Qui

De Paulis-Manfredi
Costruzione di Macchine
SOLUZIONE ESERCIZI CAPITOLO 2
1) In un lotto di provini in acciaio a medio contenuto di carbonio, con deformazione a rottura attorno a
f = 20000 µ
strain, ve ne è uno che, per errore, era
stato sottoposto in precedenza ad una deformazione
qualitativamente il graco
σn = f (n )
p = 5000 µ
strain. Tracciare
che sarebbe rilevato con questo provino, se
lo si sottoponesse alla prova standard di trazione, confrontandolo con quello degli
altri provini.
Esercizio 2.1
La deformazioni iniziale produce una apparente riduzione della duttilità e, a
causa dell'incrudimento, un apparente aumento del campo di comportamento elastico. La tenacità convenzionale a sua volta si riduce.
Questo materiale è relativamente fragile. Poichè una deformazione pari ad un
strain corrisponde a
=
10−6 , la deformazione a rottura qui sarà
f = 2%.
µ
Una
tale fragilità, in materiali di questa natura, può essere provocata, ad esempio, da
un improprio trattamento termico, quale un rinvenimento dopo la tempra eseguito
a temperatura troppo bassa.
Per modellare il comportamento di questo materiale si rappresenterà la curva
σ = f ()
tramite la relazione di
questa relazione:
=
Ramberg-Osgood (1943).
Le costanti usate in
σ n
σ
,
+ K
E
E
si possono ricavare dalla curva sperimentale. Usualmente si fa questo nel campo
delle piccole deformazioni.
Qui si assume valida questa legge no alla rottura,
perché si tratta di un materiale piuttosto fragile, come si è detto prima.
2
Conviene riscrivere la relazione di
Ramberg Osgood come segue:
Sy
σ
=
+ α
E
E
dove
α
σ
Sy
n
si trova adottando la convenzione che allo snervamento la deformazione
plastica sia pari allo 0,2
%:
α
e scegliendo
n
Al crescere di
n → ∞
Ponendo
Sy
= p0 = 0, 002
E
tra valori plausibili per materiali metallici, ovvero:
n
5 ≤ n ≤ 10.
la curva diventa sempre più schiacciata (basso incrudimento; con
si approssima il comportamento elastico perfettamente plastico).
Sy
= 240 MPa,
E
= 207 GPa,
n
= 8 si ottiene la curva in gura (a),
indicata in parte a linea continua ed in parte con linea a tratti. Se si arresta la
prova quando
= 5000
raggiunto il valore
σ0,5
µ
strain = 0,5% (linea continua del graco) la tensione ha
= 260 MPa.
Questo sarebbe anche il valore della tensione di snervamento apparente per il provino che ha già subito questa deformazione. Modicando di conseguenza i parametri
della curva di
Ramberg-Osgood si ottiene il graco in gura (b), che rappresenta il
presumibile comportamento del provino
incrudito dalla precedente deformazione.
Quest'ultimo andamento è molto prossimo all'andamento di quella parte della curva
σ = f ()
che è indicata con linea a tratti nella gura (a).
0f = 0,015. Anche la tenacità
E = f (Su + Sy )/2, si riduce di circa
Si noti che la duttilità si è ridotta di 1/4, infatti
convenzionale, che approssimativamente vale:
il 20%.
2) Si sa che la corrosione galvanica si manifesta quando materiali aventi potenziale elettrochimico dierente sono in contatto elettrico in presenza di un elettrolita.
Suggerire soluzioni idonee ad evitare questa forma di corrosione nell'unione tramite
un bullone (vite passante + dado) di due lamiere sovrapposte di materiale meno
nobile di quello del bullone.
Secondo la norma statunitense MIL-STD-889B i materiali usati nella costruzione meccanica si possono classicare nel modo riportato nella tabella . L'elenco è
scritto a partire dal materiale più nobile ovvero più passivo (costituirebbe il catodo
se connesso elettricamente con qualunque altro materiale immerso nella stessa cella
galvanica) e termina con il materiale più attivo (l'anodo di qualsiasi cella galvanica). Secondo la norma, ad ogni materiale si può associare un
indice di anodicità
crescente da 0 (Oro, platino) a 1,85 (Berillio).
Si suppone che sulle superci di alcuni di questi materiali (es.: acciai inossidabili) sia presente quello strato passivante, protettivo che è costituito di regola da
ossidi aderenti. Diversamente la loro posizione in questa serie si dovrebbe spostare
di una o due posizioni verso il basso.
