1 Implementazione: introduzione alla formal- izzazione

c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
1
1
Implementazione: introduzione alla formalizzazione
Gli elementi essenziali saranno un insieme di giocatori, un insieme dentro
al quale mettiamo tutti i possibili oggetti di scelta finale, le preferenze dei
giocatori (tutte le preferenze possibili dei giocatori) e la classe dei giochi che
possono essere chiamati a giocare.
L’idea è che uno, padrone, boss, principale, governo, costituente, etc . . . ,
abbia una ben fissata norma che sulla base delle preferenze dei giocatori determina una scelta finale (perché è quella giusta, perché è quella che conviene
di più al boss, etc . . . ). Però questo uno non conosce le preferenze dei giocatori. Per ottenere il risultato desiderato, allora, deve escogitare un opportuno
gioco che, giocato dai giocatori, produca il risultato finale desiderato.
Ci occuperemo della formalizzazione di questi discorsi. Premettendo un rapido cenno al problema della social choice cosı̀ come è stato formulato da Arrow.
Scelte sociali
Abbiamo n individui ( {1, . . . , n} = N ). Abbiamo un insieme finito C
di possibili oggetti di scelta. Assumeremo che ogni individuo i abbia preferenze su C, espresse da un preordine totale i .
La n-upla ordinata (1 , ..., n ) verrà detta profilo di preferenze. Verrà indicato con P un’insieme di profili di preferenze. Mentre R indicherà l’insieme
di tutti i preordini totali su C 1 .
→
Una social choice rule è una corrispondenza f : P −
→ C. Cioè f seleziona
un sottoinsieme non vuoto di C per ogni profilo in P.
Esempio 1 f sceglie gli elementi preferiti da 1 a N (regola dittatoriale,
con dittatore l’individuo 1).
Esempio 2 f sceglie gli elementi non dominati nel senso di Pareto.
Esempio 3 A ogni elemento di C assegniamo un punteggio sulla base
delle preferenze dei vari individui e poi sommiamo (regola di Borda). f
sceglie gli elementi di C che ottengono il punteggio massimo.
C’è un modo per costruire una social choice rule accettabile? La risposta
1
N.B.: Attenzione: gli elementi di P sono n-uple di preordini totali, mentre gli elementi
di R sono preordini totali
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
2
data da Arrow è negativa, per lo meno se si considerano delle social choice
rule esprimibili mediante aggregazione di preferenze. Cioè, se a ogni profilo
di preferenze in P vogliamo associare un preordine totale su C.
Diremo social welfare function una Φ : P → R. Ovviamente, data una Φ
possiamo ottenere facilmente una f , scegliendo l’elemento (o gli elementi) di
C che sono preferiti per il preordine totale Φ(1 , . . . , n ) e questo per ogni
(1 , . . . , n ) ∈ P.
Cerchiamo allora una Φ che soddisfi condizioni ragionevoli:
(U ) [dominio universale]: P = Rn , overossia vogliamo che Φ sia definita per
ogni profilo di preferenze
(P ) [principio di Pareto, o condizione di unanimità]:
∀ c0 , c00 ∈ C,
∀(i )i∈N :
[ c0 i c00
∀i ∈ N ] ⇒ c0 w c002 .
(IIA) [indipendenza delle alternative irrilevanti]:
∀ (i )i∈N e ∀(0i )i∈N :
0 ˆ
0 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
∀ ĉ, ĉ ∈ C
[(ĉ i ĉ) ⇔ (ĉ i ĉ) ∀i ∈ N ] ⇒ [ĉ w ĉ ⇔ ĉ w ĉ]
L’interpretazione di (IIA) è che, nel voler determinare le preferenze colˆ io devo guardare solo alle preferenze dei vari
lettive tra due alternative ĉ, ĉ,
ˆ Gli altri elementi non c’entrano. Come già
individui relativamente a ĉ e ĉ.
visto, la regola di Borda è un esempio di violazione di (IIA).
