Analisi dei segnali campionati - Dipartimento di ingegneria elettrica

Analisi dei segnali campionati - 1
Analisi dei segnali campionati
1 - Il teorema del campionamento
Campionamento ideale
Il campionamento (sampling) di un segnale analogico s(t) consiste nel prenderne solo i valori
s(iTc) in corrispondenza a istanti ben precisi (iTc) detti istanti di campionamento.
Per esaminare le proprietà fondamentali è utile riferirsi al caso ideale in cui il campionamento
è effettuato impiegando un treno di impulsi matematici. Sia dunque s(t) un generico segnale
nel tempo, con spettro S(f) limitato in banda fino alla frequenza fM (Fig.1.1). In Fig.1.1 si è
adottata la rappresentazione bilatera dello spettro (alle frequenze positive e negative).
Fig.1.1 - Segnale a banda limitata.
Sia inoltre c(t) un treno di impulsi matematici, di durata infinita, ciascuno con area unitaria
(Fig.1.2), equispaziati dell’intervallo di campionamento Tc (e con frequenza fc = 1/Tc).
Il suo spettro C(f) risulta, come è noto, una sequenza di impulsi in frequenza.
Fig.1.2 - Impulsi matematici di campionamento: rappresentazione nel tempo e in frequenza.
Per i segnali s(t) e c(t), potremo scrivere la seguente corrispondenza fra tempo e frequenza:
s (t ) ⇔ S ( f )
c (t ) =
+∞
i = −∞
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(1.1)
+∞
∑ δ(t − iT ) ⇔ C ( f ) = f ∑ δ( f − kf
c
c
k = −∞
c)
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2 - Analisi dei segnali campionati
Il campionamento ideale consiste nel moltiplicare il segnale s(t) per il treno di impulsi c(t):
+∞
sc (t ) = s(t ) ⋅ c(t ) = s(t ) ⋅ ∑ δ(t − iTc ) =
i = −∞
+∞
∑ s(iT ) ⋅ δ(t − iT )
i = −∞
c
c
(1.2)
Per determinare lo spettro del segnale campionato è sufficiente ricordare che al prodotto
algebrico nel tempo corrisponde il prodotto di convoluzione in frequenza:
s(t ) ⋅ c(t ) ⇔ S ( f ) ∗ C ( f )
(1.3)
Pertanto la trasformata di Fourier del segnale campionato risulta:
Sc ( f ) = S ( f ) ∗ fc
+∞
∑ δ( f − kf c ) = f c
k = −∞
+∞
∑ S ( f − kf
k = −∞
c
)
(1.4)
Quindi lo spettro del segnale campionato (Fig.1.3) è formato dalle repliche dello spettro del
segnale originario S(f), traslate su frequenze multiple della frequenza di campionamento fc.
Inoltre le ordinate di tali repliche risultano tutte moltiplicate per un fattore di scala pari a fc.
Fig.1.3 - Segnale campionato e suo spettro.
Osservando lo spettro del segnale campionato, risulta evidente che, affinchè non esistano
sovrapposizioni fra le diverse repliche, è sufficiente che il periodo di ripetizione in frequenza
sia maggiore o al più uguale a 2fM:
fc =
1
≥ 2 fM
Tc
(1.5)
Il filtro di ricostruzione
Se la frequenza di campionamento fc è maggiore almeno del doppio della massima frequenza
fM contenuta nel segnale, eseguendo il filtraggio della sequenza di impulsi con un filtro passabasso HR(f), che abbia una risposta piatta da 0 a fM e risposta nulla per f > (fc - fM), si riottiene
in uscita il segnale originario s(t), in quanto se ne isola lo spettro S(f) in banda base (Fig.1.4).
Fig.1.4 - Il filtro di ricostruzione.
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Per il corretto ripristino delle ampiezze, il guadagno del filtro di ricostruzione entro la banda
piatta (0 ÷ fM) deve essere costante e pari a H0 = 1/fc.
