Limiti1

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Limiti
Roberto Petroni, 2011
Possiamo introdurre intuitivamente il concetto di limite dicendo che quanto più la x si avvicina ad
un dato valore x0 tanto più la f(x) si avvicina ad un valore l detto limite della funzione.
Notiamo che non è necessario che x0 appartenga al dominio D della funzione ma, affinché la
definizione funzioni (cioè ci si possa avvicinare “indefinitamente” a x0 occorre che x0 sia
“circondato” da infiniti valori di x appartenenti a D; in altri termini, più rigorosi, si dirà che x0 è un
punto di accumulazione per x.
Poiché le variabili non sono grandezze dinamiche, non si muovo e non vanno da nessuna parte,
potremmo avvicinarsi ad una definizione più precisa, anche se non ancora rigorosa, dicendo che
quando, in una funzione y = f(x), consideriamo valori di x “indefinitamente” vicini ad un valore x0,
anche i corrispondenti valori di f(x) sono “indefinitamente” vicini a l.
La nostra definizione ora è praticamente costruita, basta attribuire al termine “indefinitamente”,
alquanto impreciso, un corrispondente e rigoroso significato utilizzando il concetto di intorno.
Possiamo dire, infatti, che dei valori di x sono “indefinitamente” vicini a x0 se questi valori sono
contenuti in un intorno completo di x0 piccolo a piacere. Analogamente valori di f(x) sono
“indefinitamente” vicini a l se questi valori sono contenuti in un intorno completo di l piccolo a
piacere. Non resta quindi che definire i due intorni.
Per definire l’intorno di l consideriamo un numero ε > 0, comunque piccolo, che ci consente di
definire gli estremi dell’intorno stesso: quello inferiore l - ε e quello superiore l + ε (v. fig.1).
Questo intorno sarà dunque ] l - ε; l + ε [.
La f(x) dovrà rimanere all’interno di questo intorno quando la x è all’interno di un intorno di x0,
cioè I(x0), cioè:
∀ x ∈ I(x0)  f(x) ∈ ] l - ε; l + ε [.
Se f(x) ∈ ] l - ε; l + ε [ vuol dire che:
l - ε < f(x) < l + ε
(1)
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che può anche essere scritta come
| f(x) - l | < ε
(2)
Se la soluzione della disequazione è un intorno di x0, cioè se la disequazione è soddisfatta per valori
di x ∈ I(x0) allora il limite è verificato.
Riassumendo, possiamo dare la seguente definizione di
I) Limite finito per x che tende ad un valore finito
La funzione f(x) ha un limite finito l, per x che tende a x0, cioè
Lim f(x) = l
X  X0
se, per ogni ε > 0, si può determinare un intorno I(x0) tale che, per ogni x ∈ I(x0), si abbia
| f(x) - l | < ε
Limite destro e limite sinistro
Nel punto x0 , alcune funzioni, possono avere un “salto”, cioè passare bruscamente da un valore ad
un altro non immediatamente vicino.
In questo caso la funzione avvicinandosi al punto x0 “da sinistra”, cioè assumendo valori sempre più
vicini a x0, ma comunque più piccoli, tenderà ad un valore l1 diverso da quello l2 a cui tenderà
avvicinandosi a x0 “da destra”, cioè assumendo valori sempre più vicini a x0, ma comunque più
grandi. In questo caso occorrerà, quindi, differenziare il limite sinistro dal limite destro.
Indicando, nell’intorno di x0, con x0- i valori più piccoli di x0 e con x0+ i valori più grandi, possiamo
introdurre le seguenti definizioni:
Ia) Limite finito sinistro per x che tende ad un valore finito
La funzione f(x) ha un limite finito l, per x che tende a x0, cioè
Lim f(x) = l
X  X0-
se, per ogni ε > 0, si può determinare un intorno sinistro I -(x0) tale che, per ogni x ∈ I-(x0), si
abbia
| f(x) - l | < ε
Ib) Limite finito destro per x che tende ad un valore finito
La funzione f(x) ha un limite finito l, per x che tende a x0, cioè
Lim f(x) = l
X  X0+
se, per ogni ε > 0, si può determinare un intorno destro I +(x0) tale che, per ogni x ∈ I+(x0), si
abbia
| f(x) - l | < ε
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Notiamo che il punto x0 può appartenere al dominio o non appartenervi. Nel primo caso il valore
della funzione potrà coincidere con quello di uno dei due limiti oppure assumere un valore diverso
(v. figg. 1a e 1b); nel secondo caso non assumerà alcun valore in x0 (v. fig. 1c).