Teorema (Arrow, 1951 e 1963). Sia Φ : P → R che soddisfi U , P , IIA.
Allora Φ è dittatoriale.
Implementazione : formalizzazione
Ci porremo il problema di implementare una data social choice rule. Per
strutturare il problema abbiamo bisogno di fissare ancora due elementi.
Uno è il tipo di gioco che pensiamo di fare giocare ai vari individui, o per
meglio dire a quale formalizzazione siano interessati: può essere un gioco in
2
v))
Indico per comodità Φ((i )i∈N ) = w, e di conseguenza A per Φ((i )i∈N ) (w e ( non
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
3
forma strategica o in forma estesa, ad informazione completa od incompleta.
Noi ci occuperemo solamente di giochi in forma strategica ad informazione
completa.
L’altro elemento riguarda il tipo di razionalità strategica che presupponiamo, e che verrà incorporato nella scelta di un particolare concetto di
soluzione: equilibrio di Nash, strategie dominanti, equilibri correlati, strategie razionalizzabii, evolutionary stable strategies (ESS), equilibri perfetti nei
sottogiochi, equilibri perfetti (propri, persistenti), equilibri di qualche sistema di apprendimento, etc . . .
Noi ci limiteremo al concetto di equilibrio di Nash ( si noti che l’avere scelto la
forma strategica di per sé rende inapplicabili concetti tipici della forma estesa,
quali gli equilibri perfetti nei sottogiochi, così come gli equilibri sequenziali
(cfr Milgrom e Weber)).
I problema sarà quindi il seguente: data una choice rule, come implementarla, quale equilibrio di Nash per un opportuno gioco in forma strategica?
Vanno però ancora precisate alcune cose. Teniamo presente che il decisore
centrale non può imporre le preferenze ai giocatori3 ! Quindi lui potrà scegliere
solo la game form. Cioè il gioco fisico da fare giocare, che però poi avrà uno
oppure un altro equilibrio di Nash a seconda di quali siano le preferenze dei
giocatori.
Quindi sarà opportuno spezzare anche formalmente un gioco nelle sue due
componenti: game form e preferenze dei giocatori.
Fin qui abbiamo visto una pre - descrizione a chiacchiere di quanto faremo
formalmente. C’è però un punto importante che non può essere sottaciuto:
c’è una apparente contraddizione in quello che stiamo facendo. Da una parte
abbiamo il decisore centrale che non conosce le preferenze dei giocatori (se
no potrebbe imporre per legge4 l’oggetto c ∈ C che lui associa mediante f
alle preferenze dei giocatori).
Questo conduce naturalmente ad una modellizzazione ad informazione
incompleta. Potrebbe quindi esserci una contraddizione: perché considerare l’equilibrio di Nash anziché quello Nash - bayesiano in un contesto di
informazione incompleta? Ancora peggio: perché modellizzare l’interazione
strategica dei giocatori come gioco ad informazione completa (come è stato
già anticipato), se siamo evidentemente in un contesto di informazione incompleta? A questa domanda risponde Maskin. L’argomentazione principale
è la segente: può benissimo succedere che il decisore centrale non conosca le
preferenze dei giocatori mentre loro se le conoscono reciprocamente.
3
4
In questo modello che studiamo. Ma con un pò di pubblicità. . .
Se può. Ma, comunque, il problema cambia se il boss sa le preferenze!!
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
4
Altra situazione in cui la implementazione in Nash può avere senso è
quando il decisore centrale è un constitutional designer.
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
5
Passiamo finalmente alla formalizzazione. Abbiamo:
- n individui ({1, 2, . . . , n} = N )
- C insieme finito (degli oggetti di scelta, o conseguenza)
- P un insieme di profili di preferenze. Indicheremo con un generico
elemento di P. Attenzione che = (1 , . . . , n ), con i preordine
totale su C per ogni i ∈ N .
→
- f :P−
→ C una corrispondenza (cioè f () è un sottoinsieme non vuoto
di C per ogni ∈ P). È la choice rule.