3
Materiale
Indice
Oro, leghe Au-Pt
0,00
Placcatura di Ag su rame
0,05
Argento, leghe per monetazione
0,15
Nickel, Titanio e leghe
0,30
Rame, leghe Ni-Cu e Ni-Cr
0,35
Ottoni con bassa
%
Zn e bronzi speciali
Ottoni e bronzi comuni
Ottoni e bronzi con alta
0,35
0,40
%
di lega
0,45
Acciai inossidabili austenitici (serie 300)
0,50
Cromature; acciai inox ferritici (serie 400)
0,60
Stagno, brasatura a stagno
0,65
Piombo
0,70
Leghe Al-Cu-Mg da stampaggio (serie 2000)
0,75
Ghise, acciai al C e bassolegati
0,85
Altre leghe di Al da stampaggio o da fonderia Al-Si
0,90
Altre leghe di Al da fonderia, cadmio
0,95
Zincatura, acciaio zincato
1,20
Zinco, leghe di Zn da pressofusione
1,25
Magnesio e leghe di magnesio
1,75
Berillio
1,85
Secondo la norma, in condizioni severe d'impiego (es.: all'aperto, con forte umidità e salmastro) nel caso di parti costruite con materiali diversi, unite assieme ed
esposte alla corrosione galvanica, la dierenza tra i rispettivi indici di anodicità
non dovrebbe essere superiore a 0,15.
In situazioni ordinarie (es.: deposito in magazzino chiuso) la dierenza tra gli indici
non dovrebbe superare 0,25.
In ambienti particolarmente favorevoli (es.: umidità e temperature controllate) si
può accettare una dierenza tra gli indici no a 0,50.
Volendo unire insieme materiali con indici di anodicità decisamente diversi tra
loro occorre predisporre ricoprimenti fatti con materiale meno nobile o introdurre
appositamente elementi in materiale meno nobile destinati a corrodersi proteggendo gli elementi funzionalmente importanti (es.: ogiva in lega di alluminio per
un'elica marina in bronzo). Conviene sempre interrompere la continuità di natura
elettrica. E' soprattutto necessario evitare la presenza dell'elettrolita (umidità di
condensa, uidi di lavaggio o accidentalmente dispersi, lubricante inquinato con
acqua, ecc.). Si vedano gli esempi in gura.
La scelta dei ricoprimenti non è banale. La cadmiatura, ad esempio, è stata ed è
ancora usata in aeronautica (es.: unioni tra parti in leghe leggere con bulloni in
acciaio), ma presenta pericoli di tossicità di lungo periodo.
4
Esercizio 2.2
3) Si supponga di potere ricondurre il comportamento di una zona di un componente strutturale a quello di un sistema costituito da due barre A e B , fatte dello
stesso materiale duttile, ma con lunghezza e sezione dierenti, incastrate all'estremità a supporti supposti innitamente rigidi, di cui uno sso.
locale si simula dando certi spostamenti
δ
La deformazione
al supporto mobile. Si chiede di indicare
il comportamento delle barre, se si impone uno spostamento in trazione al supporto
e lo si azzera riportandolo nella posizione di partenza.
Esercizio 2.3 (a)
Per un dato valore dello spostamento
con
SA < SB ,
e
LA > LB
δ,
dette
le loro lunghezze, se
E
SA , SB
le sezioni delle due barre,
è il modulo di elasticità normale
5
Esercizio 2.3 (b)
di entrambe le barre, in campo elastico si può scrivere:
σA,B = E
δ
LA,B
Per ottenere lo spostamento
di trazione
Detta
Sy
δ
;
NA,B = σA,B SA,B .
deve essere applicata al supporto mobile una forza
N = NA + NB .
la tensione di snervamento di entrambe le barre, quella B, che è più corta,
inizia a plasticizzarsi (gura (b)) quando:
δyB =
Sy LB
.
E
Aumentando ulteriormente lo spostamento, la barra B continua a deformarsi plasticamente mentre la sua tensione - se si ignora l'incrudimento - resta pari al valore
Sy .
Se si arresta la deformazione prima che si plasticizzi anche la barra A, ad esempio
quando lo spostamento ha assunto il valore indicato in gura come
δ1 ,
e immedia-
tamente dopo si annulla lo spostamento imposto, le due barre si comporteranno
elasticamente se non è superato il rispettivo limite di adattamento; il corrispondente
spostamento, al limite dell'adattamento, sarà:
δaA,B = aA,B LA,B = 2 Sy LA,B /E = 2 δyA,B .
