Metodo delle osservazioni indirette - Esercizi 2.nb

Transcript

CORSO DI TOPOGRAFIA A - A.A. 2005-2006
ESERCITAZIONE - 05-08.06.06
METODO DELLE
OSSERVAZIONI
INDIRETTE
Esercizio tratto da Monti, Pinto, Trattamento dei dati topografici e cartografici,
Clup
ESERCIZIO 3
Si supponga di avere determinato dei punti lungo un contorno circolare
e di volere così trovare il cerchio interpolante ai minimi quadrati.
9 punti rilevati in modo indipendente e con ugual precisione in un
opportuno sistema di riferimento; le loro coordinate valgono:
1
1 (4; 6.5)
2 (6.5; 4.5)
3 (5.5; 1.5)
4 (5.8; 5.8)
5 (6.4; 3)
6 (3.6; 0.7)
7 (1.5; 1.7)
8 (1.1; 3.5)
9 (1.6; 5.6)
L'equazione di una circonferenza è:
x 2 + y 2 +ax+by+c=0
a
b
il cui centro è situato in (x0 = - ÅÅÅÅ
Å ; y0 = - ÅÅÅÅ
Å ) ed il cui raggio
2
2
vale
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
r = x0 2 + y0 2 - c .
Scriviamo un'equazione " punto assegnato, isolando i termini noti li :
l1 = x12 + y12 = 58.25
l2 = x22 + y22 = 62.5
2
l3 = x32 + y32 = 32.5
l4 = x42 + y42 = 67.28
l5 = x52 + y52 = 49.96
l6 = x62 + y62 = 13.45
l7 = x72 + y72 = 5.14
l8 = x82 + y82 = 13.46
l9 = x92 + y92 = 33.92
Vettore misure:
l =8l1 , l2 , l3 , l4 , l5 , l6 , l7 , l8 , l9 <T
Equazioni risolutive:
4a + 6.5b + c + l1 = v1
6.5a + 4.5b + c + l1 = v2
5.5a + 1.5b + c + l1 = v3
5.8a + 5.8b + c + l1 = v4
6.4a + 3b + c + l1 = v5
3.6a + 0.7b + c + l1 = v6
1.5a + 1.7b + c + l1 = v7
1.1a + 3.5b + c + l1 = v8
1.6a + 5.6b + c + l1 = v9
Matrice disegno:
3
4
jij
jj 6.5
jj
jj
jj 5.5
jjj
jj
jj 5.8
jj
j
A = jjjj 6.4
jj
jj 3.6
jj
jj
jj 1.5
jj
jj
jj 1.1
jj
j
k 1.6
6.5 1 y
zz
4.5 1 zzzz
zz
1.5 1 zzzz
zz
5.8 1 zzzz
zz
3 1 zzzz
zz
0.7 1 zzzz
zz
1.7 1 zzz
zz
3.5 1 zzzz
zz
5.6 1 {
Matrice normale:
ij 182.08 134.22 36. yz
j
z
N = AT A = jjjj 134.22 154.38 32.8 zzzz
jj
zz
32.8
9. {
k 36.
Determinante di N = 182.08 (154.38 9-32.8^2)-134.22
(134.22 9-32.8 36)+36 (134.22 32.8-154.38 36) = 11859
H = inversa della matrice normale N
-27.18 -1155.26 y
ij 313.58
zz
j
j
1
j
342.72 -1140.3 zzzz
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ j -27.18
H = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
11859 j
jj
zz
k -1155.26 -1140.3 10094.5 {
ij 0.0264423 -0.00229192 -0.0974163 yz
j
z
=jjjjj -0.00229192 0.0288995 -0.0961548 zzzzz
j
z
0.851207 {
k -0.0974163 -0.0961548
Vettore normale:
ij 1653.18 yz
j
z
n = AT l = jjjj 1503.94 zzzz
jj
zz
336.46
k
{
4
5
Soluzione:
x = - H· n
=
0.0264423 -0.00229192 -0.0974163 y
jij
z
jj -0.00229192 0.0288995 -0.0961548 zzz
-jjj
zz
zz
j
0.851207 {
k -0.0974163 -0.0961548
`
ij a = -7.49012 yz
jj `
zz
= jjjj b = -7.32198 zzzz
jj `
zz
k c = 19.2606 {
ij 1653.18 yz
jj
z
jj 1503.94 zzz
jjj
zzz
k 336.46 {
Coordinate del centro della circonferenza:
-7.49012
x0 = - ÅÅÅÅa2Å = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 3.74506
2
-7.32198
y0 = - ÅÅÅÅb2Å = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 3.66099
2
Raggio della circonferenza:
r=
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!