Diremo game form strategica a conseguenze in C 5 una terna
G = (N, (Ai )i∈N , g), dove N è quello di prima, gli Ai sono insiemi e g : A → C
è detta outcome function (A = Πi∈N Ai ; C è quello di prima).
È evidente che una game form e un profilo di preferenze ci danno un gioco
in forma strategica:
(N, (Ai )i∈N , wi ) = (G, ), dove a0 = (a01 , . . . , a0n ) wi (a001 , . . . , a00n ) = a00 se e
solo se g(a0 ) i g(a00 ).
Naturalmente saremo interessati ad un dato insieme G di game forms.
E abbiamo anche bisogno (in generale) di un solution concept, che è una
corrispondenza S che ad ogni gioco (G, ) tale che G ∈ G e ∈ P, associa
un sottoinsieme di A.
Ovviamente per noi G sarà N , che ad ogni gioco assegna i profili di strategia che sono equilibrio di Nash.
Possiamo finalmente parlare di implementazione.
Definizione (179.1 di Osborne - Rubinstein) Sia dato un environment E =
→
(N, C, P, G). E sia S un solution concept per E. Sia infine f : P −
→ C una
choice rule. Diremo che G = (N, (Ai )i∈N , g) ∈ G S-implementa f se:
∀ ∈ P ,
g(S(G, )) = f ()
Ovviamente diremo che f è S−implementabile se esiste G che S- implementa f .
Per una rappresentazione diagrammatica della definizione, vedasi la figura 1.
5
d’ora in poi detta game form, se non cè rischio di confusione
6
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
P
f
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−→
−−
G &
C
%g
S
G, = N, A, w −−−
−→
−−
− A
↑
vero profilo
di preferenze
Figura 1. (G S-implementa f )
ˆ ∈P
Sia ˆ
f
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−→
−−
−
G&
ˆ 3 g(a∗ )
f %g
S
ˆ = N, A, ŵ −−−−−
G, −→
−−
− {(w)j∈N ...}
Figura 2. (truthful S-implementazione f )
“Truthful implementation” e “revelation principle”
Vediamo ora la nozione di truthful G- implementation.
Definizione (179.2 di O- R). Sia E = (N, C, P, G) un environment con la
condizione che per ogni G = (N, (Ai )i∈N , g) ∈ G si ha che Ai = P ∀i ∈ N .
Sia S un solution concept ed f una choice rule. Diremo che G ∈ G truthfully
S - implementa la choice rule f se ∀ ∈ P si ha:
7
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
- a? ∈ S(G, ), dove a? = (a?i )i∈N e a?i = ∀i ∈ N
(cioè: a? ci dice che ogni giocatore riporta il vero profilo di preferenze)
- g(a? ) ∈ f ()
(cioè: l’esito che si ottiene dal gioco se ogni giocatore riporta il vero
profilo di preferenze è uno di quelli buoni, cioè è tra quelli che la choice
rule individua).
Questo è uno schema generale, non ristretto al solo equilibrio di Nash.
Ma il revelation principle lo troveremo per gli equilibri di Nash.
Teorema (Lemma 185.2 di O- R) Revelation principle. Sia E un environment. Se f è N -implementabile, allora f è anche truthfully N -implementabile.
Dimostrazione Si tratta di utilizzare l’idea di funzione composta, e poco
più.
→
Sia G = (N, (Ai )i∈N , g) una game form che Nash-implementa f : P −
→ C.
Per ogni = (1 , . . . , n ) ∈ P, sia (ai ())i∈N un equilibrio di Nash del
gioco (G, ).
Definiamo una nuova game - form G? = (N, (Ai )i∈N , g ? ). Dove A?i =
P ∀i ∈ N (siamo obbligati a fare così per definizione di truthful implementation). E dove g ? (p) = g((ai (pi ))i∈N ) per ogni p ∈ Πi∈N A?i .
