LA STORIA DI MATEMATICA B Dalla misura del tempo alla

LA STORIA DI MATEMATICA B
Dalla misura del tempo alla comprensione della nostra posizione nell'universo, dalla mappatura della Terra per navigare
i mari, dalle prime invenzioni dell'uomo alle tecnologie avanzate di oggi, la matematica è stata il perno su cui la vita
umana dipende.
I primi passi del cammino dell'uomo nella matematica sono state presi dalle culture antiche d'Egitto, della Mesopotamia
e della Grecia - culture che ha creato il linguaggio di base del numero e del calcolo. Ma quando la Grecia antica cadde
in declino, il progresso matematico subì una battuta d'arresto.
Ma questo accadeva in Occidente. In Oriente, la matematica avrebbe raggiunto dinamicamemte nuove vette.
Ma in Occidente, gran parte di questo patrimonio matematico è stato opportunamente dimenticato o nascosto dalla
vista. Un dovuto credito non è stato dato ai grandi successi matematici che alla fine hanno cambiato il mondo in cui
viviamo. Questa è la storia non raccontata della matematica d'Oriente che avrebbe trasformato l'Occidente e dare vita al
mondo moderno.
La Grande Muraglia cinese si estende per migliaia di chilometri. Da quasi 2000 anni dalla costruzione, questo vasto
muro difensivo fu iniziato nel 220BC per proteggere l'impero in espansione della Cina.
La Grande Muraglia della Cina è una straordinaria impresa di ingegneria costruita su una campagna aspra e alta. Non
appena iniziato a costruirla, gli antichi cinesi si resero conto che dovevano fare calcoli su distanze, su angoli di
elevazione e le quantità di materiale. Quindi non è sorprendente che questo ha ispirato alcuni matematici molto
intelligenti per aiutare a costruire Cina imperiale.
Nel cuore dell'antica matematica cinese vi è stato un sistema numerico incredibilmente semplice che ha gettato le basi
per il nostro modo di contare oggi in Occidente.
Quando un matematico hanno avuto il bisogno di fare una somma, avrebbero usato canne in bamboo di piccole
dimensioni. Queste aste sono state organizzate per rappresentare i numeri da uno a nove.
Sono stati poi inseriti in colonne, ciascuna colonna rappresentano le unità, decine, centinaia, migliaia e così via. Così il
numero 924 è stata rappresentato mettendo il simbolo 4 nella colonna delle unità, il simbolo 2 nella colonna delle
decine e il simbolo 9 nella colonna delle centinaia.
Questo è ciò che noi chiamiamo un sistema decimale posizionale, ed è molto simile a quello che usiamo oggi. Anche
noi usiamo i numeri da uno a nove, e usiamo la loro posizione per indicare che si tratti di unità, decine, centinaia o
migliaia. Ma il potere di queste bacchette è che rende i calcoli molto veloci. In realtà, il modo in cui gli antichi cinesi
hanno condotto i loro calcoli è molto simile al modo in cui li abbiamo imparato oggi a scuola.
Non solo sono stati gli antichi cinesi ad essere i primi ad utilizzare un sistema decimale posizionale, ma lo hanno fatto
più di 1.000 anni prima che l'abbiamo adottata in Occidente. Ma hanno solo usato per il calcolo con le bacchette.
Quando si scrivono i numeri, gli antichi cinesi non hanno utilizzato il sistema posizionale.
Invece, hanno usato un metodo molto più laborioso, in cui simboli speciali stavano per decine, centinaia, migliaia e così
via. Così il numero 924 sarebbe stato scritto come novecento, due decine e quattro. Non proprio così efficiente.
Il problema era che gli antichi cinesi non hanno un concetto di zero. Non avevano un simbolo per lo zero.
Semplicemente non esisteva come un numero. Utilizzando le bacchette per contare, avrebbero usato uno spazio bianco
dove oggi ci avrebbe scritto uno zero. Il problema è venuto con il tentativo di scrivere questo numero, per cui hanno
dovuto creare questi nuovi simboli per decine, centinaia e migliaia. Senza uno zero, la scrittura dei numeri era
estremamente limitata.
Ma l'assenza di zero non ha impedito agli antichi cinesi di fare giganteschi passi matematica. In effetti, c'è stato un
fascino diffuso dei numeri nella Cina antica. Secondo la leggenda, il primo sovrano della Cina, l'Imperatore Giallo,
aveva una delle sue divinità creatrice della matematica nel 2800BC, credendo che il numero ha un significato cosmico.
E fino ad oggi, i cinesi credono ancora nel potere mistico dei numeri.
I numeri dispari sono visti come maschile, i numeri pari come femminile. Il numero quattro è da evitare a tutti i costi. Il
numero otto porta fortuna. E gli antichi cinesi hanno elaborati modelli con numeri, sviluppando una propria versione
piuttosto precoce del sudoku. È stato chiamato il quadrato magico.
La leggenda narra che migliaia di anni fa, l'imperatore Yu è stato visitato da una tartaruga sacra che è venuta dalle
profondità del Fiume Giallo. Sulla sua schiena sono stati i numeri disposti in un quadrato magico, un pò come questo.
In questa piazza, che è stato considerato un grande significato religioso, tutti i numeri in ogni riga - orizzontale,
verticale e diagonale – tutti sommati danno lo stesso numero - 15. Ora, il quadrato magico può essere non altro che un
puzzle divertente, ma dimostra il fascino antico cinese con i modelli matematici, e non è passato troppo tempo prima di
aver creato quadrati magici ancora più grandi con ancora maggiori magici e matematici poteri.
