Nozioni elementari di calcolo differenziale e integrale

Laboratorio I - Corso di Laurea in Fisica
Facoltà di Scienze M.F.N. dell’Università del Salento
Nozioni elementari di calcolo
differenziale e integrale
DIPARTIMENTO DI FISICA E INFN
UNIVERSITÀ DEL SALENTO
a.a. 2013/2014
© L. Renna - Dipartimento di Fisica
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Facoltà di Scienze M.F.N. dell’Università del Salento
Sommario
1
2
3
4
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Funzioni ............................................................................................................... 3
Derivate ................................................................................................................ 4
Integrali ................................................................................................................ 5
Sviluppi in serie ................................................................................................... 7
Funzioni di due variabili ...................................................................................... 7
© L. Renna - Dipartimento di Fisica
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1 Funzioni
Si considerino delle grandezze B che dipendono da un’altra grandezza A, nel senso
che, fissato il valore x di A, resta ben determinato il valore y di B.
Esempi:
1. La radice quadrata di un numero dipende dal valore di questo numero.
2.La pressione atmosferica in una data località dipende dall’istante di tempo in cui
viene misurata.
Questa proprietà
1. Può essere tradotto in una formula
2. È di natura sperimentale.
Il valore x di A non può essere fissato arbitrariamente.
Definizione: Se, dato un insieme E di punti dell’asse x esiste una legge che associa
ad ogni punto x di E un ben determinato numero reale y, diremo che y è una funzione
della variabile (o del punto) x, definita nell’insieme E.
Per indicare ciò si usa la notazione
(1)
y  f (x)
Spesso si scrive semplicemente f(x) o f.
Le funzioni si rappresentano nel piano cartesiano ortogonale xOy (figura 1).
Figua 1
L’insieme dei punti P(x,y) forma una figura che si chiama diagramma o grafico
della funzione.
Figura 2
Alcune rappresentazioni di funzioni elementari sono riportate in figura 2.
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2 Derivate
Sia data la funzione y = f(x) definita in un intervallo E e sia x0 un fissato punto di E.
Aumentiamo x0 di un arbitrario incremento Δx su E e denotiamo con ( f ( x0 ) o) y
y
si chiama
 f ( x0  x)  f ( x0 ) il corrispondente incremento. Il rapporto
x
rapporto incrementale della funzione y = f(x) relativo al punto x0. Esso è una funzione
della variabile x .
Per ogni fissato valore x0 della variabile x e dell’incremento Δx, il rapporto
incrementale fornisce la pendenza della passante per i punti (x0, f(x0)) e (x0 +Δx,
f(x0+Δx)) (retta s1 in figura 3).
Figura 3
L’equazione della retta s1 è:
f ( x0 )
(2)
y  f ( x0 ) 
( x  x0 )
x
Diminuendo progressivamente l’incremento Δx si ottengono rette, quali la retta s,
sempre più vicine alla tangente alla curva t nel punto (x0,f(x0)). È chiaro che nel
limite di x  0 la retta s tende alla tangente t.
Si definisce derivata della funzione f(x) in x, e la si indica col simbolo f ( x0 ) , il
limite per x  0 (se esiste determinato e finito) del rapporto incrementale:
f ( x)
.
(3)
f ( x0 )  lim
x 0 x
Il significato geometrico, deducibile dalla figura 3, è che la derivata è uguale alla
pendenza della tangente alla curva in x0.
L’equazione della tangente t è allora:
y  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 )
(4)
Altri simboli per la derivata sono:
df ( x)
, Df (x) .
dx
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La derivata f ( x)  g ( x) è a sua volta una funzione la quale rappresenta
l’andamento della pendenza delle tangenti in ogni punto del dominio E della f(x).
dx
Per la derivata rispetto al tempo della variabile x(t) si usa anche il simbolo x 
.
dt
Si definisce anche la derivata seconda
d 2 f ( x) d df ( x)

dx 2
dx dx
e il differenziale
df ( x)
df ( x)
df ( x) 
x 
dx .
dx
dx
(5)
(6)
Tabella 1
Alcune derivate elementari
u e v indicano funzioni arbitrarie di x, a ed n sono delle costanti
dx
da
d
du
1
0
(au )  a
dx
dx
dx
dx
d
du dv
d n
d
1
(u  v) 