Si noti che ogni pi è un profilo di preferenze, e quindi p è un profilo di
profili di preferenze! Siamo a livelli quasi demenziali. Ma funziona.
ˆ ∈ P : p? = (pi )i∈N , con pi = ˆ ∀ ∈ N , è un
Infatti si ha che, dato equilibrio di Nash per (G? , ). Inoltre, g ? (p? ) ∈ f ().
Vediamo per esteso la costruzione nel caso di N = {I, II}, cioè con due
giocatori:
→
Sia G = (AI , AII , g) una game form che N -implementa f : P −
→ C.
Per ogni ∈ P, sia (aI (), aII ()) equilibrio di Nash per (G, ).
Definiamo G? = (P, P, g ? ), dove:
?
g (0I , 0II ), (00I , 00II ) = g(aI (0I , 0II ), aII (00I , 00II )).
ˆ ∈ P. Dobbiamo dimostrare che (,
ˆ )
ˆ è equilibrio di Nash
Sia allora ?
ˆ
del gioco costruito a partire dalla game - form G e dalle preferenze .
Cioè che:
?
?
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
I , II , I , II
I g
I , II , I , II
∀(I , II ∈ P)
g
(e ovviamente l’analoga condizione per II, che non trascrivo). Vale a dire:
ˆ I, ˆ II , aII ˆ I, ˆ II
g aI ˆI
g aI I , II , aII
ˆ I, ˆ II
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
8
∀(I , II ) ∈ P
ˆ I, ˆ II ), aII (
ˆ I, ˆ II )) è equilibrio di Nash per
Ma noi sappiamo che (aI (
(G, ).
Quindi:
ˆ I, ˆ II ), aII (
ˆ I, ˆ II )) ˆI
g(aI (
ˆ I, ˆ II ))
g(a0I , aII (
∀a0I ∈ P
E quindi sarà vero, a maggior ragione per gli a0 del tipo aI (I , II ).
Funziona!
Ora che abbiamo visto un esempio di revelation principle in azione, con
tutti i dettagli, è il caso di mettere in evidenza i problemi di questo concetto.
Questi sono essenzialmente due, come si vede dalla definizione:
- possono esserci soluzioni NON truth telling (cioè non si chiede che
{a? } = S(G, ) ∀ ∈ P):
- possono esserci profili di preferenze per i quali non ogni esito preferito
secondo f è una soluzione del gioco
(cioè non si chiede che g(S(G, )) = f ()):
Va detto (e su questo Maskin pone particolarmente l’accento) che non
sempre in letteratura è stata prestata la dovuta attenzione a questi difetti.
Condizioni necessarie e condizioni sufficienti di N -implementabilità
Se uno ha ricavato un po’ di interesse per il problema di implementazione,
gli suggerisco di leggere anche la parte che O- R dedicano alla implementazione in strategie dominanti. Vale anche la pena di vedere Maskin su un
approccio, che usa l’idea di effectivity function.
QUANTO SEGUE E’ RICOPIATO DA Osborne e Rubinstein
Nash Implementation
[We have shown] that any Nash - implementable choice rule is also truthfully Nash - implementable: there is a game form in which (i) each player
has to announce a preference profile and (ii) for any preference profile truth -
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
9
telling is a Nash equilibrium. This result serves two purposes. First, it helps
to determine the boundaries of the set of Nash - implementable choice rules.
Second, it shows that a simple game can be used to achieve the objective of
a planner who considers truthful Nash equilibrium to be natural and is not
concerned about the outcome so long as it is in the set given by the choice
rule6 .
Lemma 185.2 (Revelation principle for Nash implementation)
Let (N, C, P, G) be an environment in which G is the set of strategic game
forms. If a choice rule is Nash-implementable then it is truthfully Nashimplementable.
Proof. Let G = (N, (Ai )i∈N , g) be a game form that Nash - implements
→
the choice rule f : P −
→ C and for each ∈ P let (ai ()) be a Nash equilibri?