Per la barra B, che si plasticizza per prima, questo limite è quindi pari a
δaB =
2 Sy LB /E << δaA .
In questo caso, per riportare a zero lo spostamento occorre applicare dall'esterno
6
una forza di compressione adeguata, pari alla forza di compressione
N0
agente sulla
sola barra B, quella plasticizzata in precedenza, che si può trovare ponendo:
0
σB
= Sy − E
δ1
0
→ N 0 = σB
SB .
LB
Imponendo uno spostamento iniziale maggiore, ad esempio:
δ2 = 2 δ1
come in
gura (b), nella barra B si supera il limite di adattamento ed anche la barra A si
plasticizza senza però superare questo limite.
Allo scopo di azzerare lo spostamento, come indicato in gura (b), la barra B dovrebbe essere deformata plasticamente anche in compressione. Inoltre si dovrebbe
applicare dall'esterno una forza di compressione maggiore che nel caso precedente.
Nella barra B agirà una tensione di compressione pari a quella di snervamento e la
tensione di compressione elastica nella barra A si può calcolare come detto sopra.
Esercizio 2.3 (c)
Si supponga adesso che, invece di imporre uno spostamento, si applichi una forza esterna di trazione no a provocare uno spostamento sotto carico pari al valore
δ1 .
Le barre del modello si comporteranno sotto carico come nel caso precedente
(vedi gura (c)).
Quando, in un momento successivo, il carico viene annullato le due barre si contrarranno elasticamente, scaricandosi. In questo caso azzerando il carico lo spostamento
δr
δ
si riduce ma non si annulla del tutto. Il valore residuo dello spostamento
e le corrispondenti coazioni nelle due barre si possono determinare come segue.
Nella barra A, rimasta in campo elastico, la tensione varia anche in questo caso
secondo la:
σA = E
δ
.
LA
7
Nella barra B la tensione, che sotto carico aveva raggiunto il valore della tensione
di snervamento, si riduce secondo la:
σB = Sy − E
δ1 − δ
.
LB
Poichè il carico esterno è nullo, la condizione di equilibrio richiede che sia
NA + NB = 0.
N =
Sulle barre agiscono perciò tensioni residue tali da soddisfare la
condizione suddetta ovvero:
σA,r SA + σB,r SB = 0 .
Dalle relazioni precedenti:
E
δr SA
δ1 − δr
+ (Sy − E
)SB = 0 .
LA
LB
Ciò permette di determinare lo spostamento
δr
rimanente.
Ciò equivale alla
di-
storsione che si manifesta, talvolta anche macroscopicamente, nei casi reali in circostanze simili.
Sostituendo il valore, così trovato, di
tensioni
σA,B
δr
nelle espressioni precenti che forniscono le
di scarico, si trovano le coazioni ovvero le tensioni residue, rispetti-
A e di compressione per la barra B .
SA = 100 mm2 , SB = 400 mm2 , LA = 100 mm, LB = 50 mm, E =
207 GPA, Sy = 250 MPa (acciaio da carpenteria), si trova che la barra B inizia a
plasticizzarsi per uno spostamento δyB = 0,06 mm. Il limite di adattamento sarà
perciò: δaB = 2 δyB = 0,12 mm.
Per raggiungere lo spostamento δ1 = 0,1 mm è necessaria una forza di trazione N
= 120 kN, che interessa prevalentemente la barra B (NB = 99 kN).
vamente di trazione per la barra
Ponendo:
Per azzerare questo spostamento occorre una forza esterna destinata unicamente a
comprimere la barra B. La tensione nale in questa barra sarà:
0
Corrispondentemente N
=
0
σB
SB = −69, 6
0 = −174MPa.
σB
kN.
Se invece si azzera il carico esterno dopo avere raggiunto lo spostamento
δ1
pla-
sticizzando la barra B, al termine della fase di scarico permane uno spostamento
residuo
e
σB,r
δr ≈ 0,04 mm con tensioni residue rispettivamente uguali a σA,r
= −18 MPa.
= 74 MPa
4) Riprendendo l'esercizio precedente, si vuole ora conoscere il comportamento
delle barre se si sposta e si riporta a zero più volte il supporto mobile con spostamenti di varia ampiezza.
Partendo dalla condizione iniziale, se lo spostamento non supera il valore
δyB
denito nell'esercizio 3 le due barre si comporteranno elasticamente sia nel primo
ciclo che in tutti i cicli successivi, con tensioni variabili tra zero e un certo valore
massimo, che è più elevato nella barra B.
