Alcuni metateoremi

Part 1
Alcuni metateoremi
0.1. Correttezza
I punti I-VII di p. 68 del Mendelson sono abbastanza ovvi e facili da dimostrare,
mentre la dimostrazione di XI è piuttosto dettagliata. Dimostriamo dunque solo i
punti VIII-X.
Theorem
0.1.1.
Se le variabili libere di una fbf
α
sono tra le
le successioni s e s' hanno i medesimi elementi nei posti
per
1 ≤ j ≤ k ),
allora
s
soddisfa
α
sse s' soddisfa
i1 , ..., ik
xi1 , ..., xik e se
0
sij = sij
(ossia
α.
Per prima cosa bisogna dimostrare il seguente
Lemma
0.1.2.
Se un termine
t ha le variabili tra le xi1 , ..., xik e se le successioni
0
i1 , ..., ik . allora s∗ (t) = s ∗ (t).
s e s' hanno i medesimi elementi nei posti
Proof.
La dimostrazione è per induzione sul numero dei funtori contenuti in t.
Base.
t contiene 0 funtori. Se t = cn allora è evidente che vale s∗ (t) = s ∗ (t), dal momento
che tutte le funzioni s∗ determinate da una qualsiasi successione s coincidono per
quel che riguarda le costanti. Se t = xij per 1 ≤ j ≤ k, allora per ipotesi s∗ (t) =
0
0
sij = sij = s ∗ (t).
0
Passo.
Sia t = f (t1 , ..., tn ) un termine che contiene m funtori e sia g l'operazione assegnata
dall'interpretazione al funtore f . Allora
s∗ (f (t1 , ..., tn )) = g(s∗ (t1 ), ..., s∗ (tn ))
0
0
0
s ∗ (f (t1 , ..., tn )) = g(s ∗ (t1 ), ..., s ∗ (tn ))
Per ipotesi d'induzione il teorema vale per tutti0 i termini che contengono meno di
m funtori e quindi per 1 ≤ j ≤ n vale s∗ (tj ) = s ∗ (tj ). Ne consegue
0
0
g(s∗ (t1 ), ..., s∗ (tn )) = g(s ∗ (t1 ), ..., s ∗ (tn ))
e quindi
0
s∗ (f (t1 , ..., tn )) = s ∗ (f (t1 , ..., tn )).
Passiamo ora alla dimostrazione del teorema.
Proof. La dimostrazione è per induzione sul numero di operatori logici contenuti
nella formula α.
Base.
Se α non contiene operatori logici, ossia è una formula atomica, allora il teorema
segue immediatamente dalla denizione di soddisfacibilità da parte di una successione s e da quanto abbiamo appena dimostrato a proposito dei termini.
Passo.
Se αcontiene n operatori logici, i casi corrispondenti alle clausole 2 e 3 della denizione
di soddisfacibilità da parte di una successione s sono immediati. Il caso interessante è il 4. Sia α = ∀xq β . I casi sono due: o le variabili libere contenute in β sono
esattamente quelle contenute in ∀xq β , ossia sono tra le xi1 , ..., xik e q 6= i1 , ..., ik
0.1. CORRETTEZZA
3
(per l'esattezza è necessario che xq sia diverso solo dalle variabili libere eettivamente contenute in β , ma per semplicità diciamo che è diverso da tutte le variabili
xi1 , ..., xik ); oppure le variabili libere di β comprendono anche xq .
Nel primo caso supponiamo che s soddis ∀xq β e che quindi ogni successione
che dierisce da s al massimo per il q -esimo0 posto soddis β . Dunque s soddisfa
β , e quindi, per ipotesi d'induzione, anche s , che coincide con s nei posti i1 , ..., ik ,
0
soddisfa
β ; inoltre ogni successione che dierisce da s per il q -esimo posto coincide
0
con s nei posti i1 , ..., ik (ricordiamo che nel primo caso q 6= i1 , ..., ik ) e quindi,
sempre per ipotesi
d'induzione, soddisfa β : ne consegue che ogni successione
che
0
0
dierisce da s al massimo per il q -esimo posto
soddisfa
β , e quindi che s soddisfa
0
∀xq β . Analogamente si dimostra che se s soddisfa ∀xq β , allora s soddisfa ∀xq β .
Nel secondo caso supponiamo ancora che s soddis ∀xq β . D'altra parte ogni
0
successione che dierisce da s al massimo per il q -esimo posto coinciderà nei posti
i1 , ..., ik , q con una delle successioni che dieriscono da s al massimo per lo stesso
posto: poiché queste ultime soddisfano 0 tutte β , allora, per ipotesi d'induzione,
anche ogni successione che dierisce da s al massimo per il q -esimo posto soddisfa
β , e quindi s0 soddifa ∀xq β.