?
um of the game (G, ). Define a new game form G? = (N, (AQ
i ), g ) in which
A?i = P for each i ∈ N and g ? (p) = g((ai (pi ))) for each p ∈ i∈N A?i . (Note
that each pi is a preference profile and p is a profile of preference profiles).
Clearly the profile p? in which p?i = for each i ∈ N is a Nash equilibrium
of (G? , ) and g ? (p? ) ∈ f ().
Note that it does not follow from this result that in an analysis of Nash
implementation we can restrict attention to games in which each player announces a preference profile, since the game that truthfully Nash - implements the choice rule may have non - truthful Nash equilibria that generate
outcomes different from that dictated by the choice rule. Note also that it is
essential that the set of actions of each player be the set of preference profile,
not the (smaller) set of preference relations, as in part (b) of the revelation
principle for DSE - implementation (Lemma 181.4).
We now define a key condition in the analysis of Nash implementation.
→
DEFINITION 186.1 A choice rule f : P −
→ C is monotonic if when0
ever c ∈ f () and c ∈
/ f ( ) there is some player i ∈ N and some outcome
b ∈ C such that c i b and b 0i c.
That is, in order for an outcome c to be selected by a monotonic choice
rule when the preference profile is but not when it is 0 the ranking of c
relative to some other alternative must be worse under 0 than under for
6
Rinvio chi fosse interessato a vedere quanto detto negli appunti sugli equilibri correlati
a proposito di due definizioni di equilibrio correlato e sul fatto che la prima risulta essere
“sufficiente”
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
10
at least one individual.
An example of a monotonic choice rule f is that in which f () is the
set of weakly Pareto efficient outcomes: f () = {c ∈ C : there is no b ∈
C such that b i c ∀i ∈ N }. Another example is the rule f in which
that f () consists of every outcome that is a favorite of at least one player:
f () = {c ∈ C : there exists i ∈ N such that c i b ∀b ∈ C}.
PROPOSITION 186.2 Let (N, C, P, G) be an environment in which G
is the set of strategic game forms. If a choice rule is Nash-implementable
then it is monotonic.
→
Proof. Suppose that the choice rule f : P −
→ C is Nash-implemented by
a game form G = (N, (Ai ), g), c ∈ f (), and c ∈
/ f (0 ). Then there is an
action profile a for which g(a) = c that is a Nash equilibrium of the game
(G, ) but not of (G, 0 ). That is, there is a player j and action a0j ∈ Aj
such that g(a−j , a0j ) 0j g(a) and g(a) j g(a−j , a0j ). Hence f is monotonic.
EXAMPLE 186.3 (Solomon’s predicament) The biblical story of the Judgement of Solomon illustrates some of the main ideas of implementation theory.
Each of two woman, 1 and 2, claims a baby; each of them knows who is the
true mother, but neither can prove her motherhood. Solomon tries to educe
the truth by threatening to cut the baby in two, relying on the fact that the
false mother prefers this outcome to that in which the true mother obtains
the baby while the true mother prefers to give the baby away than to see it
cut in two. Solomon can give the baby to either of the mothers or order its
execution.
Formally, let a be the outcome in which the baby is given to mother 1, b that
in which the baby is given to mother 2, and d that in which the baby is cut
in two. two preference profiles are possible:
θ (1 is the real mother): a 1 b 1 d and b 2 d 2 a
θ0 (2 is the real mother): a 01 d 01 b and b 02 a 02 d.
Despite Solomon’s alleged wisdom, the choice rule f defined by f (θ) = {a}
and f (θ0 ) = {b} is not Nash - implementable, since it is not monotonic:
a ∈ f (θ) and a ∈
/ f (θ0 ) but there is no outcome y and player i ∈ N such that
a i y and y 0i a. (In the biblical story Solomon succeeds in assigning the
baby to the true mother: he gives it to the other woman than be cut in two.
Probably the women did not perceive Solomon’s instructions as a strategic
game form).
