Capitolo 6 - Montgomery
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Capitolo 6 - Montgomery
Douglas C. Montgomery Progettazione e analisi degli esperimenti © 2006 McGraw-Hill CAPITOLO 6 Il piano fattoriale 2k Metodi statistici e probabilistici per l’ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2009-10 Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain Il Piano Fattoriale 2k • Il piano 22 • Il piano 23 • Il piano generale 2k • Il piano 2k con una sola replicazione • L’aggiunta dei punti centrali al piano 2k 1 Il piano fattoriale 22 Il livello alto e il livello basso dei fattori sono indicati rispettivamente con “+” e “-” Basso e alto sono nomi arbitrari Geometricamente, le quattro prove formano gli angoli del quadrato I Fattori possono essere quantitativi o qualitativi, sebbene la loro trattazione nel modello finale possono essere diversi Esempio Processo Chimico A = concentrazione reagente B = quantità catalizzatore Y = resa 2 Procedura di Analisi per un Piano Fattoriale • Stima degli effetti dei fattori • Creazione del modello iniziale – Con replicazione: usare il modello completo – Con una sola replicazione di piano: usare il grafici di probabilità normale • • • • Test statistici (ANOVA) Messa a punto del modello Analisi dei residui (graficamente) Interpretazione dei risultati Stima degli effetti dei fattori A = y A+ − y A− ab + a b + (1) − 2n 2n = 1n [ab + a − b − (1)] = B = yB+ − yB− ab + b a + (1) = − 2n 2n 1 = n [ab + b − a − (1)] ab + (1) a + b − 2n 2n 1 = n [ab + (1) − a − b] AB = Vedere il libro a pag. 248 Per i calcoli manuali Gli effetti stimati sono: A = 8.33, B = -5.00, AB = 1.67 Interpretazione pratica? Analisi Design-Expert 3 Stima degli effetti dei Fattori Model Model Model Model Error Error Term Effect SumSqr % Contribution Intercept A 8.33333 208.333 64.4995 B -5 75 23.2198 AB 1.66667 8.33333 2.57998 Lack Of Fit 0 0 P Error 31.3333 9.70072 Lenth's ME Lenth's SME 6.15809 7.95671 Test Statistici: tabella ANOVA Response:Conversion ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Source Model A B AB Pure Error Cor Total Sum of Squares 291.67 208.33 75.00 8.33 31.33 323.00 Std. Dev. Mean C.V. 1.98 27.50 7.20 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared 0.9030 0.8666 0.7817 PRESS 70.50 Adeq Precision 11.669 DF 3 1 1 1 8 11 Mean Square 97.22 208.33 75.00 8.33 3.92 F Value 24.82 53.19 19.15 2.13 Prob > F 0.0002 < 0.0001 0.0024 0.1828 4 Stima puntuale e intervallare dei parametri Coefficient Factor Intercept A-Concent B-Catalyst AB Standard Estimate DF Error 27.50 1 0.57 4.17 1 0.57 -2.50 1 0.57 0.83 1 0.57 95% CI Low 26.18 2.85 -3.82 -0.48 95% CI High 28.82 5.48 -1.18 2.15 VIF 1.00 1.00 1.00 Modello finale Response:Conversion ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Source Model A B Residual Lack of Fit Pure Error Cor Total Sum of Squares 283.33 208.33 75.00 39.67 8.33 31.33 323.00 Std. Dev. Mean C.V. 2.10 27.50 7.63 R-Squared 0.8772 Adj R-Squared Pred R-Squared 0.8499 0.7817 PRESS 70.52 Adeq Precision 12.702 DF 2 1 1 9 1 8 11 Mean Square 141.67 208.33 75.00 4.41 8.33 3.92 F Value 32.14 47.27 17.02 Prob > F < 0.0001 < 0.0001 0.0026 2.13 0.1828 5 Controlli Diagnostici e Residui Normal plot of residuals DE S IG N-E X P E RT P l o t Co n ve rsi o n Residuals vs. Predicted DE S IG N-E X P E RT P l o t Co n ve rsi o n 2.16667 99 N orm a l % pro ba b ility 95 0.916667 90 80 R es iduals 70 50 -0.333333 30 20 10 -1.58333 5 2 1 -2.83333 -2.83333 -1.58333 -0.333333 0.916667 20.83 2.16667 24.17 27.50 30.83 34.17 Predicted R es id ua l Superficie di Risposta t C onversion 3 2.00 3 n 34. 