Ma la matematica ha avuto un ruolo fondamentale nella gestione della corte dell'imperatore. Il calendario e il
movimento dei pianeti sono stati di estrema importanza per l'imperatore, influenzando tutte le sue decisioni, anche per
il modo in cui era prevista la sua giornata, così gli astronomi divennero membri pregiati della corte imperiale, e gli
astronomi sono stati sempre matematici.
Tutto nella vita dell'imperatore era governata dal calendario, e svolgeva i suoi affari con precisione matematica.
L'imperatore anche ebbe i suoi consiglieri matematici per elaborare un sistema per aiutarlo a dormire nel suo cammino
attraverso il vasto numero di donne che aveva nel suo harem. Per non perdere un colpo, i consiglieri matematici hanno
deciso di basare l'harem su un'idea matematica chiamata una progressione geometrica. La matematica non ha mai avuto
un tale frivolo scopo!
La leggenda narra che nel giro di 15 notti, l'imperatore doveva dormire con 121 donne …
...l'imperatrice, tre consorti anziane, nove mogli, 27 concubine e 81 schiave. I matematici si sarebbero presto reso conto
che questa era una progressione geometrica - una serie di numeri che ottiene da un numero all'altro con la
moltiplicazione con uno stesso numero di volta in volta - in questo caso, tre.
Ogni gruppo di donne è tre volte più grande del gruppo precedente, così i matematici potrebbe rapidamente redigere una
rotazione per garantire che, nel giro di 15 notti, l'imperatore a letto con tutte le donne dell'harem.
La prima notte è stata riservata per l'Imperatrice. La successiva era con le tre consorti anziane. Le nove mogli
venivano dopo, e poi 27 concubine erano scelte a rotazione, nove ogni notte. E poi finalmente, in un periodo di nove
notti, le 81 schiave erano trattate in gruppi di nove.
Era richiesta all'imperatore certamente capacità di resistenza, un po 'come essere un matematico, ma l'oggetto è chiaro per procurarsi la migliore successione imperiale possibile. La rotazione assicurava che l'imperatore dormiva con le
donne di più alto rango più vicino alla Luna piena, quando il loro yin, la loro forza femminile, sarebbe stata al suo più
apice e di essere in grado di eguagliare il suo yang, o la forza maschile.
La corte dell'imperatore non era la sola alla dipendenza della matematica. È stata fondamentale per il funzionamento
dello Stato. La Cina antica era un impero vasto e in crescita con un severo codice giuridico,un sistema fiscale diffuso e
un sistema standardizzato di pesi, misure e denaro.
L'impero aveva bisogno di un servizio altamente qualificato civile, competente in matematica. E per educare questi
funzionari è stato un libro di testo matematico, scritto probabilmente nel giro 200BC - I nove capitoli. Il libro è una
raccolta di 246 problemi in settori pratici come il commercio, il pagamento dei salari e delle tasse. E al centro di questi
problemi si trova uno dei temi centrali della matematica, come risolvere le equazioni.
Le equazioni sono un pò come dei cruciverba criptici. Avete una certa quantità di informazioni su alcuni numeri
sconosciuti, e da quelle informazioni dovete dedurre ciò che sono i numeri sconosciuti. Ad esempio, con i miei pesi e
bilance, ho scoperto che una prugna ... .. insieme a tre pesche pesa un totale di 15 grammi. Ma ... .. due prugne insieme
con una pesca pesa per un totale di 10g. Da queste informazioni, posso dedurre ciò che una prugna singola pesa e una
pesca pesa da sola, e questo è come lo faccio. Se prendo la prima pesata, una prugna e tre le pesche pesano 15g, e
raddoppiandole, ottengo due prugne e sei pesche che pesano 30g. Se prendo queste e sottraggo esse dalla seconda
pesata – cioè due prugne e una pesca che pesano 10g - rimango con un risultato interessante - non prugne. Dopo aver
eliminato le prugne, ho scoperto che cinque pesche pesano 20g, quindi una pesca pesa solo 4g, e da questo posso
dedurre che la prugna pesa 3g.
Gli antichi cinesi hanno applicato metodi simili a numeri sempre più grandi di incognite, utilizzandoli per risolvere le
equazioni sempre più complicate.
Cosa c'è di straordinario è che questo particolare sistema di soluzione di equazioni non appare in Occidente fino
all'inizio del 19° secolo. Nel 1809, mentre analizzava una roccia chiamata Pallade nella fascia degli asteroidi, Carl
Friedrich Gauss, che sarebbe diventato noto come il principe della matematica, ha riscoperto questo metodo, che era
stato formulato nella Cina antica secoli precedenti. Ancora una volta, l'antica la Cina erano avanti rispetto all'Europa.
Ma i cinesi sono andati avanti nel risolvere le equazioni ancora più complicate che coinvolgono numeri molto più
grandi. In quello che è diventato noto come il teorema cinese del resto, i cinesi arrivarono ad un nuovo tipo di problema.
In questo, sappiamo il numero di resto quando il numero sconosciuto dell'equazione è divioa con un certo numero diciamo, tre, cinque o sette.
Naturalmente, questo è un problema abbastanza matematico astratto, ma gli antichi cinesi ancora lo hanno formulato in
termini pratici.
Così una donna nel mercato ha un vassoio di uova, ma lei non sa quante uova ci sono. Quello che sa è che se li
organizza in gruppi di tre, ha un uovo rimasto. Se li organizza in cinque, lei ottiene due uova rimaste . Ma se li dispone
in file di sette, scopre che aveva lasciato tre uova. Gli antichi cinesi trovato un modo sistematico per calcolare che il
minor numero di uova che avrebbe potuto avere nel vassoio è di 52. Ma la cosa più sorprendente è che si può catturare
un così gran numero, come 52, utilizzando questi piccoli numeri come tre, cinque e sette. Questo modo di guardare ai
numeri sarebbe diventato un tema dominante nel corso degli ultimi due secoli.