Aliasing
Se viceversa fc < 2fM, ossia i campioni sono troppo radi, non è possibile riottenere il segnale
originario in alcun modo, a causa della sovrapposizione delle repliche che crea un disturbo da
spettro adiacente. Tale fenomeno è detto aliasing (Fig.1.5A).
Fig.1.5 - A) Distorsione di aliasing; B) Ricostruzione con filtro passa-basso ideale.
Di particolare interesse è il caso limite in cui fc = 2fM (Fig.1.5B): in tal caso la ricostruzione è
ancora possibile con un filtro passa-basso ideale senza che vi sia alterazione dello spettro
originario in banda base (0 ÷ fM). In queste condizioni si ha il minimo valore teorico per la
frequenza di campionamento, cui corrisponde il massimo intervallo temporale fra i campioni:
Tc =
1
1
=
fc 2 f M
(1.6)
Le funzioni interpolanti
La risposta del filtro passa basso-ideale alla sequenza di impulsi matematici di valore s(iTc)
riproduce dunque il segnale originario s(t). D’altra parte un filtro passa-basso ideale, che ha la
funzione di trasferimento pari ad H0 per f = (0 ÷ fM) e zero altrove, ha la risposta impulsiva:
h (t ) = ( H 0 ⋅ 2 f M )
sin(2 πf M t )
( 2πf M t )
(1.7)
Consegue che, adottando la massima velocità di campionamento consentita (fc=2fM) e facendo
il guadagno H0 = 1/fc = 1/2fM, il segnale s(t) può esprimersi direttamente come somma delle
risposte h(t) del filtro a ciascuno degli impulsi costituenti la sequenza:
s (t ) =
+∞
∑ s (iTc )
i = −∞
sin[ πf c (t − iTc )] +∞
= ∑ s (iTc ) sinc[ πf c (t − iTc )]
[ πf c (t − iTc )]
i = −∞
(1.8)
La funzione sinc(πfct) = [sin(πfct)]/[πfct], che consente di ricostruire il segnale s(t) dalla
conoscenza dei suoi campioni s(iTc), è detta funzione interpolante o di campionamento.
La ricostruzione del segnale s(t) avviene mediante il contributo di tutte le funzioni sinc
relative a tutti i campioni che formano la sequenza, tranne che negli istanti di campionamento.
Un’interpretazione grafica di questo fatto è fornita nella Fig.1.6, dove è rappresentata la
sovrapposizione delle funzioni sinc relative a tre campioni.
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4 - Analisi dei segnali campionati
Fig.1.6 - Ricostruzione del segnale campionato.
Prefiltraggio
Spesso i segnali hanno un contenuto armonico S(f) in banda base (0 ÷ fM) piuttosto esteso, ma
le componenti armoniche a frequenza più alta sono di entità insignificante. Inoltre è presente
il rumore (noise) sovrapposto al segnale utile con uno spettro normalmente più esteso (vedi la
Fig.1.7). Per questo è utile compiere un filtraggio preliminare sullo spettro del segnale S(f) e
sul rumore sovrapposto. Il filtro passa-basso H(f) ha una frequenza di taglio minore della
massima frequenza contenuta nel segnale: fM’ < fM. In tal modo si riduce la banda base del
segnale da fM a quella realmente significativa fM’ e inoltre si tagliano le componenti di rumore
in alta frequenza.
La riduzione della banda base del segnale da campionare da (0 ÷ fM) a (0 ÷ fM’) consente l’uso
di frequenze di campionamento fc più basse ed evita il fenomeno di aliasing. Il filtro
antialiasing è di norma presente in tutti gli stadi di ingresso dei sistemi di misura digitali a
campionamento.
Fig.1.7 - Il filtro antialiasing.
Il campionamento in pratica
Gli impulsi matematici utilizzati per dimostrare il teorema del campionamento non sono
evidentemente utilizzabili in pratica e costituiscono solo un mezzo analitico.
Se il fine della procedura di campionamento è quello di conoscere i valori s(iTc) del segnale
originario s(t) in precisi istanti di tempo (iTc), dovremo ricorrere a circuiti elettronici idonei a
questo scopo. Nei casi pratici il campionamento di un segnale viene realizzato con il circuito
di sample & hold che rileva il valore del segnale analogico ogni Tc secondi.