1667 23. 0556 30. 8333 1.75 Co n ve rsi o n B: C a talys t 27. 5 24. 1667 25.2778 27. 5 1.50 20. 8333 29.7222 1.25 31.9444 2. 00 25. 00 1. 75 3 3 1.00 15.00 17.50 20.00 22.50 25.00 22. 50 1. 50 B : Ca ta l yst 20. 00 1. 25 17. 50 A : Co n ce n tra ti o n A: C oncentration 1 . 00 15. 00 6 Il Piano Fattoriale 23 Effetti nei Piani Fattoriali 23 A = y A+ − y A− B = yB + − yB − C = yC + − yC − etc, etc, ... Analisi fatta via computer 7 Esempio di un Piano Fattoriale 23 A = carbonatazione, B = pressione, C = velocità, y = scarto riempimento Tabella dei segni algebrici (– e +) per calcolare gli effetti nel piano fattoriale 23 (pag. 258) Factorial Effect Treatment Combin. I A B AB C AC BC ABC (1) = -4 + - - + - + + - a=1 + + - - - - + + b = -1 + - + - - + - + ab = 5 + + + + - - - - c = -1 + - - + + - - + ac = 3 + + - - + + - - bc = 2 + - + - + - + - abc = 11 + + + + + + + + Contrast 24 18 6 14 2 4 4 Effect 3.00 2.25 0.75 1.75 0.25 0.50 0.50 8 Proprietà della Tabella • Tranne la colonna I, ogni colonna ha un egual numero di segni + e– • La somma dei prodotti dei segni in ogni coppia di colonne è zero • La colonna I moltiplicata per ogni colonna lascia tale colonna inalterata (I elemento identità) • Il prodotto di una qualunque coppia di colonne produce una colonna presente nella tabella: A × B = AB AB × BC = AB 2C = AC • Piani Ortogonali • L’ortogonalità è un’importante proprietà per tutti i piani fattoriali Stima degli effetti dei Fattori Model Error Error Error Error Error Error Error Error Error Term Effect Intercept A 3 B 2.25 C 1.75 AB 0.75 AC 0.25 BC 0.5 ABC 0.5 LOF 0 P Error SumSqr % Contribution Lenth's ME Lenth's SME 1.25382 1.88156 36 20.25 12.25 2.25 0.25 1 1 46.1538 25.9615 15.7051 2.88462 0.320513 1.28205 1.28205 5 6.41026 9 Riassunto ANOVA – Modello Completo Response:Fill-deviation ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Source Model A B C AB AC BC ABC Pure Error Cor Total Sum of Squares 73.00 36.00 20.25 12.25 2.25 0.25 1.00 1.00 5.00 78.00 Mean Square 10.43 36.00 20.25 12.25 2.25 0.25 1.00 1.00 0.63 Std. Dev. Mean C.V. 0.79 1.00 79.06 R-Squared 0.9359 Adj R-Squared Pred R-Squared 0.8798 0.7436 PRESS 20.00 Adeq Precision 13.416 DF 7 1 1 1 1 1 1 1 8 15 F Value 16.69 57.60 32.40 19.60 3.60 0.40 1.60 1.60 Prob > F 0.0003 < 0.0001 0.0005 0.0022 0.0943 0.5447 0.2415 0.2415 Coefficienti – Modello Completo Coefficient Standard Factor Estimate 95% CI 95% CI DF Error Low High Intercept 1.00 1 0.20 0.54 1.46 A-Carbonation B-Pressure C-Speed AB AC BC ABC 1.50 1.13 0.88 0.38 0.13 0.25 0.25 1 1 1 1 1 1 1 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 1.04 0.67 0.42 -0.081 -0.33 -0.21 -0.21 1.96 1.58 1.33 0.83 0.58 0.71 0.71 VIF 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 10 Messa a Punto del Modello-Rimozione dei Fattori non Significativi Response: Fill-deviation ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Source