Con il sesto secolo dC, il teorema cinese del resto è stato utilizzato in astronomia cinese per misurare il movimento
planetario. Ma oggi ha ancora usi pratici. La crittografia di internet codifica i numeri utilizzando la matematica che ha le
sue origini nel teorema cinese del resto.
Dal 13 ° secolo, la matematica ha da tempo stabilito un curriculo con oltre 30 scuole di matematica sparse in tutto il
paese. L'età d'oro della matematica cinese era arrivata. E il suo più importante matematico era chiamato Qin Jiushao. La
leggenda narra che Qin Jiushao era qualcosa come un mascalzone. Era un fantasticamente amministratore corrotto
imperiale che ha attraversato la Cina, barcollando da un posto all'altro.
Ripetutamente licenziato per essersi appropriato di denaro del governo, egli avvelenava chiunque che si era posto nella
sua strada.
Qin Jiushao è stato descritto secondo l'opinione generale un violento come una tigre o un lupo e velenoso come uno
scorpione o una vipera così, non sorprendentemente, ciò ha fatto di lui un guerriero feroce. Per dieci anni, ha
combattuto contro gli invasori Mongoli, ma per gran parte di quel tempo egli si lamentava che la sua vita militare lo ha
portato lontano dalla sua vera passione. No, non la corruzione, ma la matematica.
Qin iniziato a cercare di risolvere le equazioni che sono ventute fuori nel cercare di misurare il mondo che ci circonda.
Equazioni di secondo grado che coinvolgono numeri sono elevate al quadrato, o per la potenza di due - diciamo, cinque
volte cinque. L'antica Mesopotamia aveva già capito che queste equazioni erano perfette per la misurazione, di forme
piatte bidimensionali, come la piazza Tiananmen.
Ma Qin era interessato più complesse equazioni - equazioni cubiche. Queste comprendono i numeri che sono elevati al
cubo, o alla potenza di tre - per esempio, cinque volte cinque volte cinque, ed erano perfette per catturare forme
tridimensionali, come il mauSoleo del presidente Mao. Qin ha trovato un modo di risolvere equazioni cubiche, e questo
è come ha operato.
Diciamo che Qin vuole conoscere le dimensioni esatte del maus
oleo del presidente Mao. Egli conosce il volume
dell'edificio e le relazioni tra le dimensioni. Al fine di ottenere la sua risposta, Qin usa ciò che sa per produrre
un'equazione cubica. Fa quindi un'ipotesi plausibile alle dimensioni. Anche se ha catturato una buona percentuale del
mauSoleo, ci sono ancora pezzi rimasti. Qin prende questi bit e crea una nuova equazione cubica. Ora può affinare la
sua prima ipotesi, cercando di trovare una soluzione a questa nuova equazione cubica, e così via. Ogni volta che fa
questo, i pezzi che ha lasciato sono sempre più piccoli ed i suoi tentativi vanno di bene in meglio.
Quello che colpisce è che il metodo Qin per risolvere equazioni non è stato scoperto in Occidente fino al 17 ° secolo,
quando Isaac Newton si avvicinò con un metodo di approssimazione molto simile.
La potenza di questa tecnica è che può essere applicato a più complesse equazioni. Qin anche usato le sue tecniche per
risolvere un'equazione che coinvolge numeri fino alla potenza di dieci. Questa era una cosa straordinaria – di
matematica altamente complessa.
Qin potrebbe essere stato avanti rispetto il suo tempo, ma c'era un problema con la sua tecnica. E solo gli ha dato una
soluzione approssimata. Questo potrebbe essere abbastanza buono per un ingegnere - non per un matematico. La
matematica è una scienza esatta. Ci piacciono le cose precise, e Qin non riusciva a trovare una formula che gli dava
una soluzione esatta di queste equazioni complicate.
La Cina ha fatto grandi balzi matematica, ma le prossime grandi conquiste matematiche dovevano accadere in un paese
che si trova a sud-ovest della Cina - un paese che aveva una ricca tradizione matematica che avrebbe cambiato il volto
della matematica per sempre.
L' India è il primo grande dono matematico posto nel mondo del numero. Come i cinesi, gli Indiani avevano scoperto i
benefici matematici del sistema decimale posizionale e lo usavano dalla metà del 3° secolo dC.
E 'stato suggerito che gli Indiani imparato il sistema da commercianti cinesi che viaggiano in India con le loro canne per
il conteggio, o loro possono solo essersi imbattuti con loro stessi. È successo tutto così tanto tempo fa, che è avvolto nel
mistero. Non sapremo mai come gli Indiani arrivarono al loro sistema di numerico, ma sappiamo che essi lo hanno
raffinato e perfezionato, creando l'antenato delle nove cifre utilizzato in tutto il mondo ora. Molti collocano il sistema
Indiano di numerazione come una delle più grandi innovazioni intellettuali di tutti i tempi, sviluppando qualcosa vicino
a quello che che potremmo definire un linguaggio universale.
Ma c'era un numero mancante, ed erano gli Indiani che lo introdussero al mondo. La prima registrazione nota di questo
numero risale al 9° secolo, anche se era probabilmente in uso pratico per secoli prima. Questa strana nuova cifra è incisa
sulla parete del piccolo tempio nel forte di Gwalior, nel centro dell'India.