x0 2 + y0 2 - c = 2.85793
Vettore degli scarti:
ij -0.0427665 yz
jj
z
jj 0.125904 zzz
jj
zz
jj
zz
jjj -0.418038 zzz
jj
z
jj 0.630411 zzz
jj
zz
jj
z
v = A x + l = jjj -0.682113 zzzz
jj
z
jj 0.620767 zzz
jj
zz
jj
z
jj 0.71803 zzz
jj
z
jj -1.14549 zzz
jj
zz
zz
jj
k 0.193294 {
Varianza di peso unitario a posteriori:
vT v
ÅÅÅÅÅ = 0.550926
s`0 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
6
Varianza dei parametri:
sa 2 = s`0 2 ÿ h11 = 0.550926 · 0.0264423 = 0.014567
sb 2 = s`0 2 ÿ h22 = 0.550926 · 0.0288995 = 0.0159215
sc 2 = s`0 2 ÿ h33 = 0.550926 · 0.851207 = 0.468952
Calcolo della varianza dei parametri geometrici x0 , y0 , r.
In notazione matriciale:
Cxyr = Jc ÿ Cabc ÿ Jc t
dove le relazioni geometriche sono:
x0 = - ÅÅÅÅa2Å = 3.74506
6
7
!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!
a 2 +b 2 ##### 1 è!!!!!!!!!!!!!!!!
x0 2 + y0 2 - c ="################
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ - c = ÅÅÅÅ2Å a 2 + b 2 - 4 c =
=
4
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
0.5 a 2 + b 2 - 4 c = 2.85793
y0 = - ÅÅÅÅb2Å = 3.66099
r
Costruzione della matrice Jacobiana:
j11 = - ÅÅÅÅ12Å
j12 = 0
j13 = 0
j21 = 0
j22 = - ÅÅÅÅ12Å
j23 = 0
j31
=
2a
a
0.5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =
è!!!!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!
2
2 !!!!!!!!!
2
2 !!!!!!!!!
2
a +b -4 c
2
a +b -4 c
a
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =
è!!!!!!!!!!!!!!!!
2
2 !!!!!!!!!
4 ÿ 0.5
a +b -4 c
-0.655206
b
j32 = ... = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = -0.640498
4r
-4
- 0.5
1
j33 = 0.5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = -0.174952
è!!!!!!!!!!!!!!!!
2
2 !!!!!!!!!
r
2r
2
a +b -4 c
Matrice Jacobiana JC =
JC T
-0.5
0
0
jij
zyz
jj
zz
0
-0.5
0
jj
zz
jj
zz
k -0.655206 -0.640498 -0.174952 {
ij -0.5 0 -0.65521 yz
j
z
= jjjj 0 -0.5 -0.64045 zzzz
jj
zz
0 -0.17495 {
k 0
a
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ =
4r
8
Matrice di covarianza Cabc = s`0 2 H
ij 0.0264423 -0.00229192 -0.0974163 yz
j
z
= 0.550926 jjjj -0.00229192 0.0288995 -0.0961548 zzzz
jj
zz
0.851207 {
k -0.0974163 -0.0961548
ij 0.0145677 -0.00126268 -0.0536692 yz
j
z
=jjjj -0.00126268 0.0159215 -0.0529742 zzzz
jj
zz
0.468952 {
k -0.0536692 -0.0529742
Matrice di covarianza Cxyr
=
Jc .Cabc .Jct
ij 0.00364193 -0.00031567 -0.00032659 yz
jj
z
jj -0.00031567 0.00398037 0.0000508749 zzz
jjj
zzz
k -0.00032659 0.0000508749 0.00190302 {
In definitiva:
sx =
è!!!!!!!!2! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
sx = 0.00364193 =0.0603484
s y = "########
s y 2# =
sr =
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
0.00398037 =0.0630901
è!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
sr 2 = 0.00190302 = 0.0436237
si conclude che:
x0 = 3.745 ± 0.060
=
y0 = 3.660 ± 0.063
r = 2.858 ± 0.044.