Model A B C AB Residual LOF Pure E C Total Sum of Squares 70.75 36.00 20.25 12.25 2.25 7.25 2.25 5.00 78.00 DF 4 1 1 1 1 11 3 8 15 Mean Square 17.69 36.00 20.25 12.25 2.25 0.66 0.75 0.63 F Value 26.84 54.62 30.72 18.59 3.41 Prob > F < 0.0001 < 0.0001 0.0002 0.0012 0.0917 1.20 0.3700 Std. Dev. 0.81 Mean 1.00 C.V. 81.18 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared 0.9071 0.8733 0.8033 PRESS Adeq Precision 15.424 15.34 Coefficienti Modello Stima puntuale e intervallare Coefficient Factor Estimate Intercept 1.00 A-Carbonation 1.50 B-Pressure 1.13 C-Speed 0.88 AB 0.38 DF 1 1 1 1 1 Standard 95% CI 95% CI Error Low High 0.20 0.55 1.45 0.20 1.05 1.95 0.20 0.68 1.57 0.20 0.43 1.32 0.20 -0.072 0.82 11 Modello Statistico Completo (pag. 264) • R2 e R2 corretto (Adj) R2 = SS Model 73.00 = = 0.9359 SST 78.00 2 RAdj = 1− SS E / df E 5.00 / 8 = 1− = 0.8798 SST / dfT 78.00 /15 • R2 prediction (basato sulla statistica PRESS) 2 RPred = 1− PRESS 20.00 = 1− = 0.7436 SST 78.00 Modello Statistico Completo (pag. 264) • Errore standard di ciascun coefficiente se( βˆ ) = V ( βˆ ) = σ2 n2 k = MS E 0.625 = = 0.20 k n2 2(8) • Intervalli di confidenza per ciascun coefficiente di regressione βˆ − tα / 2,df se( βˆ ) ≤ β ≤ βˆ + tα / 2,df se( βˆ ) E E 12 Modello di Regressione Final Equation in Terms of Coded Factors: Fill-deviation +1.00 +1.50 *A +1.13 *B +0.88 *C +0.38 *A*B = Final Equation in Terms of Actual Factors: Fill-deviation = +9.62500 -2.62500 * Carbonation -1.20000 * Pressure +0.035000 * Speed +0.15000 * Carbonation * Pressure I Grafici dei Residui sono Soddisfacenti Normal plot of residuals DE S IG N-E X P E RT P l o t Fi l l -d e vi a ti o n 99 N orm al % probability 95 90 80 70 50 30 20 10 5 1 -1.67 -0.84 0.00 0.84 1.67 Studentized R es iduals 13 Interpretazione del Modello Interaction Graph DE S IG N-E X P E RT P l o t B: Pres s ure Fi l l -d e vi a ti o n 6 Misura dell’interazione tra il livello di carbonatazione e la pressione X = A : Ca rb o n a ti o n Y = B : P re ssu re 3.75 Fill-de viatio n B - 2 5 .0 0 0 B + 3 0 .0 0 0 A ctu a l Fa cto r C: S p e e d = 2 2 5 .0 0 1.5 -0.75 -3 10.00 10.50 11.00 11.50 12.00 A: C arbonation Interpretazione del Modello C ube Graph DE S IG N-E X P E RT P lo t Fill-d eviatio n Fi l l -d e vi a ti o n X = A : Ca rb o n a ti o n Y = B : P re ssu re Z = C: S p e e d 1.13 B+ B: Pres s ure -0 .63 4.88 3.1 3 -0.37 1.88 C+ C : Speed BA- -2 .13 0.1 2 A: C arbon ation I grafici a cubo sono spesso usati per visualizzare graficamente i risultati degli esperimenti CA+ 14 Superficie di risposta rappresentata mediante linee di livello con velocità di livello alto DE S IG N-E X P E RT P lo t Fill-deviation 2 30.00 2 Fi l l -d e vi a ti o n X = A : Ca rb o n a ti o n Y = B : P re ssu re 4.875 De si g n P o i n ts 28.75 3.5625 3.125 A ctu a l Fa cto r C: S p e e d = 2 5 0 .0 0 Fi l l -d e vi a ti o n B: Pres s ure 2.25 0.9375 2.25 27.50 -0.375 1.375 0.5 26.25 30.00 12.00 28.75 2 2 25.00 10.00 10.50 11.00 11.50 12.00 11.50 27.50 11.00 B : P re ssu re 26.25 10.50 A : Ca rb o n a ti o n A: C arbonation 2 5.00 10.00 Il Piano Generale 2k • Paragrafo 6-4, pag. 269, Tabella 6-9, pag. 271 • Il modello potrebbe comprendere k effetti principali, e k interazioni a due fattori 