Scarica

CBM a.s. 2012/2013
PROBLEMA DELLE SCORTE
Chiamiamo SCORTA ogni riserva di materiali presente all’interno del sistema produttivo in
attesa di essere sottoposto ad un processo di trasformazione o di distribuzione.
Nella gestione delle scorte, c’e una incertezza tipica della domanda, e si cerca di individuare un
modello che meglio approssima il futuro assorbimento del mercato.
Chiamiamo Periodo (T) l’intervallo di tempo che intercorre fra due successivi rifornimenti.
Le ipotesi che utilizziamo per trasformare un problema in condizioni di incertezza in un problema
in condizioni di certezza sono:
Il consumo totale nell’arco di tempo considerato è fisso (Q);
Il prezzo non varia nell’arco di tempo considerato (p);
Il consumo in ogni periodo è costante (in ogni periodo si ordina x);
Il consumo in ogni periodo è uniforme (in ogni periodo, il consumo è proporzionale al
tempo, per cui la giacenza media della merce in magazzino è x/2);
5. Il rifornimento è istantaneo;
6. Non c’è rottura di stock (il magazzino non rimane vuoto così non si scontentano i clienti o
non si interrompe il processo produttivo);
7. Non c’è sovrapposizione di stock (lo stock arriva quando la scorta precedente è finita, così
non si rischia di eccedere rispetto alla capacità di magazzino).
1.
2.
3.
4.
Il modello che rappresenta il problema di gestione delle scorte con le ipotesi precedenti è il Modello
di Wilson (o Modello a denti di sega)
Giacenza
x
x/2
0
0
T
2T
3T
4T
t
(grafico1)
Siccome per le ordinazioni si sostengono costi, sarebbe preferibile fare pochi ordini di grande
quantità, ma per poter conservare la merce in magazzino si sostengono spese (spese di
manutenzione) per cui sarebbe preferibile effettuare ordini poco consistenti.
1
CBM a.s. 2012/2013
Il Costo Totale di gestione delle scorte, comprensivo anche dei costi di acquisto, è
CT = p*Q + cord*(Q/x) + cmag*(x/2) , x>0
(Se occorre tener conto della capienza C del magazzino, sarà da rispettare il vincolo 0 < x ≤ C)
per p si intende il prezzo di acquisto del materiale, con Q si indica l’assorbimento totale nell’arco di
tempo considerato, con cord e cmag si indicano rispettivamente il costo unitario di ordinazione e
quello unitario di magazzinaggio, con x si indica il lotto d’acquisto.
N°ordinazioni: Q/x; se l’arco di tempo è l’anno, T = 365/(N°di ordinazioni)
Se indichiamo con Q la quantità di merce necessaria per un dato intervallo di tempo, il numero di
ordinazioni occorrenti, essendo x la quantità di merce ordinata ogni volta, è dato da Q/x
Se ogni ordinazione comporta una spesa fissa S, la spesa per tutte le ordinazioni da effettuare in
quell’intervallo di tempo è cord * Q/x.
Per calcolare le spese di magazzino osserviamo che, avendo supposto un consumo uniforme, il
valore medio della scorta è uguale alla media aritmetica fra la giacenza massima x e la giacenza
minima 0, cioè (x + 0)/2
Le spese di magazzinaggio si considerano proporzionali alla scorta media x/2 e indicato con s il
costo di magazzino per ogni unità di scorta nello stesso intervallo di tempo esse risultano cmag * x/2
Il Problema delle scorte consiste nel determinare la quantità di merce da ordinare ogni volta in
modo da rendere la spesa complessiva minima.
Le curve dei costi di gestione delle scorte, senza tener conto del costo di acquisto della merce,
CT = cord*(Q/x) + cmag*(x/2), x>0
possono essere rappresentati graficamente come evidenziato nel grafico 2.
Costi delle scorte
250
200
150
costo
Ctot
Cmag
Cord
100
50
0
0
5
10
15
20
quantità ordinata
(grafico 2)
2
CBM a.s. 2012/2013
Chiamiamo Lotto Economico di Acquisto la quantità da ordinare ogni volta per rendere minima la
funzione dei Costi totali.
La funzione economica da rendere minima è il costo complessivo:
y = p*Q + cord*(Q/x) + cmag*(x/2), x>0
lim y
x
quindi l’asse delle y è un asintoto verticale da destra verso l’alto; esiste anche un
0
asintoto obliquo verso destra: y = (cmag/2)*x + p*Q
1° Metodo risolutivo
Per determinare il minimo del costo y annulliamo la derivata prima:
y ’= - cord *Q/(x2) + cmag/2
y ‘= 0 per xmin =
2cord Q
(scartiamo la soluzione negativa)
cm ag
Se occorre tener conto della capienza C del magazzino e 0 < xmin ≤ C, il LEA è quindi
2cord Q
2cord Q
xmin=
e il costo minimo è Ctot(
) = 2cm agcord Q + p*Q; se invece xmin > C il LEA
cm ag
cm ag
si avrà per x = C in quanto la funzione dei costi è continua e nell’intervallo (0,C] è monotona
decrescente, quindi ammette un punto di minimo nel secondo estremo C.
2° Metodo risolutivo
Per determinare il minimo del costo y occorre considerare le due funzioni in cui si può scomporre la
funzione
CT = cord*(Q/x) + cmag*(x/2), x>0.
y1 = cmag*(x/2), x>0 e y2 = cord*(Q/x), , x>0.
