I frattali di Giovannini Andrea-pdf

Liceo Scientifico Leonardo da Vinci
Classe V sL
I frattali
Andrea Giovannini
Esame di Stato 2012
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Matematica frattale:
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I frattali e le loro caratteristiche
Le linee di costa della Bretagna
La polvere di Cantor
Il fiocco di neve di von Koch
Il triangolo di Sierpinski
I frattali e la natura:
• Mineralogia: i cristalli
• Astronomia: le galassie
•
Storia dell’arte:
• Il puntinismo di Georges Seurat
• Il dripping di Jackson Pollock
•
I frattali e la poesia:
• “Blake and the fractals”
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".....Perchè la geometria viene spesso
definita fredda e arida? Uno dei motivi è la
sua incapacità di descrivere la forma di una
nuvola, di una montagna, di una linea
costiera, di un albero. Osservando la natura
vediamo che le montagne non sono dei coni,
le nuvole non sono delle sfere, le coste non
sono cerchi, ma sono degli oggetti
geometricamente molto complessi...."
Benoit Mandelbrot
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Cos’è un frattale?
La definizione più semplice lo descrive come una
figura geometrica in cui un motivo identico si ripete
su scala continuamente ridotta. Questo significa che
ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e
ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli.
Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica,
un frattale, invece di perdere dettaglio quando è
ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari.
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Per essere riconosciuto come tale, un frattale deve però
possedere alcune caratteristiche fondamentali:
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Autosimilarità;
Perimetro nullo o illimitato;
Area finita o nulla;
Dimensione non intera;
Struttura complessa a tutte
le scale di riproduzione;
• Dinamica caotica;
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Autosimilarità
Un esempio naturale comune può essere una linea costiera, di cui rimane
invariata, in scala, l'irregolarità ed è per questo che anche un
particolare somiglia tanto a tutta la costa.
I frattali, rispetto alle figure della geometria classica, hanno la caratteristica
peculiare che, se ne ingrandiamo anche una piccola parte,riproduciamo in
scala la stessa figura di partenza, oppure ritroviamo, in scala,
caratteristiche strutturali simili. La struttura che osserviamo in scala
normale viene ripetuta infinite volte all'interno della scala più piccola e la
possiamo ritrovare qualsiasi sia la potenza della lente d'ingrandimento che
usiamo.
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Perimetro illimitato
Il perimetro di molti frattali può tendere a infinito, mentre l'area resta finita.
Nel caso di un frattale, ad ogni passo, ogni singolo segmento che lo compone
subisce una riduzione, d'altra parte il numero di segmenti aumenta: sostituiamo
come minimo due segmenti ad ognuno dei precedenti e dunque la lunghezza
complessiva, per l'assioma della distanza, aumenta. Il processo di costruzione
di un frattale si ripete all'infinito, dunque il perimetro di una frattale tende ad
infinito:
Inizio: 1 segmento di
27 quadretti
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Primo passo: 5 segmenti
di 9 quadretti
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Secondo passo: 25
segmenti di 3 quadretti…
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Anche nella realtaà il concetto di lunghezza presenta dei limiti quando
vogliamo misurare una linea estremamente irregolare. Mandelbrot si
era posto il problema con la sua famosa domanda:
"Quanto è lunga la costa della Bretagna?”
Se si segue il contorno della costa si vede che esso è molto frastagliato.
Se cerchiamo di essere sempre più precisi , visto che ad ogni passo
troviamo sempre le stesse irregolarità, vediamo che la misura non
converge verso un ben definito valore, ma, anzi, aumenta.
Se misuriamo la distanza fra
due punti in linea d'aria,
troveremo una certa lunghezza.
Se misuriamo la distanza tra gli
stesso due punti, a grandi passi,
troviamo una lunghezza maggiore
Più cerchiamo di aumentare la
precisione e più la lunghezza
aumenta.