2 k interazioni a tre fattori 3 M 1 interazioni a k − fattori 15 Il piano 2k con una sola replicazione • Questi sono piani fattoriali 2k con una prova ad ogni angolo del “cubo” • Il piano 2k con una sola replicazione è anche a volte chiamato “fattoriale non replicato” del piano 2k • Questi piani sono ampiamente usati • Rischio… se c’è una sola prova ad ogni angolo, c’è la possibilità di conclusioni fuorvianti • Principio della rarità degli effetti Spaziatura tra i Livelli del Fattore su un Piano 2k Non Replicato Se la distanza tra i livelli del fattore aumenta, cresce la possibilità che le fluttuazioni aleatorie coprano i veri effetti del segnale Aumentare decisamente la distanze è buona pratica 16 Il piano 2k con una sola replicazione • Mancanza di replicazione causa potenziali problemi nei test statistici – Una replicazione può rendere valida una stima di “errore puro” (stime interne dell’errore) – Senza replicazione, il modello completo risulta avere zero gradi di libertà per l’errore • Possibili soluzioni a questo problema – Uso comune di certe interazioni di ordine elevato per stimare l’errore – Grafico di probabilità normale degli effetti (Daniel, 1959) – Altri metodi … vedere il testo, pag. 283 Esempio di un piano 2k con una sola replicazione • Un piano 24 viene condotto per studiare gli effetti di quattro fattori che influiscono sulla filtrazione della resina • I fattori sono A = temperatura, B = pressione, C = concentrazione di formaldeide, D = velocità di mescolamento • L’esperimento viene condotto in un impianto pilota 17 L’ Esperimento della Resina L’ Esperimento della Resina 18 Stima degli Effetti Term Intercept A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD Model Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Effect SumSqr % Contribution 21.625 3.125 9.875 14.625 0.125 -18.125 16.625 2.375 -0.375 -1.125 1.875 4.125 -1.625 -2.625 1.375 1870.56 39.0625 390.062 855.563 0.0625 1314.06 1105.56 22.5625 0.5625 5.0625 14.0625 68.0625 10.5625 27.5625 7.5625 Lenth's ME Lenth's SME 32.6397 0.681608 6.80626 14.9288 0.00109057 22.9293 19.2911 0.393696 0.00981515 0.0883363 0.245379 1.18763 0.184307 0.480942 0.131959 6.74778 13.699 Grafico della Probabilità Normale degli Effetti Norm al plo t DE S IG N-E X P E RT P l o t Fi l tra ti o n Ra te T e m p e ra tu re P re ssu re Co n ce n tra ti o n S ti rri n g Ra te 99 A 95 N orm al % probab ility A: B: C: D: 90 AD 80 C 70 D 50 30 20 10 5 AC 1 - 18.12 -8.19 1.75 11.69 21.62 E ffe ct 19 Grafico di Probabilità Semi - Normale Half Normal plot DE S IG N-E X P E RT P l o t Fi l tra ti o n Ra te T e m p e ra tu re P re ssu re Co n ce n tra ti o n S ti rri n g Ra te 99 97 H alf N orm al % proba bility A: B: C: D: A 95 90 AC 85 AD 80 D 70 C 60 40 20 0 0.00 5.41 10.81 16.22 21.63 |Effect| Riassunto ANOVA del Modello Response:Filtration Rate ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Source Model A C D AC AD Residual Cor Total Sum of Squares 5535.81 1870.56 390.06 855.56 1314.06 1105.56 195.12 5730.94 Std. Dev. Mean C.V. 4.42 70.06 6.30 R-Squared 0.9660 Adj R-Squared Pred R-Squared 0.9489 0.9128 PRESS 499.52 Adeq Precision 20.841 DF 5 1 1 1 1 1 10 15 Mean Square 1107.16 1870.56 390.06 855.56 1314.06 1105.56 19.51 F Value 56.74 