Se lo spostamento assume un valore suciente a plasticizzare la barra B ma inferiore al suo limite di adattamento, come avverrebbe ponendo
δ = δ1 ,
durante il
8
Esercizio 2.4
primo ciclo si manifesta la situazione descritta nell'esercizio 3.
La ripetizione del medesimo spostamento determinerebbe una sollecitazione elastica, ciclicamente ripetuta, in entrambe le barre.
Nella barra A la tensione oscil-
lerebbe tra zero ed il valore massimo raggiunto nel primo ciclo. Nella barra B la
tensione di trazione durante il ciclo sarebbe pari della tensione di snervamento e
quella di compressione sarebbe pari al valore
0
σB
trovato nell'esercizio 3 precedente.
Se lo spostamento assumesse un valore superiore al limite di adattamento della barra B ma inferiore a quello della barra A, come avverrebbe ponendo
δ = δ2 , durante
il primo ciclo si manifesta la situazione descritta nella gura (b) dell'esercizio 3.
Nei cicli successivi, poichè non è superato il limite di adattamento della barra A, la
sollecitazione di questa barra resterebbe in campo elastico, con tensioni oscillanti
tra il valore della tensione di snervamento ed una certa tensione di compressione,
determinabile come già fatto per la tensione
0 .
σB
La sollecitazione della barra B
sarebbe invece caratterizzata da cicli di isteresi in campo plastico, con tensioni pari
ai valori della tensione di snervamento in trazione ed in compressione e campo di
deformazione plastica pari a:
∆pB = δ2 − δaB .
Queste ripetute deformazioni plastiche nei due versi renderebbero molto severa la
fatica a cui è soggetto ogni materiale quando è sottoposto a cicli di sollecitazione
(vedi Capp. 4 e 5) e la rottura della barra B si manifesterebbe entro un numero di
cicli relativamente basso.
d e lunghezza L è applicata una forza di trazione
T = 0, 3 Tf . Usando la legge di Norton scrivere la
5) In un'asta tesa di diametro
F
mentre la temperatura vale
relazione che denisce l'aumento di lunghezza dell'asta per eetto del
creep.
9
Norton si scrive:
La legge di
dc
= B σm .
dt
In questo caso
σ = F/A = 4 F/(π d2 ) =
costante. Posto
c = ∆Lc /L
per piccole
deformazioni si può scrivere:
m F
t .
L(t) = L 1 + B
A
A questa deformazione crescente nel tempo dovuta al
elastica
creep si deve sommare quella
∆Le = (F L)/(E A) che si manifesta immediatamente dopo l'applicazione
del carico.
Per le dimensioni di
B,
scrivendo
F
forza,
[B] =
Quando
m
M
˙
σm
massa,
L
lunghezza e
t
tempo:
.
= 3:
[B] =
6 −1 3 5
t−1
L t
L6 t−1
L t
=
=
=
≡ m3 s5 kg−3 .
σ3
F3
M 3 L3 t−6
M3
L = 100 mm, d = 10 mm, F = 1 kN (per cui: σ = 12 MPa) ed assumendo
m = 3 e B = 0, 1 · 10−30 kg−3 m3 s5 (con tensione in Pa e velocità
−1 ) si ottiene una deformazione elastica immediata
deformazione dc /dt in s
Ponendo
E
di
= 150 GPa,
trascurabile ed invece un allungamento dell'asta dovuta al
creep prossima al milli-
metro all'anno, che diventa pari a sei millimetri circa in dieci anni. Si osserva che
questa previsione dipende fortemente dal valore assegnato alla costante sperimentale
B.
6) Quando l'allungamento di un elemento di gomma varia in modo armonico
= 0 sen (ω t) ; σ = σ0 sen (ω t + δ). Descrivere tramite un graco
σ = f () questo tipo di comportamento, assumendo 0 = σ0 /E tramite i valori
∗
riportati nell'Appendice del capitolo 2 ed assumendo E = E/10.
si avrà:
Assumendo
E
= 0,01 GPa risulta:
δ =
arctang(E
∗ /E)
= 5◦ 420 .
Con una de-
formazione periodica di ampiezza pari al 20%, si ottiene il graco in gura. L'area
racchiusa rappresenta l'energia unitaria dissipata durante questo ciclo di isteresi in
campo elastico.
10
Esercizio 2.6
7) In un materiale composito il carico unitario di rottura delle bre vale
quello limite di adesione tra bre e matrice vale
τF M .
