Controllo nonlineare di hard disk con doppio attuatore

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA
TOR VERGATA
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA
DELL’AUTOMAZIONE
A.A. 2006/2007
Tesi di Laurea
CONTROLLO NON LINEARE DI HARD DISK CON
DOPPIO ATTUATORE
RELATORE
CANDIDATO
Prof. Luca ZACCARIAN
Giacomo PERANTONI
CORRELATORI
I. MAREELS
T. SUTHASUN
dedicata a mio padre
Indice
Ringraziamenti
1
Introduzione
2
1 Cenni sugli Hard Disk Drives
5
1.1
Prestazioni e limiti di un Hard Disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1
Capacità di archiviazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2
Tempo di accesso ai dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.3
Velocità di trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Obiettivi della ricerca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Soluzione di Hard Disk a doppio attuatore. . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.1
Attuatore primario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.2
Attuatore secondario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2 Modellazione di un sistema HDD DSA
12
2.1
Identificazione nel dominio della frequenza . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2
Sistema sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
Identificazione del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.1
Attuatore VCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.2
Attuatore PZT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
INDICE
I
INDICE
2.4
Saturazioni in ingresso agli attuatori . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.1
VCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4.2
PZT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3 Progetto di un sistema di controllo
3.1
21
Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.1.1
Approccio MIMO o SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.1.2
Progetto indipendente per i due attuatori . . . . . . . . . . . .
23
3.1.3
Calcolo del segnale di feedback (/feedforward) . . . . . . . . .
24
3.1.4
Scelta della frequenza di campionamento . . . . . . . . . . . .
25
Sistema di controllo in retroazione lineare . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2.1
Controllore in retroazione dallo stato stimato
. . . . . . . . .
25
3.2.2
Osservatore dello stato del VCM
. . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2.3
Ricerca dei guadagni del controllore e dell’osservatore . . . . .
28
3.2.4
Controllore in Open-Loop virtuale del PZT . . . . . . . . . . .
29
3.3
Schema completo del sistema di controllo . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.4
Considerazioni sul controllore progettato . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.4.1
31
3.2
Fenomeni di saturazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Controllo NL di doppio integratore saturato
4.1
4.2
4.3
INDICE
33
Anti-windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.1.1
Anti-windup non lineare applicato a sistemi di Eulero-Lagrange
36
4.1.2
Applicazione al doppio integratore . . . . . . . . . . . . . . . .
37
CNF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2.1
40
Quasi bang bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
II
INDICE
4.4
4.3.1
47
4.3.2
Implementazione della legge di controllo . . . . . . . . . . . .
48
4.3.3
Riscalamento della legge di controllo . . . . . . . . . . . . . .
48
Metodi a confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5 Risultati
54
5.1
Adattamento della legge di controllo al VCM . . . . . . . . . . . . . .
54
5.2
Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
5.3
Possibili miglioramenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
6 Conclusioni e sviluppi futuri
63
Bibliografia
65
INDICE
III
Ringraziamenti
Per la stesura di questa tesi i miei ringraziamenti vanno a:
Mareels e Suthasun, correlatori di questa tesi;
i professori del mio corso universitario per la loro disponibilità e la capacità di semplificare tutti i problemi che si sono presentati durante i miei studi;
i compagni di corso che mi hanno permesso di vivere piacevomente il tempo trascorso
all’università;
la mia famiglia per aver sostenuto le spese della mia istruzione;
i Blink 182 e i Sum 41 per essere stati la colonna sonora della mia concentrazione;
gli amici e i parenti che mi sono vicini.
Un particolare ringraziamento al Prof. Luca Zaccarian, relatore di questa tesi, che
è stato sempre presente quando ne ho avuto bisogno e in molte occasioni ha reso il
mio lavoro più gradevole e appagante.
Introduzione
1
Introduzione
La tecnologia informatica dalla nascita dei primi calcolatori ad oggi si è diffusa in modo
capillare praticamente in ogni settore dell’attività umana. Ricerca scientifica, intrattenimento, attività didattica, e altri ancora sono i campi in cui l’informatica fornisce
un grosso supporto all’uomo, aumentandone la produttività e l’efficienza. Purtroppo
(o per fortuna) le risorse tecnologiche informatiche disponibili sono spesso sfruttate al
massimo delle prestazioni. Per questo è sempre presente la domanda di nuove tecnologie, alla quale i produttori di dispositivi informatici cercano di rispondere attraverso
un’intensa attività di ricerca e sviluppo. Finora l’evoluzione dell’hardware è avvenuta
per lo più in parallelo alla capacità di ridurre le dimensioni dei componenti, ma adesso
si è arrivati ad un livello di riduzione tale da doversi misurare con i limiti fisici dei
materiali utilizzati. Un esempio importante riguarda lo sviluppo delle CPU, che non
potendo più essere migliorate facilmente riducendo le dimensioni dei transistor, sono
ormai orientate all’aumento del numero di microprocessori (core) presenti in ogni singola unità CPU. Insieme alla velocità di calcolo, si richiede un aumento della capacità
di archiviazione e recupero dei dati. Le unità di archiviazione di dati per eccellenza
sono ancora gli Hard Disk magnetici (HDD). Tali supporti, rispetto ai supporti ottici
o rimovibili, permettono di raggiungere maggiori velocità di trasferimento dei dati e
di disporre di una maggiore capacità. Gli HDD magnetici si sono evoluti molto rapidamente fino ad arrivare alla realizzazione attuale. La prossima frontiera di svilluppo
Introduzione
2
Introduzione
è rivolta all’aumento del numero di attuatori che controllano la movimentazione dei
componenti dinamici degli Hard Disk.
Il lavoro descritto in questo documento è dedicato all’analisi e allo studio della
possibilità di aumentare la prestazioni di un Hard Disk con testine controllate da
due attuatori separati, ognuno dei quali dotato di caratteristiche dinamiche e strutturali differenti. La prospettiva è quella di compensare le carenze di ogni attuatore
servendosi delle proprietà dell’altro. A questo proposito è necessario progettare dei
sistemi di controllo differenti da quelli usati in precedenza che permettano di sfruttare
al meglio le proprietà peculiari del sistema di cui si dispone. Sono già stati effettuati
degli studi e sviluppate delle teorie che si adattino facilmente al problema presentato.
Comunque in questo campo la ricerca è ancora aperta a nuove soluzioni che possano
contribuire allo sviluppo della tecnologia.
La tesi è strutturata come segue: nel Capitolo 1 si da una breve descrizione dei
dispositivi HDD e dei relativi parametri prestazionali, con particolare attenzione alle
necessità dello sviluppo e alle possibili soluzioni realizzative; nel Capitolo 2 vengono
illustrate le fasi di identificazione di un sistema HDD a doppio attuatore, si ricava un
modello per ognuno dei due attuatori e uno schema completo del modello ricavato per
l’impianto; nel Capitolo 3 si descrive la procedura di progetto di un sistema di controllo
in retroazione lineare per il sistema Hard Disk con doppio attuatore e si chiariscono
le modalità con cui si producono i segnali in ingresso e in uscita dai controllori; nel
Capitolo 4 si analizzano diverse tecniche di controllo non lineare in retroazione al
fine di migliorare le prestazioni di un sistema a doppio integratore con saturazione e
vengono confrontati i risultati ottenuti dall’applicazione di ogni metodo; nel Capitolo
Introduzione
3
Introduzione
5 si mostrano i risultati del lavoro descritto, adattando il nuovo controllore non lineare
al sistema Hard Disk DSA modellato.
Introduzione
4
Capitolo 1
Cenni sugli Hard Disk Drives
In questo capitolo verrà effettuata una breve descrizione dei dispositivi HDD e dei relativi parametri prestazionali. Si darà particolare attenzione alle necessità dello sviluppo e alle possibili soluzioni
realizzative. Sarà accennata la dinamica di funzionamento di un
microattuatore piezoelettrico per il comando di testine di Hard Disk.
Un Hard Disk è un dispositivo fisico che permette l’archiviazione di dati in modo
permanente. I dati da archiviare vengono registrati su tracce magnetiche disposte
concentricamente su un disco di vetro o alluminio rivestito di materiale ferromagnetico. Un Hard Disk in genere contiene più di un disco, e per ogni disco due (una per
ogni lato del disco) o più testine mobili collocate in prossimità