Quindi, qui siamo in uno dei luoghi sacri del mondo matematico, e quello che sto cercando è in questa iscrizione sul
muro. Fino qui ci sono alcuni numeri e ... ecco il nuovo numero. È lo zero. È sorprendente pensare che prima che gli
Indiani lo hanno inventato, non c'era il numero zero. Per gli antichi Greci, semplicemente non esisteva. Per gli Egizi, i
Mesopotamici e, come abbiamo visto, i Cinesi, lo zero era stato in uso, ma come un segnaposto, uno spazio vuoto per
mostrare uno zero all'interno di un numero.
Gli Indiani hanno trasformato lo zero da un semplice segnaposto in un numero che aveva un senso in sé - un numero per
il calcolo, per le indagini. Questo brillante salto concettuale avrebbe rivoluzionato la matematica.
Ora, con appena dieci cifre - da zero a nove – è stato improvvisamente possibile catturare numeri astronomicamente
grandi in un modo incredibilmente efficiente.
Ma perché gli Indiani fecero questo salto fantasioso? Beh, non lo sapremo mai con certezza, ma è possibile che l'idea e
il simbolo che gli Indiani utilizzano per lo zero è venuto dai calcoli che hanno fatto con le pietre sulla sabbia. Quando le
pietre sono state rimosse dal calcolo, è stato lasciato un piccolo foro rotondo al suo posto, che rappresenta il movimento
da qualcosa alla mancanza di qualcosa.
Ma forse c'è anche un motivo culturale per l'invenzione dello zero.
SONO SOFFIATE CORNA E BATTUTI TAMBURI METALLICI
Per gli antichi Indiani, i concetti di nulla ed eternità sono posti nel cuore del loro sistema di credenze.
UNA CAMPANA SUONA E CALA IL SILENZIO.
Nelle religioni dell'India, l'universo è nato dal nulla, e il nulla è il fine ultimo dell'umanità. Quindi non sorprende che
una cultura che con tanto entusiasmo ha abbracciato il vuoto dovrebbe essere felice con il concetto di zero.
Gli Indiani anche usato la parola per l'idea filosofica del shunya vuoto, a rappresentare il nuovo termine matematico
"zero".
Nel 7° secolo, il brillante matematico indiano Brahmagupta ha dimostrato alcune delle proprietà essenziali dello zero.
Le regole sul calcolo con zero di Brahmagupta vengono insegnate nelle scuole di tutto il mondo in questi giorni. Uno
più zero è uguale a uno. Meno uno zero è uguale a uno. Una volte zero è uguale a zero.
Ma Brahmagupta fece fiasco quando provò a fare uno diviso per zero. Dopo tutto, quale numero per zero è uguale a
uno? Sarebbe necessario un nuovo concetto matematico, quello di infinito, per dare un senso alla divisione per zero, e la
svolta è stata fatta da un matematico indiano del 12 ° secolo chiamato Bhaskara II, e funziona così. Se prendo un frutto
e lo divido in due metà, ho due pezzi, e così uno diviso a metà da due. Se lo divido in tre parti, ho tre pezzi. Così,
quando lo divido in frazioni più piccole, ho sempre più pezzi, così alla fine, quando lo divido con un pezzo che è di
dimensioni pari a zero, avrò pezzi infiniti. Così per Bhaskara, uno diviso per zero è infinito.
Ma gli Indiani sarebbero andati ulteriormente avanti nei loro calcoli con zero. Ad esempio, se si toglie tre da tre e si
arriva a zero, cosa succede quando si toglie quattro da tre? Sembra che tu non hai nulla, ma gli Indiani hanno
riconosciuto che questo era un nuovo tipo di nulla – i numeri negativi. Gli Indiani li chiamava "i debiti", perché hanno
risolto le equazioni del tipo: "Se ho tre lotti di materiale e ne prendo quattro via quanti ne ho lasciato?"
Questo può sembrare strano e poco pratico, ma era la bellezza della matematica indiana. La loro capacità di arrivare ai
numeri negativi e allo zero è perché pensavano ai numeri come entità astratte. Non erano solo per contare e misurare i
pezzi di stoffa. Avevano una vita propria, lievitando liberamente nel mondo reale. Ciò ha portato ad un'esplosione di
idee matematiche.
L'approccio astratto della matematica indiana presto rivelato un nuovo lato del problema di come risolvere equazioni
di secondo grado. Cioè equazioni che comprendono numeri alla potenza di due. La comprensione di Brahmagupta dei
numeri negativi gli ha permesso di vedere che le equazioni di secondo grado hanno sempre due soluzioni, una delle
quali potrebbe essere negativa.
Brahmagupta andò anche oltre, risolvendo le equazioni di secondo grado con due incognite, una questione che non
sarebbe considerata in Occidente fino al 1657, quando il francese matematico Fermat ha sfidato i suoi colleghi con lo
stesso problema. Non sapeva che erano stati battuti per una soluzione da Brahmagupta 1000 anni prima.
Brahmagupta stava cominciando a trovare il modo astratto di risolvere equazioni, ma sorprendentemente, egli ha anche
sviluppato un nuovo linguaggio matematico per esprimere tale astrazione. Brahmagupta stava sperimentando modi di
scrivere le sue equazioni, utilizzando le iniziali dei nomi dei diversi colori per rappresentare le incognite nelle sue
equazioni.
Un nuovo linguaggio matematico veniva alla vita, che avrebbe infine portato alla X e Y che riempiono riviste
matematiche di oggi.
Ma non era la sola nuova notazione che era in fase di sviluppo. Matematici Indiani erano responsabili nella creazione di
nuove scoperte fondamentali nella teoria della trigonometria. Il potere della trigonometria è che agisce come un
dizionario, tradurre in numeri la geometria e viceversa. Anche se inizialmente sviluppato dai Greci antichi, era nelle
mani dei matematici Indiani che il soggetto ha veramente fiorito. Al suo centro si trova lo studio dei triangoli rettangoli.
