Integrale indefinito

Integrale indefinito
1
Primitive di funzioni
Definizione 1.1 Se f : [a, b] → R è una funzione, una sua primitiva è una
funzione derivabile g: [a, b] → R tale che g 0 (x) = f (x).
Ovviamente la primitiva di una funzione, quando esiste, non è unica: ad
esempio se g è una primitiva di f e c ∈ R è una qualsiasi costante reale allora
anche la funzione c + g(x) è una primitiva di f , dato che
(c + g(x))0 = g 0 (x) = f (x)
Non è sempre detto che una funzione ammetta primitive, comunque nel caso
di funzioni continue questo è vero, come garantito dal teorema fondamentale
del calcolo:
Teorema 1.1 Se f : [a, b] → R è una funzione continua allora per ogni x ∈
[a, b] la funzione g: [a, b] → R definita come
Z x
g(x) =
f (t)dt
a
è derivabile in [a, b] ed è una primitiva della f .
Notiamo che
Z
a
f (t)dt = 0
g(a) =
a
e che
Z
g(b) − g(a) =
b
f (t)dt
a
Questo teorema consente quindi di calcolare gli integrali delle funzioni continue.
In generale determinare la primitiva usando il teorema precedente non è
facile (esattamente come non è facile calcolare la derivata usando la definizione di limite del rapporto incrementale).
1
2 RISOLUZIONE DI INTEGRALI INDEFINITI
2
Comunque per applicare il teorema basta conoscere una qualsiasi funzione
primitiva h della f , dato che
h(x) = g(x) + h(a)
Infatti h(x) − g(x) deve essere una costante (perché è la differenza di due
primitive) ed inoltre g(a) = 0.
Morale: per calcolare un integrale basta determinare una qualsiasi primitiva ed usare il teorema precedente nella forma
Z b
f (t)dt
g(b) − g(a) =
a
Dato il legame che c’è fra primitive e derivate, usiamo la notazione
Z
f (x)dx
per denotare una qualsiasi primitiva di una data funzione; chiamiamo questa espressione simbolica l’integrale indefinito di f (x); si noti che l’integrale
indefinito è quindi una funzione, mentre l’integrale definito è un numero.
2
Risoluzione di integrali indefiniti
Per determinare una primitiva possiamo usare dei procedimenti simbolici;
tanto per cominciare, dato che g 0 = f , se riusciamo “a vista” a trovare una
funzione la cui derivata è f possiamo dire che ne è una primitiva.
In altri termini, se consideriamo una tabella di funzioni e di loro derivate,
leggendola in senso inverso diviene una tabella di funzioni e loro primitive.
Ecco ad esempio una tabella di integrali immediati.
Z
xn dx =
Z
Z
Z
1
xn+1
n+1
(n 6= 1)
dx
= log |x|
x
dx
1
x
=
arctan
x2 + a2
a
a
√
dx
x
= arcsin
a
a2 − x 2
(a 6= 0)
2 RISOLUZIONE DI INTEGRALI INDEFINITI
Z
ax dx =
Z
3
1 x
a
log a
(a > 0)
ex dx + ex
Z
sen x dx = cos x
Z
cos x dx = sen x
Z
dx
1
= log tan x +
cos x
cos x Z
dx
= tan x
cos2 x
Possiamo poi utilizzare alcune regole generali di derivazione per dedurre
delle regole generali di integrazione. Dal fatto che la derivata è lineare segue
che anche l’integrale lo è:
Z
Z
(af (x) + bg(x)dx = a
Z
f (x)dx + b
g(x)dx
La regola di derivazione delle funzioni composte consente di dedurre la regola
di cambiamento di variabile in un integrale indefinito
Z
Z
f (x)dx =
f (g(t))g 0 (t)dt
dove t e x sono variabili distinte.
La regola di derivazione del prodotto di funzioni fornisce la regola di
integrazione per parti
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
Z
f 0 (x)g(x)dx
In particolare, se f (x) = 1 troviamo che l’integrale di una derivata di una
funzione è proprio quella funzione:
Z
g 0 (x)dx = g(x)
2 RISOLUZIONE DI INTEGRALI INDEFINITI
4
In generale non esiste nessuna regola per integrare il prodotto di due
funzioni qualsiasi.
Risolvere un integrale indefinito vuol dire applicare queste regole e combinarle fino a trasformare una espressione in cui compaiono integrali, in una
in cui non compaiano.
Particolare attenzione si deve rivolgere all’uso della regola di cambiamento
di variabile. Spesso è comodo usare la notazione del differenziale per capire
questi cambiamenti di variabile.
Precisamente, il termine dx nell’espressione simbolica per l’integrale indefinito ha l’unico scopo di dirci qual’è la variabile rispetto alla quale si integra;
è una notazione del tutto analoga alla seguente, spesso usata per indicare la
derivata:
df
f 0 (x) =
dx
Si noti che, con questa notazione, l’integrale di una derivata si scrive
Z
Z
df
dx = df = f (x)
dx
Il significato del simbolo df è che l’integrale si fa rispetto alla “variabile” f ,
e dato che la funzione da integrare è 1, il risultato è proprio la variabile di
integrazione, cioè f : questo nel caso della solita variabile x è
Z
Z
dx = 1 dx = x
(perché x0 = 1).