Esercizi tratti da Brovelli, Migliaccio, Trattamento statistico dei dati, Clup
ESERCIZIO 4
L'operazione di misura che permette di determinare il dislivello tra due
punti si chiama livellazione. Si sia osservata, con misure indipendenti,
una rete di livellazione ottenendo i seguenti risultati:
Yo1 = q12 = 2.853 cm
Yo2 = q23 = 4.967 cm
Yo3 = q13 = 7.825 cm
Yo4 = q24 = 8.426 cm
Yo5 = q34 = 3.452 cm
Tutti i dislivelli abbiano la stessa varianza, pari a s0 2 , tranne il
dislivello q23 per il quale si abbia una varianza pari ÅÅÅÅ12 s0 2 , essendo
derivato dalla media di due osservazioni.
`
a) si compensino le osservazioni cercando le stime m.q. Y i e
s` 2 ,avvalendosi delle equazioni pure.
0
b) si scrivano le equazioni parametriche introducendo il vettore delle
quote x = {Q2 , Q3 , Q4 }, supponendo Q1 = 0; si trovi la stima m.q. x` ,
s` 0 2 e Cx` x` .
`
c) si verifichi che Y = A x` coincida con lo stimatore trovato al punto a)
e la coicidenza delle due stime s` 0 2 .
9
10
1
q13
3
q12
q23
2
q34
q24
4
a. Svolgimento con equazioni di condizione
Hequazioni pure, metodo delle osservazioni diretteL
la nostra variabile casuale è
ij q12 = 2.853 yz
jj
z
jj q23 = 4.967 zzz
jj
zz
j
z
Y = jjjj q13 = 7.825 zzzz
jj
z
jj q = 8.426 zzz
jj 24
zz
jj
zz
k q34 = 3.452 {
le cui componenti sono quantità osservate
e della quale abbiamo a disposizione un' estrazione.
Se gli errori sono puramente accidentali,
si possono imporre le seguenti equazioni di condizione,
date dalle chiusure dei due anelli 123 e 234 :
Anello 123 : q12 + q23 + q31 = 0
cioè
11
q12 + q23 - q13 = 0
Anello 234 : q23 + q34 + q42 = 0
q23 + q34 - q24 = 0
êê
che in forma sintetica si esprimono come : B Y = 0
a .1 Determiniamo B
i 1 1 -1 0 0 yz
z
B = jj
k 0 1 0 -1 1 {
i0y
b = jj zz
k0{
Per Y misurato si ha in generale BY = boss π b = 0
` êê
Si vuole dare una stima Y di Y che tenga conto delle informazioni che
provengono dal vettore delle osservazioni Y e dalle relazioni di vincolo
Dalla teoria dei minimi quadrati si ha
`
-1
Y = Y - v = Y - BT IBBT M BY
se la matrice dei pesi non e' l' identità
`
-1
Y = Y - v = Y - P-1 BT IB P-1 BT M BY
1
jij
jj 0
jj
1 jjj
La matrice dei pesi P = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ jjj 0
s0 jjj
jj 0
jjj
k0
La sua inversa P-1
0 0 0 0y
1
zz
jij
z
j
z
j
2 0 0 0 zz
jj 0
zz
jj
z
z
0 1 0 0 zz ï jjjj 0
zz
jj
jj 0
0 0 1 0 zzzz
jj
zz
jj
0 0 0 1{
k0
ij 1 0 0 0 0 yz
jj
z
jj 0 0.5 0 0 0 zzz
jj
zz
j
z