In trigonometria, è possibile utilizzare questo angolo qui per trovare il rapporto del lato opposto al lato più lungo. C'è
una funzione chiamata la funzione seno che, quando tu immetti l'angolo, in uscita hai il rapporto. Così, per esempio in
questo triangolo, l'angolo è di circa 30 gradi, così l'output della funzione seno è un rapporto di 1 su 2, il che mi dice che
questo lato è metà della lunghezza del lato più lungo.
La funzione seno permette di calcolare le distanze quando non sei in grado di fare una misurazione accurata. Fino
allora, è stata usata in architettura e ingegneria. Gli Indiani la hanno usata per rilevare la Terra intorno a loro, navigare i
mari e, in definitiva, tracciare la profondità dello spazio stesso. È stato al centro del lavoro di osservatori, come questo a
Delhi, dove gli astronomi avrebbero studiato le stelle.
Gli astronomi indiani potrebbero aver usato la trigonometria per calcolare la distanza relativa tra la Terra e la Luna e la
Terra e il Sole. È possibile solo effettuare il calcolo quando la Luna è piena a metà, perché in quel momento che è
proprio di fronte al Sole, in modo che il Sole, la Luna e la Terra creano un triangolo rettangolo.
Ora, gli Indiani avrebbero potuto misurare che l'angolo tra il Sole e l'osservatorio è stato 1/7 di grado. La funzione seno
di un settimo di grado mi dà un rapporto di 400:1.
Questo significa che il Sole è 400 volte più lontano dalla Terra che dalla Luna. Quindi, utilizzando la trigonometria, i
matematici Indiani potevano esplorare il sistema solare, senza mai dover lasciare la superficie della Terra.
Gli antichi greci erano stati i primi ad esplorare la funzione seno, elencando valori precisi per alcuni angoli, ma non
riuscivano a calcolare i seni di ogni angolo. Gli Indiani fecero molto di più, impegandosi in un compito immane. La
ricerca era di trovare un modo per calcolare la funzione seno per qualsiasi angolazione che si potrebbe prendere in
considerazione.
La svolta nella ricerca per la funzione seno di ogni angolo sarebbe stata fatta qui in Kerala nel sud dell'India. Nel 15°
secolo, questa parte del paese divenne sede di una delle scuole più brillanti di matematici che abbia mai operato. Il loro
capo si chiamava Madhava, e lui è stato quello che fece alcune straordinarie scoperte matematiche.
La chiave del successo Madhava è stato il concetto di infinito. Madhava scoprì che si potrebbero aggiungere
infinitamente molte cose con effetti drammatici. Culture precedenti erano state irritate da queste somme infinite, ma
Madhava era felice di giocare con loro. Per esempio, ecco qui come può essere costituita una con l'aggiunta di
infinitamente numerose frazioni.
Sto andando da zero a uno con la mia barca, ma posso dividere il mio viaggio in infinitamente numerose frazioni. Così
posso arrivare a metà, quindi posso navigare per un quarto, poi un ottavo, poi un sedicesimo, e così via. Più piccola è la
frazione in cui mi muovo, più vicino a sono a uno, ma io ci arrivo solo una volta che ho aggiunto infinite frazioni.
Fisicamente e filosoficamente, sembra piuttosto una sfida aggiungere infinitamente molte cose, ma il potere della
matematica è di dare un senso all'impossibile. Producendo un linguaggio per articolare e manipolare l'infinito, è
possibile dimostrare che, dopo un numero infinito di passi si raggiunge la destinazione.
Tali somme infinite sono chiamate serie infinita, e Madhava stava facendo un sacco di ricerca sul rapporto tra queste
serie e la trigonometria. In primo luogo, si rese conto che avrebbe potuto usare lo stesso principio di sommare un
numero infinito di frazioni per catturare uno dei numeri più importanti in matematica - pi-greco. Pi-greco è il rapporto
tra circonferenza del cerchio e il suo diametro. È un numero che appare in tutti i campi della matematica, ma è
particolarmente utile per gli ingegneri, perché qualsiasi misure che coinvolgono le curve richiedono pi-greco. Così, per
secoli, i matematici hanno ricercato un valore preciso per pi-greco.
Fu nel sesto secolo, in India, che il matematico Aryabhata ha dato una approssimazione molto accurata per pi-greco ovvero 3,1416. Ha voluto usare questo per fare una misura della circonferenza della Terra, e l'ha preso come 24835
miglia, che è incredibilmente a sole 70 miglia di distanza dal suo vero valore. Ma è stato nel Kerala nel 15° secolo che
Madhava si rese conto che poteva usare all'infinito per ottenere una formula esatta per pi-greco.
Con l'aggiunta e successivamente sottraendo diverse frazioni, Madhava potuto perfezionare in una formula esatta per pigreco.
In primo luogo, ha mosso quattro passi verso la linea del numero. Che lo ha portato lontano dal pi-greco. Così dopo ha
preso quattro terzi di un passo indietro. Ora era arrivato troppo lontano nella direzione opposta. Così è tornato a capo in
avanti di quattro quinti di un passo. Ogni volta, si alternavano quattro diviso per il numero dispari successivo. Egli
zigzagando su e giù per la linea del numero, sempre più vicino a pi-greco. Ha scoperto che se si ha attraversato tutti i
numeri dispari, infinitamente molti di loro, si arriverebbe a pi-greco esattamente.