1
della superficie del
disco, attraverso le quali si può effettuare la lettura o la scrittura dei dati. In Figura
1.1 è rappresentato un generico modello di Hard Disk commerciale.
1.1
Prestazioni e limiti di un Hard Disk
Le caratteristiche più rilevanti di un Hard Disk sono la sua capacità, il tempo di accesso ai dati, e la velocità di trasferimento.
1
Ordine dei centesimi di nanometro.
5
Cap. 1 Cenni sugli Hard Disk Drives
1.1.1
§1.1 Prestazioni e limiti di un Hard Disk
Capacità di archiviazione
I dati sono memorizzati sulla superficie di ogni disco seguendo una logica secondo la
quale si può suddividere il disco in tracce concentriche equidistanziate e in settori,
cioè spicchi di disco ognuno ricoprente un arco di circonferenza di pari dimensioni.
La capacità di archiviazione dei dati dell’Hard Disk è quindi direttamente dipendente
dal numero di settori e dal numero di tracce che si possono distinguere su ogni singolo
disco.
1.1.2
Tempo di accesso ai dati
Lo spostamento fra le tracce è effettuato utilizzando uno o più attuatori che hanno la
funzione di avvicinare o allontanare la testina dall’asse di rotazione del disco. Dalla velocità con cui si riesce a muovere la testina da una traccia ad un’altra dipende il tempo
di accesso ai dati. Quanto più la testina è veloce, tanto minore è il tempo che si deve
attendere prima che si possano iniziare a leggere o scrivere i dati su una nuova traccia.
1.1.3
Velocità di trasferimento
Per passare da un settore a un altro si fa ruotare l’intero disco tramite un motore
elettrico che controlla la rotazione dei dischi e che permette di raggiungere velocità di
rotazione di oltre 10.000 giri al minuto. La velocità di trasferimento di un Hard Disk
è la velocità massima con cui si riescono a leggere o scrivere i dati su disco e aumenta
proporzionalmente al numero di settori in cui è diviso il disco e alla velocità di rotazione. Generalmente il valore reale della velocità di trasferimento dei dati è inferiore
alla velocità di trasferimento teorica perché questa velocità è fortemente limitata dal
6
§1.1 Prestazioni e limiti di un Hard Disk
tempo di accesso. Per trasferire dati su tracce diverse è necessario almeno un tempo
relativo alla velocità di trasferimento più tutti i tempi di accesso che intercorrono
nello spostamento della testina tra le tracce. Quindi il tempo di accesso rappresenta
un punto cruciale nello sviluppo degli Hard Disk in particolare laddove si richiede un
aumento della velocità di trasferimento utile.
Figura 1.1: Esempio di Hard Disk commerciale.
7
1.2
§1.2 Obiettivi della ricerca
Obiettivi della ricerca
La progettazione di nuovi Hard Disk deve tenere conto della crescente richiesta di un
aumento della capacità e delle prestazioni dei dispositivi di archiviazione. Nei nuovi
modelli di Hard Disk si cerca di aumentare la capacità incrementando il numero di
dischi o anche il numero di tracce e settori su ogni disco. La necessità di mantenere
una dimensione standard dei dispositivi fa sı̀ che all’aumento della quantità di tracce
consegua una riduzione della dimensione di ogni traccia di dati. Per posizionare la
testina su una traccia di dimensioni ridotte si deve disporre di un attuatore più preciso e meno sensibile ai disturbi che possono provocare uno spostamento della testina
dal centro della traccia richiesta. Un altro obiettivo fondamentale per i costruttori di
Hard Disk è ridurre il tempo di accesso ai dati. È desiderabile che lo spostamento della
testina da una traccia ad un’altra avvenga in un periodo di tempo più breve. Si deve
quindi aumentare la velocità di movimentazione della testina. Una soluzione a tale
scopo è di modificare l’attuatore che controlla il movimento della testina rendendolo
più veloce. Modificare il sistema di movimentazione della testina può quindi risultare
utile sia per accrescere la capacità di archiviazione che per aumentare la velocità di
trasferimento utile dei dati.
1.3
1.3.1
Soluzione di Hard Disk a doppio attuatore.
Attuatore primario
Sarebbe molto difficile andare incontro alla domanda di alta densità delle tracce con
un servocontrollore per la posizione della testina di lettura/scrittura utilizzando un
convenzionale attuatore singolo. Questi attuatori, tipicamente Voice Coil Motors
8
§1.3 Soluzione di Hard Disk a doppio attuatore.
(VCM), hanno una grande inerzia che limita la reattività e quindi la velocità raggiungibile dal servomeccanismo. La situazione è inoltre aggravata dalla presenza di modi
meccanici poco smorzati. Le testine di lettura/scrittura sono attaccate alla punta di
una sospensione, un sottile raggio fatto di acciaio inossidabile montato sul braccio
dell’attuatore. I modi risonanti poco smorzati sono dovuti a queste sospensioni e al
loro accoppiamento con il supporto della testina e il braccio dell’attuatore. Le frequenze di questi modi si trovano alla frequenza di pochi kHz. Proprio questo tipo di
costruzione dell’attuatore singolo rende difficile ottenere una larghezza di banda di 1
kHz o maggiore per il servomeccanismo. Per ottenere il tempo di accesso medio desiderato per Hard Disk ad alta densità è necessaria una larghezza di banda maggiore
di 1 kHz. Questa limitazione può essere superata utilizzando un servomeccanismo a
doppio attuatore.
1.3.2
Attuatore secondario
Un secondo attuatore a bassa inerzia è montato sul più lento attuatore VCM ottenendo un Dual-Stage Actuator (DSA). L’attuatore secondario può spostare la testina di
lettura/scrittura più rapidamente e quindi aiuta a incrementare la velocità complessiva. Possono essere considerati differenti approcci per implementare il secondo stadio
di attuazione nei dispositivi Hard Disk. Un approccio è usare una struttura microelettromeccanica (MEMS) sul supporto della testina come descritto in [1]. In questo
modo si posiziona l’attuatore molto vicino al punto di controllo (in questo caso la
testina) rendendo questa la soluzione più efficiente. Il secondo approccio, presentato
in [2], sfruttando la fisica delle deformazioni piezoelettriche, usa un trasduttore piezoelettrico in lega Lead-Zirconium-Titanate (PZT) fabbricato come parte integrante
9
della sospensione. L’attuatore secondario in questo caso è posizionato più lontano
dal punto di controllo in confronto allo stadio secondario MEMS. Questa separazione
tra l’attuatore PZT e la testina è paragonabile ad una amplificazione meccanica. Un
piccolo movimento del PZT può produrre spostamenti relativamente ampi della punta
della sospensione e quindi della testina di lettura/scrittura. Il micro-attuatore PZT
sembra offrire una soluzione più adeguata per l’attuazione secondaria. La minore attrattiva degli attuatori MEMS è attribuita a due fattori: mostrano modi torsionali a
frequenze molto più basse di quelle dei modi risonanti degli attuatori piezoelettrici ed
è poco realizzabile una produzione in massa di attuatori MEMS.
Microattuatore PZT
Per l’applicazione nei servomeccanismi per il posizionamento delle testine degli Hard
Disk, il micro-attuatore piezoelettrico è fabbricato come parte integrante della sospensione. Benché la lunghezza della sospensione provveda all’amplificazione meccanica,
la flessibilità della stessa ha un effetto deteriorante sulle caratteristiche dinamiche del
micro-attuatore che si manifesta sotto forma di vibrazioni strutturali. L’attuatore
secondario ha un raggio di movimento molto limitato, tipicamente meno di qualche
micrometro. Perciò, l’attuatore primario è ancora richiesto per effettuare spostamenti
di maggiore ampiezza. L’ampiezza di banda ottenuta utilizzando il micro-attuatore
è maggiore rispetto a quella del singolo attuatore primario. Dunque, il sistema a
doppio attuatore fornisce una soluzione per implementare un servomeccanismo con
risposta in banda sufficientemente ampia e ancora capace di movimenti a lungo raggio.
Lo spostamento del supporto della testina di lettura/scrittura è l’effetto combinato
dell’azione di entrambi gli attuatori primario e secondario. Nel modello DSA con
10
micro-attuatore disegnato per l’applicazione negli Hard Disk non è possibile misurare lo spostamento relativo tra i due attuatori. In altre parole il DSA è un sistema
Dual-Input-Single-Output (DISO). Una misura diretta dello spostamento del microattuatore sarebbe vantaggiosa per il progetto indipendente dei controllori per il sistema Dual-Input-Dual-Output (DIDO). La progettazione e l’analisi qui effettuata si
riferisce a un modello DISO.
PZT anulare rotativo
Un tipo di attuatore PZT è l’anulare rotativo, di cui è data una schematizzazione
in Figura 1.2. La base dell’attuatore è fissa ed è collegata all’estremità libera tramite un elemento piezoelettrico anulare. Gli elettrodi sono applicati alle superfici
dell’anello. L’elemento piezoelettrico anulare è polarizzato nella direzione dello spessore. Il comando in tensione agisce sull’elemento piezoelettrico in modo da contrarre
o espandere le parti che lo compongono e generare un movimento rotatorio relativo
tra estremità mobile e estremità fissa. Tale movimento rotatorio avviene nel piano su
cui giace l’anello.
