Orologi - Università del Salento

IL PENDOLO
E LA MISURA DEL TEMPO
Vincenzo Orofino
Dipartimento di Matematica e Fisica”E. De Giorgi”
Università del Salento
Equazione differenziale generale del pendolo semplice (anche per
grandi oscillazioni):
d 2ϑ
2
+
ϖ
sin ϑ = 0
dt 2
(1)
La (1) non è integrabile analiticamente (si risolve numericamente
o con metodi approssimati).
In tal caso (pendolo anarmonico), si dimostra che il periodo vale:
P = 2π
2
2
⎡
⎤
⎛
⎞
ϑ
l
1⋅3
⎛1⎞
2⎛ 0 ⎞
4 ⎛ ϑ0 ⎞
⎟⎟ sin ⎜ ⎟ + ...⎥
⎢1 + ⎜ ⎟ sin ⎜ ⎟ + ⎜⎜
g ⎢
⎝2⎠
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎥⎦
⎝ 2⋅4 ⎠
⎣
In buona approssimazione:
P = 2π
l
g
⎛ ϑ0 2 ⎞
⎟
⎜1 +
⎜
16 ⎟⎠
⎝
(2)
dove il termine in parentesi differisce dall’unità per meno dell’1%
se le ampiezze sono minori di 23° (0.4 rad).
Per ampiezze ancora più piccole (ϑ0 <<1) si ha:
P=
2π
ϖ
= 2π
l
g
(3)
La (3) permetterebbe di definire il metro come la lunghezza di un
pendolo il cui periodo risulti pari a 2 secondi.
Nel 1790 la Commissione dei Pesi e delle Misure presieduta dal
matematico Lagrange discusse se definire il metro in questo modo.
La proposta venne, infine, abbandonata.
L’accelerazione di gravità g può essere ricavata dalla (3),
ottenendo:
4π 2
g= 2 l
P
L'errore su g è ottenibile propagando opportunamente gli errori su
P e l.
IL PENDOLO COME OROLOGIO
Per tre secoli in passato il pendolo è stato l’orologio più affidabile
(il primo orologio a pendolo fu costruito da Christian Huygens nel
1656, utilizzando il principio dell’isocronismo scoperto da Galileo
Galilei nel 1583).
Per l’orologio a pendolo esiste l’inconveniente dello smorzamento
delle oscillazioni.
Anche una piccola variazione dell’ampiezza comporta una elevata
variazione del periodo d’oscillazione.
Ad esempio, se l’ampiezza passa in un giorno da 20° a 19°, il
periodo, per la (2), varia di 1 min: pendolo inaffidabile come
orologio (anche per usi domestici).
E’ necessario mantenere l’ampiezza delle oscillazioni costante,
nonostante gli effetti dissipativi.
Allo scopo si adottano accorgimenti meccanici (utilizzando
contrappesi e molle per compensare le forze dissipative) che
restituiscono al sistema l’energia sottratta da tali forze.
Occorre minimizzare anche le variazioni di lunghezza del pendolo
dovute a variazioni di temperatura (dilatazione termica).
EVOLUZIONE STORICA DEGLI STRUMENTI PER LA MISURA
DEL TEMPO
Anno
< 1300
Accuratezza
Molto bassa
1933
Strumento di misura
Meridiane – Orologi stellari –
Clessidre (anche portatili)
Grandi orologi meccanici posti sulle
torri di alcune città italiane
Orologi meccanici a molla da tavolo
(Peter Henlein)
Primi orologi a pendolo
(Christian Huygens)
Orologi a pendolo di II generazione
(Christian Huygens)
Orologi a pendolo di III generazione
(George Graham)
Orologi a pendolo di IV generazione
(John Harrison)
Orologi a pendolo astronomici di
I generazione (Siegmund Riefler)
Orologi a pendolo astronomici di
II generazione
Orologi a quarzo (60 kHz→333 Hz)
1955
Orologi atomici (Cs – 9193 MHz)
1 ×10−6 s/anno
2014
Orologi atomici (Sr – 430 GHz)
2 ×10−10 s/anno
1300
1500
1656
~1670
1721
1761
1889
~1910
Bassa
Bassa
1 min/giorno
10 s/giorno
1 s/giorno
0.2 s/giorno
0.01 s/giorno
0.01 s/mese
0.03 s/anno