Materiale seminario prof.ssa Fiammetta Battaglia

A PPUNTI SU P OLIGONI E POLIEDRI
Fiammetta Battaglia
1. DEFINIZIONI
Definizioni preliminari. Le definizioni ”elementari” sono le più difficili.
Consideriamo definizioni intuitive.
Poligono. Una possibile definizione: un poligono una linea poligonale
piana chiusa e semplice. Linea poligonale piana è una curva piana determinata da una sequenza di vertici, la linea è costituita dai segmenti che
congiungono coppie di vertici consecutivi della sequenza. La linea è semplice se i segmenti che si intersecano sono solo quelli consecutivi oppure il
primo e l’ultimo. Una linea è chiusa se il primo e l’ultimo vertice coincidono.
Poligono convesso: inviluppo convesso di un insieme finito di punti nel
piano o, equivalentemente, l’intersezione di un numero finito di semipiani
che sia una regione limitata del piano (l’equivalenza tra le due definizioni
è il teorema fondamentale dei politopi in dimensione 2)
Poliedro: un poliedro è un solido la cui superficie è costituita da un certo
numero di facce poligonali [3]. Ovviamente una definizione intuitiva ma
piuttosto lacunosa.
Poliedro omeomorfo a una sfera. Deformando con continuità, senza strappi,
la superficie del poliedro si può ottenere la superficie di una sfera.
Poliedro convesso: inviluppo convesso di un insieme finito di punti nello
spazio o, equivalentemente, l’intersezione di un numero finito di semispazi
che sia una regione limitata dello spazio (l’equivalenza tra le due definizioni
è il teorema fondamentale dei politopi in dimensione 3).
Poliedro regolare: le facce sono poligoni regolari congruenti, il numero
delle facce che si incontrano ad ogni vertice è costante.
Prisma: un prisma un poliedro le cui basi sono due poligoni congruenti di
n lati posti su piani paralleli e connessi da un ciclo di parallelogrammi (le
facce laterali).
Antiprisma: Un antiprisma è un poliedro le cui facce sono due poligoni
regolari con n lati della stessa lunghezza, connesse da un ciclo di triangoli
isosceli o equilateri. Ciascun triangolo di ciascun ciclo connette due vertici
di una base e un vertice dell’altra.
Angolo diedro: due piani che si incontrano in una retta individuano quattro regioni dello spazio, sovrapponibili a coppie, quindi due angoli diedri.
La loro misura è la quella degli angoli piani individuati su un qualunque
piano ortogonale alla retta di intersezione dei due piani. Tale retta si dice
spigolo del diedro.
Angoloide convesso: cono poliedrale convesso (cono su un poligono).
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2. C OSTRUZIONE DI POLIGONI E POLIEDRI CON GLI ZOMES
È importante costruire manualmente poligoni e poliedri, per scontrarsi con
la rigidità delle figure geometriche, capirne i vincoli ma anche le possibilità.
Iniziamo a lavorare con gli zomes: costruiamo poligoni e poliedri senza
cercare caratteristiche specifiche. Poi costruiamo poligoni regolari, i cinque
poliedri regolari, prismi, antiprismi, triacontaedro e due antiprismi pentagonali sovrapposti in modo da ottenere un poliedro non convesso, cerchiamo anche di costruire un poliedro ”bucato”.
Osservazione: poligoni e poliedri regolari sono un ottimo punto di partenza
per lo studio dei gruppi di isometrie finiti.
Osserviamo il fenomeno della dualità: il tetraedro è il duale di se stesso, il
cubo è il duale dell’ottaedro, l’icosaedro è il duale del dodecaedro.
Osservazione: costruiamo delle tabelle contando per ciascun poliedro il
numero dei vertici, degli spigoli e delle facce.