= jjjj 0 0 1 0 0 zzzz
jj
z
jj 0 0 0 1 0 zzz
jj
zz
jj
zz
k0 0 0 0 1 {
0 0 0 0y
zz
2 0 0 0 zzzz
zz
0 1 0 0 zzzz
zz
0 0 1 0 zzzz
zz
0 0 0 1{
q
2.853 y
jij 12 zyz
jij
z
jj q zz
jj 4.967 zzz
jj 23 zz
jj
zz
zz i 1 1 -1 0 0 y jj
zz i -0.005 y
ij 1 1 -1 0 0 yz jjjj
z
j
j
z
zz
z
j
z jj q13 zz = j
z jj 7.825 zzzz = jj
BY = j
zz k 0 1 0 -1 1 { jj
zz k -0.007 {
k 0 1 0 -1 1 { jjj
z
j
z
jj q24 zz
jj 8.426 zz
zzz
jjj
jjj
zzz
q
3.452
k 34 {
k
{
1 0 0 0 0yi 1 0 y
jij
zj
z
jj 0 0.5 0 0 0 zzz jjj 1 1 zzz
jj
zz jj
zz
zz jj
zz i 2.5 0.5 y
ij 1 1 -1 0 0 yz jjjj
-1 T
z
j
zz
z
j
z jj 0 0 1 0 0 zz jj -1 0 zzzz = jj
k = BP B = j
zz jj
zz k 0.5 2.5 {
k 0 1 0 -1 1 { jjj
jj 0 0 0 1 0 zzz jjj 0 -1 zzz
jjj
zzz jjj
zzz
k0 0 0 0 1 {k 0 1 {
det IB P-1 BT M = 6
i 0.416667 -0.0833333 yz
z
k-1 = jj
k -0.0833333 0.416667 {
i 0.416667 -0.0833333 yz ji -0.005 zy ji -0.0015 zy
zj
z=j
z
k-1 BY = jj
k -0.0833333 0.416667 { k -0.007 { k -0.0025 {
-0.0015 y
1 0 0 0 0yi 1 0 y
jij
jij
z
zj
z
jj -0.002 zzz
jj 0 0.5 0 0 0 zzz jjj 1 1 zzz
jj
jj
zz
zz jj
zz
jj
zz
zz jj
zz i -0.0015 y jj
-1 T
-1 T -1
j
j
z
j
z
j
z
j
j
z
j
z
z = jj 0.0015 zzzz
P B IB P B M BY = jj 0 0 1 0 0 zz jj -1 0 zz j
j
jj
z
zj
z
jj 0 0 0 1 0 zzz jjj 0 -1 zzz k -0.0025 { jjj 0.0025 zzz
jj
jj
zz
zz jj
z
z
jj
jj
zz
zz jj
zz
-0.0025
0
0
0
0
1
0
1
k
k
{
{k
{
`
-1
Y = Y - P-1 BT IB P-1 BT M BY
2.853 y i -0.0015 y i 2.8545 y
jij
z
z j
z j
jj 4.967 zzz jjj -0.002 zzz jjj 4.969 zzz
jj
zz
zz jj
zz jj
zz
zz jj
zz jj
` jjj
z
j
z
j
j
z
j
z
j
Y = jj 7.825 zz - jj 0.0015 zz = jj 7.8235 zzzz cm
jj
z
z j
z j
jj 8.426 zzz jjj 0.0025 zzz jjj 8.4235 zzz
jj
zz
zz jj
zz jj
jj
zz
zz jj
zz jj
3.4545
3.452
-0.0025
k
{
{ k
{ k
`
Y=Y-v
`
quindi v = Y - Y
2.853 y i 2.8545 y i -0.0015 y
z j
jij
z j
z
jj 4.967 zzz jjj 4.969 zzz jjj -0.002 zzz
zz jj
jj
zz jj
zz
zz jj
zz jj
zz
` jjj
z
j
z
j
z
j
j
z
j
v = Y - Y = jj 7.825 zz - jj 7.8235 zz = jj 0.0015 zzzz cm
z j
jj
z j
z
jj 8.426 zzz jjj 8.4235 zzz jjj 0.0025 zzz
zz jj
jj
zz jj
zz
zz jj
jj
zz jj
zz
3.4545
3.452
-0.0025
{ k
k
{ k
{
Varianza a posteriori di peso unitario Hm è qui il numero delle equazioni indipendenti,
che è pari alla ridondanza del sistema; le misure sono 5L
12
13
vT P v
` 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
s
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =
0
2
ij 1
jj
jj 0
jj
j
1
ÅÅÅÅÅ H -0.0015 -0.002 0.0015 0.0025 -0.0025 L jjjj 0
jj
2
jj 0
jj
jj
k0
0 0 0 0 y i -0.0015 y
zz jj
zz