Figura 1.2: Schema di un attuatore PZT anulare rotativo.
11
Capitolo 2
Modellazione di un sistema HDD
DSA
In questo capitolo verranno illustrate le fasi di identificazione del
sistema HDD a doppio attuatore effettuato in [11]. Si ricaverà un
modello per ognuno dei due attuatori riportando le rispettive saturazioni in ingresso valutate. Infine si fornirà uno schema completo del
modello ricavato per l’impianto. Il lavoro qui effettuato è collocato
nell’ambito di una collaborazione con gli autori di [11], correlatori
di questa tesi.
2.1
Identificazione nel dominio della frequenza
Per realizzare un modello dell’impianto è stato utilizzato in [11] il metodo di identificazione nel dominio della frequenza. I dati della risposta in frequenza si possono
ottenere facilmente applicando in ingresso al sistema un segnale sinusoidale e raccogliendo le misure ingresso-uscita sullo spettro di frequenze desiderato. Il rapporto
segnale-rumore può essere minimizzato facendo una media su lunghi periodi in modo
da assicurare l’alta fedeltà della misura. Un modello della funzione di trasferimento è
stato identificato utilizzando il metodo non lineare dei minimi quadrati che minimizza
la funzione di errore
2
N X
B (jωk )
−
G
(ω
)
k
A (jωk )
(2.1.1)
k=1
12
Cap. 2 Modellazione di un sistema HDD DSA
§2.2 Sistema sperimentale
dove B(s)/A(s) e G(ωk ) sono rispettivamente la funzione di trasferimento identificata per l’impianto e la risposta in frequenza misurata a N frequenze differenti. I
gradi dei polinomi A(s) e B(s) sono scelti in modo da garantire una buona corrispondenza nel raggio delle frequenze di interesse.
2.2
Sistema sperimentale
Gli esperimenti, sia per l’identificazione che per l’implementazione del controllore riportati in [11] sono stati effettuati su un sistema sperimentale costituito da un Polytec
LDV (OFN- 3001), analizzatore di spettro Stanford (SRT 785), un modulo piezoamplificatore (EPA 104), e un driver VCM. La copertura superiore del HDD è stata
rimossa per permettere al raggio laser del LDV di raggiungere il braccio scorrevole.
L’analizzatore di spettro genera il segnale di eccitazione per gli esperimenti di identificazione. Il segnale di eccitazione e lo spostamento misurato dal LDV sono inviati
ai due canali in ingresso all’analizzatore. L’analizzatore produce i dati relativi alla
risposta in frequenza che sono salvati per essere in seguito processati dal toolbox di
frequency domain identification di MATLABT M .
2.3
2.3.1
Identificazione del sistema
Attuatore VCM
Gli esperimenti di identificazione del VCM sono stati effettuati separatamente dagli
esperimenti di identificazione del PZT. La risposta dell’attuatore primario, riportata
in Figura 2.1 e 2.2, è stata calcolata per un raggio di frequenze da 100 Hz a 8 kHz. Durante lo stadio di misurazione l’input del PZT è stato impostato a zero per assicurare
13
§2.3 Identificazione del sistema
che l’attuatore secondario non fosse eccitato e non andasse a modificare la risposta
in frequenza calcolata per il VCM. La risposta del voice coil motor, con l’attuatore
piezo-elettrio bloccato, può essere modellata come un doppio integratore più diversi
modi risonanti ad alte frequenze leggermente smorzati. L’approssimazione del doppio
integratore è valida per il raggio di frequenze fino a circa 1 kHz, con la principale
risonanza che appare intorno ai 3 kHz. Il modello identificato dell’attuatore VCM è
Gv (s) =
Kv
Hd1 (s) Hd2 (s) Hd3 (s) .
s2
(2.3.1)
La dinamica del corpo rigido dell’attuatore VCM è descritta dal doppio integratore
Kv /s2 . Le funzioni di trasferimento Hd1 (s), Hd2 (s) e Hd3 (s) rappresentano le dinamiche di tre coppie di poli e zeri dominanti chiaramente visibili nella risposta in
frequenza misurata. Queste funzioni di trasferimento sono:
Hd1 (s) =
2
ωvp1
2
s2 + 2ξvp1 ωvp1 s + ωvp1
(2.3.2)
Hd2 (s) =
2
s2 + 2ξvz1 ωvz1 s + ωvz1
2
ωvz1
(2.3.3)
Hd3 (s) =
2
ωvp2
.
2
s2 + 2ξvp2 ωvp2 s + ωvp2
(2.3.4)
I parametri del modello identificato sono mostrati in Tabella 2.1.
Per la progettazione del controllore per il VCM, si considera solo il modello a doppio
integratore, mentre per le simulazioni del sistema a ciclo chiuso e studi di valutazione
è usato il modello dell’impianto dato dall’Equazione (2.3.1).
14
Figura 2.1: Risposta in frequenza (modulo) dell’attuatore VCM.
Figura 2.2: Risposta in frequenza (fase) dell’attuatore VCM.
15
2.3.2
Attuatore PZT
Gli esperimenti di identificazione del PZT sono stati effettuati separatamente dagli
esperimenti di identificazione del VCM. La risposta dell’attuatore sencondario, riportata in Figura 2.3 e 2.4, è stata calcolata per un raggio di frequenze da 100 Hz a
20 kHz. Durante queste misure l’input del VCM è stato impostato a una corrente
costante per vincere l’effetto della forza di bias esercitata sull’attuatore VCM dal collegamento flessibile dovuta agli spostamenti che verrebbero provocati sul VCM dal
movimento del PZT. La risposta del micro-attuatore mostra un guadagno costante
per un ampio spettro di frequenze, e un comportamento risonante lievemente smorzato a frequenze più alte. Il modello identificato dell’attuatore PZT è
Gm (s) =
2
Km ωmp1
2
s2 + 2ξmp1 ωmp1 s + ωmp1
2
2
ωmp2
(s2 + 2ξmz1 ωmz1 s + ωmz1
)
.
2
2
2
ωmz1 s + 2ξmp2 ωmp2 s + ωmp2
(2.3.5)
I parametri del modello contenente due coppie di poli leggermente smorzati e una
coppia di zeri leggermente smorzati, stimati dai dati della risposta in frequenza, sono
mostrati nella Tabella 2.2. Il modello è ragionevolmente accurato e affidabile fino a
circa 15 kHz.
16
Figura 2.3: Risposta in frequenza (modulo) dell’attuatore PZT.
Figura 2.4: Risposta in frequenza (fase) dell’attuatore PZT.
17
Parametro
Simbolo Valore
Accelerazione costante
Frequenza del primo polo
Frequenza del secondo polo
Frequenza del primo zero
Smorzamento del primo polo
Smorzamento del secondo polo
Smorzamento del primo zero
Kv
ωvp1
ωvp2
ωvz1
ξvp1
ξvp2
ξvz1
3 × 10−7 Hz−2
18850 rad/s
34840 rad/s
24540 rad/s
0.03
0.014
0.02
Tabella 2.1: Parametri identificati per l’attuatore VCM.
Parametro
Simbolo
Valore
Accelerazione costante
Frequenza del primo polo
Frequenza del secondo polo
Frequenza del primo zero
Smorzamento del primo polo
Smorzamento del secondo polo
Smorzamento del primo zero
Km
ωmp1
ωmp2
ωmz1
ξmp1
ξmp2
ξmz1
0.25 Hz−2
35180 rad/s
56550 rad/s
41220 rad/s
0.010
0.065
0.055
Tabella 2.2: Parametri identificati per l’attuatore PZT.
18
2.4
§2.4 Saturazioni in ingresso agli attuatori
Saturazioni in ingresso agli attuatori
Il sistema reale del HDD DSA costituito dall’insieme dei due attuatori è soggetto a
fenomeni di non linearità. Il modello deve essere completato inserendo delle saturazioni sui segnali in ingresso al VCM e al PZT.
2.4.1
VCM
Il VCM è un motore molto resistente, e benché esista un limite di tensione e di potenza,
tale limite risulta difficilmente un problema. Sopraggiungono altri effetti indesiderati
prima che si raggiunga il limite di tensione, che è un limite dell’isolamento, o il limite
di potenza, che è essenzialmente un limite della batteria o dell’alimentazione. Si può
considerare il VCM come una sorgente di coppia. La tensione di controllo è proporzionale alla coppia su un raggio d’azione molto ampio. Si possono verificare delle non
linearità sulla caratteristica di coppia a causa delle proprietà dei materiali, anche se
normalmente non si portano i materiali del VCM in prossimità di saturazione. In caso
di VCM costruiti con materiali magneticamente duri si può anche avere il fenomeno
dell’isteresi. Tutti questi effetti sono normalmente presi in considerazione dal circuito
del drive. In risultato ci si può aspettare un limite di ampiezza, e dell’elettronica che
compensi le non linearità. Ai fini di modellazione e controllo, un modello lineare con
saturazione all’ingresso è sufficiente. È ragionevole assumere un limite di saturazione
di −5V / + 5V sull’ingresso del VCM.
19
2.4.2
§2.4 Saturazioni in ingresso agli attuatori
PZT
I margini di utilizzazione dell’attuatore PZT sono dettati dai limiti fisici di allungamento dei materiali piezoelettrici. Considerando il PZT come una costante di proporzionalità tra ingresso, dato in V, e uscita, in µm, si possono definire i limiti in ingresso
considerando le massime escursioni che si hanno in uscita restando in tale rapporto
di proporzionalità. Per l’ingresso del PZT si considera un limite di saturazione di
−1.8V / + 1.8V .
Osservazione 2.4.1. La risposta in frequenza misurata si riferisce a un segnale in
ingresso misurato in Volt e a un segnale in uscita misurato in Volt. In questo modo
la funzione di trasferimento è senza unità di misura. Il segnale in uscita può essere
convertito in unità di misura di spostamento usando il fattore di scala 2 µm/V .
20
Capitolo 3
Progetto di un sistema di controllo
In questo capitolo sarà descritta la procedura di progetto di un sistema di controllo in retroazione lineare per il sistema Hard Disk con
doppio attuatore. Si chiariranno le modalità con cui si producono i
segnali in ingresso e in uscita dai controllori e in particolare sarà
presentato un modello di osservatore discreto dello stato del VCM.