Il valore campionato viene mantenuto per il tempo necessario al convertitore AD per
effettuare la conversione in forma numerica.
Se si rispetta il vincolo imposto dal teorema del campionamento, i campioni ottenuti in tal
modo sono comunque sufficienti a conoscere esattamente (a parte il rumore di quantizzazione,
che non dipende dal campionamento) tutta l’informazione contenuta nel segnale.
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La ricostruzione in pratica
Anche il processo di ricostruzione, esaminato in precedenza con le funzioni interpolanti, non
può in pratica ricorrere a impulsi matematici né a funzioni sinc indefinitamente estese.
D’altra parte, presenta notevole interesse pratico nel caso in cui si debba produrre un segnale
analogico s(t), partendo da una sequenza di numeri s(iTc) che ne rappresentano i campioni,
presi ogni Tc secondi. Il campo di applicazione pratica di tale tecnica si ha nei generatori
programmabili di segnali. Tali strumenti sono in grado di generare fisicamente dei segnali di
tensione, con una forma d’onda nota (sinusoidale, triangolare, quadra, ecc.) ma anche
arbitraria. In essi si determina il valore numerico di ciascun campione del segnale che si vuole
generare, tramite una funzione matematica oppure una tabella.
I valori dei campioni così ottenuti vengono quindi attribuiti agli impulsi elementari di una
sequenza. Questi impulsi elementari possono essere di varia forma, ottimizzata per specifiche
applicazioni, ma tipicamente sono rettangolari, oppure delle sinc con durata limitata.
Talvolta gli impulsi reali elementari sono fatti passare attraverso un filtro passa-basso (di
ricostruzione) che isola le componenti in banda base, in pratica smussando gli spigoli degli
impulsi e approssimando meglio il segnale desiderato.
Analisi del campionamento con impulsi rettangolari
È utile analizzare lo spettro di un segnale campionato con impulsi rettangolari. Innanzitutto
osserviamo che per un singolo impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata τ < Tc si ha:
c0 (t ) = 1 ⋅ rectτ (t ) ⇔ C0 ( f ) = (1 ⋅ τ)
sin( πfτ)
= (1 ⋅ τ) sinc( πfτ)
( πfτ)
(1.9)
Allora, il segnale campionato nel dominio del tempo risulta:
sc (t ) =
+∞
+∞
∑ s(iTc ) c0 (t − iTc ) = ∑ s(iTc ) c0 (t ) ∗ δ(t − iTc )
i = −∞
= c0 (t ) ∗
i = −∞
+∞
+∞
i = −∞
i = −∞
(1.10)
∑ s(iTc ) δ(t − iTc ) = c0 (t ) ∗ s(t ) ⋅ ∑ δ(t − iTc )
Fig.1.8 - Campionamento con impulsi rettangolari.
Per valutare lo spettro, teniamo presente che al prodotto algebrico di due segnali nel dominio del
tempo corrisponde il prodotto di convoluzione degli spettri nel dominio della frequenza. Pertanto
lo spettro del segnale campionato Sc(f) con impulsi rettangolari risulta:
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6 - Analisi dei segnali campionati
Sc ( f ) = C0 ( f ) ⋅ S ( f ) ∗
+∞
∑
k = −∞
f c δ( f − kf c ) = C0 ( f ) ⋅ f c
⎤
τ ⎡ +∞
= ⎢ ∑ S ( f − kf c )⎥ sinc( πfτ)
Tc ⎣k = −∞
⎦
+∞
∑ S ( f − kf c ) =
k = −∞
(1.11)
Le repliche dello spettro originario S(f) in banda base non sono più di ampiezza costante in
frequenza, ma vengono modellate secondo una funzione C0(f) che ha un andamento, ancora una
volta, del tipo sinc(x)/x. Se gli impulsi rettangolari sono molto stretti (τ << Tc), il primo
attraversamento dell’asse delle frequenze da parte della sinc(x)/x si ha a una frequenze molto alta
(f attraversamento = 1/τ). Allora la replica centrata sull’origine delle frequenze (cioè lo spettro in
banda base) verrà estratto dal filtro di ricostruzione senza apprezzabile distorsione.