Osservazione: consideriamo i poliedri costruiti e contiamo quante sono le
facce triangolari, quadrangolari e cosı̀ via, costruendo tabelle apposite per
ogni poliedro. Sommiamo il numero degli spigoli contenuti nelle facce. Ad
esempio il cubo ha 6 facce quadrate. Ogni quadrato ha 4 lati, in tutto troviamo 24 spigoli. Poi osserviamo che ogni spigolo appartiene esattamente a
due facce e dunque nel conto sopra descritto viene contato due volte. Per
ogni poliedro, con questo metodo, si otterrà un numero uguale al doppio
del numero degli spigoli. Quindi, dividendo per 2, si troverà il numero
degli spigoli. Ad esempio il numero degli spigoli di un cubo è 12.
Dimostriamo, usando la tabella a pagina 13 di [1], che gli unici poliedri
regolari sono i solidi platonici.
Osservazione: gli unici in che classe? nella dimostrazione si utilizza il fatto
che in un vertice la somma degli angoli al vertice deve essere inferiore a
2π. Dunque la classe è quella dei poliedri convessi.
Notiamo che nel poliedro costituito dai due antiprismi sovrapposti concorrono, in alcuni vertici, 6 triangoli equilateri, configurazione proibita nei
poliedri convessi, dato che, in questo caso, la somma degli angoli al vertice
è esattamente 2π.
Notiamo la relazione con la curvatura di una superficie:
Z
curvatura = somma degli angoli interni − π
(1)
dominio triangolare
dunque in un vertice, nel piano, occorrono esattamente 6 triangoli equilateri per tassellare completamente un intorno del vertice.
3
Su una sfera (superficie a curvatura positiva costante) occorrono al più 5 triangoli equilateri (esempio: icosaedro ”gonfiato”) per tassellare completamente un intorno di un punto. Esempio: sulla sfera con centro nell’origine,
i quattro triangoli con vertice al polo nord corrispondenti ai quattro quadranti sono quattro triangoli equilateri. Ognuno di questi ha angoli interni
tutti di π2 e quindi la somma degli angoli interni è 23 π.
Su una superficie a curvatura negativa occorrono almeno 7 triangoli equilateri.
NB: in generale su una superficie la somma degli angoli interni di un triangolo dipende dall’area.
Torniamo sul piano euclideo. Dimostriamo, con l’osservazione, che la somma
degli angoli interni di un poligono di n lati è:
πn − 2π = (n − 2)π.
3. L A FORMULA DI E ULERO : PER FARE SCOPERTE DOBBIAMO SAPERCI
FARE DELLE DOMANDE
I poliedri sono oggetti geometrici noti fin dall’antichià. Ci sono modelli di
solidi platonici risalenti a 1000 anni prima di Platone (circa 400 A.C.) quindi
circa 1400 A.C.
Eppure la proprietà che studiamo in questa sezione è stata scoperta solo
millenni dopo da Eulero (1707-1783), circa tremila anni dopo. Nonostante non occorresse nessuno strumento matematico particolare, solamente
il numero dei vertici, delle facce e degli spigoli, questa proprietà è rimasta
nascosta per millenni. Ma quello che oggi per noi è un’osservazione banale
non lo era nell’antichità: è proprio Eulero che riesce a ”vedere” gli spigoli.
Questo fondamentale cambiamento di punto di vista è all’origine di tutta
la teoria matematica della combinatoria dei poliedri convessi e della teoria
dei grafi. Inoltre la formula di Eulero assume un significato importante anche in topologia, e precisamente nella topologia delle superfici, nata dopo
Eulero, nel diciannovesimo secolo.
Attraverso delle domande sui poliedri convessi arriviamo a congetturare
la formula di Eulero (argomentazione tratta da [8]).
Ricordiamo che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è
πn − 2π = (n − 2)π. Un poliedro è naturalmente la generalizzazione di
poligono in dimensione 3. Quindi è naturale chiedersi se ci sia una formula
simile per i poliedri.
Quello che faremo inizialmente sarà cercare una qualche regolarità per la
somma degli angoli diedri, ne abbiamo uno per ogni spigolo. Possiamo
fare delle tabelle con delle misurazioni e vedere se arriva a un qualche tipo
di invariante.
