (1, 0) e di tipo (0, 1).
Definizione di 1-forma differenziale definita su un aperto W di una superficie di Riemann, forme differenziali C ∞ , olomorfe e merofomorfe:
1
2
E (1) (W ), Ω(1) (W ), M(1) (W ). Forme differenziali assegnate su un ri(2)
(1)
coprimento e regola di incollamento. Lo spazio Ta = ∧2 Ta . Basi
(2)
per Ta . Definizione di 2-forma differenziale definita su un aperto W
di una superficie di Riemann, 2-forme C ∞ : E (2) (W ). Regola di incollamento per 2-forme differenziali assegnate su un ricoprimento. Gli
¯ d e le regole di derivazione. Definizione
operatori di derivazione ∂, ∂,
di 1-forma esatta e chiusa. Esempi: una forma esatta è chiusa, una
forma olomorfa è chiusa. Teorema di Poincaré e lemma di Dolbeault
(solo enunciati). Pull back di una forma differenziale ω: F ∗ (ω), per
un ’aplicazione olomorfa F . Definizione di ordine di una 1-forma
meromorfa ω in un punto: ordp (ω). Calcolo dell’ordine di F ∗ (ω).
Definizione di cammino su una superficie di Riemann. Integrale di
una 1−forma ω ∈ E (1) (X) lungo un cammino γ. Proprietà elementari
dell’integrale. Definizione di residuo di una 1−forma ω ∈ M(1) (U ) in
un punto: Resp (ω). Relazione tra il residuo e l’integrale di ω lungo
cammini semplici chiusi. Integrale di una 2−forma η ∈ E (2) (X) su un
sottoinsieme chiuso D triangolabile. Teorema di Stokes
P (solo enunciato). Teorema dei residui: su una superficie compatta
Resp (ω) = 0,
∀ ω ∈ M(1) (X). Omotopia tra cammini. Teorema: l’integrale di una
1-forma chiusa non dipende dal cammino scelto in una classe di omotopia.
(4) Definizione di divisore su una superficie di Riemann. Il gruppo Div(X)
su una superficie di Riemann X. Grado di un divisore per una superficie compatta. Divisore principale associato ad una funzione meromorfa
non nulla f : div(f ). Il grado di un divisore principale. Divisori effettivi. Relazione di equivalenza lineare tra divisori. Esempio: due punti
p e q su P1C sono linearmente equivalenti. Il gruppo di Picard di una
superficie di Riemann X: P ic(X). Divisore canonico associato ad una
1-forma meromorfa ω non nulla: div(ω). Esempio: trovare un divisore canonico su P1C . Proprietà: due divisori canonici su una superficie
di Riemann sono linearmente equivalenti. Pull back di un divisore
D: F ∗ (D), per un’applicazione non costante olomorfa F . Proprietà
elementari del pull back. Definizione del divisore di ramificazione e
del divisore di diramazione per un’applicazione olomorfa non costante
F : X → Y tra superfici compatte. Teorema di Riemann-Hurwitz.
Esempio: calcolo del grado del divisore canonico per una superficie di
Riemann compatta X (nell’ipotesi dell’esistenza di una funzione meromorfa f ∈ M(X)). Definizione del divisore di intersezione tagliato da
una forma omogenea G su una curva piana proiettiva non singolare:
div(G) e relative proprietà. Teorema di Bezout. Formula di Plcker. Lo
spazio vettoriale L(D) delle funzioni meromorfe limitate dal divisore
D. Proprietà: L(D1 ) isomorfo a L(D2 ) se D1 e D2 sono linearmente
equivalenti, L(D) = {0} se degD < 0. Teorema: se X è una superficie di Riemann compatta L(D) è finitamente generato. Lo spazio
vettoriale L(1) (D) delle 1−forme meromorfe limitate dal divisore D.
