raccolta temi d`esame
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Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali-Prof.M.Cini Prova scritta del 19/2/02 Problema 1 (6/30) Le coordinate spazio-temporali di due eventi sono, per un osservatore O x1 = 6 * 1 04 m, y1 = z1 = 0 m,t1 = 2 * 1 0−4 s x 2 = 1 2 * 1 04 m,y 2 = z2 = 0 m,t2 =1*10 −4 s. L’osservatore O’ viaggia rispetto ad O con velocita’ v lungo l’asse x, e trova che i due eventi sono simultanei. Calcolare v. Problema 2 (6/30) Verificare la seguente relazione nel caso del sottoguscio n = 2 e l = 1 di un atomo: l 2l +1 2 = ∑ Υlm . 4 m =− l Commentare il significato fisico. Problema 3 (9/30) Per un oscillatore armonico di pulsazione ω, l’operatore di annichilazione e’, com’e’ h 1 x noto, a = , dove . Si calcoli la media sullo stato x0 = + ix p 0 m 2 x0 fondamentale 0 degli operatori: ‡ 2 W = aa a 4 a ‡ 2 ‡ ‡2 Z = a a + a a aa 2 2 ‡2 Problema 4 (9/30) Usando la regola [AB,C]_ = A[B,C]_ + [A,C]_ B, calcolare i commutatori [px ,x 2] [Lz ,x 2 ] 2 [Lz ,x 2] Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali-Prof.M.Cini Prova scritta del 19/2/02 Soluzione dei problemi Soluzione 1 t'2 −t'1 = (t2 − t1 ) − (x2 − x1 ) 1− v c2 v2 c2 deve esser nullo; risolvendo, si trova 1 v =− . 2 c Soluzione 2 Le tre armoniche sferiche sono: Υ1−1 ( , 3 −i sin e , Υ10 ( , 8 )= )= 6 cos , Υ11( , 8 )= 3 i sin e 8 ed i moduli quadrati 3 6 3 2 2 2 2 2 sin , Υ10 ( , ) = cos , Υ11 ( , ) = sin . 8 8 8 la verifica richiesta è immediata. Mediando su un guscio non vi sono direzioni privilegiate. Υ1−1 ( , ) 2 = Soluzione 3 W = 0 perche’ ci sono 4 operatori di creazione e 5 di annichilazione. Inoltre, usando le regole di commutazione, e la normalizzazione degli stati, ‡ Z = a (1+ a a)a 2 ‡2 = aa 3 ‡3 Soluzione 4 [p, x 2 ] = −2ihx [Lz ,x 2] = 2ihxy [Lz ,x 2 ] = 2h2 (x2 − y 2 ) + 4ihxyLz 2 = 3!= 6. Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali-Prof.M.Cini Prova scritta del 5/3/02 Problema 1 (6/30) Il razzo O’ viaggia rispetto ad stazione spaziale O con velocita’ v. Il pilota del razzo dice che l’oblo’ da cui guarda la stazione e’ lungo 4 m, e che ad un certo istante la sua lunghezza e’ stata identica a quella di una finestra della stazione, parallela al moto. Il capostazione dice invece che la finestra e’ lunga 5 m. Qual’e’ la velocita’ v? Problema 2 (12/30) Un sistema a 2 livelli e’ descritto dall’Hamiltoniana H = a b + b a, dove a e b sono stati quantici ortonormali. Se al tempo t=0 la misura dell’Osservabile A= a a − b b fornisce A=1, per quale t per la prima volta il sistema e’ certamente in b? Problema 3 (12/30) Una particella di massa m in una dimensione e’ confinata fra 0 e L lungo l’asse x ( il potenziale e’ nullo fra 0 e L ed infinito fuori). Calcolare gli autovalori dell’energia e le loro degenerazioni in presenza della piccola perurbazione H' ( a) = V ( x − a), a ∈ (−∞,∞). Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali-Prof.M.Cini Prova scritta del 5/3/02: soluzione dei problemi Soluzione 1 5 = 4 1− v 3 v2 ; risolvendo, si trova = . 