Pout Pourri - IIS Rolando Da Piazzola

Pout Pourri
di Enrico Centenaro
enrico. centenaro@istruzione. it
I. I. S. di Piazzola sul Brenta (Pd)
R i a s s u nt o
Maxima è un Computer Algebra System, un programma che permette di fare calcolo simbolico e numerico, graci di funzioni in 2 e 3 dimensioni e molto altro ancora.
Queste pagine mostrano dei possibile utilizzi di Maxima nella soluzione di problemi di
Fisica.
Problema
Un gruppo di ragazzi fa una gara di lancio con la onda, anché il vincitore sia colui che ha le
migliori capacità balistiche e non colui che ha la onda migliore, si sceglie di utilizzare lo stesso
strumento.
Quale sarà il lancio che manderà più distante il sasso, supposta nulla la resistenza dell'aria?
Se si considera la resistenza dovuta all' aria, a parità di forma e dimensione conviene lanciare un
sasso o una biglia? Perché?
Soluzione
Non commentiamo i dati del graco perché sono semplicemente dedotti dalla goniometria elementare.
Scriviamo le leggi del moto lungo le due direzioni, quella verticale e orizzontale.
( %i 1 ) y=v[ 0] * s i n( al pha) * t- 1 / 2* g* t^ 2;
( %o1 )
2
y v0 sin t ? g t
=
(
)
2
( %i 2) x=v[ 0] * cos ( al pha) * t;
1
( %o2)
x v0 cos t
=
(
)
( %i 3) s ol ve( %, t) ;
( %o3)
t v cosx 0
=
(
)
( %i 4) s ubs t( x/( v[ 0] * c os ( alpha) ) , t, %i 1 ) ;
( %o4)
x?
g x2
y sin
cos v 02 cos (
=
)
(
)
2
(
)
2
( %i 5) ev( %o4, [ y=0] ) ;
( %o7)
0 =
sin x ?
g x2
2
cos v0 cos (
)
(
)
2
(
)
2
( %i 8) s ol ve( %, x) ;
"
x
( %o8)
2
=
v 02 cos sin ; x
g
(
)
(
)
#
= 0
( %i 9) %[ 1 ] ;
( %o9 )
x
2
=
v02 cos sin g
(
)
(
)
( %i 1 0) ev( %o9, [ v[ 0] =1 0, g=9. 81 ] ) ;
( %o1 0)
x 20. 387359836901 1 2 cos sin =
(
)
(
)
( %i 1 1 ) rhs ( %o1 0) ;
( %o1 4)
20. 387359836901 1 2 cos sin (
)
(
)
( %i 1 5) pl ot2d( %o1 4, [ alpha, 0, 3. 1 4/ 2] ) ;
Il massimo della funzione coincide con l'angolo che vogliamo trovare. Basterà calcolare la derivata prima e trovarne gli zeri.
( %i 23) di f f ( %o1 4, al pha) ;
( %o23)
20. 387359836901 1 2 cos 2 ? 20. 387359836901 1 2 sin (
(
)
)
2
( %i 24) s ol ve( %, al pha) ;
` rat' repl ac ed 20. 387359836901 1 2 by 20000/ / 981 = 20. 387359836901 1 2
` rat' repl ac ed - 20. 387359836901 1 by - 20000/ / 981 = - 20. 387359836901 1
( %o24) [ sin ( ) = ? cos ( ) ; sin ( ) = cos ( ) ]
Evidentemente c'è una sola soluzione nell'intervallo ; , .
Tenendo conto della resistenza dell'aria che è una forza contraria al moto per la seconda legge di
Newton la decelarione maggiore si ha quanto la massa è minore a F m quindi, a parità di
velocità iniziale, andrà più distante (e più in alto) l'oggetto più pesante.
[0
/ 2]
=
/4
=
/
Cacciatori di scimmie
Dovete sapere che in Africa danno la caccia alle scimmie e noi ci occuperemo di questo fenomeno così cruento.
2
C'è una scimmia su di un albero, essa sta assaporando una magnica banana bella matura, ma
quando meno te lo aspetti sbuca il cacciatore con il suo fucile, a palline da golf : -), che la vuole
acchiappare. Il disegno che seguen dovrebbe chiarire la situazione.
Siccome noi siamo sici sappiamo che la traiettoria non è rettilinea, ma parabolica possiamo
allora concludere che la scimmia non verrà colpita, ma la sfortuna è accanita e quando l'animale
vede un bagliore uscire dalla canna del fucile si getta immediatamente.