Come si vede nel grafico 2, il Minimo è il punto di intersezione fra le due curve grafico di y1 ey2.
Le coordinate del punto di minimo si ottengono uguagliando le espressioni algebriche delle due
funzioni : cmag*(x/2) = cord*(Q/x) .
Risolvendo l’equazione trovata e scartando la soluzione negativa, si ottiene di nuovo
xmin =
2cord Q
cm ag
e
ymin = y(
2cord Q
)=
cm ag
2cm agcord Q .
3
CBM a.s. 2012/2013
Se occorre tener conto della capienza C del magazzino e 0 < xmin ≤ C, il LEA è quindi
2cord Q
2cord Q
xmin=
e il costo minimo è Ctot(
) = 2cm agcord Q + p*Q; se invece xmin > C il LEA
cm ag
cm ag
si avrà per x = C in quanto la funzione dei costi è continua e nell’intervallo (0,C] è monotona
decrescente, quindi ammette un punto di minimo nel secondo estremo C.
Il non aver considerato i costi di acquisto dei beni non modifica il Punto di minimo, perché tali costi
sono una costante additiva (la cui derivata vale zero) ma modifica il Valore minimo dei costi. Per
trovare il valore minimo dei Costi totali è sufficiente aggiungere al valore ymin trovato la quantità
p*Q.
250
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
(grafico3)
xmin
2 * Cord * Q
Cmag
C=Capacità Massima del Magazzino
Nel grafico 3:
L.E.A. = xmin
2 * Cord * Q
Cmag
perché
C(xmin) < C(C).
4
CBM a.s. 2012/2013
250
200
150
100
50
0
0
5
C
xmin
10
2 * Cord * Q
Cmag
15
20
25
(grafico 4)
Nel grafico 4:
L.E.A. = C anche se C(C) > C(xmin) perché non possiamo ordinare xmin.
5
CBM a.s. 2012/2013
PROBLEMA DELLE SCORTE CON IPOTESI DI SCONTO
SCONTO SULLA QUANTITA’
Può capitare che, per ordinazioni consistenti, il prezzo di acquisto dei beni possa essere inferiore a
quello previsto per ordinazioni di minori quantità di merce.
Supponiamo che per una quantità x tale che 0 < x < x1 il prezzo di acquisto sia p mentre per una
quantità x tale che x1 ≤ x il prezzo di acquisto sia p1.
La funzione dei costi diventa:
p*Q + cord*(Q/x) + cmag*(x/2)
0 < x < x1
(f1)
p1*Q + cord*(Q/x) + cmag*(x/2)
x1 ≤ x
(f2)
Ctot(x) =
Occorre rappresentare graficamente le due funzioni componenti.
La prima funzione è la traslazione verso l’alto della seconda funzione e xmin è lo stesso per
entrambe.
Se xmin < x1, occorre calcolare f1(xmin) (valore minimo del primo tratto) e f2(x1) (valore minimo del
secondo tratto) e confrontarli: sceglieremo come LEA il valore di x per cui il valore è minore.
(grafico 5)
Se xmin > x1, occorre calcolare f2(xmin) (valore minimo del secondo tratto, che è una funzione con
grafico sempre più basso di quello di f1): sceglieremo come LEA tale valore di x. (grafico 6)
250
200
150
Ctot2
Ctot1
100
50
0
0
5
xmin
2 * Cord * Q
Cmag
10
15
x1
20
(grafico 5)
6
CBM a.s. 2012/2013
250
200
150
Ctot2
Ctot1
100
50
0
0
x1
5
10
xmin
2 * Cord * Q
Cmag
15
20
(grafico 6)
7
CBM a.s. 2012/2013
SCONTO SULLA ECCEDENZA
Può capitare che, per ordinazioni consistenti, il prezzo di acquisto dell’eccedenza rispetto ad una
quantità fissata dei beni possa essere inferiore a quello previsto per ordinazioni di minori quantità di
merce.
Supponiamo che per una quantità x tale che 0 < x ≤ x 1 il prezzo di acquisto sia p mentre per una
quantità x tale che x1<x il prezzo di acquisto dell’eccedenza rispetto ad x1 sia p1.
La funzione dei costi diventa:
p*Q + cord*(Q/x) + cmag*(x/2)
0 < x < x1
p*x1*Q/x +p1*(Q- x1*Q/x ) + cord*(Q/x) + cmag*(x/2)
x1 ≤ x
Ctot(x) =
Occorre trovare il punto di minimo per i due tratti di funzione e confrontare i valori
corrispondenti.Il valore più basso sarà assunto nel punto di minimo per la funzione e quest’ultimo
potrà essere scelto come LEA.
Il grafico della funzione dei costi y = Ctot(x) è il seguente grafico 7, mentre nel grafico 8 sono
rappresentate le due funzioni y1 = C1(x) e y2 = C2(x) con cui è costruita la funzione dei costi.
Sconto sull'eccedenza
450
400
350
Costo
300
250
Ctot(x)
200
150
100
50
0
0
5
10
15
20
quantità ordinata
(grafico 7)
8
CBM a.s. 2012/2013
Costo
Sconto sull'eccedenza
800
760
720
680
640
600
560
520
480
440
400
360
320
280
240
200
160
120
80
40
0
C1(x)
C2(x)
0
5
10
15
20
quantità ordinata
(grafico 8)
9