Lezione 12: Moduli artiniani che sono noetheriani.

Lezione 12
Moduli artiniani che sono noetheriani.
Cercando moduli artiniani che siano noetheriani, dobbiamo anzitutto richiedere che essi siano
finitamente generati: questa condizione, come abbiamo visto nell’Osservazione 10.15, non è
necessariamente verificata. Ci sarà utile il seguente risultato.
Proposizione 12.1 Sia A un anello locale, sia I il suo ideale massimale. Sia M un A-modulo. Siano,
inoltre, x1 ,..., xn ∈ M generatori di M. Allora x1 ,..., xn è un sistema minimale di generatori per M se
e solo se x1 + IM ,..., xn + IM è una base di M / IM come spazio vettoriale su A / I .
Dimostrazione: Supponiamo dapprima che x1 ,..., xn sia un sistema minimale di generatori per M.
Allora x1 + IM ,..., xn + IM è, ovviamente, un sistema di generatori per M / IM . Supponiamo per
assurdo che non sia una base, ossia che non sia un sistema di generatori minimale. Allora, a meno di
ridenominare le variabili, possiamo supporre che x1 + IM appartenga al sottospazio di M / IM
generato da x2 + IM ,..., xn + IM , ossia che esistano a 2 ,..., a n ∈ A per i quali
n
x1 + IM = ∑ (ai + I )( xi + IM ) ,
i=2
cioè
n
x1 ∈ ∑ ai xi + IM .
i=2
Allora esistono b1 ,..., bn ∈ I tali che
n
n
i=2
i =1
x1 = ∑ ai xi + ∑ bi xi .
Quindi
n
(1 − b1 ) x1 = ∑ (ai + bi ) xi ,
i =2
ove 1 − b1 ∉ I , per cui 1 − b1 è invertibile (vedi Proposizione 7.3) in A. Segue che x1 appartiene al
sottomodulo di M generato da x2 ,..., xn ∈ M , contro l’ipotesi di minimalità. Ciò prova che
x1 + IM ,..., xn + IM è una base di M / IM come spazio vettoriale su A / I .
Viceversa supponiamo che x1 + IM ,..., xn + IM sia una base di M / IM come spazio vettoriale su
A / I . Allora il sistema di generatori x1 ,..., xn per M è minimale, perché se M fosse generato da n-1
elementi, lo stesso varrebbe, per passaggio al quoziente, per l’A-modulo M / IM , e quindi per lo
spazio vettoriale M / IM su A/I, che però, per ipotesi, ha dimensione n.
La prima parte del seguente enunciato discende immediatamente dalla Proposizione 12.1. La
dimostrazione dell'ultima parte è lasciata al lettore.
Corollario 12.2 Sia M un modulo su un anello locale A di ideale massimale I. Allora se M è
finitamente generato, M / IM ha dimensione finita su A / I . In tal caso tutti i sistemi minimali finiti
di generatori di M su A hanno lo stesso numero di elementi, che è pari a dim A / I M / IM . Viceversa,
se A è locale ed artiniano e M / IM ha dimensione finita su A / I , allora M è finitamente generato.
Ricordiamo che la prima parte dell’enunciato del Corollario 12.2 non si estende agli anelli non
locali; ad esempio, non è valido in Z, come osservato nell’Esempio 3.14. Non è valido nemmeno
per i moduli finiti: infatti, ad esempio, il modulo regolare Z6 ammette sia {[1]6 } sia {[2]6 ,[3]6 } come
sistemi minimali di generatori.
Esercizio 12.3* Provare il seguente enunciato utilizzando il Lemma di Nakayama (Teorema 5.2).
Sia A un anello locale di ideale massimale I, ed M un A-modulo finitamente generato. Se
x1 ,..., xn ∈ M sono tali che x1 + IM ,..., xn + IM generano M / IM come spazio vettoriale su A / I ,
allora x1 ,..., xn generano M come A-modulo.
Diamo ora un’importante proprietà della localizzazione.
Lemma 12.4 Siano M ed N moduli su un anello A tali che N ⊂ M e M I = N I per ogni ideale
massimale I di A. Allora M = N .
Dimostrazione: In virtù della Proposizione 8.16, per ogni ideale massimale I di A si ha che
( M / N ) I ≅ M I / N I e questo è, per ipotesi, il modulo nullo. Proviamo che M = M / N è il modulo
nullo. Supponiamo per assurdo che esista x ∈ M , x ≠ 0 . Allora 0 : x = {a ∈ A ax = 0} è un ideale
x
=0,
1