Il limite finito l per x che tende a x0 non è l’unico tipo di limite. Infatti, sia la x sia la f(x) possono
tendere ad un valore finito o ad un valore infinito.
Si possono determinare quindi quattro casi (con relativi sotto casi che analizzeremo
successivamente):
I) limite finito l per x che tende ad un valore finito x0 (è il caso appena considerato).
II) limite infinito per x che tende ad un valore finito x0.
III) limite finito l per x che tende ad un valore infinito.
IV) limite infinito per x che tende ad un valore infinito.
II) limite infinito per x che tende ad un valore finito x0.
Prendendo spunto dalla definizione precedente, possiamo dire che f(x) tende a un limite ∞, quando
x tende a un valore finito x0, se ogni x appartenente ad un intorno I(x0) ha un’immagine in un
opportuno intorno del limite, ma siccome ora il limite è ∞, l’intorno sarà un intorno di infinito, cioè
tutti i valori di f(x) compresi in ] - ∞; - M [ U ] M; + ∞ [, essendo M > 0 e comunque grande.
Possiamo quindi dire che
La funzione f(x) ha un limite infinito, per x che tende a x 0, cioè
Lim f(x) = ∞
X  X0
se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(x 0) tale che, per ogni x ∈ I(x0), si abbia
| f(x) | > M
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Questa definizione mantiene una certa ambiguità poiché ci dice che nelle vicinanze di x0 la f(x)
cresce indefinitamente in valore assoluto, ma non ci dice se tende a - ∞ o a + ∞.
Studiamo, ad esempio la funzione y = 1/ (x -1), il cui grafico è rappresentato in fig. 2.
Per x tendente a x0, la f(x) effettivamente diventa sempre più grande in valore assoluto, ma se ci si
avvicina da sinistra (x0-) la f(x)  - ∞; viceversa, se ci si avvicina da destra (x0+) la f(x)  + ∞;
quindi, più correttamente dovremmo dire che, per x tendente a x0, il limite sinistro di f(x) è - ∞ e il
limite destro + ∞.
Per eliminare questa ambiguità é bene sdoppiare la definizione precedente. Avremo, pertanto, le
seguenti due definizioni IIa) e IIb):
IIa) limite + ∞ per x che tende ad un valore finito x0.
La funzione f(x) ha un limite + ∞, per x che tende a x0, cioè
Lim f(x) = + ∞
X  X0
se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(x 0) tale che, per ogni x ∈ I(x0), si abbia
f(x) > M
(in questo modo abbiamo solo un intorno ]M; + ∞ [ di + ∞.)
Anche in questo caso, se la soluzione della disequazione (f(x) > M ) è un intorno di x0, cioè se la
disequazione è soddisfatta per valori di x ∈ I(x0) allora il limite è verificato.
Ad es. la funzione y = 1/(x-1)2, che è sempre positiva (v. fig. 3) nell’intorno di 1 tende a valori
sempre più grandi, sia da destra sia da sinistra. Per provare l’esistenza del limite l = 1 basta
risolvere la disequazione
1/(x-1)2 > M
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e verificare che si tratta un intorno di + ∞.
IIb) limite − ∞ per x che tende ad un valore finito x0.
La funzione f(x) ha un limite − ∞, per x che tende a x0, cioè
Lim f(x) = − ∞
X  X0
se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(x 0) tale che, per ogni x ∈ I(x0), si abbia
f(x) < − M
(in questo modo abbiamo solo un intorno ] − ∞; M [ di − ∞.)
