Soluzioni - (INFN) - Sezione di Milano
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FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE Anno Accademico 2009-2010, prova scritta 23 Settembre 2010 Scrivere il proprio nome e cognome e indicare il numero di ogni esercizio. Commentare brevemente i passaggi, scrivere sempre la formula usata prima di sostituire i valori numerici, ricordando di indicare le unità di misura. Soluzioni ed esiti alle pagine www2.fisica.unimi.it/bettega, qinf.fisica.unimi.it/~paris, www.mi.infn.it/~sleoni MECCANICA: Uno scivolo di altezza AD = 4 m é formato da un primo tratto lineare, AB nel disegno, inclinato di un angolo α = 45◦ rispetto al piano orizzontale, e da una seconda parte, BC di forma irregolare. Le due parti si dividono a metá, AE = ED = 2 m, il dislivello totale. Il candidato risolva i seguenti punti: a) Supponendo che il corpo parta da fermo dal punto A, e che la superficie dello scivolo sia liscia, calcolare le velocitá del corpo nei punti B e C. b) Supponendo che il tratto AB sia scabro con coefficienti d’attrito µs = 0.20 e µd = 0.15, verificare che il corpo inizi effettivamente a scivolare e calcolare la sua velocitá nel punto C. TERMODINAMICA: Una mole di gas perfetto biatomico inizialmente a pressione PA , temperatura TA e volume VA compie un ciclo termodinamico formato da due isobare e due isoterme. Piú in dettaglio: AB espansione isobara con VB = 2VA ; BC espansione isoterma VC = 4VA ; CD compressione isobara VD = 21 VC ; DA compressione isoterma. Il candidato risolva i seguenti punti: a) Si disegni il ciclo nel piano V-p e si calcolino P, V e T nei punti B,C e D in funzione di quelle nel punto A; b) Si calcolino calore e lavoro nelle quattro trasformazioni in funzione delle coordinate termodinamiche nel punto A, e si verifichi che la variazione di energia interna per l’intero cicli é nulla. FISICA dei FLUIDI: In una condotta orizzontale di sezione A1 = 5.00 cm2 scorre un fluido con densità pari a metà di quella dell’acqua. In un secondo tratto della condotta la sezione diventa A2 = 3.50 cm2 . Si calcoli a) la velocita‘ v1 del fluido nel primo tratto sapendo che nel secondo si ha v2 = 1.00 m/s; b) la pressione p2 del fluido nel secondo tratto sapendo che nel primo si ha p1 = 0.040 atm. ELETTROSTATICA: Una carica positiva Q = 5.00 · 10−15 C é fissata ad un punto O. Una particella di massa m = 2.00 · 10−23 Kg e carica negativa q = −4.00 · 10−17 C si muove di moto circolare uniforme su una circonferenza di centro O e raggio R = 1.00 · 10−6 m (ε0 = 8.8510−12 C2 /N m2 ). Si determini a) il modulo della velocità dell carica q; b) l’energia totale della carica q. FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE Soluzione esercizio MECCANICA: a) In assenza di attrito il sistema é conservativo: utilizziamo la legge di conservazione 2 , da cui dell’energia meccanica tra il punto A ed il punto B, ovvero mgAE = 12 mvB p la legge di conservazione dell’energia vB = 2gAE ' 6.26 m/s. Analogamente, applicando p tra il punto A ed il punto C, arriviamo a vC = 2gAD ' 8.85 m/s. Lo stesso risultato puó essere ottenuto applicando la legge di conservazione tra i punti B e C. In questo caso 2 = 1 mv 2 ed il medesimo risultato per v . abbiamo mgED + 12 mvB C C 2 b) Per verificare che il corpo inizi a scendere scegliamo un sistema di riferimento cartesiano con origine in A e asse delle ascisse diretto come il piano inclinato AB. Utilizzando il fatto che la risultante delle forze lungo l’asse y é nulla, Ry = N − mg cos α otteniamo la normale alla superficie e quindi la forza di attrito statico Fas = µs mg cos α che si oppone al moto. La risultante delle forze lungo l’asse x, Rx = mg sin α − Fas = mg(sin α − µs cos α) > 0 é positiva ed il corpo dunque inizia a scendere lungo il piano inclinato. Per calcolare la velocità nel punto C applichiamo il teorema dell’energia cinetica 2 = L + L = che, tenendo conto che il corpo parte da fermo, si scrive come 12 mvC g a dalla forza peso e dalla forza mgAD − µd ABmg cos α, dove Lg e La sono i lavori compiuti q d’attrito rispettivamente, e da cui si ottiene vC = 2g(AD − µd AE) ' 8.52 m/s. Soluzione esercizio TERMODINAMICA: a) Nella trasformazione AB la pressione rimane costante PB = PA , usando la legge dei gas e i dati del problema abbiamo TB = 2 TA . Procedendo analogamente per le altre trasformazioni abbiamo TC = TB = 2 TA e PC = 12 PA , PD = PC = 12 PA , TD = TA e VD = 21 VC = 2 VA . Quest’ultimo risultato dovrebbe essere usato per disegnare il ciclo in maniera corretta. b) AB é un isobara e dunque LAB = PA (VB − VA ) = PA VA , BC é un isoterma, ovvero LBC = nRTB lnVC /VB = 2nRTA ln2. Proseguendo analogamente per le altre trasformazioni abbiamo: LCD = PC (VD − VC ) = −PA VA , LDA = −nRTA ln2 e dunque Ltot = nRTA ln2. Per i calori scambiati QAB = nCp (TB − TA ) = 7/2nRTA = 7/2PA VA , QBC = LBC , QCD = nCp (TD − TC ) = −7/2PA VA , QDA = LDA e dunque Qtot = Ltot e ∆U = 0. Soluzione esercizio FISICA dei FLUIDI: a) Per l’equazione di continuità abbiamo A1 v1 = A2 v2 e dunque v1 = v2 A2 /A1 ' 0.7 m/s; b) considerando il fatto che la condotta é orizzontale e usando il teorema di Bernoulli abbiamo che p1 + 21 dv12 = p2 + 12 dv22 e dunque p2 = p1 + 21 d(v12 − v22 ) ' 3925 Pa dove abbiamo usato d = 500 Kg/m3 e la conversione p1 = 0.040 atm = 4052 Pa. Soluzione esercizio ELETTROSTATICA: a) La forza centripeta necessaria a mantenere la carica q in moto circolare coincide con la forza di Coulomb tra le due cariche e dunqe si ha kqQ/R2 = mv 2 /R da cui v ' 9.5 · 103 m/s. b) L’energia totale é la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale E = 12 mv 2 −kqQ/R ' −9.0 · 10−16 J.