quindi esiste s ∈ A \ I tale che sx = 0 . Ciò costituisce una contraddizione e prova che M = N .
proprio di A. Quindi esiste un ideale massimale I di A tale che 0 : x ⊂ I . Ora, in M I si ha
Nota L’enunciato del Lemma 12.4 stabilisce che l’uguaglianza tra sottomoduli (che siano uno
contenuto nell’altro) è una proprietà cosiddetta locale, ossia una proprietà che è verificata se e solo
se vale per le tutte localizzazioni rispetto ad un ideale massimale (ad un ideale primo).
Siamo ora in grado di completare l’enunciato della Proposizione 10.18, provando
Proposizione 12.5 Un modulo artiniano su un anello artiniano è noetheriano (e, quindi, in
particolare, è finitamente generato).
Dimostrazione: Sia A un anello artiniano, e sia M un A-modulo artiniano. Allora, in base alla
Proposizione 11.4, A ha solo un numero finito di ideali massimali, siano essi I1 ,..., I r . Fissiamo un
ideale massimale I = I k .
Allora M / IM è un A-modulo artiniano, in base alla Proposizione 10.16, ed uno spazio vettoriale
sul campo A / I . Poiché i suoi sotto-A-moduli coincidono con i sotto- A / I -spazi, M / IM è quindi
artiniano anche come spazio vettoriale su A / I , e quindi ha dimensione finita, in virtù della
Proposizione 10.20. Consideriamo A ' = AI , che è, per la Proposizione 8.11, un anello locale di
ideale massimale I ' = IAI . Esso è inoltre artiniano per la Proposizione 10.26, e noetheriano per la
Proposizione 11.5. Inoltre M ' = M I è un modulo su A ' = AI , e M '/ I ' M ' è uno spazio vettoriale su
A '/ I ' . Dalla Proposizione 8.16 segue facilmente che questo ultimo può essere identificato con lo
spazio vettoriale M / IM su A / I , e quindi M '/ I ' M ' ha dimensione finita. Per il Corollario 12.2
ciò implica che M ' è un A ' -modulo finitamente generato. Poiché A ' è noetheriano, dalla
Proposizione 10.7 segue che M ' è noetheriano. Consideriamo una catena ascendente di sotto-Amoduli di M:
(*)
M1 ⊂ M 2 ⊂ ⊂ M i ⊂ Questa dà luogo ad una catena ascendente di sotto- A ' -moduli di M '
M1 ' ⊂ M 2 ' ⊂ ⊂ M i ' ⊂ ,
(**)
ove, per ogni indice i, abbiamo posto M i ' = ( M i ) I = ( M i ) I k . La catena (**) è stazionaria, esiste,
cioè, un indice jk tale che, per ogni indice i ≥ jk , si ha ( M i ) I k = ( M jk ) I k . Sia j = max jk . Allora, per
k =1,.., r
ogni indice i ≥ j si ha che ( M i ) I k = ( M j ) I k per ogni k = 1,..., r , e quindi, per il Lemma 12.4,
M i = M j . Ciò prova che la catena (*) è stazionaria. Dunque M è noetheriano.
Un modulo è sia noetheriano sia artiniano se e solo se esso verifica ambedue le condizioni sulle
catene, quindi se e solo se ogni catena di suoi sottomoduli è finita. Data una catena finita di
sottomoduli, è possibile talvolta, aggiungendo eventualmente altri sottomoduli, renderla massimale.
Massimale è una catena finita di sottomoduli
{0} = M 0 ⊂ M1 ⊂ M 2 ⊂ ⊂ M n = M
se, per ogni indice i = 0,..., n − 1 , non esistono sottomoduli strettamente compresi tra Mi e Mi+1.
Equivalentemente, i moduli quoziente M i +1 / M i sono semplici, ossia non hanno sottomoduli propri
non nulli, oppure: Mi è un sottomodulo massimale di Mi+1 (v. Esercizio 3.23).
Chiameremo catena ogni catena ascendente formata da moduli a due a due distinti (cioè
strettamente crescente). Il numero dei moduli coinvolti, meno uno, sarà detto lunghezza della
catena.
Definizione 12.6 Una catena finita e massimale di sottomoduli dell’A-modulo M si dice una serie di
composizione.
Lemma 12.7 Se un A-modulo M possiede una serie di composizione, tutte le sue serie di
composizione hanno la stessa lunghezza (detta lunghezza del modulo M, denotata (M ). ) Inoltre,
tutte le catene di M sono finite ed hanno lunghezza al più ( M ).