Se la soluzione della disequazione (f(x) < − M ) è un intorno di x0, cioè se la disequazione è
soddisfatta per valori di x ∈ I(x0) allora il limite è verificato.
Ad es. la funzione y = − 1/(x − 1)2, che è sempre negativa (v. fig. 4), nell’intorno di 1 tende a valori
sempre più piccoli (grandi in valore assoluto, ma negativi), sia da destra sia da sinistra, come si può
verificare risolvendo la disequazione
− 1/(x-1)2 < − M
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Come si vede dalle figg. 3 e 4, man mano che la x si avvicina a x0 il grafico della f(x) si avvicina
sempre più alla retta x = x0, cioè alla retta parallela all’asse y e intersecante l’asse x proprio in x0,
tale retta è detta asintoto verticale per la f(x).
III) limite finito l per x che tende ad un valore infinito
Anche in questo caso dovremo distinguere i due casi possibili: x  − ∞ e x  + ∞.
La differenza dai limiti precedenti, è che ora l’intorno individuato sull’asse x, in corrispondenza ai
valori di f(x) ∈ ] l - ε; l + ε [, non è un intorno limitato di un definito valore x0, ma un intorno
(illimitato) di - ∞ o di + ∞.
IIIa) limite finito l per x che tende a − ∞
Nel primo caso, per x che assume valori sempre più piccoli in R (tende a - ∞) la funzione si
avvicina indefinitamente ad un valore limite l senza mai raggiungerlo né tantomeno superarlo
nell’intorno di − ∞, mentre “lontano” da − ∞ può superarlo, oscillargli intorno ecc.(v. fig.5).
La definizione formale, quindi, ricalcherà quella data per il limite del I tipo, con l’unica differenza,
sopra evidenziata, che ora l’intorno è un intervallo illimitato.
La definizione formale, pertanto, sarà:
La funzione f(x) ha un limite finito l, per x che tende a − ∞, cioè
Lim f(x) = l
X-
∞
se, per ogni ε > 0, si può determinare un intorno I(− ∞) tale che, per ogni x ∈ I(− ∞), si
abbia
| f(x) - l | < ε
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Come nel caso precedente, il grafico della f(x) tende ad avvicinare indefinitamente una retta, in
questo caso la retta y = l, cioè la retta parallela all’asse x e intersecante l’asse y proprio in l, pertanto
diremo che tale retta rappresenta un asintoto orizzontale per la f(x).
Per verificare il limite occorre risolvere la disequazione | f(x) − l | < ε e riscontrare che
effettivamente la soluzione della disequazione è un intorno di − ∞.
Ad es. la funzione y = 1/x (iperbole equilatera) si avvicina indefinitamente alla retta x = 0 (che
coincide con l’asse y) quando x  − ∞ (v. fig. 6); cioè:
Lim 1/x = 0
x-∞
Come si può facilmente verificare risolvendo la disequazione | 1/x − 0 | < ε.
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IIIb) limite finito l per x che tende a + ∞
In questo caso, per x che assume valori sempre più grandi in R (tende a + ∞), la funzione si avvicina
indefinitamente ad un valore limite l senza mai raggiungerlo. Analogamente al caso precedente,
“lontano” da + ∞, com’è ovvio, la f(x) può raggiungere o oltrepassare il valore limite l.
La definizione formale, pertanto, sarà:
La funzione f(x) ha un limite finito l, per x che tende a - ∞, cioè
Lim f(x) = l
X+
∞
se, per ogni ε > 0, si può determinare un intorno I(+ ∞) tale che, per ogni x ∈ I(+ ∞), si
abbia
| f(x) - l | < ε
Come nel caso precedente, il grafico della f(x) tende ad avvicinare indefinitamente la retta y = l,
che, quindi, rappresenta un asintoto orizzontale per la f(x), ma questa volta, in corrispondenza di un
intorno I(+ ∞).