Come si misurano gli angoloidi? Una definizione della misura di un angoloide si può trovare qui [2].
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Entrambi gli approcci sembrano molto complicati e non si ottengono risultati chiari.
Concentriamoci sugli angoli interni alle facce del poliedro e aggiungiamo
alle nostre tabelle la somma degli angoli interni a tutte le facce:
Poliedro
F Σα
Tetraedro
4 4π
Cubo
6 12π
Ottaedro
8 8π
5-prisma
7 16π
Dodecaedro 12 36π
Icosaedro 20 20π
Consideriamo ora i vertici. La somma degli angoli che insistono sullo
stesso vertice è < 2π, quindi, indicato con V il numero dei vertici, la somma
degli angoli interni a tutte le facce, che denotiamo con Σα verificherà:
Σα < 2πV
Prima abbiamo calcolato la somma degli angoli interni a tutte le facce. Verifichiamo se questa disuguaglianza è rispettata e calcoliamola. Scopriamo
un fenomeno sorprendente, per tutti i poliedri senza buchi che abbiamo
costruito:
(2)
2πV − Σα = 4π
Abbiamo quindi una prima congettura Σα = 2πV − 4π. Una congettura
non è una dimostrazione.
Cerchiamo un altro modo di esprimere la somma degli angoli interni alle
facce: sia F il numero delle facce, numeriamole da 1 a F . Sia Si il numero
degli spigoli della i-esima faccia.
Calcoliamo la somma degli angoli interni alle facce del poliedro:
Σα = (S1 − 2)π + (S2 − 2)π + · · · + (SF − 2)π
ricaviamo
Σα = (S1 + S2 + · · · + SF )π − 2F π
da cui, osservando, come fatto in precedenza, che ogni spigolo è stato contato due volte, otteniamo
(3)
Σα = 2Sπ − 2F π
dove S è il numero degli spigoli. Notiamo che la formula (3) è stata ottenuta utilizzando quello che abbiamo dimostrato sulla somma degli angoli interni al poligono. Quindi non è una congettura ma è dimostrata per
tutti i poliedri.
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Sostituiamo nella congettura (2) e troviamo 2πV − 2Sπ + 2F π = 4π ossia:
V −S+F =2
(4)
Dunque le congetture (2) e (4) sono equivalenti: (2) è vera se e solo se (4) è
vera.
La formula (4) è la formula di Eulero per i poliedri. Per quale classe di
poliedri è vera?
Poliedro
Tetraedro
Cubo
Ottaedro
5-prisma
Dodecaedro
Icosaedro
non convesso
bucato
V
4
8
6
10
20
12
24
15
E
6
12
12
15
30
30
44
30
F
4
6
8
7
12
20
22
15
Per la nostra congettura abbiamo considerato poliedri convessi, in realtà è
vera per tutti i poliedri omeomorfi a una sfera. Se ad esempio guardiamo
cosa succede con un poliedro bucato (o triangolando un toro), vediamo che
di V − S + F = 0. Da cui possiamo intuire che la somma V − S + F dipende
dalla topologia della superficie.
Eulero formulò la congettura nel 1750 ma non riuscı̀ a darne una dimostrazione
corretta.
4. L A DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI E ULERO : ILLUSTRIAMO
L’ ARGOMENTO DI C AUCHY CON UN ESEMPIO
Consideriamo un poliedro omeomorfo a una sfera, supponiamo che la sua
superficie sia gommosa e molto elastica.
Vogliamo calcolare V − E + F
Tagliamo una delle facce, stendiamo il poliedro sul piano, la nuova figura
ha un numero di vertici V e un numero di spigoli S uguali a quelli del
poliedro di partenza. Mentre il numero delle facce F 0 = F − 1.
Vogliamo calcolare V − S + F 0 .
Triangoliamo le facce aggiungendo, in ogni faccia, un numero opportuno
di diagonali. Verifichiamo che cosı̀ facendo, ad ogni passo, il numero V −
S + F 0 rimane invariato.