Tuttavia si tenga presente che lo spettro in frequenza è moltiplicato per un fattore di scala pari a
τ/Tc e pertanto, nel caso si impieghino impulsi rettangolari troppo stretti, si potrebbe ridurre a
valori troppo bassi l’energia del segnale. Tenuto conto di tutti questi aspetti, la soluzione di
miglior compromesso, per produrre un segnale con un generatore programmabile, è quella di
impiegare una frequenza di campionamento fc abbastanza più grande di 2fM e inoltre di fare la
durata τ dell’impulso rettangolare pari al tempo Tc.
2 - Troncamento del segnale
Distorsione di leakage
L’analisi di Fourier è un metodo ben noto per ottenere informazioni sullo spettro di un
segnale e può essere impiegata anche su segnali campionati.
Tuttavia occorre soffermarci su alcuni aspetti particolari e mettere in evidenza alcune
considerazioni importanti.
Si è già visto che l’analisi di Fourier si applica formalmente a segnali di durata infinitamente
estesa e pertanto anche la sequenza dei campioni che rappresenta il segnale in forma discreta
dovrà essere teoricamente di lunghezza infinita.
Tale ipotesi non è realizzabile nella pratica, tuttavia può essere approssimata quando si tratti
di segnali di durata molto estesa rispetto all’intervallo di campionamento.
In generale, con riferimento a un processo di campionamento reale, la sequenza dei campioni
avrà necessariamente un inizio e una fine, e pertanto il numero dei campioni a disposizione
sarà in numero finito.
Per esaminare il problema è utile considerare il segnale di durata limitata come una porzione
del segnale generico s(t), prelevata attraverso una opportuna finestra temporale w(t), detta
anche finestra di troncamento o di osservazione window.
L’effetto del troncamento sul segnale si può rappresentare nel seguente modo:
s w (t ) = s(t ) ⋅ w(t )
(2.1)
La trasformata di Fourier del segnale troncato risulta dalla convoluzione degli spettri:
S w ( f ) = S ( f ) ∗W ( f )
(2.2)
La convoluzione della trasformata S(f) del segnale con la trasformata W(f) della finestra di
troncamento introduce un nuovo tipo di distorsione, detta di dispersione (leakage).
In pratica, se lo spettro del segnale originario S(f) contiene delle transizioni nette, ad esempio
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componenti armoniche impulsive come nel caso di un segnale periodico nel tempo, tali
transizioni vengono smussate e lo spettro del segnale periodico troncato si disperde in
frequenza, tanto più quanto più è stretta la finestra di troncamento.
Si consideri, per fissare le idee, un segnale sinusoidale s(t) di ampiezza A e frequenza f0.
Il suo spettro bilatero S(f) presenta due impulsi matematici di area A/2 alle frequenze ±f0:
s(t ) = A cos 2πf 0t ⇒ S ( f ) =
A
A
δ( f + f 0 ) + δ( f − f 0 )
2
2
(2.3)
La funzione coseno ha spettro di fase nullo, quindi S(f) è reale.
Supponiamo ora di troncare il segnale con una finestra rettangolare w(t) di durata Tw.
La trasformata di Fourier W(f) della finestra rettangolare è del tipo sin(x)/x:
w(t ) = 1 ⋅ rectTw (t ) ⇒ W ( f ) = 1 ⋅ Tw
sin πfTw
πfTw
(2.4)
Pertanto, lo spettro del segnale sinusoidale troncato è dato dalla convoluzione dei due spettri:
A
⎛A
⎞
S w ( f ) = W ( f ) ∗ S ( f ) = W ( f ) ∗ ⎜ δ( f + f 0 ) + δ( f − f 0 ) ⎟ =
2
⎝2
⎠
A
A
= W ( f + f0 ) + W ( f − f0 )
2
2
(2.5)
e produce l’effetto rappresentato in Fig.2.1.