Dimostrazione: Detta lunghezza ( M ) la lunghezza minima delle serie di composizione di M,
proviamo che ( M ) è la lunghezza di tutte le sue serie di composizione. La tesi è vera se M = {0} .
Supponiamo che M ≠ {0} , e poniamo ( M ) = m. Sia {0} = M 0 ⊂ M 1 ⊂ M 2 ⊂ ⊂ M m = M una
serie di composizione di M. Sia inoltre N un sottomodulo proprio di M. Allora, posto, per ogni
indice i = 0,..., m , N i = M i ∩ N , si ha la seguente successione crescente di sottomoduli di N:
{0} = N 0 ⊂ N1 ⊂ N 2 ⊂ ⊂ N m = N .
(*)
Per ogni indice i, si ha che N i +1 / N i è isomorfo ad un sottomodulo di M i +1 / M i , quindi è semplice
(eventualmente nullo). Allora, eliminando gli eventuali termini ripetuti, si ottiene da (*) una serie di
composizione di N, la cui lunghezza è n ≤ m . In realtà n < m , perché se fosse n = m , allora si
avrebbe: {0} ≠ N 1 ⊂ M 1 , quindi N 1 = M 1 ; allora M 1 = N 1 ≠ N 2 ⊂ M 2 , da cui N 2 = M 2 , e così
via, quindi N = N m = M m = M , assurdo. Segue che ogni sottomodulo proprio N di M ha una serie
di composizione e ( N ) < m .
Inoltre, ogni catena di M è finita ed ha lunghezza al più m. Infatti, data la catena
{0} = M 0 ' ⊂ M 1 ' ⊂ M 2 ' ⊂ ⊂ M r −1 ' ⊂ ,
con M 'r −1 ≠ M e detta mi la lunghezza di M i ' , per la prima parte della dimostrazione si ha che
m > mr −1 > > m2 > m1 , da cui m ≥ r . Ciò prova che m è contemporaneamente la lunghezza
minima e la lunghezza massima delle serie di composizione di M, quindi m è la lunghezza di tutte le
serie di composizione
Proposizione 12.8 Un modulo ha serie di composizione se e solo se è noetheriano ed artiniano.
Dimostrazione: Se un modulo M non è noetheriano o non è artiniano, possiede una catena infinita, e
quindi, in base al Lemma 12.7, non ha serie di composizione. Viceversa, supponiamo che M sia
noetheriano ed artiniano. Si ponga M 0 = {0} . Se M è il modulo nullo, questa è una sua serie di
composizione. Altrimenti, sia M 1 un elemento minimale (per inclusione) dell'insieme (non vuoto)
dei sottomoduli di M non nulli. Tale elemento minimale esiste in virtù dell'artinianità di M. si
procede ricorsivamente, definendo, per ogni i ≥ 1, (fintanto che M i ≠ M ) M i +1 come l'elemento
minimale dell'insieme (non vuoto) dei sottomoduli di M contenenti strettamente M i . In tal modo si
costruisce una catena ascendente di sottomoduli di M. A causa della noetherianità di M, esiste
necessariamente un indice n tale che M = M n . La catena così costruita è una serie di composizione
per M.
Corollario 12.9 Un modulo f.g. su un anello artiniano ha serie di composizione.
Dimostrazione: Un modulo verificante l’ipotesi è artiniano in virtù della Proposizione 10.18;
poiché, in base alla Proposizione 11.5, un anello artiniano è noetheriano, dalla Proposizione 10.7
segue il modulo è anche noetheriano.
Nota Un modulo dotato di serie di composizione si dice anche di lunghezza finita. Si pone
convenzionalmente uguale a ∞ la lunghezza di un modulo privo di serie di composizione.
Esempio 12.10 Dalla Proposizione 12.8 e dalla Proposizione 10.20 segue che uno spazio vettoriale
ha serie di composizione se e solo se ha dimensione finita. In tal caso la dimensione coincide con la
lunghezza.
Osservazione 12.11 La proprietà presentata nell'Esempio 12.10 non si estende al rango dei moduli
liberi. Ad esempio, per ogni intero n > 1, il modulo regolare Z n è libero di rango 1, artiniano e
noetheriano in quanto finito, ma le sue serie di composizione sono tutte e sole le catene della forma
 n    n  

 
n
([ 0]n ) ⊂     ⊂  
⊂
⊂
= Zn ,


  p1     p1 p2  
  p1 p2 ps  
n
n


n

essendo n = p1 p2 ps la decomposizione di n in fattori primi. Quindi (Z n ) = s, ove s = 1 se e solo
se n è primo (ossia se e solo se Z n è un campo).