95.86 19.99 43.85 67.34 56.66 Prob >F < 0.0001 < 0.0001 0.0012 < 0.0001 < 0.0001 < 0.0001 20 Modello di Regressione Final Equation in Terms of Coded Factors: Filtration Rate = +70.06250 +10.81250 * Temperature +4.93750 * Concentration +7.31250 * Stirring Rate -9.06250 * Temperature * Concentration +8.31250 * Temperature * Stirring Rate I Grafici dei Residui sono Soddisfacenti Normal plot of residuals DE SIG N-E XP E RT Pl o t Fi l trati on Rate 99 N orm al % probability 95 90 80 70 50 30 20 10 5 1 -1.83 -0.96 -0.09 0.78 1.65 Studentized Res iduals 21 Interpretazione del Modello – Interazioni Interaction Graph DE S IG N-E X P E RT P l o t Interaction Graph DE S IG N-E X P E RT P l o t C : C oncentration Fi l tra ti o n Ra te 104 Fi l tra ti o n Ra te X = A : T e m p e ra tu re Y = C: Co n ce n tra ti o n D : Stirring R ate 104 X = A : T e m p e ra tu re Y = D: S ti rri n g Ra te 88.4426 D- -1 .0 0 0 D+ 1 .0 0 0 A ctu a l Fa cto rs B : P re ssu re = 0 .0 0 C: Co n ce n tra ti o n = 0 .0 0 Filtration R ate Filtration R ate C- -1 .0 0 0 C+ 1 .0 0 0 A ctu a l Fa cto rs B : P re ssu re = 0 .0 0 D: S ti rri n g Ra te = 0 .0 0 72.8851 88.75 73.5 57.3277 58.25 41.7702 43 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 -1.00 A: Tem perature -0.50 0.00 0.50 1.00 A: Tem perature Interpretazione del Modello C ube Graph DE S IG N-E X P E RT P l o t Se un fattore viene rimosso, il piano con una sola replicazione verrà proiettato in due repliche a 23 Filtra tion R a te Fi l tra ti o n Ra te X = A : T e m p e ra tu re Y = C: Co n ce n tra ti o n Z = D: S ti rri n g Ra te 92 .38 72.2 5 A ctu a l Fa cto r B : P re ssu re = 0 .0 0 C+ C : C on ce ntration 7 4.2 5 61 .13 10 0.63 44.2 5 D+ D : Stirring R ate CA- 4 6.2 5 69 .38 A: Te m pe rature DA+ Proiettare un piano è una proprietà estremamente usata (vedere piani fattoriali frazionati) 22 Interpretazione del Modello – Superficie di risposta DE S IG N-E X P E RT P l o t DE S IG N-E X P E RT P lo t 1.00 Filtration Rate Fi l tra ti o n Ra te X = A : T e m p e ra tu re Y = D: S ti rri n g Ra te Fil tra ti o n Ra te X = A : T e m p e ra tu re Y = D: S ti rri n g Ra te 90.125 0.50 83.75 A ctu a l Fa cto rs 100.625 B : P re ssu re = 0 .0 0 C: Co n ce n tra ti o n = 86.5313 -1 .0 0 72.4375 77.375 Fi l tra ti o n Ra te D : Stirring R ate A ctu a l Fa cto rs B : Pre ssu re = 0 .0 0 C: Co n ce n tra ti o n = -1 .0 0 58.3438 0.00 51.9395 56.935 71 64.625 44.25 -0.50 1.00 1.00 0.50 0.50 -1.00 -1.00 0.00 -0.50 0.00 0.50 0.00 1.00 D: S ti rri n g Ra te-0.50 -0.50 A : T e m p e ra tu re A: Tem perature -1 .00 -1.0 0 Con la concentrazione sia al livello alto o basso, alta temperatura e alto mescolamento si stima che risulti alta la velocità di filtrazione Esperimento di Trivellazione Esempio 6.5B, pag. 285 A = carico sulla trivella, B = portata, C = velocità di rotazione, D = tipo di fango di trivellazione usato, y = velocità di avanzamento nella trivellazione 23 Stima Effetti – Esperimento di Trivellazione Model Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Error Term Intercept A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD ABCD Effect SumSqr % Contribution 0.9175 6.4375 3.2925 2.29 0.59 0.155 0.8375 1.51 1.5925 0.4475 0.1625 0.76 0.585 0.175 0.5425 