Theorem
vera o
¬α
0.1.3.
Se
α
è una fbf chiusa, allora, in ogni interpretazione, o
α
è
è vera.
Proof. Poiché una formula chiusa α non contiene variabili libere tutte le
successioni coincidono sulle variabili libere di α. Quindi, per 0.1.1se una successione soddisfa α, allora tutte le successioni soddisfano α, se una successione non
la soddisfa, allora nessuna la soddisfa: dunque α o è vera o è falsa (vera la sua
negazione).
Dimostriano ora la correttezza del quarto assioma.
Lemma
0.1.4.
Se
0
t = t [xi /u]
- ossia
t0
è il termine che si ottiene da
0
xi con il termine u - e s è
0
0
s∗ (u), allora s∗ (t ) = s ∗ (t).
tituendo in ogni occorrenza la variabile libera
sione che si ottiene da
Proof.
s
sostituendo
si
con
t
sos-
la succes-
Per induzione sul numero dei funtori contenuti in t.
Base
Se il numero dei funtori è 0, i casi sono tre: (i) t è una costante ck : allora t = t e
0
0
quindi s∗ (t ) = s ∗ (t) perché tutte le successioni coincidono sulle costanti; (ii) t
0
0
è una variabile xk per k 6= i: allora t = t = xk e quindi s∗ (t ) = sk , ma, per
0
0
0
0
0
denizione di s , sk = sk = s ∗ (xk ) = s ∗ (t); (iii) t è xi : allora s∗ (t ) = s∗ (u), ma,
0
0
0
0
per denizione di s , s∗ (u) = si = s ∗ (xi ) = s ∗ (t).
Passo
0
Se t = f (t1 , . . . , tn ), allora t = f (t1 [xi /u] , . . . , tn [xi /u]). Per ipotesi d'induzione,
per 1 ≤ k ≤ n
0
0
s∗ (tk [xi /u]) = s ∗ (tk )
Quindi, se g è l'operazione assegnata dall'interpretazione al funtore f ,
s∗ (f (t1 [xi /u] , . . . , tn [xi /u]))
= g (s∗ (t1[xi /u]), . . . , s∗ (tn [xi /u]))
=
=
0
0
g s ∗ (t1 ), . . . , s ∗ (tn )
0
∗
s (f (t1 , . . . , tn ))
0.2. LOWENHEIM - SKOLEM
0.1.5.
4
u è un termine libero per xi nella fbf α (xi ) e α (u) = α (xi /u),
0
s soddisfa α (u) sse la successione s ottenuta da s sostituendo
∗
s (u) soddisfa α (xi ).
Lemma
Se
allora la successione
si
con
Proof.
α (xi ),
Per induzione sul numero di connettivi e quanticatori contenuti in
Base
α (xi ) = Anj (t1 , . . . , tn ). Allora α (u) =Anj (t1 [xi /u]), . . . , (tn [xi /u]). Allora, posto
che0 l'interpretazione sia < D,0 I >,
0
s soddisfa α (xi ) sse < s ∗ (t1 ), . . . , s ∗ (tn ) >∈ I Anj
per 0.1.4
sse < s∗ (t1 [xi /u]), . . . , s∗ (tn [xi /u]) >∈ I Anj
sse s soddisfa α (u)
Passo
Come al solito il caso interessante è
α (xi ) = ∀xq β(xi )
dove, 0in generale, i 6= q e, essendo per ipotesi 0 u libero per xi , u 0non contiene
xq . s soddisfa ∀xq β(xi ) sse ogni successione S che dierisce da s al massimo
per il q -esimo posto (ed ha perciò la forma < s1 , s2 , . . . , si−1 , s∗ (u) , . . . , dq , . . . >)
soddisfa β(xi ). D'altra parte, ad ogni S che dierisce da s al massimo per il q esimo posto (ossia tale che S =< s1 , s2 , . . . , si−1 , si , . . . , dq , . . . >) corrisponde una
successione < s1 , s2 , . . . , si−1 , S ∗ (u) , . . . , dq , . . . > che sta con S nello stesso rap0
porto in cui s sta con s. S ∗ (u) = s∗ (u): infatti S e s dieriscono al massimo
per il q -esimo posto, ossia per il valore che S ∗ e s∗ assegnano a xq e quindi,
se u non contiene xq , allora, per 0.1.2, S ∗ (u) = s∗ (u). Dunque ogni succes0
sione < s1 , s2 , . . . , si−1 , S ∗ (u) , . . . , dq , . . . > coincide con una successione S =<
0
s1 , s2 , . . . , si−1 , s∗ (u) , . . . , dq , . . . > che dierisce da s al massimo per il q -esimo
0
posto. Ora, poiché ogni S soddisfa β(xi ), per ipotesi d'induzione ogni S soddisfa
β(u): quindi ogni successione S che dierisce da s al massimo per il q -esimo posto
soddisfa β (u), e di conseguenza s soddisfa ∀xq β (u).