x  nx n 1
ln x 
dx
dx dx
dx
dx
x
d x
d
dv
du
d
e  ex
(uv)  u  v
sin x  cos x
dx
dx
dx
dx
dx
d
d
d
du dv
cos x   sin x
tan x  sec 2 x
[u (v)] 
dx
dx
dx
dv dx
Alcune derivate elementari sono riportate nella tabella 1.
3 Integrali
Consideriamo ora il problema inverso a quello analizzato nel paragrafo precedente:
data una funzione f(x) in un intervalle E, vogliamo definire in E un’altra funzione
F(x) che abbia per derivata la f(x). Si tratta allora di risolvere l’equazione
dF ( x)
(7)
 f ( x)
dx
nell’incognita F(x). Se esistono delle funzioni F(x) verificanti la (7), esse si
chiamano funzioni primitive della f(x).
Una qualsiasi funzione primitiva della funzione continua f(x) si chiama integrale
indefinito della f(x) e si indica col simbolo
 f ( x)dx .
(8)
Questa notazione è equivalente alla seguente:
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x
F ( x)   f (t )dt  c
(9)
a
dove c è una costante arbitraria ed a un punto comunque fissato nell’intervallo E. La
(9) rappresenta tutte le primitive di f(x).
Si può estendere a un intervallo [a, b] l’integrale della funzione f(x), che si scrive:
b
 f ( x)dx .
(10)
a
All’integrale esteso a un intervallo [a, b] si può dare un notevole significato
geometrico quando in tale intervallo si ha sempre f ( x)  0 .
Figura 4
Costruito il grafico della funzione, si può considerare la regione piana A luogo dei
punti (x, y) che verificano le a  x  b , 0  y  f ( x) 1, cioè limitata dalla curva
y  f (x) e dalle rette x = a, x = b. Si dimostra che l’area di A è uguale all’integrale
della f (x) estesa all’intervallo [a, b]:
b
Area di A   f ( x)dx .
(11)
a
Tabella 2
Alcuni integrali indefiniti elementari
a meno di una costante additiva arbitraria
 adx  ax
 dx  x
 (u  v)dx   u dx   v dx  x dx  x
n 1
n 1
n
e
x
dx  e x
 cos x dx  sin x
 au dx  a  u dx
(n  1)
1
 x dx  ln x
 u dx dx  uv   v dx dx
 sin dx   cos x
 tan x dx  ln sec x
e
dv
du
 ax
1
dx   e ax
a
La limitazione f(x)  0 può esseree rimossa se si considerano negative le porzioni di superficie
situate al di sorro dell’asse x.
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4 Sviluppi in serie
Sotto opportune condizioni, alcune funzioni si possono convenientemente
rappresentare sotto somma di potenze.
La convenienza consiste nel poter approssimare una funzione con una lineare (o
quadratica).
Sviluppo
(1  x) n  1  nx 
Tabella 3
Alcuni sviluppi in serie
Approssimazione ( x  1 )
n(n  1) 2
x   ( x 2  1)
2!
(1  x) n  1  nx
ex  1 x 
x 2 x3
 
2! 3!
ex  1 x
sin x  x 
x3 x5
 
3! 5!
sin x  x
cos x  1 
x2 x4
 
2! 4!
cos x  1
5 Funzioni di due variabili
Per rappresentare il valore di una funzione di due variabili occorre considerare un
grafico a tre dimensioni. In questo spazio la funzione è rappresentata da una
superficie. Consideriamo uno spazio cartesiano ortogonale a tre dimensioni (figura 5)
di coordinate (x, y, z).
Figura 5
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Un punto P in tale spazio può essere la rappresentazione del valore di una grandezza
fisica che varia in un piano, ad es. la temperatura o la pressione in una data regione.
Una funzione z  f ( x, y) è rappresenta graficamente da una superficie (figura 6).
Figura 6
(a)
(b)
Figura 7
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Una funzione di due variabili può essere derivata sia rispetto alla variabile x che
rispetto alla variabile y: ciascuna di tali derivate si chiama derivata parziale.
La derivata parziale rispetto a x della funzione di due variabili z = f(x,y) è la derivata
della funzione f in cui la variabile y è trattata come una costante. Analoga definizione
è data per la derivata rispetto a y.
 
In simbolo:
,
.
x y
Ad esempio, le derivate parziali della funzione z  2 xy 2  1 , sono:


(2 xy 2  1)  4 xy .
(2 xy 2  1)  2 y 2 ,
x
y
Geometricamente è facile vedere che la derivata parziale rispetto a x è la derivata
della funzione della sola variabile x che sui piani y = costante è rappresentata dalla
curva ottenuta dall’intersezione della superficie f(x,y) con ciascuno di quei piani
(figura 7).
Il differenziale di una funzione applicato alla funzione di due variabili z = f(x,y) si
scrive:
f ( x, y )
f ( x, y )
(12)
dz 
dx 
dy .
x
y
Ad esempio, se z  2 xy 2  1 , si ha:
dz  2 y 2 dx  4 xydy .
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