3.36722 165.766 43.3622 20.9764 1.3924 0.0961 2.80563 9.1204 10.1442 0.801025 0.105625 2.3104 1.3689 0.1225 1.17722 Lenth's ME Lenth's SME 1.28072 63.0489 16.4928 7.97837 0.529599 0.0365516 1.06712 3.46894 3.85835 0.30467 0.0401744 0.87876 0.520661 0.0465928 0.447757 2.27496 4.61851 Grafico di Probabilità Semi – Normale degli Effetti Half Normal plot DE S IG N-E X P E RT P l o t a d v._ ra te load fl o w sp e e d m ud 99 97 H alf N orm al % probability A: B: C: D: B 95 90 C 85 D 80 BD BC 70 60 40 20 0 0.00 1.61 3.22 4.83 6.44 |Effect| 24 Grafici Residui Normal plot of residuals ot Residuals vs. Predicted t 2.58625 99 1.44875 90 80 70 R es idu als 50 0.31125 R esiduals vs. Pr edicted DE S G I N - EX P ER T P l ot adv ._ r at e . 58625 2 . 44875 1 Re s id u al s N orm al % pro bability 95 . 31125 0 -0 . 826 25 -1 . 963 75 1.6 9 4.7 0 7. 7 0 10.7 1 13. 71 P re di ct e d 30 20 10 -0.82625 5 1 -1.96375 -1.96375 -0.82625 0.31125 1.44875 2.58625 1.69 R es idual 4.70 7.70 10.71 13.71 Predicted Grafici Residui • I grafici residui indicano quali sono i problemi con le assunzioni di omogeneità della varianza • La consueta impostazione a questo problema è assumere una interpretazione adeguata della risposta • Le trasformazioni sono ampiamente usate y* = y λ • Le trasformazioni sono usualmente fatte per – Omogeneizzare la varianza – Portare normalità – Semplificare il modello 25 Selezionare una Trasformazione • Selezione Empirica di lambda • Più importante (teoria) conoscenza o esperienza può spesso indicare la forma di una trasformazione • Selezione Analitica di lambda: Box-Cox (1964) metodo (contemporaneamente stima i parametri del modello e il parametro lambda della trasformazione) • Box-Cox metodo attuato in Design-Expert Il Metodo Box-Cox DE S IG N-E X P E RT P l o t a d v._ ra te Box-C ox Plot for P ower Transforms Una trasformazione log è consigliata 6.85 Lam bda Cu rre n t = 1 B e st = -0 .2 3 L o w C.I. = -0 .7 9 Hi g h C.I. = 0 .3 2 La procedura fornisce un intervallo di confidenza sulla trasformazione del parametro landa 5.40 Ln(R es idualSS) Re co m m e n d tra n sfo rm : Log (L a m b d a = 0 ) 3.95 Se l’unità è inclusa nel intervallo di confidenza, la trasformazione non è necessaria 2.50 1.05 -3 -2 -1 0 1 2 3 Lam bda 26 Stima degli Effetti Seguendo la Trasformazione Log Half Normal plot DE S IG N-E X P E RT P l o t L n (a d v._ ra te ) load fl o w sp e e d m ud 99 97 H alf N orm al % probability A: B: C: D: B 95 90 Niente indicazioni sulla grandezza delle interazioni degli effetti C 85 D 80 I tre principali effetti sono grandi 70 60 Che cosa succede alle interazioni? 40 20 0 0.00 0.29 0.58 0.87 1.16 |Effect| ANOVA Seguendo la Trasformazione Log Response: adv._rate Transform: Natural log Constant: 0.000 ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model 7.11 3 2.37 164.82 < 0.0001 B 5.35 1 5.35 371.49 < 0.0001 C 1.34 1 1.34 93.05 < 0.0001 D 0.43 1 0.43 29.92 0.0001 Residual 0.17 12 0.014 Cor Total 7.29 15 Std. Dev. 0.12 Mean 1.60 C.V. 7.51 R-Squared Adj R-Squared Pred R-Squared 0.9763 0.9704 0.9579 PRESS Adeq Precision 34.391 0.31 27 Seguendo la Trasformazione Log Equazione Finale Codificata in Termini di Fattori: Ln(adv._rate) = +1.60 +0.58 * B +0.29 * C +0.16 * D Seguendo la