Al termine ottengo una triangolazione della regione piana che sto considerando.
Considero i triangoli che hanno almeno un lato sul bordo.
Se hanno un solo lato sul bordo lo cancello. La somma V − S + F 0 ad ogni
passo rimane invariata.
Se hanno due lati sul bordo cancello entrambi i lati. La somma V − S + F 0
ad ogni passo rimane invariata.
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Al termine del processo, scegliendo i passi opportunamente, rimango con
un solo triangolo, e dunque
V − S + F 0 = 3 − 3 + 1 = 1 da cui V − S + F = 2.
In [6] vengono discusse le lacune di questa dimostrazione, ad esempio
occorrerebbe dimostrare che con questo procedimento è sempre possibile
ridursi a un triangolo. In bibliografia si trovano numerose dimostrazioni
della formula di Eulero.
5. I SOLIDI PLATONICI SONO GLI UNICI POLIEDRI REGOLARI , NELLA
CLASSE DEI POLIEDRI OMEOMORFI A UNA SFERA
Si può dimostrare questo fatto utilizzando la formula di Eulero, vedere ad
esempio [1, pag.14]. La classe dei poliedri omeomorfi a una sfera è decisamente più grande di quella dei poliedri convessi, comprende ad esempio
tutti i poliedri stellati.
6. T EOREMA (S TEINITZ , 1906)
La terna (V, S, F ) in N3 corrisponde a un qualche poliedro convesso (è il
cosiddetto f -vettore di un poliedro convesso) se e solo se

 E =V +F −2
F ≤ 2V − 4

V ≤ 2F − 4
Nella figura f0 indica V e f2 indica F . Si vede che le uniche coppie possibili
di interi che siano (V, F ) di un poliedro convesso stanno nella regione evidenziata. Il bordo inferiore dà i poliedri semplici (da ogni vertice escono tre
spigoli), il bordo superiore dà i loro duali, ossia i poliedri simpliciali (tutte
le facce sono triangoli). Il vertice (4, 4) corrisponde al il tetraedro, che è sia
semplice che simpliciale.
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7. R ELAZIONE TRA V − S + F E LA TOPOLOGIA DI UNA SUPERFICIE
CHIUSA [3]
Consideriamo una superficie chiusa orientabile (ha un interno e un esterno). Sia g il massimo numero di curve chiuse semplici che si possono
disegnare sulla superficie, senza che si intersechino e che non la dividano.
I numero g è il genere della superficie e indica il ”numero di buchi” della
superficie.
Triangolando una sfera o un toro, con triangolazioni totalmente arbitrarie,
possiamo verificare la formula
V − E + F = 2 − 2g.
Su [3] troviamo illustrato un argomento intuitivo per la dimostrazione di
questo risultato.
R EFERENCES
[1] G. Audrito, U. Battisti, M. Borsero, A. Raffero, S. Tassoni, L. Testa, Esplorazione
dei solidi e oltre: fare geometria con gli zometool, Ledizioni.
[2] D. Barnette, The sum of the solid angles of a d-polytope, Geometriae Dedicata
November 1972, Volume 1, Issue 1, pp 100-102.
[3] R. Courant, H. Robbins, revised by I. Stewart, What is Mathematics? Oxford
University Press, 1996
[4] The Geometry Junkyard (David Eppstein) Twenty Proofs of Euler’s Formula:
V −E+F =2
[5] ”B. Grunbaum: Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra?”
[6] I. Lakatos, Proofs and Refutations. The Logic of Mathematical Discovery Cambridge
University Press, 1976
[7] J. Malkevitch, Euler’s Polyhedral Formula, Feature Column of the American
Mathematical Society
[8] G. Polya, La scoperta Matematica, Volume II, Feltrinelli, 1971
[9] G. Ziegler, C. Blatter, Euler’s polyhedron formula- a starting point of today’s polytope
theory, disponibile online
[10] G. Ziegler, Lectures on Polytopes, GTM 152, Springer-Verlag, 1994