La lunghezza di un tratto di costa non potrà essere infinita, perchè non potremo
dividere indefinitamente i tratti da misurare, ma l'andamento delle successive
misurazioni ricorda quello del calcolo del perimetro di un frattale nei successivi passi.
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Perimetro nullo
Alcuni frattali possono avere perimetro nullo in quanto, all'infinito, si
riducono a punti isolati.
Per spiegare questo concetto utilizziamo un particolare frattale:“ l’insieme di Cantor “.
Osserviamo che ogni volta il numero di segmenti si raddoppia, mentre la
lunghezza di ciascuno di essi diventa 1/3 della precedente. Questo
procedimento può essere ripetuto senza limite: un assioma della
geometria afferma, infatti, che è possibile dividere un segmento in un
qualsiasi numero di parti uguali.
Come figura limite si ottiene l’insieme di Cantor.
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La lunghezza della figura diventa ogni volta i 2/3 della precedente: infatti
ogni volta eliminiamo la terza parte centrale di ognuno dei segmenti.
Al crescere del numero dei passi la lunghezza complessiva della curva diventa
zero in quanto la somma totale dei segmenti eliminati è pari a:
Resta però un insieme di infiniti punti sconnessi: ad esempio i punti 0, 1, 1/3,
2/3, 1/9, 2/9... appartengono tutti all'insieme. Il fatto dipende dalla costruzione
dell'insieme: poiché ad ogni stadio successivo è rimosso un intervallo
adiacente al precedente, ogni estremo di un intervallo rimosso non verrà più
eliminato. Rimarranno quindi dei punti isolati, fase finale dell'insieme di
Cantor, che, per la sua forma peculiare, prende anche il nome di polvere.
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Area finita
Il contorno dei frattali, pur avendo lunghezza infinita,è racchiuso in un’area limitata
Dimostrazione con il fiocco di neve di Von Koch
Il primo passo per la
costruzione del fiocco di neve
di Von Koch consiste nel
prendere in considerazione un
triangolo equilatero inscritto in
un cerchio.
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Dopo il primo passo: la figura è
costituita da due triangoli
equilateri uguali che sono
simmetrici rispetto al diametro
parallelo ad un lato, in questo
caso ad EF parallelo ad AF.
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Possiamo, quindi, ripetere
l’operazione con i triangoli
equilateri che si sono formati al
passo precedente.
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Questo procedimento può essere ripetuto infinite volte, ma si otterranno
sempre figure inscrivibili in cerchi, che risultano tangenti internamente
al cerchio circoscritto al triangolo ABC. Continuando nel procedimento
otterremo sempre cerchi tangenti internamente ai cerchi gia costruiti.
L’area del fiocco di neve è limitata perché
è contenuta nel cerchio circoscritto al
triangolo equilatero di partenza
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Area nulla
Altre volte l’area può essere addirittura nulla, come nel caso del triangolo di Sierpinski.
Prendiamo come figura di partenza un triangolo
equilatero: poniamo per comodità il lato = 1
1. Eliminiamo dalla sua superficie il triangolo che
ha come lati i segmenti che uniscono i punti
medi dei lati del triangolo precedente: otteniamo
3 triangoli di lato = 1/2
2. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 3
triangoli che si sono così formati: otteniamo 9
triangoli di lato = 1/4
3. Ripetiamo il procedimento su ognuno dei 9
triangoli che si sono così formati: otteniamo 27
triangoli di lato = 1/8
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Il procedimento precedentemente illustrato potrà essere ripetuto infinite
senza limite. Si ottiene così il triangolo di Sierpinski, un frattale.
Nonostante questo frattale goda di autosimilitudine e abbia un perimetro infinito,
la sua area risulta essere nulla:
l'area del triangolo diventa ogni volta i 3/4 della precedente, infatti ad ogni passo
viene eliminato da ogni triangolo il triangolo formato dalle parallele ai tre lati che
uniscono i punti medi dei lati stessi. Possiamo dunque affermare che,
al
crescere del numero dei passi, l'area decrescerà indefinitamente:
essa tende a zero quando il numero di passi tende ad infinito.