Si fornirà infine un modello completo del sistema di controllo.
3.1
Generalità
Gli obiettivi di progettazione per il sistema a ciclo chiuso sono qualitativamente
definiti come:
1. spostare l’attuatore rapidamente da una traccia all’altra, e
2. mantenere la testina di lettura/scrittura al centro della traccia con la minima
variazione in presenza di vari disturbi.
Il bias in input all’attuatore VCM, le imprecisioni nelle tracce di dati idealmente
circolari, l’eccentricità del disco, shock e vibrazioni esterne, etc. sono le maggiori fonti
di disturbo agenti sul servomeccanismo. La forza di bias è esercitata dal collegamento
flessibile che supporta i conduttori che trasportano i segnali tra le testine e la scheda
a circuiti del HDD, e deve essere compensata dal compensatore del VCM. Lo spettro
21
Cap. 3 Progetto di un sistema di controllo
§3.1 Generalità
dei disturbi dato dalle variazioni nelle tracce di dati e dall’eccentricità nella rotazione
dei dischi è relativo alla velocità angolare del motore spindle. Con il crescere della
velocità del motore, che è utile per un trasferimento dei dati più rapido, lo spettro
di questo disturbo si sposta verso alte frequenze e, come risultato, si estende oltre la
banda raggiungibile dell’attuatore VCM. Il micro-attuatore a bassa inerzia è usato per
contrastare tali disturbi. Lo spostamento della testina di lettura/scrittura durante la
lunga ricerca è dominato dall’attuatore VCM. Ma la correzione di disturbi ad alta frequenza e la breve ricerca può e dovrebbe essere eseguita usando il micro-attuatore. Il
vantaggio complessivo che si ha utilizzando un sistema dual-stage è una maggiore capacità di correzione del disturbo, in media un tempo di ricerca minore per la maggior
parte delle tracce, e un significativo miglioramento per le operazioni di piccola ricerca.
3.1.1
Approccio MIMO o SISO
L’attuatore dual stage può essere considerato ai fini del progetto di un sistema di
controllo sia come un sistema DISO (Dual Input Single Output), calcolando separatamente l’ingresso di ognuno dei due attuatori, che come un sistema SISO (Single
Input Single Output), se si considera solo la traccia di riferimento come ingresso e la
posizione della testina come uscita. Diversi autori ([3], [4]) trattano il problema del
progetto di un controllore per un impianto DISO come un caso particolare di un progetto MIMO, e usano strumenti standard per la progettazione MIMO. Tali tecniche
assicurano la stabilità robusta ma generalmente producono un controllore di ordine
elevato che non è desiderabile dal punto di vista dell’implementazione.
Per questo tipo di problema di progettazione, in [6] viene usato un design SISO
22
§3.1 Generalità
sequenziale assumendo che non esistano interazioni tra il loop del VCM e il loop del
micro-attuatore, e questo approccio è chiamato il “master-slave” design. Il problema
associato al design master-slave è superato in [5] usando il metodo chiamato PQ. Questo metodo deduce direttamente l’interferenza tra i due singoli loop. Sfortunatamente
ignora il problema della stabilità in caso di avaria del micro-attuatore. La stabilità
del loop del VCM è richiesta per assicurare operazioni corrette del servo-meccanismo
HDD anche nel caso di tale avaria. I metodi presentati in questa trattazione enfatizzano la stabilità dei singoli loop e inoltre usano controllori di complessità inferiore
rispetto a quelli ottenuti usando convenzionali tecniche MIMO. La semplicità di progetto senza perdita di prestazioni è il principale contributo dei controllori proposti.
3.1.2
Progetto indipendente per i due attuatori
Il progetto del sistema di controllo avviene separatamente per ognuno dei due attuatori. L’idea di fondo è di utilizzare un controllo in retroazione sull’attuatore VCM
per stabilizzare la risposta dell’attuatore principale. Con un tale controllore si ha
la garanzia che, finito il transitorio della risposta, la sospensione della testina sia in
linea con la traccia di riferimento. Il microattuatore è utilizzato fondamentalmente
per correggere l’errore di posizione per bassi spostamenti dalla traccia di riferimento.
Principalmente l’errore sul posizionamento delle testine dipende dallo spostamento
dell’asse del braccio comandata dall’attuatore primario rispetto alla posizione di riferimento. L’obiettivo di progetto del controllore per il microattuatore è di ridurre
rapidamente per quanto possibile questo spostamento. A questo scopo è adatto un
controllore in feedforward che compensi adeguatamente il riferimento in ingresso, in
questo caso l’errore di posizione del singolo attuatore VCM.
23
3.1.3
§3.1 Generalità
Calcolo del segnale di feedback (/feedforward)
La posizione delle testine in un Hard Disk può essere calcolata grazie all’informazione
codificata sulle tracce usando degli schemi magnetici pre-scritti. Purtroppo i dati sulla
posizione delle testine non danno nessuna informazione sullo spostamento relativo dei
due attuatori, quindi non si può avere una stima diretta della posizione dell’asse del
braccio comandata dal VCM. Al fine di calcolare tale valore si introduce un modello
discreto del microattuatore che possa restituire un’approssimazione dello spostamento relativo delle testine provocato dal solo attuatore PZT. La posizione finale delle
testine è data dalla somma tra la posizione dell’asse mossa dal VCM e lo spostamento relativo dovuto all’azione del microattuatore. Sottraendo lo spostamento relativo
approssimato al valore restituito dai sensori sulla posizione delle testine si ottiene una
stima sufficientemente affidabile della posizione dell’attuatore primario. Il valore cosı̀
calcolato sarà usato sia come feedback nel sistema di controllo del VCM che come
riferimento in feedforward per il sistema di controllo del PZT.
Questa modalità di controllo dell’impianto è in linea con la richiesta della stabilità
anche in caso di errore del microattuatore a patto che il guadagno statico della catena composta da controllore e attuatore del PZT sia scelto sufficientemente piccolo.
Più è piccolo il guadagno statico del controllo in feedforward, minore è l’autorità del
microattuatore sull’uscita dell’intero sistema, e quindi minore è l’errore provocato da
un malfunzionamento del PZT.
24
Cap. 3 Progetto di un sistema di controllo §3.2 Sistema di controllo in retroazione lineare
3.1.4
Scelta della frequenza di campionamento
La volontà di sopprimere adeguatamente la risonanza del micro-attuatore a 5.6 kHz e
i disturbi dovuti all’eccentricità portano a scegliere una frequenza di campionamento
di 20 kHz. I progettisti di servocontrollori per HDD spesso non sono liberi di scegliere
arbitrariamente la frequenza di campionamento, e la scelta è determinata da un compromesso tra capacità di archiviazione e prestazioni. Controllori multi-rate possono
essere una soluzione realistica per ottenere buone prestazioni nonostante le limitazioni
sulla frequenza di campionamento. La banda aspettata per il micro-controllore e la
necessità di sopprimere la risonanza a 5.6 kHz richiede un’elevata frequenza di campionamento. Per il VCM, d’altra parte, non è richiesto ottenere una simile risposta,
quindi si potrebbe utilizzare una frequenza di campionamento inferiore per il relativo
controllore. In futuro si cercherà di usare una frequenza di campionamento inferiore
per campionare l’output e aggiornare l’input del VCM, ma una maggiore frequenza
di campionamento per quanto riguarda il controllo dell’input del PZT.
3.2
3.2.1
Sistema di controllo in retroazione lineare
Controllore in retroazione dallo stato stimato
Il modello a doppio integratore del VCM corrisponde bene alle osservazioni sperimentali nel raggio di frequenze fino a 1 kHz. Per i dati della risposta in frequenza
mostrati in Figura 2.1 la costante di accelerazione del modello a doppio integratore
è Kv = 3 × 107 . Si è scelto di implementare un controllore PD, l’ovvio candidato
per il modello a doppio integratore, usando la retroazione degli stati osservati. La
rappresentazione nello spazio di stato per il doppio integratore è
25
dx
=
dt
0 1
0 0
x+
0
3 × 107
uv ,
yv =
1 0
x
(3.2.1)
con uv (t) e yv (t) ingresso e uscita del VCM. Il vettore degli stati x = (x1 , x2 )T include la posizione x1 e la velocità x2 della punta del braccio dell’attuatore derivate
dal movimento del VCM. Il modello nominale a tempo discreto dell’attuatore VCM
per una frequenza di campionamento di 20 kHz e un organo di tenuta di ordine zero
(zero-order hold) è
x (k + 1) =
yv (k) =
0 5 × 10−5
0
0
1 0
x (k) +
0.0375
1500
uv (k) ,
.
(3.2.2)
x (k)
Un controllo integrale è una possibile soluzione per contrastare il problema del bias
in input, ma questo limita la banda raggiungibile. Il disturbo viene dunque stimato usando uno stimatore di bias e compensandolo direttamente come descritto in
[7]. Trattando il disturbo in ingresso come un nuovo stato x3 si definisce un vettore
aumentato degli stati xa = (x1 , x2 , x3 )T . Assumendo costante il bias in ingresso, il
modello a tempo discreto del sistema aumentato è
x (k + 1) = Ae xa (k) + Be uv (k) ,
(3.2.3)
yv (k) = Ce xa (k)
dove
26