L’entità della dispersione in frequenza dell’impulso matematico originario dipende dalla
durata Tw della finestra di osservazione e dal suo andamento temporale. In particolare
l’andamento nel tempo della finestra di troncamento w(t) determina l’ampiezza dei lobi
laterali della dispersione e risulta quindi direttamente responsabile della accuratezza con cui
viene stimato lo spettro del segnale troncato.
Sotto questo aspetto, concreti vantaggi possono essere ottenuti utilizzando finestre temporali
non rettangolari, ma con transizione più graduale delle estremità (smoothing windows), per
esempio con il profilo punteggiato in Fig.2.1. Le finestre temporali con le estremità non
brusche, sono infatti caratterizzate da spettri con lobi laterali e code meno pronunciati.
Fig.2.1 - Dispersione dello spettro per un segnale sinusoidale troncato.
Segnale campionato e troncato
Si consideri ora il campionamento di un segnale troncato, osservato attraverso la finestra
rettangolare w(t) di durata Tw = NTc, essendo N il numero di impulsi considerati e Tc
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8 - Analisi dei segnali campionati
l’intervallo di campionamento.
In tale ipotesi il segnale campionato e troncato sarà individuato dagli N campioni:
s (iTc )
(i = 0, 1, 2, ..., N − 1)
(2.6)
e può essere analiticamente rappresentato nella forma (vedi Fig.2.2):
N −1
sc ,w (t ) = ∑ s (iTc ) δ(t − iTc )
(2.7)
i =0
La trasformata di Fourier della sequenza di campioni risulta, applicando la proprietà di
traslazione nel tempo:
N −1
S c ,w ( f ) = ∑ s (iTc ) e − j 2 π f iTc
(2.8)
i =0
Questa espressione costituisce un altro modo di rappresentare lo spettro a repliche di un segnale
campionato. Tale spettro può essere inteso come una serie di funzioni esponenziali, nel dominio
della frequenza, pesate con le ampiezze dei vari campioni.
Si osserva che lo spettro del segnale campionato e troncato risulta ancora una funzione
continua nella frequenza (vedi Fig.2.2), formata da repliche dello spettro in banda base.
Tuttavia a causa del troncamento del segnale nel tempo, sarà in generale presente nello spettro
in banda base una distorsione più o meno pronunciata di leakage.
In conseguenza di questo fatto nascerà anche una distorsione di aliasing nel replicare lo
spettro. Si vedano in Fig.2.2 le code delle repliche in Sc,w(f).
Fig.2.2 - Segnale campionato e troncato.
3 - Analisi per segnali periodici campionati e troncati
Trasformata discreta di Fourier (DFT)
Dal punto di vista della conoscenza dell’informazione sullo spettro di un segnale campionato
e troncato (quindi caratterizzato da N numeri) sarebbe strettamente sufficiente conoscere
l’andamento dello spettro solo nell’intervallo di ripetizione in frequenza (0 ÷ fc).
La trasformata discreta di Fourier (Discrete Fourier Transform, DFT) consente di valutare il
contenuto armonico in tale intervallo mediante un numero N di componenti discrete.
Il passaggio a una rappresentazione discreta dello spettro risulta concettualmente semplice,
osservando che la sequenza finita di N campioni nel tempo può essere considerata
appartenente a una successione di sequenze di periodo Tw = NTc che si ripetono
indefinitamente dando luogo a un segnale periodico sc,p(t) con frequenza fw = 1/Tw (Fig.3.1).
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Fig.3.1 - Corrispondenza fra sequenze nel tempo e nella frequenza.
Lo spettro Sc,p(f) della sequenza di campioni replicata nel tempo con periodo Tw, risulta allora
uno spettro a righe, spaziate di fw = 1/Tw.
In definitiva, la ripetizione dello spettro in frequenza dipende dal campionamento nel tempo,
così come il campionamento in frequenza è dovuto alla periodicità del segnale nel tempo.
Il legame di trasformazione fra i campioni nel tempo si = s(iTc) e i campioni in frequenza Sk =
S(kfw) è dato dalla trasformata discreta diretta e inversa di Fourier.