2 0 0 0 zzzz jjjj -0.002 zzzz
zz jj
zz
0 1 0 0 zzzz jjjj 0.0015 zzzz =
zz jj
zz
0 0 1 0 zzzz jjjj 0.0025 zzzz
zz
zz jj
0 0 0 1 { k -0.0025 {
1
ÅÅÅÅÅ 0.000025 = 0.0000125 cm2
2
b. Svolgimento con parametri aggiuntivi
Esprimiamo qij in funzione della differenza delle quote DQ ji HQ1 = 0L
q = Q2 - Q1 y i q12 = Q2 y
jij 12
z j
z
jj q = Q - Q zzz jjj q = Q - Q zzz
jj 23
zz
j
3
2z
23
3
2
zz jj
jj
zz
zz jj
j
j
z
j
Y = jj q13 = Q3 - Q1 zz = jj q13 = Q3 zzzz
jj
z j
z
jj q = Q - Q zzz jjj q = Q - Q zzz
jj 24
jj 24
4
2z
4
2z
z
zzz
jj
zz jj
q
=
Q
Q
q
=
Q
Q
k 34
k 34
4
3{
4
3{
Le quantità osservabili Y sono legate linearmente ai parametri Qi
ij q12 = Q2 yz
jj
z
jj q23 = Q3 - Q2 zzz
jj
zz
j
z
Y = jjjj q13 = Q3 zzzz = Ax
jj
z
jj q = Q - Q zzz
jj 24
4
2z
zzz
jj
k q34 = Q4 - Q3 {
ij 1 0
jj
jj -1 1
jj
j
A = jjjj 0 1
jj
jj -1 0
jj
jj
k 0 -1
0y
zz
0 zzzz
zz
0 zzzz
zz
1 zzzz
zz
1{
nel sistema Ax - Y = -v Ha lezione si è usato Ax + l = vL
le nuove incognite sono i parametri x = HQi L
ij 1
jj
jj 0
jj
-2 j
P = s0 jjjj 0
jj
jj 0
jj
jj
k0
0 0 0 0y
ij 1
zz
jj
z
jj 0
2 0 0 0 zzz
jj
zz
j
z
z
0 1 0 0 zz ï jjjj 0
zz
jj
jj 0
0 0 1 0 zzzz
jj
zz
jj
0 0 0 1{
k0
0 0 0 0y
zz
2 0 0 0 zzzz
zz
0 1 0 0 zzzz
zz
0 0 1 0 zzzz
zz
0 0 0 1{
14
-1
` `
La formula generale in questo caso è A x = Y = Y - v = A IAT P AM AT P Y
ij 1
jj
1
-1
0
-1
0
ij
yz jjjj 0
j
z
j
zj
AT PA = jjj 0 1 1 0 -1 zzz jjjj 0
jj
zz jj
j
k 0 0 0 1 1 { jjj 0
jj
k0
Determinante IN = AT PAM = 12
7
ÅÅÅÅ
jij ÅÅÅÅ
12
jj
-1
jj 5
T
H = IA PAM = jjj ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
jj 12
jj 1
k ÅÅÅÅ2Å
5
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
12
7
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
12
ÅÅÅÅ21Å
ÅÅÅÅ21Å zy
zz
zz
ÅÅÅÅ21Å zzzz
zz
z
1 z{
ij 1
jj
ij 1 -1 0 -1 0 yz jjjj 0
jj
zz j
AT PY = jjj 0 1 1 0 -1 zzz jjjj 0
jj
zz jj
j
k 0 0 0 1 1 { jjj 0
jj
k0
0 0 0 0yi 1 0
zz jj
2 0 0 0 zzzz jjjj -1 1
zz jj
0 1 0 0 zzzz jjjj 0 1
zz jj
0 0 1 0 zzzz jjjj -1 0
zz jj
0 0 0 1 { k 0 -1
0y
zz
0 zzzz i 4 -2 -1 y
zz
zz jj
0 zzzz = jjjj -2 4 -1 zzzz
zz
zz jj
1 zzzz k -1 -1 2 {
zz
1{
0 0 0 0 y i 2.853 y
zz jj
zz
2 0 0 0 zzzz jjjj 4.967 zzzz i -15.507 y
zz
zz jj
zz jj
0 1 0 0 zzzz jjjj 7.825 zzzz = jjjj 14.307 zzzz
zz
zz jj
zz jj
0 0 1 0 zzzz jjjj 8.426 zzzz k 11.878 {
zz
zz jj
0 0 0 1 { k 3.452 {
ij 2.8545 yz
jj
`
zz
T
x = H ÿ A PY = jjj 7.8235 zzz cm
jj
zz
k 11.278 {
` `
La stima di Y è A x = Y
ij 1 0
jj
jj -1 1
jj
jj
jj 0 1
jj
jj
jj -1 0