Theorem 0.1.6. (= Corollario di p. 70) Nell'ipotesi che u sia un termine
libero per xi , ∀xi α(xi ) → α (u) è una formula logicamente valida.
Proof. Data una qualunque interpretazione, ∀xi α(xi ) → α (u) è vero per tutte
le successioni. Infatti se una successione s soddisfa ∀xi α(xi ), allora la successione
0
s con s∗ (u) al posto di si soddisfa α (xi ). Poiché u è un termine libero per xi , per
0.1.5 s soddisfa α (u).
0.2. Lowenheim - Skolem
Theorem
0.2.1.
Se
κ e λsono numeri cardinali
κ, allora T ha un modello
un modello di cardinalità
tali che
κ≤λ
di cardinalità
e la teoria
T
ha
λ.
Sia M =< D, I > un modello
di T avente cardinalità κ e sia M =<
0
D , I > una struttura tale che D ⊆ D , la sua cardinalità sia λ e
0
0
Proof.
0
< d1 , . . . , dn >∈ I
0
Anj sse < u1 , . . . , un >∈ I Anj
dove, contrassegnato un elemento c di D, per 1 ≤ i ≤ n
ui = di
ui = c
se di ∈ D
0
se di ∈ D − D
0.2. LOWENHEIM - SKOLEM
5
Analogamente
0
I (cn )
= I (cn )
0
I fjn (d1 , . . . , dn ) = I fjn (u1 , . . . , un )
dove, se c è lo stesso elemento di D già contrassegnato, per 1 ≤ i ≤ n
ui = di se di ∈ D
0
ui = c se di ∈ D − D
Si dimostra per induzione
sul numero di connettivi e quanticatori contenuti in α
0
che se M |= α allora M |= α.
Base
Sia α la formula Anj (t1 , . . . , tn ). Supponiamo che M |= α. Se S è una successione
0
denita su M , allora esisterà una successione s denita su M tale che si = Si se
Si ∈ D, altrimenti si = c. Allora, per 1 ≤ i ≤ n, s∗ (ti ) = c, se ti = xj e Sj ∈
/ D,
altrimenti S ∗ (ti ) = s∗ (ti ). Dimostriamo questo fatto. S ∗ (ti ) = s∗ (ti ) vale ovviamente se ti è una costante oppure una variabile xk tali che Sk ∈ D; per quel che
riguarda i termini funzionali lo si può dimostrare con un'induzione sul numero dei
funtori contenuti in essi. Per non complicare eccessivamente l'esposizione mostriamo come funziona la base in un caso semplice. Sia ti = f (xj ) e Sj ∈/ D. Allora
0
0
s∗ (ti ) = I (f ) (sj ) = I (f ) (c); ma I (f ) (c) = I (f ) (d) per ogni d ∈ D − D e quindi
0
anche per Sj : ne consegue s∗ (ti ) = I (f ) (c)= I (f ) (Sj ) = S ∗ (ti ). Per ipotesiogni
successione denita su M soddisfa α e quindi < s∗ (t1 ) , . . . , s∗ (tn ) >∈ I Anj . In
base a quanto abbiamo appena dimostrato s∗ (ti ) = c se ti = xj e Sj ∈/ D; se
in < s∗ (t1 ) , . . . , s∗ (tn ) > sostituiamo tutti questi s∗ (ti ) con i corrispondenti Sj
0
otteniamo la sequenza
< S ∗ (t1 ) , . . . , S ∗ (tn ) > che, in base alla denizione di I , ap
0
partiene a I Anj : quindi S soddisfa α. Poiché questo vale per tutte le successioni
0
S , M |= α.
Passo
Sia α = ∀xi β . Se M |= α, allora M |= β e quindi, per ipotesi d'induzione, M |= β .
0
Ma in tal caso M rende vera la chiusura universale di β e quindi anche ∀xi β (infatti
o la chiusura universale di β è ∀xi β stessa, oppure quest'ultima segue logicamente
dalla chiusura universale di β ).
0