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Dimensione frattale
Un frattale può essere definito come un oggetto a dimensione frazionaria:
la sua dimensione non è, quindi, intera , ma potrà avere anche infinite
cifre dopo la virgola.
La caratteristica di queste figure, dalla quale ne deriva il nome, è la loro
dimensione frazionaria, sebbene esse possano essere rappresentate
(se non si pretende di rappresentare le infinite iterazioni che
caratterizzano tali figure) in uno spazio convenzionale a due o tre
dimensioni. In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere
misurata definitamente, ma dipende strettamente dal numero di
iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.
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Struttura complessa a tutte le scale
Molti oggetti frattali hanno infiniti dettagli. Dall’immagine si può dedurre
che la complessità dell'insieme di Mandelbrot non accenna a diminuire,
anche se viene ingrandito. Tale caratteristica conferisce al frattale una
struttura complessa in tutte le scale di riproduzione.
E' evidente che questa caratteristica è strettamente collegata alle altre
proprietà distintive dei frattali, quali ad esempio l’autosimilarità, la
dimensione frazionaria, il perimetro infinito e l'area finita.
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Perchè ci interessano ?
La maggior parte degli oggetti in natura non ha la forma di
quadrati, triangoli, sfere o coni, ma di figure geometriche più
complicate.
Si dà il caso che le nuvole NON siano sfere,
e le montagne NON siano coni.
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Molti oggetti naturali, come…
CAVOLFIORE
FELCE
…hanno forma frattale
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Il nostro corpo è frattale?
Si ritiene che in qualche modo i frattali
. abbiano corrispondenze con la
struttura della mente e di altre parti del corpo.
Struttura frattale dei villi intestinali (sopra) e
dei vasi sanguigni del cuore (sotto)
Struttura frattale dei bronchi
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Il ripetersi del reticolo cristallino
Un minerale è una sostanza naturale di tipo inorganico avente una
struttura cristallina, un’impalcatura di atomi regolare e ordinata.
Da questa struttura interna si origina la forma esterna del minerale, visibile
e altrettanto regolare, detta abito cristallino.
Perché i cristalli seguono un andamento frattale?
La loro struttura interna è
caratterizzata da una
disposizione degli atomi
nello spazio tale che una
stessa configurazione di
atomi, detta cella
elementare, si ripete a
intervalli regolari lungo più
direzioni.
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Cosmologia frattale
Le galassie: “grumi” di materia luminosa
La cosmologia frattale è una minoranza di teorie cosmologiche, nelle
quali si afferma che la distribuzione della materia nell’Universo, o la
struttura stessa dell’universo, è frattale.
Le galassie si possono rappresentare come "grumi" di materia
luminosa e illuminata (stelle, pianeti, asteroidi, ecc), queste a loro
volta sono raggrumate a decine a formare gli ammassi di galassie.
Negli anni Ottanta si e' scoperto che questi ammassi sono
anch'essi strutturati nei cosiddetti superammassi, tuttora oggetto di
osservazione.
Questo susseguirsi di vuoti e pieni di materia, ripetuti su scala
sempre più grande rende l'idea della teoria dell’universo frattale.
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La “Galassia delle galassie” dall'insieme
di Mandelbrot
Galassie a spirale
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Storia dell’arte: G. Seurat ( 1859-1891 )
Una domenica pomeriggio all'isola della Grande-Jatte, 1886,
olio su tela, 205 x 308 cm, Art Institute, Chicago.
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Nella seconda metà dell’Ottocento si sviluppò la tecnica puntinista,
a opera di G. Seurat. Questa tecnica consiste nell’accostare
sulla tela infiniti puntini di colori puri che, a una certa distanza, si
compongono nella percezione dell’osservatore in nuovi colori
nati dalla loro fusione ottica, secondo il principio della
ricomposizione retinica.