jjj
k 0 -1
0y
ij 1 0
zz
jj
z
z
jj -1 1
0 zz
zz ` jjj
z
0 zzz x = jjjj 0 1
zz
jj
jj -1 0
1 zzzz
jj
zz
jj
1{
k 0 -1
0y
ij 2.8545 yz
zz
j
z
z
z
0 zz i 2.8545 y jjjj 4.969 zzzz
zz jj
zz jjj
zz
0 zzzz jjj 7.8235 zzzz = jjjj 7.8235 zzzz
zz jj
zz jj
zz
1 zzzz k 11.278 { jjjj 8.4235 zzzz
zz
jj
zz
1{
k 3.4545 {
`
-v = A x - Y
ij 2.8545 yz ij 2.853 yz ij -0.0015 yz
z
z j
z j
j
jjj 4.969 zzz jjj 4.967 zzz jjj -0.002 zzz
jj
zz
zz jj
zz jj
j
z
z j
z j
v = - jjjj 7.8235 zzzz + jjjj 7.825 zzzz = jjjj 0.0015 zzzz cm
jj
zz
zz jj
zz jj
jjj 8.4235 zzz jjj 8.426 zzz jjj 0.0025 zzz
jjj
zzz
zzz jjj
zzz jjj
k 3.4545 { k 3.452 { k -0.0025 {
Null
La varianza a posteriori di peso unitario
Hqui la ridondanza r è data dal numero di equazioni - il numero delle incogniteL
vT P v
` 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
s
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = H -0.0015 -0.002 0.0015 0.0025 -0.0025 L
0
2
ij 1
jj
jj 0
jj
jj
jjj 0
jj
jj 0
jj
jj
k0
0 0 0 0 y i -0.0015 y
zz jj
zz
2 0 0 0 zzzz jjjj -0.002 zzzz
zz jj
zz
0 1 0 0 zzzz jjjj 0.0015 zzzz = 0.0000125 cm2
zz jj
zz
0 0 1 0 zzzz jjjj 0.0025 zzzz
zz jj
zz
0 0 0 1 { k -0.0025 {
!!!!!!!!!!
` 2# = è!!!!!!!!!!!!!!!!
` = "########
s
s
0.0000125 = 3.53553 ÿ 10-3 cm
0
0
Esercizio tratto da Monti, Pinto, Trattamento dei dati topografici e cartografici,
Clup
ESERCIZIO 5
Siano misurate tutte le possibili distanze (in andata e ritorno) tra tre
punti allineati 0, 1 e 2.:
d01
d02
d10
d12
d20
d21
= 10.00 m
= 50.00 m
= 10.01 m
= 40.00 m
= 50.01 m
= 39.98 m
15
16
Siano assegnate le deviazioni standard:
sd01 = sd10 = 1 mm
sd02 = sd12 = sd20 = sd21 = 3.16 mm
Si determinino:
1) i valori più probabili di x1 e x2 ;
2) il coefficiente di correlazione lineare tra x1 e x2 .
Scrittura delle equazioni del sistema.
Scelto il sistema di riferimento monodimensionale illustrato
in figura, le equazioni di osservazione sono:
x1 - d01 = v1
x2 - d02 = v2
x1 - d10 = v3
x2 - x1 - d12 = v4
x2 - d20 = v5
x2 - x1 - d21 = v6
Costruzione della matrice dei pesi.
s0 2
Pi = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ
si
Se scegliamo s0 2 = 10, essendo sd01 2 = sd10 2 = 1 mm2 e
sd02 2 = sd12 2 = sd20 2 = sd21 2 = H3.16L2 mm2 = 9.99 mm2 , si
ottiene una matrice P così fatta:
ij 10
jj
jj 0
jj
jj
jj 0
P = jjj
jj 0
jj
jj
jj 0
jj
k 0
17
0 0 0 0 0y
zz
1 0 0 0 0 zzzz
zz
0 10 0 0 0 zzz
zz
0 0 1 0 0 zzzz
zz
0 0 0 1 0 zzz
zz
0 0 0 0 1{
Risoluzione del sistema normale.