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
11
The interest of a result of this type, like that of the folk theorems in
Chapter 8, depends on the reasonableness of the game form constructed in
the proof. A natural component of the game form constructed here is that a
complaint against a consensus is accepted only if the suggested alternative is
worse for the complainant under the preference profile claimed by the other
players. A less natural component is the shouting part of the game form,
especially since shouting bears no cost here.
The strength of the result depends on the size of the set of choice rules
that are monotonic and have no veto power. If there are at least three alternative and P is the set of all preference profiles then no monotonic choice
function has no veto power. (This follows from Muller and Satterthwaite
(1977, Corollary on p. 417); note that a monotonic choice function satisfies
Muller and Satterthwaite’s condition SPA). Thus the proposition is of interest only for either a nondegenerate choice rule or a choice function with a
limited domain.
The game form in the proof of the proposition is designed to cover all
possible choice rules. A specific choice rule may be designed to cover all
possible choice rules. A specific choice rule may be implemented by a game
form that is much simpler. Two examples follow.
Example 189.1 Suppose that an object is to be assigned to a player in
the set {1, . . . , n}. Assume first that for all possible preference profiles there
is a single player who prefers to have the object than not to have it. The
choice function that assigns the object to this player can be implemented by
the game form in which the set of actions of each player can be implemented
by the game form in which the set of actions f each player is {Yes, No} and
the outcome function assigns the object to the player with the lowest index
who announces Yes if there is such a player, and to player n otherwise. It is
easy to check that if player i is the one who prefers to have the object than
not to have it then the only equilibrium outcome is that i gets the object.
Now assume that in each preference profile there are two (privileged )
players who prefer to have the object than no to have it, and that we want
to implement the choice rule that assigns to each preference profile the two
outcomes in which the object is assigned to one of the players.
The game form just described does not work since, for example, for the
profile in which these players are 1 and 2 there is no equilibrium in which
player 2 gets the object. The following game form does implement the rule.
Each player announces a name of a player and a number. If n − 1 players
announce the same name, say i, then i obtains the object unless he names a
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
12
different player, say j, in which case j obtains the object. In any other case
player who names the largest number gets the object.
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
13
Bibliografia
Una piccola bibliografia, “micro-commentata”. Contiene anche riferimenti
alla teoria delle aste (che sono meccanismi ben noti!!!)
Akerlof, George [1970]: The market for Lemons: Qualitative Uncertainty
and the Market Mechanism,
Quaterly Journal of Economics, 84, 488 - 500.
Si analizzano le distorsioni che l’informazione asimmetrica genera sul mercato.
Arrow, Kenneth J. [1951]: Social Choice and Indiviual Values, Wiley, New
York; seconda edizione, con importanti correzioni: 1963.
Il teorema del dittatore. È la Cowles Commission Foundation Monograph n.
12.
C’è una traduizione italiana (credo edita dalla Etas Kompass).
Binmore, Ken [1992]: Fun and games, Health, Lexington.
Vedasi il cap. 11 per le aste. Ho preso da qui il materiale per il secondo
seminario.
Black, R. D. [1958]: The Theory of Committees and Elections, cambridge
University Press.
Interessante anche per l’analisi storica.
Blin J. - M. e Mark A. Satterthwaite [978]: Individual Decision and Group
Decisions: The Fundamental Differences, Journal of Public Economics, 10,
247 - 267.
Interessante discussione della relazione tra il teorema di impossibilità di Arrow e la manipolabilità degli schemi di votazione.
Borda, J. C. [1781]: Mémoire sur les elections au scrutin, Mémoire de l’Académie Royale des Scienzes.
Traduzione in inglese in Isis, 44, 1953. Segna, assieme a Condorcet, l’inizio
della teoria delle votazioni nei comitati.
Clarke, E. [1971]: Multipart pricing of Public Goods, Public Choice, 8, 19 33.
Meccanismo di Clarke e Groves.
