Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità

analisi
Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità
enunciato
Se una funzione
è derivabile in un punto
allora essa è ivi anche continua
Hp:
xo
Th:
x
è una funzione derivabile in
con
che esiste ed è finito
è una funzione continua in
cioè:
, cioè:
dimostrazione
consideriamo la seguente identità
calcoliamo il limite per
i membri
di entrambi
a secondo membro applichiamo i teoremi sulla
somma e sul prodotto di limiti
perché
costante
è una
per l’ipotesi di derivabilità
passando al calcolo dei limiti al secondo
membro, si osserva che
per cui si ha
e quindi la tesi
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