1 5 × 10−5 3.75 × 10−2

1
1500
Ae =  0
0
0
1


Be = 
3.2.2
−2
3.75 × 10
1500
0

,
Ce =
1 0 0
.
(3.2.4)
Osservatore dello stato del VCM
Gli stati dell’attuatore primario sono stimati usando l’osservatore
x̄ (k + 1) = Ae x̄ (k) + Be uv (k) + L (yv (k) − Ce x̄ (k)) ,
(3.2.5)
dove L è il guadagno dell’osservatore e x è la stima del vettore degli stati dell’attuatore. Il sistema aumentato è osservabile ma non controllabile e quindi il bias in
ingresso, benché stimato, non può essere controllato usando la retroazione. L’effetto
del bias è cancellato sottraendo il suo valore stimato direttamente dall’input del VCM
uv (k) = −K1 x̄1 (k) − −K2 x̄2 (k) − x̄3 (k) .
(3.2.6)
Sfortunatamente l’uscita dell’attuatore VCM yv usato nell’osservatore dell’Equazione
(3.2.5) non può essere misurata. L’output misurato è la somma degli spostamenti yv
e ym effettuati rispettivamente dal VCM e dal micro-attuatore. Si potrebbe implementare un controllore usando un osservatore di ordine pieno per il modello DISO
dell’attuatore dual stage. Dato il modello nominale per entrambi gli attuatori, esso
27
richiede un osservatore con 9 stati, due associati al VCM, uno per stimare il bias,
e sei associati al micro-attuatore (si ricorda che non si considerano le risonanze dell’attuatore primario nella sintesi ma che sono inclusi nel modello dell’impianto che si
usa per le simulazioni). La dinamica del micro-attuatore è più veloce di quella della
risposta del loop del VCM desiderata e il PZT può essere modellato come un semplice guadagno per la maggior parte dello spettro di frequenze in cui il VCM svolge
il ruolo principale. Queste caratteristiche possono essere utilizzate per ottenere una
stima abbastanza buona dell’output del VCM sottraendo una stima dell’output del
micro-attuatore dalla misura dello spostamento. Gli inevitabili errori di modellazione
dell’attuatore PZT contribuiscono ad errori dello stimatore. Ma questo approccio permette di progettare un osservatore più semplice e veloce. L’osservatore (parziale) ha
tre stati e può essere circa tre volte più veloce di un osservatore completo a nove stati.
Dal momento che il tempo di acquisizione è più importante dell’accuratezza (avendo
un 5% di tolleranza nel posizionamento sulla traccia) si preferisce questa strategia.
3.2.3
Ricerca dei guadagni del controllore e dell’osservatore
Per trovare il guadagno del feedback dallo stato K e il guadagno dell’osservatore L è
stata usata la tecnica di posizionamento dei poli che usa la formula di Ackerman. Ma
non tutte le specifiche di progetto nel dominio della frequenza possono essere soddisfatte dai poli scelti. Per mettere a punto i guadagni K e L in modo da soddisfare le
specifiche di progetto si può usare un metodo di ricerca come il “random neighborhood
search” descritto in [7]. In questo caso è stato usato in [11] l’approccio “trial-anderror” per trovare i guadagni adeguati K = (0.221.5 ∗ 10−4 ) e Lc = (1.280000.55)T .
28
3.2.4
Controllore in Open-Loop virtuale del PZT
La risonanza nel micro-attuatore è compensata attraverso un compensatore robusto
in feedforward posizionando un numero adeguato di zeri nel raggio di frequenze intorno ai modi risonanti. Questo controllore in feedforward antivibrazioni deve essere
robusto rispetto a variazioni del 20% sulle frequenze dei modi risonanti dell’attuatore PZT. La velocità del micro-attuatore viene sfruttata usandolo in una modalità di
open-loop virtuale e assicurando che il VCM venga usato per ciò per cui si comporta
in modo migliore: rimuovere errori sulle condizioni iniziali e grossi spostamenti. Il
micro-attuatore è usato per permettere transitori rapidi e cancellazione dei disturbi.
Il compensatore per il micro-attuatore è implementato usando il filtro FIR
Cm (z −1 ) = 0.22 (1 + 0.37z −1 + 0.965z −2 )
× (1 + 1.28z −1 + 0.955z −2 )
× (1 − 0.32z −1 + 0.97z −2 )
.
(3.2.7)
Poiché il micro-attuatore è approssimativamente cinque volte più veloce dell’attuatore
VCM gli è permesso di agire sullo stesso errore di posizione che è dato in ingresso
all’attuatore primario. In conseguenza a ciò il micro-attuatore satura rapidamente
per ampi cambiamenti della posizione di riferimento, ed è assicurato un buon inseguimento solo quando l’attuatore VCM ha abbassato l’errore fino a portarlo al centro del
raggio d’azione del micro-attuatore. Il posizionamento del micro-attuatore al centro
del suo raggio d’azione è anche ottimo dal punto di vista della reiezione dei disturbi
perché consente la massima escursione.
Il segnale prodotto dal controllore del micro-attuatore potrebbe risultare abbastanza veloce da attivare i modi risonanti dell’attuatore PZT. Ciò avviene quando il
29
§3.3 Schema completo del sistema di controllo
riferimento in ingresso al controllore assume valori troppo elevati, in particolare superiori allo scostamento massimo del micro-attuatore. Per evitare la comparsa dei modi
risonanti si è inserita una saturazione sul segnale in ingresso al controllore del PZT. I
margini di tale saturazione sono calcolati per non far superare al segnale in uscita dal
controllore i limiti di saturazione all’ingresso del micro-attuatore. Il guadagno statico
del controllore è pari a 2.74 (8.76dB), e dato che la saturazione in ingresso al microattuatore è di −1.8V / + 1.8V si impone che la saturazione in ingresso al controllore
abbia come limiti (−1.8V /2.74)/(+1.8V /2.74) ovvero −0.66V / + 0.66V .
3.3
Schema completo del sistema di controllo
Lo schema completo del sistema di controllo è mostrato in Figura 3.1 includendo
un modello dell’attuatore PZT che genera una stima dello spostamento del microattuatore ȳm . L’equazione dell’osservatore è modificata come segue:
x̄ (k + 1) = Ae x̄ (k) + Be uv (k) + L (yt (k) − ȳm (k) − Ce x̄ (k)) .
3.4
(3.3.1)
Considerazioni sul controllore progettato
Proprio come ci si aspettava, con l’uso del controllore progettato, il micro-attuatore
svolge un ruolo rilevante per quanto riguarda spostamenti di piccola entità (ordine di
pochi micrometri 0-5). Inoltre l’attuatore PZT grazie al sistema di feedforward virtuale permette di cancellare il disturbo in modo molto più efficiente di come farebbe
l’attuatore VCM. Allo stesso tempo l’attuatore primario continua a dare il contributo
30
§3.4 Considerazioni sul controllore progettato
Figura 3.1: Schema completo del sistema di controllo lineare per l’Hard Disk DSA.
principale per spostamenti tra le tracce di maggior ampiezza. Un ulteriore vantaggio generato dal sistema di controllo progettato è che si ottengono in media migliori
prestazioni sulla ricerca delle tracce senza incombere nei limiti meccanici che prima
caratterizzavano il singolo attuatore VCM, come i modi risonanti dovuti alle vibrazioni strutturali.
3.4.1
Fenomeni di saturazione
Il controllore progettato per il VCM garantisce una risposta soddisfacente dell’attuatore principale fino a quando l’errore sullo spostamento della testina non è tanto
grande da fare in modo che il controllore richieda un segnale in ingresso al VCM (tipicamente un riferimento superiore ai 400 micrometri) che superi i limiti di saturazione.
È proprio il fenomeno di non linearità della saturazione il principale problema che si
presenta utilizzando un semplice controllore lineare per il controllo in retroazione dallo stato. Il sintomo più evidente del cattivo funzionamento del controllore del VCM
31
§3.4 Considerazioni sul controllore progettato
in presenza di non linearità è la comparsa di una sovraelongazione della risposta del
VCM per spostamenti tra le tracce troppo ampi.
Allo scopo di ridurre un tale effetto indesiderato verrà introdotto un componente
non lineare nel sistema di controllo del VCM. Il principale obiettivo è di adattare il
comportamento del controllore all’azione della saturazione sull’ingresso dell’attuatore in modo che venga sfruttato a pieno l’input assegnabile al VCM mantenendo per
quanto possibile le proprietà di stabilità garantite dal controllore lineare. Nei paragrafi seguenti si tenta di migliorare le prestazioni del sistema per ampi spostamenti
senza perdere i risultati ottenuti finora dal progetto del sistema di controllo lineare.
Una soluzione alternativa sarebbe di assicurare che l’attuatore sia abbastanza potente da non raggiungere mai la saturazione durante le operazioni di movimentazione
o, equivalentemente, garantire che il segnale di riferimento sia abbastanza lento da
non far mai raggiungere la saturazione all’attuatore. Comunque questo tipo di soluzione potrebbe essere difficilmente adottabile o avere un notevole impatto sui costi di
produzione. Inoltre le prestazioni raggiungibili dal dispositivo non sarebbero sfruttate
a pieno, perché gli attuatori non verrebbero sempre impiegati al massimo delle loro
possibilità.
32
Capitolo 4
Controllo non lineare di un doppio
integratore saturato
Qui si analizzeranno diverse tecniche di controllo non lineare in
retroazione al fine di migliorare le prestazioni di un sistema a doppio
integratore. Si discuterà un metodo per il controllo particolare di un
doppio integratore. Verranno infine confrontati i risultati ottenuti
dall’applicazione di ogni metodo.
Il modello ricavato per l’attuatore VCM è un doppio integratore con guadagno
costante e saturazione con limiti costanti in ingresso. Dunque il comportamento
dell’attuatore primario non è dissimile da quello di un sistema a doppio integratore
con guadagno unitario e una saturazione di valore m = 1 sull’ingresso. La funzione
di saturazione è definita come