Su,F e
dF
Conoscendo il diametro
delle bre scrivere la relazione che denisce la lunghezza minima che la bra deve
avere anché si spezzi piuttosto che slarsi dalla matrice.
Occorre distinguere tra le vere e proprie bre, che sono estremamente sottili
(5
÷ 10
micrometri) ed i lamenti ottenuti intrecciando un gran numero di queste
bre. Questi lamenti, impregnati o pre impregnati di resina, formano tessuti o
nastri che sono utilizzati per realizzare un manufatto.
Nel seguito si assume che il diametro
Detto
lc
dF
sia quello della singola bra.
il valore critico della lunghezza di una bra che si spezza piuttosto che
slarsi dalla matrice, si può calcolare lc come segue.
Si supponga di applicare ad una bra di diametro
d
azioni tangenziali distribuite
sulla sua supercie che rappresentano le azioni trasmesse alla bra da parte della
matrice. Si suppone che queste azioni, di verso opposto, siano trasmesse tramite
le superci di due porzioni esattamente uguali della bra.
Sulle due metà della
supercie agiranno perciò tensioni tangenziali il cui valore massimo è pari a
e che sono dirette in verso opposto.
τF M
massima forza di trazione si produrrà nella
sezione di mezzeria della bra.
Se questa tensione tangenziale è costante e pari al limite di adesione tra bra e
matrice
τf m ,
la tensione di trazione nella sezione di mezzeria diverrà esattamente
uguale alla tensione di rottura
Su,F
della bra quando questa ha una determinata
lunghezza lc , detta lunghezza critica.
Si può perciò scrivere:
τf m π d
lc
π d2
σF
= σF
→ lc = d
.
2
4
2 τf m
11
Sebbene sia
σF >> τf m ,
bre di pochi centimetri, essendo il diametro
d
molto
piccolo, possono essere considerate sucientemente lunghe.
Ad esempio, assumendo
ottiene:
lc = 100
dF = 10 µm, Su,F = 2000
MPa,
τF M = 50
MPa si
mm ovvero 10 cm.
8) Si vuole realizzare un composito a matrice metallica, costituito da bre in
materiale ceramico (es.: SiC) e matrice in lega di alluminio.
Assumendo per le
rigidezze della matrice e delle bre, in prima approssimazione, i valori più elevati
riportati in Appendice per questi materiali, determinare il modulo di rigidezza elastico
E1
nella direzione delle bre ponendo
VF,% = 40%.
Assumendo che la matrice sia in lega di Al-Cu-Mg e le bre di carburo di silicio
(SiC, carborundum) il modulo di Young nella direzione delle bre, dato dalla:
E1 = EF VF % + EM (1 − VF % ) ,
si trova ponendo
EF
= 410000 MPa e
EM
= 75000 MPa. Risulterebbe
E1 = 209000
MPa, valore tipico degli acciai.
Per quanto riguarda la resistenza nella direzione delle bre:
σ1,R = σR,F VF % + EM R,F (1 − VF % ) .
Ponendo
σR,F
= 550 MPa e
R,F
= 0,01 si trova
σ1,R
= 670 MPa.
Nella tecnica si usano compositi con matrice di leghe di alluminio rinforzate con
sottilissime bre
(whiskers) di SiC disposte alla rinfusa, che migliorano la rigidezza,
la resistenza e la tenacità del materiale anche a temperature relativamente elevate
◦
(300 ).
I miglioramenti non sono così forti come appare dal risultato di queste
formule, che si basano sull'ipotesi di bre lunghe perfettamente orientate nella direzione 1.
9) Denire un indice di merito per la scelta di materiali adatti alla costruzione
di elementi elastici (es.: molle).
Il requisito essenziale consiste nell'immagazzinare la massima energia elastica
a parità di massa.
La quantità da ottimizzare sarà perciò l'energia elastica am-
missibile per unità di massa. Per condizioni monoassiali, con tensione uniforme in
campo elastico, si può scrivere:
U =
Anchè sia massimo
U/m
1
1 2m
σV =
σ
.
2
2E
ρ
occorre massimizzare
Negli acciai da molle, essendo
Eρ
2
σamm
Eρ
(σ )amm
.
ρ
valore di σamm
oppure
elevato, occorre che il
(limite
elastico o limite di fatica) sia a sua volta molto alto. Da questo punto di vista le
leghe di Titanio, se non fossero così costose, sarebbero superiori agli acciai.