Mi è stato insegnato all'università che questa formula per il pi-greco è stata scoperta dal matematico del 17° secolo
tedesco Leibniz, ma, sorprendentemente, in realtà è stato scoperto qui in Kerala due secoli prima da Madhava. Ha
continuato a usare lo stesso tipo di matematica per ottenere infinite espressioni della serie per la formula seno in
trigonometria. E la cosa bella è che è possibile utilizzare queste formule ora per calcolare il seno di un angolo con un
qualsiasi grado di precisione.
Sembra incredibile che gli Indiani hanno fatto queste scoperte secoli prima dei matematici occidentali. E la dice lunga
sul nostro atteggiamento in Occidente verso culture non occidentali, che abbiamo quasi sempre rivendicato le loro
scoperte come le nostre.
Ciò che è chiaro è che l'Occidente è stato molto lento a dare credito alle importanti scoperte fatte nel campo dalla
matematica non occidentale. Madhava non era il solo matematico a soffrire in questo modo. Appena l'Occidente è
entrato in contatto sempre più con l'Oriente durante i secoli 18 e 19, c'è stato un diffuso rigetto e denigrazione delle
culture che stavano colonizzando. Gli indigeni, si è ipotizzato, non potevano avere nulla di valore intellettuale da
offrire all'Occidente. È solo ora, all'inizio del 21° secolo, che la storia viene riscritta.
Ma la matematica orientale ha avuto un grande impatto in Europa, grazie allo sviluppo di una delle maggiori potenze
del mondo medievale.
Nel 7° secolo, un nuovo impero cominciò a diffondersi in tutto il Medio Oriente. Gli insegnamenti del Profeta
Maometto ha ispirato un vasto impero islamico e potente che ben presto si estendeva dall'India a est fin qui in Marocco
ad ovest.
E nel cuore di questo impero c'era una vibrante cultura intellettuale.
Una grande biblioteca e centro di studi è stata istituita a Baghdad. Chiamata la Casa della Sapienza, la sua diffusione
didattica in tutto l'impero islamico, raggiungendo scuole come questa qui a Fez. Le materie studiate includono
l'astronomia, la medicina, la chimica, la zoologia e la matematica.
Gli studiosi musulmani hanno raccolto e tradotto molti testi antichi, effettivamente conservandoli per i posteri. Infatti,
senza il loro intervento, non avremmo mai conosciuto le antiche culture di Egitto, Babilonia, Grecia e India. Ma gli
studiosi presso la Casa della Sapienza non si accontentavano semplicemente con la traduzione della matematica di altre
persone. Volevano creare una matematica di loro proprietà, per portare avanti il soggetto.
Tale curiosità intellettuale era attivamente incoraggiata nei primi secoli dell'impero islamico. Il Corano afferma
l'importanza della conoscenza. L'apprendimento è stato niente di meno che un obbligo di Dio.
In realtà, le esigenze di Islam richiedevano abilità matematiche. Il devoto aveva il bisogno di calcolare il tempo della
preghiera e la direzione della Mecca per pregare verso, e il divieto di raffigurare la forma umana ha fatto sì che hanno
dovuto usare molto più i modelli geometrici per coprire i loro edifici. Gli artisti musulmani hanno scoperto tutti i
diversi tipi di simmetria che si possono rappresentare su un muro a due dimensioni.
Il direttore della Casa della Saggezza di Baghdad era un erudito persiano chiamato Muhammad Al-Khwarizmi.
Al-Khwarizmi è stato un matematico eccezionale ed è stato responsabile per l'introduzione di due concetti matematici
chiave in Occidente. Al-Khwarizmi ha riconosciuto l'incredibile potenziale che i numeri Indù hanno per rivoluzionare la
matematica e le scienze. La sua opera per spiegare la potenza di questi numeri per accelerare i calcoli e di fare calcoli
pratici era così influente che non passò molto tempo prima della loro adozione, come scelta dei numeri tra i matematici
del mondo islamico. In realtà, questi numeri sono ormai noti come le cifre indo-arabe. Questi numeri - uno a nove e
zero - sono quelli che usiamo oggi in tutto il mondo.
Ma Al-Khwarizmi ha creato un nuovo linguaggio matematico. È stato chiamato algebra e prende il nome dal titolo del
suo libro Al-Jabr W'al-muqabala, o Calcoli da ripristino o riduzione.
Algebra è la grammatica che sottende il modo in cui i numeri lavorano. È un linguaggio che spiega i modelli che si
celano dietro il comportamento dei numeri. È un pò come un codice per l'esecuzione di un programma per computer. Il
codice funzionerà qualunque sia il numero che immetti nel programma.
Ad esempio, i matematici potrebbero aver scoperto che se si prende un numero e lo si eleva al quadrato, che è sempre
uno in più se si aveva preso i numeri di entrambi i lati e moltiplicato quelli insieme. Ad esempio, cinque volte cinque è
25, che è uno più di quattro per sei - 24. Sei per sei è sempre uno in più di cinque per sette e così via. Ma come si può
essere sicuri che questa regola funziona a prescindere numeri si prende? Per spiegare il motivo alla base di questi
calcoli, utilizziamo i fori di tintura in questo conceria.
Se prendiamo un quadrato di 25 buche, l'esecuzione di cinque per cinque, e prendiamo una fila di cinque lontano e la
aggiungiamo al fondo, si ottiene sei da quattro con una a sinistra lasciata. Ma per quanti buchi ci sono sul lato della
piazza, si può sempre spostare una fila di fori verso il basso in modo simile da lasciare un rettangolo di fori con una a
sinistra lasciata a parte.