 −m u < −m
u
−m ≤ u ≤ +m
σm (u) =

+m u > +m
(4.0.1)
Le risposte dei sistemi a doppio integratore con guadagno in ingresso unitario, con
e senza saturazione sono mostrate in Figura 4.1: la risposta del sistema senza saturazione raggiunge il valore di rifermiento rapidamente mentre la risposta del sistema
saturato mostra una consistente sovraelongazione e un maggior tempo di assestamento.
33
Cap. 4 Controllo NL di doppio integratore saturato
§4.1 Anti-windup
1.4
Saturato
Non Saturato
1.2
Spostamento
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo [s]
3
3.5
4
4.5
5
Figura 4.1: Risposta del doppio integratore con e senza saturazione.
Per tale modello sono stati studiati diversi tipi di controllo che permettano di migliorare le prestazioni a ciclo chiuso introducendo componenti non lineari. Il principale
obiettivo è di trovare un controllore che ottimizzi le prestazioni della risposta per il
modello semplificato e in seguito applicarlo al VCM. Ci si aspetta in questo modo di
ottenere un comportamento più desiderabile per il sistema a ciclo chiuso del DSA.
4.1
Approccio anti-windup
Qui viene affrontato il problema della saturazione dell’ingresso di un sistema a doppio
integratore secondo la filosofia dell’anti-windup proposta in [9] per cui, dato un controllore progettato senza tenere in considerazione gli effetti di saturazione, si lascia
che l’attuatore raggiunga i suoi limiti di saturazione, migliorando però il controllore
34
§4.1 Anti-windup
con delle dinamiche aggiuntive. Si assicura la completa corrispondenza nelle prestazioni della risposta a ciclo chiuso che si avrebbe in assenza di saturazione se i limiti
di saturazione non vengono raggiunti, e si assicura un degradamento accettabile della
risposta, mantenendo la stabilità, negli altri casi. Nel metodo anti-windup il miglioramento avviene su un sistema di controllo già progettato che stabilizzi la risposta
a ciclo chiuso. Il recupero delle prestazioni del sistema di controllo è il principale
obiettivo della modifica del controllore.
Il vantaggio dell’approccio anti-windup, rispetto a una procedura di sintesi in cui
l’intero sistema di controllo è progettato da zero considerando la saturazione, è che,
tipicamente, la risposta non saturata1 può essere meglio caratterizzata in termini di
prestazioni, e tale comportamento è completamente recuperato quando i segnali nel
ciclo chiuso sono abbastanza piccoli. D’altra parte la presenza delle modifiche diventa cruciale quando i segnali diventano grandi, e l’obiettivo dell’anti-windup è, in tal
caso, di recuperare più velocemente possibile quella che sarebbe stata la risposta del
ciclo chiuso se non ci fosse stata la saturazione. Un altro vantaggio significativo del
metodo anti-windup è che si possono conservare degli specifici schemi di controllo,
generalmente progettati per rispondere a diversi requisiti sul sistema di controllo, fin
quando non si raggiungono i limiti di saturazione.
1
Per non saturata si intende la risposta che si avrebbe per il sistema di controllo in assenza di
saturazione.
35
4.1.1
§4.1 Anti-windup
Anti-windup non lineare applicato a sistemi di EuleroLagrange
Lo schema anti-windup proposto in [9] è rappresentato in Figura 4.2.
Figura 4.2: Schema di controllo antiwindup per sistemi Eulero-Lagrange.
Tale schema può essere visto come l’unione di due controllori, dove uno è un controllore statico (un guadagno non lineare) che garantisce il “global set-point tracking” per
il sistema di Eulero-Lagrange con saturazione dell’ingresso (questo corrisponde alla
funzione γ(., .) che sarà definita in seguito), e l’altro è un controllore dinamico (un
controllore non lineare con stati interni) che garantisce delle prestazioni più desiderabili per il sistema a ciclo chiuso, al prezzo di garantirle solo localmente fin quando
l’uscita del controllore non raggiunge i limiti di saturazione. Per mezzo della dinamica
aggiunta, la struttura rappresentata in Figura 4.2 permette di combinare questi due
controllori in un unico schema di controllo che presenta (localmente) le prestazioni
desiderate introdotte dal controllore libero, mentre si sfruttano le proprietà del controllore globale che assicura la stabilità globale del ciclo chiuso completo. Un grande
vantaggio che risiede in questa unione dello schema è che i due controllori possono
essere progettati indipendentemente fin quando il controllore locale garantisce le proprietà di Stabilità Asintotica Globale (GAS) e Stabilità Esponenziale Locale (LES)
36
§4.1 Anti-windup
del ciclo chiuso senza saturazione e il controllore globale soddisfa adeguate proprietà
di stabilità. Una desrizione dettagliata per il progetto di uno schema anti-windup per
sistemi di Eulero-Lagrange è stata realizzata in [9].
4.1.2
Applicazione al doppio integratore
Si sceglie come controllore locale un controllore PD con guadagni (Kp , Kd ) = (22, 8.2158).
Dal momento che le equazioni di Eulero-Lagrange per il sistema sono lineari, l’equazione del compensatore antiwindup risultante è estremamente semplificata e corrisponde
a:
ẋw = Aw xw + Bw (σ1 (σ1 (yc ) + v1 ) − yc ) ,
(4.1.1)
con
Aw =
0 1
0 0
,
Bw =
0
1
.
(4.1.2)
Si dovrebbe anche notare che in questo caso, per via della linearità della dinamica dell’impianto, il compensatore antiwindup non richiede nessuna misura dello stato. La
scelta di γ(., .) è dipendente solo da xw = (qw , q̇w ) e il segnale v1 può essere scritto come
v1 = −Kg σ1 Kg−1 Kq qe − γE (qe , q̇e ) K0 q̇e .
(4.1.3)
Riguardo la scelta dei parametri scalari Kg , Kq e K0 , prima si sceglie Kg = 0.99 come
massimo valore possibile in rispetto delle condizioni di progetto. Quindi si esegue il
tuning per i rimanenti due parametri con una procedura simile a quella che si usa per
37
§4.2 CNF
i quadagni PD con l’obiettivo di ottenere un desiderabile recupero della risposta. In
particolare si sono scelti Kq = 80 e K0 = 30. La risposta a ciclo chiuso del sistema
è rappresentata in Figura 4.3. La risposta del sistema saturato (in nero) mostra una
consistente sovraelongazione mentre la risposta del sistema con antiwindup (in blu)
evidenzia un miglior recupero della risposta del sistema libero.
1.4
1.2
Spostamento
1
0.8
0.6
0.4
Lineare
Anti−Windup
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo [s]
3
3.5
4
4.5
5
Figura 4.3: Risposta del sistema controllato con anti-windup per sistemi EuleroLagrange.
4.2
Retroazione Non lineare Composita (CNF)
Un differente approccio per incrementare le prestazioni del sistema a ciclo chiuso durante il transitorio è usare la tecnica di controllo a retroazione non lineare composita
(Composite Nonlinear Feedback). Recentemente in [8] è stato sviluppato un controllo
38
§4.2 CNF
CNF per una classe di sistemi più generale con misura della retroazione. Il controllo
CNF consiste in una legge di retroazione lineare e una legge di retroazione non lineare senza alcun elemento di switching. La parte di feedback lineare è progettata
per rendere un sistema a ciclo chiuso con un basso coefficiente di smorzamento per
avere una risposta rapida. La parte di feedback non lineare è usata per incrementare
il coefficiente di smorzamento del sistema a ciclo chiuso quando l’uscita del sistema si
avvicina al riferimento per ridurre la sovraelongazione provocata dalla parte lineare.
Si cerca di progettare una legge di controllo CNF in modo tale che il sistema a ciclo
chiuso abbia le prestazioni desiderate, in particolare una risposta rapida e una bassa
sovraelongazione.
Figura 4.4: Schema del sistema di controllo CNF.
È utile notare che benché la struttura del controllore CNF, rappresentata in Figura
4.4, appaia simile a un progetto di controllo anti-windup, le filosofie di questi due
metodi di progettazione sono totalmente differenti. La progettazione anti-windup
aiuta ad alleviare o ad eliminare il fenomeno del “windup”, lasciando agire solo il
39
§4.2 CNF
compensatore originale (la parte lineare) fino a quando non raggiunge i limiti sull’ingresso. Solo quando il segnale in ingresso è saturato, le modifiche non lineari aggiunte
prendono effetto per sopprimere le oscillazioni non desiderate e velocizzare la risposta
transitoria. Il controllo CNF, dall’altro lato, aiuta a incrementare le prestazioni nel
transitorio del sistema a ciclo chiuso per ottenere una risposta rapida e una minore
sovraelongazione. La funzione non lineare è progettata per restituire valori piccoli
quando l’uscita è lontana dal segnale di riferimento e valori sempre più elevati quando
l’uscita si avvicina al riferimento. In generale quando la parte non lineare diventa apprezzabile, il segnale di controllo duvuto al controllore lineare non satura. La parte di
controllo disponibile prima di entrare in saturazione può essere utilizzata dalla parte
di controllo non lineare per realizzare gli scopi detti.
4.2.1
Per progettare la legge di controllo CNF, si usa la legge di controllo lineare
uL = F x =