Domanda: la scimmia si salva ancora o è il suo ultimo giorno?
Rifrazione della luce
Il comportamento di un raggio di luce nel passaggio da un mezza ad un altro ha una interessante giusticazione. In queste righe vogliamo analizzarla risolvendo un problema apparentemente dierente.
Problema
Un nuotatore si trova sulla spiaggia e, partendo da un certo punto A distante h dalla spiaggia,
deve raggiungere un punto B pure distante h dalla spiaggia ma spostato rispetto a lui di l nel
tempo più breve possibile. Si supponga che sulla spiaggia la velocità del nuotatore è vA mentre
sull'acqua è vB .
A
vA
a
h
n1
P
n2
b
h
vB
B
x
l−x
Ciò che dobbiamo minimizzare è il tempo totale somma del tempo a percorrere il tratto a e il
tratto b . Dato che conosciamo le velocità possiamo esprimere i tempi in funzione degli spazi e
delle velocità secondo la formula: t s v .
Utilizzando Pitagora si ricava subito che:
=
p
/
p
l?x
t t ot ale a v A b vB x 2 h 2 vA
Passiamo adesso a Maxima per i calcoli.
=
/
+
/
=
+
/
+
(
)
2
+
( %i 1 ) a: s qrt( x^ 2+h^ 2) ;
3
h 2 vB
/
4
Rifrazione della luce
p
( %o1 )
x2 h2
+
( %i 2) b: s qrt( ( l - x) ^ 2+h^ 2) ;
q
( %o2)
(
l?x
)
2
h2
+
( %i 3) t[ A] : a/ v[ A] ;
p
( %o3)
x2 h2
vA
+
( %i 4) t[ B] : b/ v[ B] ;
q
(
( %o4)
l ? x 2 h2
vB
)
+
( %i 5) t[ tot] : t[ A] +t[ B] ;
q
(
( %o5)
l ? x 2 h2
vB
)
p
+
+
x2 h2
vA
+
( %i 6) di f f ( t[ tot] , x) ;
p
( %o6 )
x
?
x 2 h 2 vA
q
+
(
l?x
l ? x 2 h 2 vB
)
+
( %i 7)
p
Evidentemente
il primo rapporto x x 2 h 2
sin , mentre il secondo l ? x
p
2
2
l ? x h sin . Possiamo perciò scrivere sin v A ? sin vB . Condizione necessario
anché vi sia un punto di minimo è che il valore sia nullo quindi:
/
(
)
+
=
(
+
=
)
(
(
sin sin (
)
(
)
=
)/
)
(
(
)/
)/
vA
vB
Che ricorda la ben nota legge della rifrazione della luce nel passoggio fra due mezzi. In particolare v A c n 1 e vB c n 2 ove n 1 e n 2 sono gli indici di rifrazione e c è la velocità della luce.
E' noto che sperimentalmente la luce passando attraverso un prisma si scompone nelle sue componenti colorate perché l'angolo del raggio rifratto cambia col colore come mostra il disegno.
=
/
E ser c i z i o
=
/
1 .
Osserva il disegno, è più veloce il rosso o il violetto?
Siccome l' indice di rifrazione varia con la frequenza dell' onda quale colore ha la frequenza minore?
Applicazione
Supponento v A
funzione di x .
= 2
; m s , vB
5
/
= 0
; m s , h 20 m , l 1 0 m , si tracci il graco del tempo totale in
5
/
=
=
( %i 7) v[ A] : 2. 5;
( %o1 3)
2. 5
( %i 1 4) v[ B] : 0. 5;
( %o8)
0. 5
4
A pplicazione
5
( %i 9) h: 20;
( %o9 )
20
( %i 1 0) l : 1 0;
( %o1 0)
10
( %i 1 1 ) t[ tot] ;
q
(
( %o1 4)
l ? x 2 h2
vB
)
p
+
+
x2 h2
vA
+
( %i 1 5) pl ot2d( t[ tot] , [ x, 0, 1 0] ) ;
( %o1 5)
( %i 1 6) di f f ( t[ tot] , x) ;
( %o27)
p
x
x
2
+
h vA
2
?
q
(
l?x
l ? x 2 h 2 vB
)
+
( %i 28) pl ot2d( [ %o27, 0] , [ x, 0, 1 0] ) ;
E' evidente che c'è un minimo intorno a ; m . Il graco della derivata conferma questa ipotesi.
8
5
5