Come esempio possiamo considerare ancora la funzione y = 1/x, e verificare che l’asse x è un
asintoto anche per x  + ∞, cioè:
Lim 1/x = 0
X+∞
ma, questa volta, risolvendo sempre la disequazione | 1/x - 0 | < ε, verificare che si ottiene anche
un intorno di + ∞.
IV) limite infinito per x che tende ad un valore infinito.
Questa volta i casi possibili sono 4, in quanto sia la x sia la f(x) possono tendere entrambe a + ∞ e
a − ∞.
IVa) limite + ∞ per x che tende a + ∞.
Combinando l’intorno della f(x) del caso IIa) con l’intorno di x del IIIb) si costruisce facilmente la
definizione seguente:
La funzione f(x) ha un limite + ∞, per x che tende a + ∞, cioè
Lim f(x) = + ∞
X+
∞
se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(+ ∞) tale che, per ogni x ∈ I(+ ∞), si
abbia
f(x) > M
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La retta f(x) = x è il più semplice esempio che si possa immaginare per illustrare questo limite,
evidente già dal grafico (v. fig.7, I quadrante) e, comunque, facilmente verificabile dalla
disequazione f(x) > M,
che nel caso in esame diventa
x>M
che esprime già dal testo un I(+ ∞), senza bisogno di alcun passaggio (v. fig.7, I quadrante).
IVb) limite − ∞ per x che tende a + ∞.
In questo caso l’intorno di x del IIIb) andrà accostato all’intorno della f(x) del caso IIb) e, quindi,
diremo:
La funzione f(x) ha un limite − ∞, per x che tende a + ∞, cioè
Lim f(x) = − ∞
X+
∞
se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(+ ∞) tale che, per ogni x ∈ I(+ ∞), si
abbia
f(x) < − M
L’esempio più semplice è la retta f(x) = − x, che, già dal grafico (v. fig.8, III quadrante) palesa il
limite cercato. E che, comunque, come nel caso precedente, è facilmente verificabile dalla
disequazione f(x) > M, che ora diventa
−x< M
che esprime un I(+ ∞).

x>M
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IVc) limite + ∞ per x che tende a − ∞.
Combinando l’intorno della f(x) del caso IIa) con l’intorno di x del IIIa) si ottiene la definizione
seguente:
La funzione f(x) ha un limite + ∞, per x che tende a − ∞, cioè
Lim f(x) = + ∞
X-
∞
se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(− ∞) tale che, per ogni x ∈ I(− ∞), si
abbia
f(x) > M
In questo caso l’esempio più banale è costituito, nuovamente, dalla retta f(x) = − x, come si nota già
dal suo grafico (v. fig.8, II quadrante) e, dalla immediata risoluzione della disequazione f(x) > M,
cioè:
−x>M

x<M
IVd) limite − ∞ per x che tende a − ∞.
In questo caso ritroveremo l’intorno della f(x) del caso IIb) e l’intorno di x del IIIa); si ottiene
pertanto la seguente definizione:
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La funzione f(x) ha un limite − ∞, per x che tende a − ∞, cioè
Lim f(x) = − ∞
X-
∞
se, per ogni M > 0, si può determinare un intorno I(− ∞) tale che, per ogni x ∈ I(− ∞), si
abbia
f(x) < − M
Ritroveremo, in questo caso, come esempio banale la retta f(x) = x; anche qui, per verificare il
limite è sufficiente analizzare il suo grafico (v. fig.7, III quadrante) o, in modo più formale,
impostare la disequazione f(x) < − M, che, senza bisogno di ulteriori passaggi fornisce l’intorno
cercato di − ∞
x<−M
Nei precedenti quattro casi, in cui sia la x sia la f(x) tendono a ± ∞, la funzione può (non deve)
avere un asintoto obliquo; in altri termini, la f(x) procedendo verso + ∞ o − ∞, tende ad avvicinarsi
sempre più (senza mai toccarla) ad una retta non parallela né all’asse x né all’asse y (v. fig. 9a).
Altre funzioni, ad esempio la parabola (v. fig. 9b), non hanno asintoti.