−22 −8.2158 x.
(4.2.1)
Nel rispetto della seguente equazione di Lyapunov
(A + BF )′ P + P (A + BF ) = −I2 ,
una possibile soluzione
2
(4.2.2)
per P può essere
2
Ottenuta risolvendo l’equazione matriciale lineare (4.2.2) con il solver Y ALM IP pacchetto di
M AT LAB T M .
40
P =
§4.2 CNF
0.5865 0.022727
0.022727 0.063624
.
(4.2.3)
La funzione non lineare ρ(r, y), che deve essere una funzione localmente Lipschitziana
non-positiva, è scelta come
ρ (r, y) = −50(e−0.5|y−r| ).
(4.2.4)
Infine la legge di controllo CNF è data da
u = uL + uN = F x + Gr + ρ (r, y) B ′ P (x − Ge r) ,
(4.2.5)
−1
G = − C (A + BF )−1 B
(4.2.6)
con
−1
Ge = − (A + BF )
.
BG
La risposta a ciclo chiuso del sistema è rappresentata in Figura 4.5. La risposta del
sistema saturato (in nero) mostra una consistente sovraelongazione mentre la risposta
del sistema CNF (in verde) manifesta una minore sovraelongazione e raggiunge un
intorno sufficientemente piccolo (−0.01/ + 0.01) del riferimento in un tempo inferiore.
41
§4.3 Quasi bang bang
1.4
1.2
Spostamento
1
0.8
0.6
Lineare
CNF
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo [s]
3
3.5
4
4.5
5
Figura 4.5: Risposta del sistema controllato con tecnica CNF.
4.3
Tecnica di controllo “quasi bang bang”
Un altro modo per tentare di migliorare le prestazioni del sistema a ciclo chiuso è
progettare un controllore che possa prevedere il comportamento del sistema in presenza di saturazioni. Ciò è possibile conoscendo a priori le proprietà del sistema.
In particolare l’attenzione è rivolta al modello nominale del doppio integratore con
una saturazione all’ingresso. Si cercherà di proporre un progetto di controllore che
ottimizzi le prestazioni della risposta, riducendo al minimo il transitorio e la sovraelongazione del segnale in uscita.
È intuitivo pensare che per ottenere le migliori prestazioni di un sistema a doppio
integratore sia opportuno mantenere il segnale in ingresso sempre prossimo (se non
pari) ai limiti di saturazione. Considerando un ingresso costante e pari al margine
42
inferiore o superiore di saturazione si può prevedere il comportamento del sistema e
nello specifico della dinamica degli stati. Nel modello rappresentato dalle equazioni
dq (t)
=
dt
0 1
0 0
q (t) +
0
1
u (t) ,
(4.3.1)
gli stati q1 e q2 sono, rispettivamente, la posizione e la velocità di spostamento dell’attuatore. Per tale modello è semplice ricavare le equazioni che descrivono l’evoluzione
degli stati in funzione del tempo. Se, come affermato in precedenza, si mantiene un
ingresso costante in un determinato intervallo di tempo, l’evoluzione nel tempo degli
stati del sistema corrisponde a una retta3 per quanto riguarda la velocità e a una
parabola per quanto riguarda la posizione. Una volta definiti gli intervalli di tempo in
cui l’ingresso assume il valore massimo e gli intervalli in cui assume il valore minimo
è possibile tracciare il comportamento degli stati del sistema nel tempo. La velocità è
una funzione continua del tempo rappresentabile come una sequenza di segmenti. La
posizione è una funzione nel tempo derivabile al primo ordine rappresentabile come
una sequenza di spezzate di parabola.
Il modo più efficiente per stabilizzare il sistema e portare l’errore di posizione a
zero è utilizzare un ingresso pari al valore massimo della saturazione, fin quando la
velocità di spostamento dell’attuatore non sia sufficientemente grande da permettere
di raggiungere lo stato desiderato con un ingresso equivalente al valore opposto della
saturazione. Il compito del controllore è di capire quale sia il momento in cui deve
avvenire l’inversione di spinta. Se il controllore si comporta nel modo desiderato
l’evoluzione del sistema può essere suddivisa in una fase di accelerazione massima
3
Retta con coefficiente angolare pari al valore dell’ingresso.
43
seguita da una fase di decelerazione massima4 . In Figura 4.6 sono visualizzati i grafici
ideali di ingresso, velocità e posizione per un sistema
5
con un riferimento unitario
controllato come descritto.
1
Ingresso
0.5
0
−0.5
−1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.5
1
1.5
Tempo [s]
2
2.5
3
Velocità
1
0.5
0
Posizione
1
0.5
0
Figura 4.6: Grafici di ingresso, velocità e posizione nel caso desiderato.
4
5
Accelerazione sempre massima in modulo ma opposta in verso.
Doppio integratore saturato.
44
La soluzione proposta è utilizzabile per un modello di doppio integratore ideale.
Si vuole estendere il progetto per permettere di applicare un simile controllore anche a sistemi non ideali e quindi introdurre un sistema di retroazione dallo stato che
garantisca un comportamento desiderabile anche in presenza di non idealità. A tale
proposito si cerca di eseguire una previsione sul comportamento futuro del sistema
a partire dalla stima degli stati. Se la velocità con la quale ci si sta avvicinando al
riferimento raggiunge un valore per cui si supererebbe la posizione richiesta anche se
si rallentasse agendo con tutto l’ingresso utilizzabile (ovvero in saturazione), non si
deve continuare a spingere il sistema verso il riferimento, ma si deve iniziare la fase
di decelerazione.
Il metodo per calcolare l’istante in cui deve avvenire l’inversione di spinta è ideato
a priori sulla base di una valutazione del comportamento del sistema a doppio integratore eseguita tramite lo sviluppo integrale delle equazioni di stato. Per ricavare la
legge si integrano le equazioni all’indietro come segue:
q̇1 (t) = −q2 (t)
(4.3.2)
q̇2 (t) = ±m
dove il segno nella seconda equazione dipende dalla direzione dell’ingresso. Integrando
si ha
q1 (t) = −
Rt
0
q2 (τ ) dτ
(4.3.3)
q2 (t) = ±mt
da cui
45
2
q1 (t) = ∓ mt2
(4.3.4)
q2 (t) = ±mt
la curva di commutazione si ottiene eliminando il tempo dall’equazione precedente:
dalla seconda si ricava mt = ±q2 (t) e sostituendo nella prima
q1 (t) = −
q1 (t) =
q22 (t)
,
2m
q22 (t)
,
2m
se q2 (t) ≥ 0
(4.3.5)
se q2 (t) ≤ 0 ,
che possono essere scritte nella seguente forma semplificata:
q1 (t) +
q2 (t) |q2 (t)|
= 0.
2m
(4.3.6)
Intuitivamente, se lo spostamento sta avvenendo in direzione opposta al riferimento,
la quantità (4.3.6) continua ad aumentare finché la velocità non diventa nulla. In tal
caso il segnale di controllo resta quindi in saturazione di segno opposto al riferimento,
spingendo il sistema verso di esso al massimo delle possibilità.
Quando la distanza dal valore di riferimento è sufficientemente piccola si vuole
tornare a controllare il sistema con una retroazione lineare per sfruttare le prestazioni
che un controllore lineare può garantire. Il passaggio dal controllo di tipo non lineare
al controllo lineare e viceversa è gestito da un’operazione di switching che si attiva nel
momento in cui il valore della velocità di spostamento diventa rispettivamente minore
o maggiore di un valore costante predefinito Kd /Kp . Di conseguenza il controllo in
feedback lineare agisce anche se la distanza dal riferimento non è trascurabile, nel
46
caso in cui la velocità sia inferiore al detto valore.
1.4
Lineare
Quasi Bang Bang
1.2
Spostamento
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo [s]
3
3.5
4
4.5
5
Figura 4.7: Risposta del sistema con tecnica di controllo quasi bang bang.
4.3.1
Il sistema di controllo presentato è applicato al modello del doppio integratore. Il
segnale di controllo generato dalla funzione non lineare è
u = −kp max
kd |x2 |
,
kp 2
x2 + (x1 − r) ,
(4.3.7)
con (Kp , Kd ) = (22, 8.2158) per mantenere la parte di controllo lineare invariata rispetto ai metodi precedenti. La risposta del sistema controllato in modo non lineare
(in rosso), rappresentata in Figura 4.7, mostra delle prestazioni migliori rispetto al
sistema controllato linearmente (in nero). La sovraelongazione è decisamente ridotta
47
e il tempo di assestamento del segnale in uscita è minore.
4.3.2
Implementazione della legge di controllo
La legge di controllo è stata implementata in codice M AT LAB T M :
Figura 4.8: Implementazione della legge di controllo quasi bang bang.
4.3.3
Riscalamento della legge di controllo
La legge di controllo è stata progettata per un sistema a doppio integratore con guadagno in ingresso unitario e limiti di saturazione sull’ingresso pari a -1/+1. Per
poter applicare la legge di controllo a un generico sistema a doppio integratore con
saturazione in ingresso si deve effettuare un riscalamento dei parametri scelti per
la stabilizzazione. L’operazione di riscalamento permette di ottenere una dinamica
equivalente per sistemi con guadagno in ingresso costante K e limiti di saturazione
−m/ + m.
Per ricalcolare i coefficienti utilizzati nella legge di controllo si riscrive la dinamica
48
del sistema introducendo le modifiche sul guadagno o sulla saturazione, e si esegue
una trasformazione di variabili per cui le equazioni della dinamica del sistema riscritto
utilizzando le nuove variabili siano identiche alle equazioni del sistema originale