Con questa procedura il colore assume particolari aspetti di
vibrazione luminosa impossibili da raggiungere con la tecnica a
olio usata in modo tradizionale.
La pittura puntinista si basò sugli studi ottici relativi al contrasto
simultaneo e ai colori complementari e fu la dimostrazione di
come il rapporto arte – scienza possa rinnovare non solo la
tecnica ma la stessa pittura.
Nel puntinismo di Seurat più l’osservatore si avvicina alla tela più
facilmente nota la struttura complessa che compone le figure del
dipinto. Tale caratteristica è paragonabile alle strutture frattali.
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Jackson Pollock (1912-1956)
Pali blu, 1953, olio e smalto sintetico su tela, 210 x 489 cm,
New York, Collezione Ben Heller
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Pollock mette a punto la tecnica del dripping, che consiste nello sgocciolare e
spruzzare il colore direttamente dal barattolo sulla tela posta in terra. Per effetto
dello sgocciolamento i colori si intrecciano, divergono, in un’azione non
progettata e in cui è lasciato un certo margine al caso. L’artista con i propri
gesti determina, infatti, il tipo di segni che cadranno sulla superficie del quadro.
Negli anni '90 Richard Taylor, un matematico-artista, intravide nella pittura di
Pollock, apparentemente così istintiva e priva di regole, un legame con i frattali.
Analizzando le tele, è risultato evidente che il pigmento colato definisce uno
schema distributivo delle zone riempite di colore e delle zone bianche sempre
uguale, secondo una precisa struttura frattale simile a quella in cui evolvono le
forme naturali.
Inconsapevolmente Pollock, alla ricerca di una totale casualità compositiva, in
realtà mima precisi schemi naturali, che hanno come risultato il suo
caratteristico “frattale”.
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Blake: il precursore dei frattali
Nel 1990, il professor Jasper Memory
dell’Università di Stato di North
Carolina ha pubblicato sul
“Mathematics Magazine” una poesia
intitolata “Blake and Fractals”.
Ispirandosi al verso del poeta, pittore
e incisore William Blake, “vedere un
mondo in un granello di sabbia”,
Memory ha composto questi versi:
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"Paesaggi scorgeva infiniti
Di sabbia nel più piccolo grano
Contenuto nel cavo della mano
Ciascuno di noi trova esempi di ciò
Nell’opera di Mandelbrot:
I diagrammi frattali partecipano
Dell’essenza da Blake presentita.
Sempre la forma essenziale
Prevale prescindendo dalla scala:
E le particolari segnature
Da vicino e da lontano sono chiare.
Ingrandito il punto che avevi,
Quello stesso punto ritrovi.
E se ancora e ancora ingrandisci
Gli stessi dettagli riconosci;
Più fine del più fine capello
Ecco di Blake l’infinito,
Ricco di particolari a ogni livello
come il mistico poeta aveva capito.”
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Utilità dei frattali
• I frattali sono usati da ingegneri e fisici per creare
modelli che descrivono i moti dei fluidi
• I frattali possono essere usati per comprimere
immagini e hanno larga applicazione nella
realizzazione di film virtuali
• I frattali sono usati per lo studio della natura:
riprodurre le linee di costa, i corsi dei fiumi, le
montagne e per descrivere l’erosione del suolo
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Bibliografia:
Mario Livio, La sezione aurea, 2003, BUR Rizzoli
Luciano Pietronero, Il padre dei frattali,Darwin, marzo-aprile 2011
M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi, Derivate e studi di funzione, 2005,
Zanichelli
G. C. Argan, L’arte moderna 1770/1970, 1975, Sansoni
G. C. Argan, Strumenti per lo studio della storia dell’arte, 2008, Sansoni
C. Pignocchino, I. Neviani, Geografia Generale, 2009, SEI
Siti web:
•
•
•
•
www.miorelli.net
www.frattali.it (di Laura Lotti)
www.webfract.it (di Eliana Argenti)
www.wikipedia.it
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