x = ijj
x1 yz
z
k x1 {
Il sistema A x + l = v è già lineare.
ij 1
jj
jj 0
jj
jj
jj 1
A = jjj
jj -1
jj
jj
jj 0
jj
k -1
0y
zz
1 zzzz
zz
0 zzz
zz
1 zzzz
zz
1 zzz
zz
1{
ij -10 yz
jj
z
jj -50 zzz
zz
jj
z
jj
jj -10.01 zzz
zz
Misure = jjj
jj -40 zzz
zz
jj
z
jj
jj -50.01 zzz
zz
jj
k -39.98 {
La soluzione è data da x=-HAt P AL
-1
At P l .
18
Valutiamo la matrice nornale N = At P A, il vettore At P l ed il
loro prodotto.
N
=
ij 1 0 1 -1 0 -1 yz
j
z
k0 1 0 1 1 1 {
ij 22 -2 yz
j
z
k -2 4 {
ij 10
jj
jj 0
jj
jj
jj 0
jj
jj 0
jj
jj
jj 0
jj
j
k 0
0 0 0 0 0y
zz
1 0 0 0 0 zzzz
zz
0 10 0 0 0 zzz
zz
0 0 1 0 0 zzzz
zz
0 0 0 1 0 zzzz
z
0 0 0 0 1{
ij 1
jj
jj 0
jj
jj
jj 1
jj
jj -1
jj
jj
jj 0
jj
j
k -1
0y
zz
1 zzzz
zz
0 zzz
zz =
1 zzzz
zz
1 zzzz
z
1{
Determinante della matrice Normale = 84
1
ij ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
21
j
H = Inversa della Normale = jjj
1
ÅÅÅÅ
k ÅÅÅÅ
42
1
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ y
42 z
zz
z
11 z
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
Å
42 {
i 1 0 1 -1 0 -1 yz
z
Vettore Normale = jj
k0 1 0 1 1 1 {
ij 10
jj
jj 0
jj
jj
jj 0
jj
jj
jj 0
jj
jj
jj 0
jj
k 0
0 0 0 0 0 y i -10 y
zz
zz jj
1 0 0 0 0 zzzz jjjj -50 zzzz
zz
zz jj
0 10 0 0 0 zzzz jjjj -10.01 zzzz ij -120.12 yz
zz =j
zz jj
z
0 0 1 0 0 zzzz jjjj -40 zzzz k -179.99 {
zz
zz jj
0 0 0 1 0 zzzz jjjj -50.01 zzzz
z
zj
0 0 0 0 1 { k -39.98 {
i 22 -2 yz ij -120.12 yz ij 10.0055 yz
zj
z =j
z
Vettore soluzione = - jj
k -2 4 { k -179.99 { k 50.0002 {
1
jij
jj 0
jj
jj
jj 1
j
Vettore residui = jjjj
jj -1
jj
jj
jj 0
jj
k -1
0y
-10 y i 0.00547619 y
zz
zz
jij
zz jj
z
z
j
z j
z
j
1 zz
jj -50 zzz jjj 0.000238095 zzz
zz
zz
jj
zz jj
0 zzzz ij 10.0055 yz jjjj -10.01 zzzz jjjj -0.00452381 zzzz
zz
zz j
zz =jj
z +jj
1 zzzz k 50.0002 { jjjj -40 zzzz jjjj -0.0052381 zzzz
z j
z
zz
jj
jj -50.01 zzz jjj -0.0097619 zzz
1 zzzz
zz jj
zz
jj
z j
z
z
j
1{
k -39.98 { k 0.0147619 {
Calcolo delle varianze.
Calcoliamo la varianza dell'unità di peso a posteriori s`0 2 :
vt P v
`s2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
0
n-m
nel nostro caso (n-m) = 4.