L'Algebra è stato un enorme passo in avanti. Qui c'era un nuovo linguaggio per essere in grado di analizzare il modo in
cui i numeri funzionano. In precedenza, gli Indiani e i Cinesi a vevano considerato problemi molto specifici, ma AlKhwarizmi andava dal particolare al generale. Ha sviluppato modi sistematici per essere in grado di analizzare i
problemi in modo che le soluzioni si adattano qualunque sia il numero che avete preso. Questo linguaggio è utilizzato in
tutto il mondo matematico oggi.
La grande innovazione di Al-Khwarizmi è arrivata quando ha applicato l'algebra a equazioni di secondo grado - che è
equazioni che includono i numeri con la potenza di due. L'antica Mesopotamia aveva escogitato un metodo astuto per
risolvere particolari equazioni di secondo grado, ma è linguaggio astratto dell'algebra di Al-Khwarizmi che potrebbe
finalmente esprimere il motivo per cui questo metodo ha sempre funzionato. Questo è stato un grande salto concettuale
e avrebbe finito per portare ad una formula che potrebbe essere utilizzata per risolvere qualsiasi equazione di secondo
grado, qualunque siano i numeri coinvolti.
Il prossimo Santo Graal matematico era quello di trovare un metodo generale che potrebbe risolvere tutte le equazioni
cubiche - equazioni che comprendono i numeri alla potenza di tre.
È stato un matematico persiano dell'11° secolo, che ha raccolto la sfida che ha spezzato il problema del cubo.
Il suo nome era Omar Khayyam, e ha viaggiato molto in tutto il Medio Oriente, calcolando dove andò. Ma lui era
famoso per un altra, molto diversa, ragione. Khayyam fu un celebre poeta, autore del grande poema epico della
Rubaiyat.
Può sembrare un pò strano che un poeta era anche un maestro matematico. Dopo tutto, la combinazione non salta subito
alla mente. Ma c'è un bel pò di somiglianza tra le discipline. Poesia, con la sua struttura rime e schemi ritmici, risuona
fortemente con la costruzione di una dimostrazione logica matematica.
Lavori importanti di matematica di Khayyam sono stati dedicati per trovare il metodo generale per risolvere tutte le
equazioni cubiche. Piuttosto che guardare a esempi particolari, Khayyam ha effettuato un'analisi sistematica del
problema, fedele allo spirito algebrico di Al-Khwarizmi.
L'analisi di Khayyam ha rivelato per la prima volta che ci sono stati diversi tipi di equazioni cubiche. Ma lui era ancora
molto influenzato dal patrimonio geometrico dei Greci. Non riusciva a separare l'algebra dalla geometria. In realtà, egli
non avrebbe nemmeno preso in considerazione le equazioni di grado superiore, perché gli oggetti descritti in più di tre
dimensioni, erano qualcosa che lui vedeva come impossibile. Anche se la geometria gli ha permesso di analizzare
queste equazioni di terzo grado in qualche misura, ancora non riusciva a trovare una soluzione puramente algebrica.
Sarebbe passati altri 500 anni prima che i matematici potrebbe fare il grande salto e trovare la soluzione generale
dell'equazione cubica. E quel salto sarebbe stata finalmente fatto in Occidente - in Italia.
Nel corso dei secoli in cui la Cina, l'India e l'impero islamico erano stati in ascesa, l'Europa era caduta sotto l'ombra del
Medioevo. Tutta la vita intellettuale, incluso lo studio della matematica, ha avuto una fase di stagnazione.
Ma dal 13° secolo, le cose cominciavano a cambiare. Guidati dall' Italia, l'Europa stava iniziando a esplorare ed avere
scambi commerciali con l'Oriente. Con questo contatto è arrivata la diffusione delle conoscenze orientali in Occidente.
È stato il figlio di un funzionario doganale che sarebbe diventato il primo grande matematico medievale dell'Europa.
Da bambino, ha viaggiato in giro per il Nord Africa con il padre, dove ha imparato a conoscere gli sviluppi della
matematica araba e in particolare i vantaggi delle cifre indo-arabe. Quando arrivò a casa in Italia, ha scritto un libro che
sarebbe enormemente influente nello sviluppo della matematica occidentale.
Quel matematico era Leonardo di Pisa, meglio noto come Fibonacci, e nel suo libro di calcolo, Fibonacci ha promosso
il nuovo sistema numerico, dimostrando come sia più semplice rispetto ai numeri romani che erano in uso in tutta
Europa.
I calcoli erano condotti in modo più semplice, un fatto che ha avuto conseguenze enormi per chiunque lavori con i
numeri - praticamente per tutti, dai matematici ai commercianti.
Ma c'era un sospetto diffuso su questi nuovi numeri. Le vecchie abitudini sono dure a morire, e le autorità
semplicemente non li ha in fiducia. Alcuni credevano che sarebbero più aperti alla frode - che si possa manomettere con
loro. Altri credevano che sarebbero stati così facili da usare per i calcoli che potrebbero emancipare le masse, tenendo le
autorità distanti dalla nobiltà che aveva saputo utilizzare il vecchio ordinamento di numeri.
La città di Firenze, li aveva anche vietati nel 1299, ma con il tempo, prevalse il buon senso, il nuovo sistema si diffuse
in tutta Europa, e il vecchio sistema romano è diventato lentamente defunto. Finalmente, le cifre indo-arabe, da zero a
nove, avevano trionfato.
Oggi Fibonacci è noto soprattutto per la scoperta di alcuni numeri, ora chiamati la sequenza di Fibonacci, che è sorta
quando stava cercando di risolvere un enigma sulle abitudini di accoppiamento dei conigli. Supponiamo che un
agricoltore ha una coppia di conigli. Conigli prendono due mesi di tempo per raggiungere la maturità, e dopodichè essi
danno vita a un altro paio di conigli ogni mese. Quindi il problema era quello di determinare quante coppie di conigli ci
saranno in un dato mese.