12
Sono ottime le gomme (elasticità non lineare) che per la loro deformabilità hanno
(σ )amm
molto elevato ed inoltre una bassa densità.
Anche i materiali compositi hanno indici
tutti i materiali nei quali
amm /E
2
σamm
Eρ
elevati, tuttavia, come avviene per
è limitato, la cedevolezza voluta si può ottenere
solo con forme opportune della molla (es.: a lamina di essione).
10) Un nuovo materiale è caratterizzato da un carico di snervamento paragonabile a quello degli acciai di maggiore resistenza (vedi Appendice al cap.2) e da un
modulo di
Young ed una densità all'incirca pari a quello delle leghe di magnesio.
Come si collocherebbe nelle mappe degli indici di merito riportate o suggerite in
questo Capitolo?
Si assumono questi valori:
Sy
= 1200 MPa;
Su
= 1500 MPa,
E
= 45 GPa,
ρ
=
3
1800 kg/m .
A
√
questi valori, corrisponderebbero quelli degli indici di merito:
E/ρ ≈
E/ρ ≈
25 e
0,12 per quanto riguarda la leggerezza e la rigidezza rispettivamente in
trazione ed in essione. Inoltre sarebbe
Sy /ρ ≈ 0, 65 ; Su /ρ ≈ 0, 65
per quanto
riguarda la leggerezza e la resistenza con carichi crescenti gradualmente.
Per quanto riguarda la leggerezza e la rigidezza gli indici di merito del nuovo materiale sarebbero perciò simili a quelli delle altre leghe di magnesio.
I materiali
compositi a matrice polimerica ed i materiali ceramici lo supererebbero largamente
da questo punto di vista.
Invece, il nuovo materiale supererebbe tutti i materiali metallici, collocandosi quasi alla pari dei migliori materiali compositi, per quanto riguarda leggerezza e
resistenza.
Esercizio 2.10
Questo ipotetico materiale sarebbe utile per realizzare organi elastici, leggeri e capaci di immagazzinare molta energia, grazie all'elevato valore del rapporto
2
σamm
/(E ρ), introdotto nell'esercizio 9 (l'indice di merito è circa dieci volte superiore a quello degli acciai da molle). Per costruire molle occorrerebbe che la resistenza
a fatica fosse altrettanto elevata delle proprietà di resistenza statica
Sy , Su .
13
Un altro aspetto favorevole per questo uso sarebbe rappresentato dalla durezza delle superci di contatto, che nei materiali metallici è all'incirca proporzionale alla
Su è circa pari a 3,5
Su è espressa in MPa.)
resistenza statica (negli acciai la resistenza
2 quando
Brinell HB misurata in kgf /mm
volte la durezza
Invece questo materiale sarebbe meno adatto a realizzare parti strutturali, a causa
della sua bassa rigidezza. In altre parole, poichè gli elementi strutturali di regola
devono essere proporzionati in modo che non si deformino eccessivamente, la grande resistenza di questo materiale - presumibilmente più costoso delle normali leghe
di magnesio - non verrebbe sfruttata, se non in parte.
Si consideri l'asse che sostiene un generico componente rotante, ad esempio il rullo
di una calandra per curvare prolati metallici. Questo asse sia assimilabile ad una
trave a sezione circolare lunga
al centro da una forza
F
L
= 100 mm appoggiata alle estremità e caricata
= 5000 N. Si vuole fare in modo che la freccia
δ
(sposta-
mento massimo) non sia superiore a 1/500 della lunghezza. In pratica il rullo della
calandra non deve spostarsi sotto carico per più di 2 decimi di mm.
Il diametro necessario per questo asse può essere calcolato tramite la seguente
relazione, nota dalla Scienza delle costruzioni:
F L3
L
64 F L3
→
≥
.
48 E I
500
48 E π d4
δ =
Quindi occorre un diametro:
r
d ≥
4
667 F L2
= 22 mm.
πE
Con questo diametro, la massima tensione essionale nella sezione di mezzeria della
trave, dove il momento ettente vale
σmax =
Mf = F L/4,
sarebbe:
32 Mf
Mf d/2
=
= 119 MPa .
I
π d3
Con un asse in acciaio, invece, sarebbe suciente un diametro di 15 mm e la
tensione massima così calcolata sarebbe pari a 374 MPa.
L'asse in acciaio peserebbe però circa il doppio di quello fatto con il nuovo materiale.
Ciò conferma il vantaggio delle leghe leggere per ciò che riguarda i requisiti di
leggerezza e rigidezza essionale, già dimostrato nell'esempio 2.8.