Condorcet, Marquis de [1785]: Essai sur l’application de l’analyse á la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, Parigi, 1785.
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
14
Segna, assieme a Borda, l’inizio della teoria delle votazioni nei comitati.
Crawford, Vincent e Joel Sobel [1982]: Strategic information transmission,
Econometrica, 50, 1431 - 1452.
Un lavoro importante che affronta il problema di come trasmettere in modo
“strategico” l’informazione che si ha.
Dasgupta, Partha, Peter Hammond e Eric Maskin [1979]: The implementation of social choice rules: some general results on incentive compatibility,
Review of Economic Studies, 46, 185 - 216.
Un classico per i problemi di implementazione.
D’ Aspremont, Claude e L. - A. Gerard - Varet [1979]: Incentives and Incomplete Information, Journal of Public Economics, 11, 25 - 45.
Schema sui rapporti tra pb. incentivi e la struttura dell’informazione a disposizione dei vari agenti coinvolti.
Fahrquason, R. [1969]: Theory of Voting, Yale University Press.
Per la prima volta il problema di votazione viene visto come gioco.
Fundenberg, Drew e Jean Tirole [1991]: Game Theory, MIT Press, Cambridge (massachusset).
vedasi il cap. 7 peri meccanismi bayesiani.
Gibbard, Alan [1973]: Manipulation of voting schemes, Econometrica, 41,
587 - 601.
Viene introdotto il revelation principle.
Glazer J. e C. A. Ma [1989]: Efficient Allocation of a ‘Prize’ - King Solomon’s
Dilemma, Games and Economic Behavior, 1, 222 - 223.
L’esempio citato da Osborne e Ruinstein a proposito di implementazione in
equilibri di Nash.
Gree, Jerry e Jean - Jacques Laffont [1979]: Incentives in Public Decision
Making, North Holland, Amsterdam.
Il titolo dovrebbe essere abbastanza chiaro, no?
Groves, Theodore [1973]: Incentives in Teams, Econometrica, 41, 617 - 631.
Meccanismo di Groves e Clarke.
Haake, Claus - Jochen [1998]: Implementation of the Kalai - Smorodinski
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
15
Bargaining Solution in Dominant Strategies, preprint, Institute of Mathematical Economics, University of Bielefeld, Germania.
Recente applicazione della implementazione in Nash, che segue “fedelmente”
l’impostazione di Osborne e Rubinstein.
Hart, Oliver [1983]: Optimal Labour Contracts Under Asymmetric Information: An Introduction, Review of Economic Studies, 50, 3 - 35
Contratti con asimmetria di informazione. Un meccanismo che li implementa
è il contratto di autorità alla Simon (vedi).
Harsanyi, John C. e Reinhard Selten [1972]: A Generalized Nash Solution
for two - person bargaining games with incomplete information, Management
Science, 18, P - 80 - P - 106.
La soluzione per bargaining ad informazione incomleta su cui si fonda l’articolo di Myerson del 1979.
Kalai, Ehud e M. Smorodinsky [1975]: Other Soltions to Nas’s Bargaining Problem, Econometrica, 43, 513 - 518.
Dopo 25 anni, nuove idee nell’approccio assiomatico al problema della contrattazione. Un assioma diverso (“monotonia”) porta a una soluzione diversa
da quella di Nash. Qui è riportato come riferimento per capire il lavoro di
Haake.
Laffont, Jean - Jacques e Eric Maskin [1982]: The Theory of Incentives:
an Overview, in “Advances in Economic Theory”, (curatore: Werner Hildenbrand), Cambridge University Press, Cambridge.
Un survey.
Maskin, Eric [1985]: Theory of Implementation in Nash equiibria, in “Social Goals and Social Organization”, (curatori: L. Hurwicz, David Scmeidler
e H. Sonnenschein), Cambridge University Press, Cambridge, 173 - 204.
Riferimento eccellente per la implementazione in Nash.
Mc Afee R. P. e J. McMillan [1987]: Auctions and Bidding, Journal of Economic Literature, 25, 699 - 738.