Definizioni della DFT
Poiché le trasformazioni discrete di Fourier (diretta e inversa) coinvolgono solo campioni (sia
nel dominio del tempo che della frequenza) vengono definite in forma normalizzata rispetto a
variabili indipendenti di tipo adimensionale: pertanto la variabile “tempo” diventa l’indice i,
mentre la variabile “frequenza” diventa l’indice k.
Ricordando l’espressione della trasformata di Fourier di un segnale campionato e troncato, se
valutiamo tale trasformata per f = kfw (cioè a frequenze multiple di fw = fc/N) si ottiene la
definizione della DFT:
Sc, w ( f ) =
Sk =
N −1
∑ s(iTc ) e − j 2π f iT
c
i =0
N −1
∑ s(iTc ) e
i =0
− j 2 π ( k f w )( i Tc )
valutata per f = kf w , diventa :
=
N −1
∑ s(iTc ) e
i =0
−j
2π
ki
N
f ⎞
⎛
⎜ con f w = c ⎟
N⎠
⎝
(3.1)
In pratica, di tutte le possibili componenti armoniche di ordine k, solo le prime N/2 sono
significative e portano informazione. Le successive N/2 armoniche sono speculari (complesse
e coniugate) rispetto alla frequenza fc/2 (detta frequenza di folding o di ripiegamento).
Spesso si definisce, per comodità, l’operatore:
W =e
j
2π
N
(3.2)
Quindi la trasformata discreta di Fourier (DFT) risulta, in forma compatta:
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10 - Analisi dei segnali campionati
N −1
S k = ∑ si W − k i
(k = 0, 1, 2, ... N − 1)
(3.3)
i =0
In modo analogo viene definita la trasformata inversa (IDFT):
si =
1
N
N −1
∑S
k =0
k
W ki
(i = 0, 1, 2, ... N − 1)
(3.4)
Si osservi infine che taluni Autori adottano altre definizioni per la trasformazione diretta e
inversa, per esempio scambiando il segno “meno” all’esponente di W, oppure scambiando il
fattore 1/N, fra le due definizioni. Ciò non cambia il senso della trasformazione.
Utilizzando la tipica struttura di queste relazioni sono stati messi a punto algoritmi efficienti
per il calcolo veloce delle diverse componenti armoniche tramite DFT.
Qualora il numero di campioni risulti una potenza di due, gli algoritmi FFT (Fast Fourier
Transform) risultano particolarmente utili e sono ormai consolidati nell’analisi armonica dei
segnali tramite elaboratore o microprocessori dedicati.
DFT di segnali periodici
I segnali periodici sono di particolare interesse pratico.
In tali casi, l’analisi armonica mediante DFT richiede una certa cautela, soprattutto in
relazione alla scelta della finestra di troncamento Tw e al fatto che la frequenza di
campionamento fc sia o meno sincronizzata con la frequenza fondamentale f0 del segnale da
analizzare.
Per comprendere tali aspetti, si consideri, come esempio, un semplice segnale sinusoidale di
frequenza f0 e supponiamo che venga campionato alla frequenza fc sufficiente a garantire il
rispetto del teorema del campionamento (fc maggiore almeno del doppio di f0).
Un esempio da seguire
Per fissare le idee, riferiamoci alla Fig.3.2 e osserviamo che:
• La finesta di osservazione Tw risulterà dal numero N di campioni che saranno prelevati
ogni Tc secondi: Tw = NTc.
• La finestra di osservazione Tw conterrà un certo numero m di periodi T0 del segnale
periodico da analizzare: Tw = mT0, con m che può essere intero oppure frazionario.
• La frequenza di campionamento risulta: fc = 1/Tc = N/Tw = N/(mT0) = Nfw = Nf0/m.
In particolare, nell’esempio di Fig.3.2 si ha:
N = 24 campioni; m = 6 e pertanto Tw = mT0 = 6T0. Dunque fc = 24fw = (24/6)f0 = 4f0.
Fig.3.2 - Spettro di una sinusoide campionata e troncata: Tw = 6T0 e T0 = 4Tc.
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La finestra di osservazione contiene un numero intero di periodi del segnale da analizzare.