Ebbene, durante il primo mese che hai una coppia di conigli, e dal momento che non sono maturati, non possono
riprodursi. Durante il secondo mese, c'è ancora una sola coppia. Ma all'inizio del terzo mese, la prima coppia si
riproduce per la prima volta, quindi ci sono due coppie di conigli. All'inizio del quarto mese, la prima coppia si
riproduce di nuovo, ma la seconda coppia non è sufficientemente matura, così ci sono tre coppie. Nel quinto mese, la
prima coppia si riproduce e la seconda coppia si riproduce per la prima volta, ma la terza coppia è ancora troppo
giovane, quindi ci sono cinque coppie. Il rituale di accoppiamento continua, ma vi accorgerete presto qual' è il numero
di coppie di conigli che avete in un determinato mese è la somma delle coppie di conigli che ha avuto in ciascuno dei
due mesi precedenti, per cui la sequenza di va ... 1 ... 1 ... 2 ... 3 ... 5 ... 8 ... 13 ... 21 ... 34 ... 55 ... e così via.
I numeri di Fibonacci sono numeri preferiti della natura. Non è solo conigli che li utilizzano. Il numero dei petali di un
fiore è sempre un numero di Fibonacci. Corrono su e giù negli ananas se si contano i segmenti. Anche le lumache li
utilizzano per crescere i loro gusci. Ovunque si trova la crescita in natura, è possibile trovare i numeri di Fibonacci.
Ma la svolta successiva della matematica europea non sarebbe successo fino agli inizi del 16-simo secolo. Si tratterebbe
di trovare il metodo generale che avrebbe risolto tutti le equazioni di terzo grado, e che sarebbe successo qui, nella città
italiana di Bologna.
L'Università di Bologna è stato il crogiolo del pensiero matematico europeo all'inizio del 16° secolo. Gli alunni
provenienti da tutta Europa accorrevano qui e si è sviluppata una nuova forma di sport per spettatori - la competizione
matematica.
Un grande pubblico si riuniva per guardare i matematici che si sfidano con i numeri, una sorta di match di scherma
intellettuale. Ma anche in questa atmosfera congetturante si è pensato che alcuni problemi erano proprio irrisolvibili. È
stato generalmente assunto che trovare un metodo generale per risolvere tutte le equazioni di terzo grado era
impossibile.
Ma uno studioso è stato quello che ha dimostrato che tutti avevano torto.
Il suo nome era Tartaglia, ma di certo non sembrava l'architetto eroico di una nuova matematica. All'età di 12 anni, gli
era stato tagliato tutto il viso con una sciabola da un soldato francese furioso. Il risultato fu una terribile cicatrice viso e
un difetto di pronuncia devastante. In realtà, Tartaglia era il soprannome era stato dato come un bambino e significa
"balbuziente".
Evitato dai suoi compagni di scuola, Tartaglia si perdeva in matematica, e non passò molto tempo prima di aver trovato
la formula per risolvere un tipo di un'equazione cubica. Ma Tartaglia scoprì ben presto che non era il solo a credere che
avrebbe risolto il cubo. Un giovane italiano chiamato Fiore si vantava che anche lui ha la formula segreta per risolvere
le equazioni cubiche. Quando la notizia circa le scoperte fatte dai due matematici, è stato organizzato un concorso a
rientrare ai box una contro l'altra. La partita di scherma intellettuale del secolo sta per iniziare.
Il problema era che Tartaglia solo saputo risolvere una sorta di equazione cubica, e Fiore era pronto a sfidarlo con
domande su una specie diversa. Ma pochi giorni prima della gara, Tartaglia trovato il modo di risolvere questo tipo
diverso, e con questa nuova arma nel suo arsenale ha battuto il suo avversario, risolvendo tutte le domande in meno di
due ore.
Tartaglia andato a trovare la formula per risolvere tutti i tipi di equazioni cubiche. La notizia presto si diffuse, e un
matematico a Milano chiamato Cardano divenne così disperato di trovare la soluzione che ha convinto a un Tartaglia
riluttante a rivelare il segreto, ma ad una condizione - che Cardano mantenere il segreto e mai pubblicare.
Ma Cardano non poteva resistere discutere soluzione di Tartaglia con il suo studente brillante, la Ferrari. Come Ferrari
alle prese con il lavoro di Tartaglia, si rese conto che avrebbe potuto usare per risolvere un'equazione più complicato, la
quadratica, un risultato straordinario. Cardano non poteva negare il suo allievo la sua giusta ricompensa, e ha rotto il
suo voto di segretezza, pubblicando lavori Tartaglia, insieme alla brillante soluzione della Ferrari, della quartica.
Povero Tartaglia non si riprese mai e morì senza un soldo, e fino ad oggi, la formula che risolve l'equazione cubica è
noto come formula di Cardano.
Tartaglia forse non ho ottenuto gloria nella sua vita, ma la sua matematica è riuscita a risolvere un problema che aveva
sconcertato i grandi matematici della Cina, dell'India e del mondo arabo.
È stata la prima grande scoperta matematica che accada nell'Europa moderna. Gli europei ora avevano in mano il nuovo
linguaggio di algebra, le potenti tecniche delle cifre indo-arabe e l'inizio della padronanza di infinito. Era giunto il
momento per il mondo occidentale di iniziare a scrivere le proprie storie matematiche nella lingua d'Oriente. La
rivoluzione matematica stava per cominciare. Si può imparare di più sulla storia della matematica con la Open
University a open2.net. Sottotitoli da Red Bee Media Ltd