Trasformazione Log Normal plot of residuals DE S IG N-E X P E RT P l o t L n (a d v._ ra te ) Residuals vs. P redicted DE S IG N-E X P E RT P l o t L n (a d v._ ra te ) 0.194177 99 0.104087 90 80 R es id ua ls N orm a l % p ro ba bility 95 70 50 0.0139965 30 20 10 -0.0760939 5 1 -0.166184 -0.166184 -0.0760939 0.0139965 R es idua l 0.104087 0.194177 0.57 1.08 1.60 2.11 2.63 Pred icte d 28 Altri Esempi di Piani 2k con una sola replicazione • Esperimento per pannelli di rivestimento (Esempio 6.5C, pag. 289) – Due fattori influiscono sulla difettosità media – Un terzo fattore influisce sulla variabilità – I grafici sui residui sono usati per identificare gli effetti di dispersione • Esperimento del forno di ossidazione (Esempio 6.5B, pag. 293) – Osservazioni replicate contro ripetizioni (o duplicazioni)? – Modello con all’interno - prova variabilità Altri metodi per analizzare Piani Fattoriali 2k Non Replicati • Metodo di Lenth (Vedere testo, pag. 283) – Metodo analitico per stimare gli effetti, usa la stima dell’errore formata dalla messa in comune di piccoli contrasti – Alcuni adattamenti ai valori critici nel metodo originale possono essere utili – E’ consigliato di usarlo come supplemento all’abituale grafico di probabilità normale degli effetti • Carte d’inferenza condizionale (pag.284 & 285) 29 L’aggiunta di punti centrali del piano2k • Basato sull’idea di replica di alcune prove nel piano fattoriale • Prove al centro mantengono una stima di errore e permettere all’esperimento di distinguere tra due possibili modelli: k k k First-order model (interaction) y = β 0 + ∑ β i xi + ∑∑ β ij xi x j + ε i =1 k k i =1 j > i k k Second-order model y = β 0 + ∑ β i xi + ∑∑ β ij xi x j + ∑ β ii xi2 + ε i =1 i =1 j > i i =1 yF = yC ⇒ no "curvature" Le ipotesi sono: k H 0 : ∑ β ii = 0 i =1 k H1 : ∑ β ii ≠ 0 i =1 SS Pure Quad = nF nC ( yF − yC ) 2 nF + nC Questa somma dei quadrati ha un solo grado di libertà 30 Esempio 6.6A, Pag. 303 nC = 5 Abitualmente per poter lavorare bene servono tra i 3 e i 6 punti centrali Design-Expert provvede all’analisi, includendo il test - F per una vera curva quadratica ANOVA Esempio 6.6 Response: yield ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Source Model A B AB Curvature Pure Error Cor Total Sum of Squares 2.83 2.40 0.42 2.500E-003 2.722E-003 0.17 3.00 Std. Dev. Mean 0.21 40.44 C.V. 0.51 Pred R-Squared N/A PRESS N/A Adeq Precision 14.234 DF 3 1 1 1 1 4 8 Mean Square 0.94 2.40 0.42 2.500E-003 2.722E-003 0.043 F Value 21.92 55.87 9.83 0.058 0.063 R-Squared Adj R-Squared Prob > F 0.0060 0.0017 0.0350 0.8213 0.8137 0.9427 0.8996 31 Se la curvatura è significativa, aumentare il piano con prove negli assi per creare un piano composito centrale. Il CCD è un piano molto efficace per accostare il modello di secondo - ordine Usi Pratici dei Punti Centrali (pag. 304) • Usare condizioni operative correnti come punto centrale del piano • Controllare se qualche condizione “strana” si è verificata durante l’esperimento • Controllare l’andamento nel tempo • Usare i punti centrali come alcune prove quando c’è poca o non c’è informazione sulla variabilità riferito alla grandezza del errore • Punti centrali sono fattori qualitativi? 32 Punti Centrali e Fattori Qualitativi 33