In generale, se f (x) è una funzione della variabile x, definiamo il suo
differenziale come l’espressione simbolica
df =
df
dx = f 0 (x)dx
dx
Cioè il differenziale di una funzione è la derivata della funzione per il differenziale della variabile rispetto a cui si integra.
Ora possiamo usare questa regola per esprimere il cambiamento di variabile in un integrale come segue: supponiamo che x = g(t), dove g è derivabile;
allora
Z
Z
Z
f (x)dx = f (g(t))dg(t) = f (g(t))g 0 (t)dt
Ad esempio se consideriamo l’integrale
Z
x
√
dx
1 − x4
2 RISOLUZIONE DI INTEGRALI INDEFINITI
5
Possiamo cosı̀ manipolarlo simbolicamente:
2 0
Z
Z
Z
x
1
1
x
1
√
√
√
dx =
dx =
d x2
1 − x4
1 − x4 2
1 − x4 2
Z
1
d (x2 )
1
p
=
= arcsin x2
2
2
2
2
1 − (x )
Questo equivale ad usare la sostituzione di variabile t = x2 , col che dt = 2xdx
e quindi dt/2 = xdx:
Z
Z
Z
x
dt
dt
1
1
1
√
√
√
dx =
=
= arcsin t = arcsin x2
4
2
2
2
2
2
1−x
2 1−t
1−t
Anche la regola di integrazione per parti si formula in podo differenziale,
come segue
Z
Z
f dg = f g − gdf
Ad esempio consideriamo l’integrale
Z
Z
Z
2
sen x dx = sen x sen x dx = − sen x d cos x
Z
= − sen x cos x −
Z
= −sen x cos x +
cos x dsen x
Z
= −sen x cos x +
cos x cos x dx
cos2 x dx
Ma cos2 x = 1 − sen 2 x cosı̀ che la catena di uguaglianze precedenti diviene
Z
Z
Z
2
sen x dx = −sen x cos x + dx − sen 2 x dx
Portando l’ultimo termine del secondo membro al primo membro troviamo
che
Z
Z
2
2 sen x dx = −sen x cos x + dx = −sen x cos x + x
cioè
Z
sen 2 x dx =
x
1
(x − sen x cos x) = − sen 2x
2
2
3 ESERCIZI
6
NOTA: la notazione del differenziale dx può sembrare un puro artificio simbolico,
ma può essere resa perfettamente rigorosa. Possiamo ad esempio, data una funzione
f (x) derivabile in un punto x0 , definire il suo differenziale in x0 come la funzione
df (x) = f 0 (x0 )(x − x0 )
Questa è ancora una funzione; se scriviamo dx = x − x0 allora
df
= f 0 (x0 )
dx
Ora tutte le regole di calcolo delle derivate in un punto implicano regole analoghe
per i differenziali. Queste definizioni giustificano frasi del tipo: “il differenziale df
si ottiene dividendo la derivata di f per il differenziale dx”, che spesso si usano
nelle applicazioni, ad esempio in fisica e in meccanica.
3
Esercizi
Risolvere i seguenti integrali indefiniti.
1)
Z dx
x
2+ 2
2x + 1 2x2 + 1
2)
Z
esen x cos x dx
3)
Z
√
3
x2
dx
x3 + 1
4)
Z
√
x dx
1 − x4
5)
Z
x
dx
ex
6)
Z
x
sen 2 dx
2
7)
Z
log x dx
3 ESERCIZI
7
8)
1 − sen x
dx
x + cos x
Z
9)
Z
dx
x log2 x
10)
Z
cos2
dx
√
x tan2 x − 2
11)
Z
x · 2−x dx
12)
Z
tan2 x dx
13)
Z
3x ex dx
14)
Z
15)
Z
cos2 x dx
√
5
x 5 − x2 dx
16)
Z
x2 e3x dx
17)
Z
x3 − 1
dx
x4 − 4x + 1
18)
Z
2
xe−x dx
19)
Z
dx
√
ex
3 ESERCIZI
8
20)
Z √
3
1 + log x
dx
x
21)
Z
arctan x dx
22)
Z
(x2 − 2x + 5)e−x dx
23)
√
Z
tan
x − 1√
dx
x−1
24)
Z
x dx
sen 2 x
25)
Z
earctan x + x log(1 + x2 ) + 1
dx
1 + x2
26)
Z
sen x − cos x
dx
sen x + cos x
27)
Z
dx
1 + cos2 x
28)
Z
√
x3
dx
2 − x2
29)
Z
x
x3 e− 3 dx
30)
Z
arcsin x dx
31)
Z √
x2 − 16
dx
x
3 ESERCIZI
9
32)
(arcsin x)2
√
dx
1 − x2
Z
33)
Z
√
e2x
dx
ex + 1
34)
sen 3 x
√
dx
cos x
Z
35)
Z
xsen x cos x dx
36)
Z
dx
dx
x 1 + x2
√
37)
Z
xsen x dx
38)
Z
√
x2
dx
1 − x2
39)
Z
dx
x x2 − 1
√
40)
Z
x2 log x dx
Nota: per verificare se un esercizio è stato risolto correttamente, derivare la
funzione ottenuta come risultato: deve essere, a meno di una costante, uguale
alla funzione integranda.