 q̇1 = q2
q̇2 = σ1 (u)
.

u = −F (q1 , q2 )
(4.3.8)
Limiti di saturazione
Il modello con limiti di saturazione costanti qualsiasi è

 q̇1 = q2
q̇2 = σm (u)= m · σ1

u = −F (q1 , q2 )
u
m
.
(4.3.9)
applicando il seguente cambio di variabili,

q
 q̃1 = m1
q2
q̃2 = m ,

u
ũ = m
(4.3.10)
si ottiene una dinamica uguale a quella di partenza.
Moltiplicazione dell’ingresso per una costante
Il modello con guadagno costante qualsiasi è

 q̇1 = q2
q̇2 = K · σ1 (u) .

u = −F (q1 , q2 )
(4.3.11)
49
applicando il seguente cambio di variabili,

q
 q̂1 = K1
q̂2 = qK2 ,

û = u
(4.3.12)
si ottiene una dinamica uguale a quella di partenza.
Riduzione del tempo di risposta
È possibile che in un sistema in cui il guadagno in ingresso o i limiti di saturazione
siano differenti da quelli del sistema originale il tempo di risposta non sia il migliore
che si possa ottenere. Ciò avviene perché con il riscalamento dei parametri si cerca
di mantenere la dinamica originale per quanto consentito dai limiti sull’ingresso e
dunque non si tenta di ridurre il transitorio. Per aumentare la velocità di risposta si
devono modificare i coefficienti Kp e Kd in modo da spostare gli autovalori del sistema
a ciclo chiuso.
Modificando i coefficiente Kp e Kd si agisce direttamente sulla posizione degli
autovalori che si ottengono durante la fase di controllo lineare e si modifica la velocità
di risposta anche per la fase di controllo non lineare. Poiché durante la fase lineare
vale:
F =
Kp Kd
A + BF =
0
1
−Kp −Kd
;
(4.3.13)
pA+BF (s) = s2 + Kd s + Kp
50
§4.4 Metodi a confronto
allora osservando che Kd = λ1 + λ2 e Kp = λ1 λ2 risulta evidente che per spostare gli
autovalori a sinistra di un fattore η bisogna moltiplicare Kd per η e Kp per η 2 .
4.4
Metodi a confronto
Si possono a questo punto confrontare le prestazioni delle tre diferenti risposte per
i sistemi a ciclo chiuso. In Figura 4.9 sono rappresentate le risposte dei sistemi a
ciclo chiuso per un riferimento unitario: in nero la risposta del sistema con controllore
lineare; in blu la risposta del sistema con controllo anti-windup per sistemi di EuleroLagrange; in verde la risposta del sistema con tecnica di controllo CNF; in rosso la
risposta del sistema con metodo di controllo quasi bang bang.
Il metodo anti-windup per sistemi di Eulero Lagrange tenta di mantenere il segnale
1.4
1.2
Spostamento
1
0.8
Lineare
Anti−Windup
CNF
Quasi Bang Bang
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo [s]
3
3.5
4
4.5
5
Figura 4.9: Grafico delle risposte dei sistemi a ciclo chiuso con riferimento unitario.
di controllo all’interno dei limiti di saturazione. In questo modo la dinamica del si-
51
stema non è sfruttata a pieno e la velocità di risposta risulta penalizzata. Nelle altre
due tecniche di controllo il segnale in ingresso all’impianto è sfruttato maggiormente,
per questo non si sceglie di utilizzare questo sistema di controllo sull’attuatore VCM.
Il contributo non lineare del CNF può migliorare le prestazioni del sistema in modo significativo se il segnale di controllo in uscita dal controllore lineare non manda
in saturazione l’ingresso del sistema. Considerando le condizioni in cui si vogliono
migliorare le prestazioni dell’attuatore VCM, con il relativo controllore lineare, l’ingresso non è in saturazione solo per piccoli periodi. La scelta del CNF non è quindi
la più indicata per incrementare le prestazioni del sistema.
La tecnica di controllo quasi bang bang risulta la migliore per prestazioni ottenute, dal momento che fornisce la risposta con la minima sovraelongazione e il minimo
tempo di assestamento. Il segnale in ingresso in questo caso è sfruttato completamente nei limiti di saturazione. Tale metodo si presta meglio per l’utilizzo sull’attuatore
VCM visto che la dinamica non lineare entra in gioco anche quando la distanza dal
riferimento è piccola. Per cui, l’alta autorità della componente non lineare e l’alto
sfruttamento del segnale di controllo utilizzabile inducono alla scelta di questo genere
di controllo per l’adattamento al VCM.
Nella Tabella 5.1 sono riportati i parametri prestazionali rilevati dalle risposte dei
differenti sistemi per un riferimento unitario.
Il confronto tra le risposte dei sistemi per un riferimento pari a 10 mostra in modo
ancora più evidente che il controllo quasi bang bang è il più adatto per l’impiego su
52
Tecnica di controllo
Tempo di risposta Sovraelongazione
(tolleranza 0.02%)
Lineare
Eulero-Lagrange
CNF
quasi Bang Bang
3.06s
2.83s
2.62s
2.42s
0.203
0.053
0.061
0.045
Tabella 4.1: Dati rilevati dalle simulazioni.
un sistema a doppio integratore. Dalla Figura 4.10 si può notare come il controllo
quasi bang bang riduca la sovraelongazione della risposta e impedisca l’oscillazione del
sistema, che si verifica in tutti gli altri casi. Di conseguenza il tempo di risposta risulta
decisamente ridotto e il comportamento generale del sistema molto più desiderabile.
18
16
14
Spostamento
12
10
8
6
4
Lineare
Anti−Windup
CNF
Quasi Bang Bang
2
0
0
5
10
15
Tempo [s]
20
25
30
Figura 4.10: Grafico delle risposte dei sistemi a ciclo chiuso con riferimento pari a 10.
53
Capitolo 5
Schema completo e risultati
simulativi
In questo capitolo la legge di controllo per doppio integratore sarà
adattata alle caratteristiche del VCM. Si costruirà un modello completo del sistema HDD DSA controllato in modo non lineare e
verrano illustrati i risultati delle simulazioni effettuate su di esso.
5.1
Adattamento della legge di controllo al VCM
Per applicare la tecnica di controllo quasi bang bang al modello dell’attuatore VCM
si deve riscalare la legge descritta nel Paragrafo 4.3. In particolare si devono scegliere
i parametri Kp e Kd in modo appropriato e introdurre dei coefficienti moltiplicativi
in ingresso e in uscita al controllore non lineare. Per quanto riguarda la scelta dei
parametri Kp e Kd si fa riferimento al controllore in retroazione lineare progettato nel
Paragrafo 3.1 in modo da semplificare il confronto delle prestazioni dei sistemi a ciclo
chiuso. Si ha quindi (Kp , Kd ) = (0.22, 1.5×10−4 )/3×107 . Dato il limite di saturazione
per l’ingresso dell’attuatore VCM M = −5V / + 5V si devono moltiplicare le variabili
in ingresso alla funzione di controllo non lineare e l’uscita (segnale di controllo) della
stessa funzione per un coefficiente 1/M = 1/5V −1 . Considerando ora il guadagno
Kv in ingresso al doppio integratore sarà necessario moltiplicare ancora le variabili di
54
Cap. 5 Risultati
§5.1 Adattamento della legge di controllo al VCM
stato osservate per un coefficiente 1/Kv = 1/37 . Dopo tale adattamento è possibile
costruire un modello completo dell’impianto controllato e su di esso effettuare delle
simulazioni della risposta in relazione al segnale di riferimento in ingresso.
Figura 5.1: Schema di controllo non lineare.
Osservazione 5.1.1. Il segnale in ingresso alla funzione di controllo non lineare è
un vettore di dimensione 3 dato dalla differenza tra il riferimento e lo stato stimato
per il modello nominale del VCM. Visto che il riferimento è uno scalare che indica la
T
posizione da raggiungere, si moltiplica tale valore per il vettore 1 0 0
(blocco
“augmented reference”), dal momento che la posizione stimata è data dal primo degli
stati stimati.
55
Cap. 5 Risultati
5.2
§5.2 Simulazioni
Simulazioni
Le risposte del sistema simulato sono rappresentate nei grafici riportati nelle Figure
5.2, 5.3, 5.4 e 5.5. Si nota che la dinamica lineare è riprodotta abbastanza fedelmente
per riferimenti dell’ordine dell’unità (riferimenti in V). Ciò risponde alle aspettative
dal momento che per tali riferimenti l’ingresso dell’attuatore controllato linearmente
è in saturazione per un intervallo di tempo trascurabile. Aumentando il valore del
riferimento si nota che il solo controllo lineare provocherebbe una sovraelongazione
non proprio trascurabile mentre il controllore non lineare permette di ridurre notevolmente tale fenomeno. Per riferimenti dell’ordine delle decine di Volt il tempo di
assestamento della risposta non cambia in modo rilevante anche se la sovraelongazione è ridotta. Invece una riduzione del tempo di risposta avviene in caso di segnali
di riferimento dell’ordine delle centinaia di Volt. Per spostamenti molto ampi (oltre
500V) si evita inoltre l’oscillazione che si avrebbe con il solo controllo lineare. In
Tabella 5.1 sono riportati i dati rilevati dalle simulazioni relativi a sovraelongazione e
tempo di risposta per diverse grandezze del riferimento. Riassumendo, le prestazioni
medie della risposta sono incrementate per quello che riguarda la riduzione della sovraelongazione e la velocità di risposta, soprattutto in caso di ampi spostamenti del
riferimento. Ciò si traduce in uno spostamento della testina di lettura/scrittura più
desiderabile e in una riduzione del tempo medio di accesso ai dati. Nel complesso
la nuova tecnica di controllo quasi bang bang potrebbe permettere una velocità di
trasferimento utile dei dati sulle tracce del disco in media più elevata.
56
Cap. 5 Risultati
§5.2 Simulazioni
Riferimento
1V
20V
400V
1000V
Tempo di risposta
tolleranza 0.02V
Lineare N onlineare
0.70ms
0.64ms
2.54ms
2.71ms
6.57ms
5.52ms
12.8ms
8.03ms
Sovraelongazione
Lineare N onlineare
0.016V
0.017V
0.123V
0.113V
64.64V
20.19V
406.92V
30.53V
1.4
Lineare
Quasi Bang Bang
1.2
Spostamento [V]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
Tempo [s]
2.5
−3
x 10
Figura 5.2: Risposta per il riferimento di 1V.
57
Cap. 5 Risultati
§5.2 Simulazioni
25
Lineare
Quasi Bang Bang
Spostamento [V]
20
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
Tempo [s]
2.5
3
3.5
4
−3
x 10
500
450
400
Spostamento [V]
350
300
Lineare
Quasi Bang Bang
250
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
Tempo [s]
5
6
7
8
−3
x 10
58
Cap. 5 Risultati
§5.2 Simulazioni
1500
Spostamento [V]
1000
Lineare
Quasi Bang Bang
500
0
0
0.005
0.01
0.015
Tempo [s]
59
Cap. 5 Risultati
5.3
§5.3 Possibili miglioramenti
Possibili miglioramenti
Finora si è usato sempre lo stesso controllore lineare per l’implementazione di un
sistema di controllo. Si possono migliorare le prestazioni del sistema a ciclo chiuso,
sfruttando i vantaggi portati dal controllo non lineare soprattutto per quanto riguarda
la riduzione della sovraelongazione. Modificando il controllore lineare si può fare in
modo che la risposta sia più rapida limitando allo stesso tempo la sovraelongazione che
si avrebbe senza il controllore non lineare a causa della saturazione. Provando a modificare i coefficienti Kp e Kd effettivamente si riesce ad ottenere una risposta più rapida,
ma allo stasso tempo si introducono delle oscillazioni indesiderate nella risposta. Le
oscillazioni sono dovute alla comparsa dei modi risonanti dell’attuatore VCM che non
sono stati tenuti in considerazione nel progetto del sistema di controllo. In Figura 5.6
si mostra come nella risposta del sistema per (Kp , Kd ) = (0.77, 5.25 × 10−4 )/3 × 107
appaiano dette oscillazioni, mentre le oscillazioni del VCM sono completamente assenti nella risposta del sistema con modello nominale del VCM in Figura 5.7. Il tuning
dei parametri Kp e Kd deve essere dunque effettuato allo scopo di velocizzare il più
possibile la risposta fino al punto in cui i modi risonanti iniziano ad assumere valori
non trascurabili ai fini dell’utilizzo del dispositivo HDD. Inoltre tali parametri possono essere scelti per avere un buon compromesso tra basso tempo di risposta e ridotta
sovraelongazione: in Tabella 5.2 sono indicati i valori prestazionali per due diverse
scelte di Kp e Kd .
60
Cap. 5 Risultati
Riferimento
Tempo di risposta
tolleranza 0.02V
1V
20V
400V
1000V
Sovraelongazione
(0.308,2.1×10−4 )
3×107
(0.33,2.25×10−4 )
3×107
(0.308,2.1×10−4 )
3×107
(0.33,2.25×10−4 )
3×107
0.66ms
2.18ms
5.24ms
7.40ms
0.66ms
2.10ms
5.26ms
7.45ms
0.007V
0.024V
15.16V
26.01V
0.005V
0.013V
14.26V
25.33V
1.2
1
Spostamento [V]
0.8
0.6
y
PZT
y
VCM
0.4
yTOT
0.2
0
−0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo [s]
3
3.5
4
4.5
5
−3
x 10
Figura 5.6: Risposta del sistema controllato quasi bang bang con (Kp , Kd ) =
(0.77, 5.25 × 10−4 )/3 × 107 .
61
Cap. 5 Risultati
1.2
1
Spostamento [V]
0.8
0.6
y
PZT
y
VCM
0.4
yTOT
0.2
0
−0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo [s]
3
3.5
4
4.5
5
−3
x 10
Figura 5.7: Risposta del sistema con modello nominale del VCM controllato quasi
bang bang con (Kp , Kd ) = (0.77, 5.25 × 10−4 )/3 × 107 .
62
Capitolo 6
Conclusioni e sviluppi futuri
Dopo aver dato una descrizione generale dei dispositivi Hard Disk per ciò che riguarda le caratteristiche prestazionali e le necessità di sviluppo, è stato preso in analisi il
sistema di Hard Disk a doppio attuatore proposto in [11]. L’identificazione del modello per il sistema HDD DSA e il progetto del sistema di controllo lineare effettuati
dai correlatori di questa tesi, sono stati il punto di partenza per lo sviluppo di un
sistema di controllo più efficiente. Per semplificare lo studio delle prestazioni per i
nuovi sistemi di controllo è stato utilizzato un modello di doppio integratore saturato,
paragonabile al modello nominale dell’attuatore primario del dispositivo DSA. Con le
prime due tecniche di controllo non lineare1 adattate al doppio integratore saturato,
si sono ottenute prestazioni non consistentemente migliori di quelle del sistema originale. Perciò è stata introdotta una legge di controllo che tenesse in considerazione le
proprietà del sistema da controllare. Questa tecnica di controllo quasi bang bang è
stata dunque applicata al modello DSA e le prestazioni del nuovo sistema sono state
paragonate a quelle dell’originale, riscontrando sensibili miglioramenti.
1
Anti-windup per sistemi di Eulero-Lagrange descritta in [9], e Composite Nonlinear Feedback
descritta in [10]
63
Cap. 6 Conclusioni e sviluppi futuri
È stato mostrato come una legge di controllo non lineare applicata a un sistema
Hard Disk a doppio attuatore può permettere un miglioramento delle prestazioni del
dispositivo. L’incremento della velocità potrebbe essere decisamente superiore se si
riuscisse a ridurre l’entità dei modi risonanti per l’attuatore VCM. A tale proposito
si può pensare di aumentare la frequenza di campionamento del controllore PZT o
progettare particolari filtri per il segnale in ingresso al VCM.
Il sistema di controllo proposto potrebbe essere esteso a una più larga classe di
impianti modellabili come doppio integratore come ad esempio altre classi di motori
elettrici. Inoltre seguendo la filosofia di progetto adottata per lo sviluppo della tecnica
di controllo si possono pensare soluzioni simili anche per catene di integratori di ordine
diverso dal secondo.
64
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66

Controllo nonlineare di hard disk con doppio attuatore

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