Lavor di rassegna, suggerito da Mori.
Milgrom, P. [1989]: Auctions and bidding: A primer, Journal of Economic Perspectives, 3, 3 - 22.
Lavoro di rassegna, “particolarmente consigliato” da Mori.
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
16
Milgrom, P. [1985]: The Economics of Competitive Bidding: A Selective
Survey, in: “Social Goals and Social Organization”, (curatori: L. Hurwicz,
David Schmeidler e H. Sonnenschein), Cambridge University Press, Cambridge, 262 - 289.
Lavoro di rassegna, “particolarmente consigliato” da Mori.
Milgrom, P. [1987]:Auction Theory, in: “Advnces in Economic Theory”, (curatore: Truman Bewley), Cambridge University Press, Cambridge.
Lavoro di rassegna, suggerito da Mori.
Milgrom, P. e Weber, R. J. [1982]: A Theory of Auctions and Competitive Bidding, Econometrica, 50, 1089 - 11223.
Suggerito da Mori come articolo fondamentale. Modello generale di aste
comprendente quelle a valori privati indipendenti, a valori comuni e miste.
Mori, Pier Angelo, e Fioravante Patrone [1992]: Partial Employer Authority
as Optimal Labour Contract, manoscritto.
Meccanismi nei contratti di lavoro. Mai pubblicato...
Myerson, Roger B. [1979]: Incentive Compatibility and the Bargaining Problem, Econometrica, 47, 61 - 73.
Cosa si può ottenere nella contrattazione in caso di informazione incompleta.
Vedasi anche Harsanyi e Selten.
Myerson, Roger B. [1981]: Optimal Auction Design, Mathematics of Oper. Res. , 6, 58 - 73.
Lavoro fondamentale sulle aste a valori privati indipendenti.
Myerson, Roger B. [1991]: Game theory: Analysis of Conflict, Harvard University Press, Cambridge (MA).
Vedasi in particolare il cap. 6 (usato per giochi con contratti ed equilibri
correlati) e cap 10.
Osborne e Ariel Rubinstein [1994]: A Course in Game Theory, MIT Press,
Cambridge. (Massachussets).
Queste note sono basate essenzialmente sul cap. 10 di questo libro; vedasi
però anche Maskin (1985).
Rasmusen, Eric [1989]: Games and Information, Basil Blackwell, Oxford.
C’è il capitolo 11 che è dedicato alle aste. Traduzione italiana: “Teoria dei
giochi ed informazione”, Hoepli, Milano, 1993.
c
Teoria dei Giochi, Trento, 2003/04 Fioravante
Patrone
17
Riley, J. G. e W. F. Samuelson [1981]: Optimal Auctions, American Economic Review, 71, 381 - 392.
Suggerito da Mori come articolo fondamentale per le aste (aste a valori privati indipendenti).
Satterhwaite, Mark A.[1975]: Strategy - proofness and Arrow’s conditions:
existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions, J. Econ. Theory, 10, 187 - 217.
Il teorema cosiddetto di Gibbard - Satterthwaite.
Sen, Amartya [1970]: Collective Choice and Social Welfare, Holden - Day,
San Francisco.
Ottimo libro di riferimento per la teoria della scelte sociali.
Simon, Herbert [1951]: A Formal Model of the Employment Realtion, Econometrica, 19, 293 - 305.
Contratti d’autorità.
Vickerey, Wiliam [1961]: Counterspeculation, Auctions, and Competitive
Sealed tenders, Journal of Finance, 16, 8 - 37.
Il contributo fondamentale di Vickrey sulle aste. In particolare, il “revenue
equivalence theorem”.
Vilson, R. [1992]: Strategic Analysis of Auctions, in: “Handbook of Game
Theory”, (curatori: R. J. Aumann e S. Hart), North - Holland, Amsterdam,
228 - 279.
Lavoro di rassegna, suggerito da Mori.