3
Proprietà: L(1) (D) è isomorfo a L(D + KX ), dove KX è un divisore
canonico sulla superficie X. Definizione di sistema lineare completo
|D| associato ad un divisore D. Relazione tra |D| e P(L(D)) per una
superficie compatta. Definizione di sistema lineare W di grado d e
dimensione r su una superficie compatta. Definizione di punto base
per un sistema lineare. Condizioni necessarie e sufficienti affinchè un
sistema lineare sia privo di punti base.
(5) Prefasci di gruppi anelli campi. Assioma di fascio. Esempi di fasci:
fasci di funzioni, fasci di forme, fascio associato ad un divisore, fasci
localmente costanti, fasci grattacielo, fasci di divisori, fasci totalmente
discontinui. Esempi di prefasci che non soddisfano l’assioma di fascio:
prefasci costanti, prefasci di di forme esatte. Spiga di un prefascio,
esempi: fascio delle funzioni olomorfe e fascio localmente costante.
Fascio delle sezioni discontinue di F. Fascificazione di un prefascio.Esempio: fascificazione del prefascio delle funzioni costanti, e del
prefascio delle forme esatte. Morfismi di fasci, esempi: inclusione, operatori differenziali. Fascio nucleo e prefascio immagine. Iniettività e
suriettività di un morfismo. Fascio immagine come fascificazione del
prefascio immagine.
(6) Coomologia di Cech. Nozione di co-catene di un fascio subordinate ad
un ricoprimento. Operatore di cobordo δ : C p (U, F) → C p+1 (U, F)
Proprietà del cobordo: δ2 = 0. Nozione astratta di complessi di cocatene e coomologia del complesso. Coomologia di Cech del fascio F
subordinata ad un ricoprimento. Iosomorfismo canonico tra H 0 (U, F)
e F(X). Relazione di pre-ordinamento sull’insieme dei ricoprimenti:
mappa di raffinamento. Se V ≺ U, ogni mappa di raffinamento induce
un morfismo σ : H p (U, F) → H p (V, F). La mappa σ non dipende dal
raffinamento. Sistemi diretti di gruppi e limite diretto. Definizione di
coomologia del fascio. Fasci aciclici. Morfismi dei gruppi di coomologia
associati a morfismi di fasci. Successione esatta lunga in coomologia
associata ad una successione esatta corta di fasci: morfismo di connessione. Data una successione esatat corta di fasci 0 → K → F → G → 0,
se H 1 (X, K) = 0 allora la mappa indotta F(X) → G(X) è suriettiva.
Calcolo dei gruppi di coomologia. Teorema di Serre (solo enunciato):
dato un ricoprimento U, se le restrizioni di F alle intersezioni finite
degli aperti di U sono tutti fasci aciclici, allora H p (X, F) = H p (U, F).
Fasci fini: partizione dell’unità. Esempi: fasci di funzioni e forme
C ∞ , fasci grattacielo, il fascio dei divisori. I fasci fini sono aciclici.
Risoluzioni fini di un fascio e teorema di de Rham astratto. Esempi:
risoluzione esatta del fascio delle funzioni localmente costanti e il fascio delle funzioni e delle forme olomorfe. Complessi di de Rham e
p
q,p
Dolbeuat. H p (X, C) = HDR
(X) e H p (X, Ωq ) = HD
(X)
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(7) Divisori e fibrati lineari. Successione esatta corta 0 → O∗ → M∗ →
Div → 0. Il problema di Mittag-Leffler. Teorema del teorema di
Weierstrass: se X è un aperto del piano ogni divisore su X è principale.
Il gruppo H 1 (X, O∗ ) dei fibrati lineari. Esempio: il fibrato canonico κ.