2 c c 5 Soluzione 2 Gli autostati di H sono: a + b a −b , −= 2 2 con autovalori 1 e –1 rispettivamente. Pertanto al tempo t=0, + = (0) = a = + + 2 − ; al tempo t, eit + −e− it ( t) = + = a cos(t) − i b sin( t). 2 Quindi, il sistema si trovera’ per la prima volta in b per t = 2 . Soluzione 3 Se a non e’ nell’intervallo, la correzione e’ nulla e lo spettro, com’e’ noto’ e’ dato da h2 2 2 n = 2 n ,n = 1,2,.... 2mL h2 2 2 Altrimenti, n ≈ 2 n + n H' ( a) n 2mL dove, con x nell’intervallo, n a 2 n x 2V ; la correzione vale n H' (a) n = . sin sin 2 n (x ) = L L L L Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali Prof.Michele Cini-Prova scritta del 30/9/2002 Problema 1 (9/30) Una astronave viaggia rispetto ad una stazione spaziale con velocita’ v. Il pilota piazza due specchi A e B, il primo in testa e l’altro in coda, a distanza AB=2l0 fra loro; l0 l0 S A B una sorgente di luce S in mezzo all’astronave emette un segnale che arriva simultaneamente in A e B dopo un tempo 0. Per un osservatore sulla stazione spaziale l’arrivo del segnale in B precede l’arrivo in A di un tempo ∆t. ∆t qual’e’ la velocita’ v? Se =1, 0 Problema 2 (12/30) Un oscillatore è preparato al tempo t=0 nello stato ψ (0 ) = 1 2 1 + 2 , dove n 5 5 1 indica l’autostato con autovalore En = hω n + . 2 a) Scrivere la funzione d’onda al tempo t. b) Calcolare il valore d’aspettazione dell’energia. c) Calcolare il valore d’aspettazione dell’operatore posizione. Problema 3 (9/30) 0 0 Un sistema quantistico a 2 livelli ha hamiltoniana H = . 0 Si calcoli in funzione di α reale il valore di aspettazione dell’energia nello stato (da 0 1 1 normalizzare) = e 0 0 . (Cenno: espandere l’esponenziale). 0 Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali Prof.M.Cini- risoluzione dei problemi -Prova scritta del 30/9/2002 Soluzione 1 l0 v2 ; nella stazione spaziale la lunghezza e’ l = l0 1− 2 . c c l l I tempi per arrivare in A e in B sono dati da A = , B= . c+ v c− v ∆t v 1 2v Quindi = , e viene = . 2 2 c 5 c −v 0 Per l’astronauta, (0) = Soluzione 2 3 5 −i ωt − i ωt 1 2 2 2 . a) ψ( t) = 1e + 2 e 5 5 1 b) H = hω a + a + ,dunque 2 H = 3 5 3 5 1 i t i t −i t −i t 23 . 2 1 1 2 + 1e 2 + 2 e 2 h a a + 1e 2 + 2 e 2 = h 10 5 5 2 5 5 <H> e’ una costante. h 4 h + c) x (t ) = ψ (t ) a + a ψ ( t ) = cosωt . 2mω 5 mω Oscilla in funzione del tempo con la frequenza del quanto. Soluzione 3 1 = ; normalizzando, Poiche’ il quadrato della matrice all’esponente e’ nullo, Si ottiene = 2 1 1+ 2 , e il valor medio e’ H = 1+ 2 . Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali-Prof.M.Cini Prova scritta del 17/12/02 Problema 1 (10/30) Un razzo si allontana da terra in linea retta lungo l’asse x positivo. Un UFO viene avvistato da terra e da un razzo, mentre si muove anch’esso in linea retta lungo l’asse x. Visto da terra, l’UFO si muove a 0.5 c, mentre visto dal razzo si muove a –0.5 c. Qual’e’ la velocita’ del razzo? Problema 2 Si calcoli il commutatore [e , p̂]− . (10/30) ikx Problema 3 (10/30) Siano M ,M =1,0, −1 gli autostati di L2,Lz con L = 1, Lz = M. Su questa base, esprimere l’autostato di L2,Lx con L = 1, Lx =1. Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali-Prof.M.Cini Prova scritta del 17/12/02: soluzione dei problemi Soluzione 1 La legge di composizione relativistica delle velocita’ dice che VT = la velocita’ incognita, u = VR −VT ; viene u=0.8 c. 1−VR VT VR + u dove u e’ 1+ uVR Soluzione 2 E’ noto dal corso che [ x n , p̂]− = ihnx n −1, cioe’ [ x n , p̂]− = ih ih d n x . La risposta e’ dx d ikx ikx e = −hke . dx Soluzione 3 0 1 0 1 1 0 1 . L’autovettore con E’ noto dal corso che sulla base indicata Lx = 2 0 1 0 1 + 2 0 + −1 autovalore 1 e’ . 2 Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali-Prof.M.Cini Prova scritta del 27/2/2003 Problema 1 Un punto materiale in una dimensione ha una lagrangiana classica 1 1 L(x, ẋ) = mẋ 2 − kx 2 ; si passi ad un sistema di riferimento naturalmente accelerato 2 2 1 di cordinata s ponendo x = s + at 2 . Si ricavino le equazioni del moto nei due 2 sistemi di riferimento dandone una breve discussione fisica. Problema 2 Da una astronave A esce un razzo B che a sua volta lancia una scialuppa spaziale C contenente un cannone che spara un proiettile D. La velocita’ di A rispetto a terra e’ v=0.5 c, ma anche la velocita’ di B rispetto ad A, di C rispetto a B e di D rispetto a C sono tutte parallele ed uguali a v. Qual’e’ la velocita’ di D rispetto a terra? Problema 3 1 = ; qual’e’ il valore di aspettazione 0 rr r .n dello spin nella direzione n = (sin cos ,sin sin ,cos )? Qual’e’ la probabilita’ che misurando lo spin in tale direzione si trovi che e’ su? Un elettrone e’ descritto dallo spinore Istituzioni di Fisica Teorica-CdL Scienza dei Materiali-Prof.M.Cini Prova scritta del 27/2/03: soluzione dei problemi Soluzione 1 2 1 1 1 2 L(s, ṡ,t) = m ( ṡ + at) − k s+ at 2 ; 2 2 2 dalle equazioni di Eulero-Lagrange viene 1 2 2 m( s˙˙ + a) = −k(s+ at ) . Nel sistema accelerato il punto di equilibrio dell’oscillatore 2 accelera e compare una forza inerziale. Soluzione 2 vA + u Usando vB = , e simili, si trova in successione 1+ v Au v B = 0.8, vC = 0.928571, v D = 0.97561, sempre in unita’ di c. Mediando r r cos .n = sin ei cos 2 ↑ = i sin e 2 Soluzione 3 sin e rr viene .n = cos . Poiche’ − cos −i 2 la probabilita’ e’ . P↑ = cos , 2 !"#$%&'()*+,-!. (/&'(/0%12,3*+,-4-, "#, 56$789(:;%<2, 5:$ =>? @ A ?:B CDEFG H @ I GJC K/L M C I K N G2B I COP/G Q I @ C G R CFS>TO@ ? U V>P:C M W I R I2=OC K C XDY Z [ \]^ _ Y ` a a \]b c def g]h ` i h j Zkg l l m nea c oDp Zkb ` ^ p Z j ` q ` d crf]Z Y \ s #t u v wDx y z%{|} ~ H ? Q G @ I/ O>92 ] @ C A I Q Q ?6G R R G A A I#6B CD|O eB CD|/I2B CO| |B C A M H Q I KeB ?2CD@ C A H R Q G Q C V t#u v wDx y z%{ N C KeG R G2I G @ Q C M I R R G2A I K N GJA C KC K B C 6I KeA C ? K I#A CFQ @ ? G2K I R R ?JA Q G Q ?U ? KeB G I K Q G R IkC K:H KeG2A M G Q ? R GJB CFe? Q I K S F + | JG R Q @ C 6I K Q C B=>I G ¡eR M? ? R I#R G e@ IJI @ R Q IH @ ¡e@ G? N¡eC G? ¡ K C I¢R C QJ£ G OFB C>¢Q @ ¤G Ke¥ A C N C¦|? K I§ G R>M ? @K C 6 §?¨I B|©ª G RrG QA QI C M ? G2KeB I?@]A H Q GK:Q ?/Q I 6I M eM C?JQ G «]Q ?: A ? Q Q ?/R G N C ? K IB C>H KeG t#u v wDx y z%{/¬ K6 H K Q ?J6G Q I @ C G R I#M R G A A C M ?B CF6G A A G2I C KeM ? R G Q ?G2H ? I @ A CeA H RD C G K ? e® R H K ¯ ?JR GM H @ G ®e F ¢°O2M ? 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