Varianza di peso unitario a posteriori = ÅÅÅÅ14Å vt P v
ij 10
jj
jj 0
jj
jj
jj 0
= ÅÅÅÅ14Å vt jjj
jj 0
jj
jj
jj 0
jj
k 0
0 0 0 0 0 y i 0.00547619 y
zz jj
zz
z
j
z
j
1 0 0 0 0 zz jj 0.000238095 zzzz
zz jj
zz
0 10 0 0 0 zzz jjj -0.00452381 zzz
zz jj
zz = 0.00021131
z
j
z
j
0 0 1 0 0 zz jj -0.0052381 zzzz
zz
zz jj
0 0 0 1 0 zzzz jjjj -0.0097619 zzzz
z
zj
0 0 0 0 1 { k 0.0147619 {
` 2
1
Varianza x1 = s0 h11 = 0.00021131 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = 0.0000100624
21
` 2 h22 = 0.00021131 ÅÅÅÅ
11
ÅÅÅÅ = 0.0000553431
Varianza x2 = s
0
42
DevStd x1 =
DevStd x2 =
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Varianza x1 = 0.0000100624 = 0.00317213
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Varianza x2 = 0.0000553431 = 0.00743929
Calcolo della correlazione tra x1 e x2 .
` 2 h12 = 0.00021131 ÅÅÅÅ1ÅÅÅÅ = 5.03119 μ 10-6
Covarianza x1x2= s
0
42
Covarianza x1x2
5.03119 μ 10-6
Correlazione x1x2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0.213201
DevStd x1 DevStd x2
0.00317213 ÿ 0.00743929
Variante.
Cosa cambierebbe se, anziché usare tutte le osservazioni
indipendenti, si impiegassero i valori medi delle misure corrispondenti?
Verifichiamo:
19
20
êê
d01 = Media@8d01 , d10 <D = 10.005 m
êê
d02 = Media@8d02 , d20 <D = 50.005 m
êê
d12 = Media@8d12 , d21 <D = 39.99 m
Le deviazioni standard divengono:
è!!!!
sdêêê 01 = ÅÅÅÅ2Å2ÅÅÅÅ mm
è!!!!
sdêêê 02 = sdêêê 12 = 3.16· ÅÅÅÅ2Å2ÅÅÅÅ mm
In analogia a quanto fatto prima, costruiamo la matrice dei
pesi scegliendo la varianza di peso unitario in modo che i
pesi siano ancora 10 e 1 (s0 2 =5):
ij 10 0 0 yz
j
z
Nuova P = jjjj 0 1 0 zzzz
jj
zz
k 0 0 1{
Le nuove equazioni sono:
êêê
x1 - d01 = v1
êêê
x2 - d02 = v2
êêê
x2 - x1 - d12 = v3
ij 1 0 yz
j
z
Nuova A = jjjj 0 1 zzzz
jj
zz
-1
1
k
{
ij -10.005 yz
j
z
Nuovo l = jjjj -50.005 zzzz
jj
zz
k -39.990 {
i 11 -1 yz
Nuova N = jj
z
k -1 2 {
21
i -60.06 yz
Nuovo Vettore Normale = jj
z
k -89.995 {
2
1
ij ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ yz
21
21
zz (è raddoppiata rispetto alla
Nuova Matrice H = jjjj
z
11 z
1
Å
ÅÅ
Å
ÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
Å
k ÅÅÅÅ
21
21 {
vecchia H)
i 10.0055 yz
Nuovo Vettore Soluzione = jj
z
k 50.0002 {
ij 0.00047619 yz
j
z
Nuovo Vettore Residui = jjjj -0.0047619 zzzz
jj
zz
k 0.0047619 {
Le nuove varianze sono diminuite:
Varianza di peso unitario a posteriori = s`0 2 = 0.000047619
(la ridondanza adesso è 1; s` 2 è diminuita)
0
` 2 h11 = 4.53515 μ 10-6
Varianza x1 = s
0
` 2 h22 = 0.0000249433
Varianza x2 = s
0
DevStd x1 =
DevStd x2 =
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Varianza x1 = 0.00212959
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Varianza x2 = 0.00499433
` 2 h12 = 2.26757 μ 10-6
Covarianza x1x2 = s
0
Covarianza x1x2
Correlazione x1x2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0.213201 Hla correlazione non cambiaL
DevStd x1 DevStd x2
Non cambia nulla nei parametri incogniti. Quello che cam-
bia è la matrice di varianza-covarianza dei parametri: le
nuove osservazioni sono maggiormente precise.
22

Metodo delle osservazioni indirette - Esercizi 2.nb

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