Dato un fibrato lineare ξ, il fascio delle sezioni (olomorfe, meromorfe,
C ∞ ) di ξ. Il divisore associato ad una sezione meromorfa del fascio
ξ. I divisori associati a sezioni meromorfe dello stesso fibrato solo
linearmente equivalenti. Successione esatta corta 0 → Z → O → O∗ →
0 e mappa di connessione δ : Div(X) → H 1 (X, O∗ ). Isomorfismo
canonico tra O(δ(D)) e O(−D). Se ξ = δ(D) allora ξ ammette una
sezione meromorfa σ e div(σ) è linearmente equivalente a −D. Se ξ
ammette una sezione meromorfa σ e D = divσ allora ξ = δ(−D).
Forme a volori in un fibrato lineare. Fasci Ω(ξ) E p,q (ξ). Risoluzione
di Dolbeaut di O(ξ). H p (X, O(ξ)) = 0 se p ≥ 2 e H 1 (X, O(ξ)) =
0,1
(X, ξ). Teoremi di finitezza H p (X, O(ξ)) ha dimensione finita per
HD
p = 0, 1. Accoppiamento di Serre tra H 1 (X, O(ξ)) e H 0 (X, Ω(ξ −1 )).
Teorema di Serre (solo enunciato): H 1 (X, O(ξ)) = H 0 (X, Ω(ξ −1 ))∗ .
Isomorfismo canonico Ω(ξ) = O(κξ −1 ). Riformulazione del teorema di
Serre: H 1 (X, O(ξ)) = H 0 (X, O(κξ −1 ))∗ .
(8) Mappe olomorfe non degeneri di una superficie di Riemann compatta
in spazi proiettivi. Corrispondenza biunivoca tra i sistemi lineari privi
di punti base di dimensione n su una superficie di Riemann X e le
mappe olomorfe non degeneri X → Pn . Nozione di embedding di una
superficie di Riemann X in uno spazio proiettivo. Esempi. Definizione
di divisore molto ampio. Condizione necessaria e sufficiente affinchè un
divisore sia molto ampio. Teorema: la mappa definita da un sistema
lineare completo |D| è un embedding se e solo se D è molto ampio.
Definizione di curva algebrica proiettiva irriducibile liscia in uno spazio
proiettivo. Il Lemma di Chow (solo enunciato). Esempi: la curva
razionale normale di grado n in Pn . Definizione di genere analitico
per una superficie di Riemann compatta. Il Teorema di RiemannRoch. Corollari del Teorema di Riemann-Roch. Il genere analitico ed
il genere topologico di una superficie di Riemann compatta coincidono.
Definizione di superficie di Riemann iperellittica. Studio della mappa
canonica per una superficie di Riemann non iperellittica.
(9) Classe di Chern di un fibrato lineare. Identificazione canonica H 2 (X, Z) =
Z. Calcolo della classe di Chern. Se ξ = δ(D) allora c(ξ) = −deg(D).
Definizione di χ(ξ) = dim H 0 (X, O(ξ)) − dim H 1 (X, O(ξ)). Se η =
δ(D) allora χ(ξ) = χ(ξη). Ogni fibrato lineare ammette una sezione
meromorfa. La mappa δ : Div(X) → H 1 (X, O∗ ) è suriettiva. H 1 (X, M∗ ) =
0.
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(10) Teoria di Abel-Jacobi. Descrizione topologica di una superficie di
genere g attraverso l’attaccamento dei lati di un 4g-gono. Presentazione del gruppo fondamentale di una superificie S e base della
omologia. Mappa dei periodi H1 (X, Z) → Ω1 (X)∗ . Sottogruppo dei
periodi Λ e Jacobiana di X. Mappa di Abel A : X → Jac(X) ed
estensione della mappa di Abel A : Div(X) → Jac(X). Dipendenza
della mappa di Abel dal punto base. La restrizione di A a Div0 (X)
non dipende dal punto base. Teorema di Abel con dimostrazione. Il
reticolo dei periodi è discreto. La mappa di Abel-Jacobi per le superfici di genere 1. Il gruppo P ic0 (X) e identificazione tra Jac(X)
e P ic0 (X). Interpretazione della mappa di Abel in termini di fibrati
lineari. Teorema di Jacobi.