In tal caso, ripetere la finestra di osservazione Tw indefinitamente nel tempo, significa
riprodurre in forma esatta la funzione periodica.
E infatti il calcolo della DFT per le diverse componenti kfw fornisce componenti tutte nulle
tranne proprio l’unica componente armonica effettivamente presente alla frequenza f0 = 6fw,
come rappresentato nello spettro di Fig.3.2.
Un esempio meno corretto
Si consideri ora un secondo esempio, rappresentato in Fig.3.3, dove la finestra di osservazione
Tw non risulta un multiplo intero m del periodo T0 e supponiamo Tw = mT0 = 6,5T0.
Assumiamo che la durata di osservazione Tw sia uguale nei due casi e supponiamo che nel
tempo Tw si prelevino ancora N = 24 campioni, dunque anche la frequenza di campionamento
è la stessa: fc = 24fw = (24/6,5)f0 = 3,692f0.
Allora, l’unico il parametro che distingue i due esempi è la frequenza f0 del segnale da
analizzare. In particolare nel primo caso è f0 = fc/4, mentre nel secondo caso è f0 = fc/3,692.
Fig.3.3 - Spettro di una sinusoide campionata e troncata: Tw = 6,5T0 e T0 = (24/6,5)Tc.
In questo secondo esempio, la trasformata di Fourier del segnale campionato e troncato e il
calcolo della DFT in corrispondenza degli step fw = 1/Tw nel dominio della frequenza porta a
considerare valori che si trovano sui fianchi delle funzioni sinc è non più in corrispondenza
dei suoi zeri e del lobo principale.
In pratica, con le ipotesi fatte, risulta che la frequenza di campionamento fc è uguale a quella
del caso precedente, ma è cambiato il suo rapporto con la frequenza f0 del segnale sinusoidale.
La finestra di osservazione contiene 6,5 periodi T0 del segnale. In questo caso, la ripetizione
nel tempo del segnale campionato e troncato non riprodurrà esattamente la funzione periodica
originaria, con una conseguente distorsione nello spettro.
Questo fatto trova riscontro nella DFT, che evidenzierà, in tal caso, componenti armoniche
non presenti nello spettro del segnale periodico originario, come si vede in Fig.3.3.
Conclusione
Per concludere l’analisi di questi esempi, si consideri infine la Fig.3.4.
La finestra di osservazione ha ancora durata Tw mentre vengono prelevati più campioni: N =
26 campioni. In tal caso, la frequenza di campionamento è fc = 26fw = (26/6,5)f0 = 4f0.
La frequenza di campionamento è ora un multiplo intero della frequenza del segnale, ma le
cose non cambiano, con riferimento alla dispersione delle righe spettrali, come si osserva
nella Fig.3.4. Infatti, per riprodurre correttamente lo spettro, è necessario che la finestra di
osservazione Tw sia un multiplo intero del periodo T0 del segnale.
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12 - Analisi dei segnali campionati
Fig.3.4 - Spettro di una sinusoide campionata e troncata: Tw = 6,5T0 e T0 = (26/6,5)Tc.
Dall’esame dei semplici casi riportati, si conclude che, per una corretta analisi armonica di
segnali periodici mediante DFT, riveste particolare importanza la scelta della finestra di
troncamento e il fatto che la frequenza di campionamento sia sincronizzata con la frequenza
fondamentale del segnale da analizzare, in modo da campionare un numero intero di periodi.
Qualora non si riesca a rendere la finestra di osservazione esattamente multipla del periodo
del segnale, un modo per limitare l’inconveniente può essere quello di impiegare finestre
molto ampie rispetto al periodo della fondamentale e soprattutto del tipo con transizione
graduale delle estremità (smoothing windows).
Per concludere, occorre ancora ricordare che:
• Il concetto di armoniche si riferisce a condizioni di regime; quindi il segnale deve essere
stazionario, per ottenere risultati accurati nell’uso della DFT.
• La forma d’onda non deve contenere frequenze interarmoniche, cioè componenti con
frequenze che non sono multipli interi della frequenza fondamentale.
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