Stenaritmia?

A.S. 2010-2011
Prof.ssa Manuela
Pucci
Calcolo mentale e stenaritmia
Stenaritmia, s.f. tecnica di calcolo mentale che usa metodi particolari (di cui alcuni
derivanti dall’algebra o dalla geometria) per trattare i numeri allo scopo di
raggiungere una capacità di calcolo maggiore di quella normalmente insegnata a
scuola o, peggio, per alcuni del tutto trascurata.
(tratto da: http://www.idemnet.it/idem2000/corsi/sa/main.htm)
Attualmente, nella scuola, il calcolo mentale è generalmente trascurato, perché
sostituito dall’uso della calcolatrice. Purtroppo tale pratica è così deleteria, se iniziata
nei primi cicli scolastici, che ingenera negli studenti gravi carenze anche nell’uso
generale della propria mente, carenze che potrebbero essere ridotte reintroducendo le
tecniche di calcolo mentale. Questa dispensa si pone appunto questo scopo…
3. cubi:
è opportuno conoscere i cubi dei numeri almeno fino a 5
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
Cubi 1 8 27 64 125 216 343 512 629 1000
note
a
Note: a) vedi “Tecniche di moltiplicazione”....................................... (pag. 6)
4. alcuni prodotti notevoli e scomposizioni:
(a ± b ) = a ± 2ab + b (quadrato del binomio)
(a + b ) ⋅ (a − b ) = a − b (somma per differenza)
(a ± b ) = a ± 3a b + 3ab ± b (cubo del binomio)
ax + bx + cx = x ⋅ (a + b + c ) (raccoglimento a fattor comune)
2
2
2
Nozioni di base:
3
1. “tabelline”:
è opportuno riprendere la tavola pitagorica, i numeri in grassetto sono quadrati:
1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
2
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Per la tabellina del nove vedi “Curiosità” ............................................. (pag. 3)
2
3
2
2
2
2
2
3
2
5. aree di alcune figure piane:
quadrato ( l ) e rettangolo ( b ⋅ h ) (da usare per quadrati di numeri e prodotti)
2
6. proprietà associativa (e proprietà dissociativa):
(a + b ) + c = a + (b + c )
7. proprietà commutativa:
a +b =b+a
8. proprietà distributiva (della moltiplicazione rispetto all’addizione):
x ⋅ (a + b ) = ax + bx
2. quadrati:
è opportuno conoscere i quadrati dei numeri almeno fino a 15, i primi dieci
sono già inseriti nella tavola pitagorica, i successivi sono:
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Quadrati 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
note
a
b
c
d
Note: a) i due quadrati hanno le stesse cifre, ma nel più piccolo sono in ordine
crescente, nel più grande sono “disordinate” in modo da renderlo…
un po’ più grande!
b) vedi “Quadrati dei numeri che terminano con la cifra 5” ...... (pag. 4)
c) vedi “Tecniche di moltiplicazione”....................................... (pag. 6)
d) vedi “Quadrati dei numeri che terminano con la cifra 0” ...... (pag. 5)
2
Quadrati di numeri che terminano con la cifra 5
Curiosità… nelle mani!
E lo sapevi che… sanno la tabellina del
nove?
Si fa così. Metti le mani davanti a te in
questo modo:
Lo sapevi che… sono una calcolatrice?
Calma! Non fanno proprio tutti i conti,
ma sanno fare i prodotti di due cifre
comprese tra 6 e 10.
Fai così: metti le mani davanti a te in
questo modo:
ora pensa di numerare ogni dito da uno a
dieci così:
ora pensa di numerare ogni dito così:
Esempio 1: per moltiplicare 7 per 8 Esempio 1: devi moltiplicare nove per 3
abbassa in ciascuna mano le dita con allora abbassi il dito del 3 così:
numeri superiori alla cifra da moltiplicare
in questo modo:
Il risultato si legge contando le dita
rimaste alzate prima e dopo il dito
abbassato cioè prima le decine (2) dopo
le unità (7) vale a dire che il risultato è
27.
Esempio 2: devi moltiplicare nove per 8
allora abbassi il dito dell’8 così:
le decine del risultato saranno la somma
delle dita rimaste alzate (cioè 2+3=5), le
unità saranno date dal prodotto delle dita
che sono state abbassate (cioè 3x2=6)
vale a dire 56.
Esempio 2: devi moltiplicare 10x7.
Il risultato si legge contando le dita
rimaste alzate prima e dopo il dito
abbassato cioè prima le decine (7) dopo
le unità (2) vale a dire che il risultato è
72.
Ora prova a moltiplicare nove per 7:
dita alzate 5+2=7, dita abbassate 0x3=0,
risultato 70.
Ora prova a moltiplicare 6x6
Fare il quadrato di un numero che termina con la cifra 5 è molto semplice e si riduce
a fare una “piccola” moltiplicazione!
E’ intuitivo iniziare dal quadrato di 25.
Nel quadrato da calcolare la cifra delle unità (cioè 5) produce sempre un 25 finale; a
questo si antepone il risultato del prodotto della cifra delle decine (cioè 2) per la sua
successiva (il successivo di 2 è 3) perciò 2x3=6.
Il quadrato di 25 sarà perciò 6 seguito da 25 vale a dire 625.
Riproviamo con 45 al quadrato.
Il successivo di 4 è 5. Il quadrato di 45 sarà perciò composto da 4x5=20 seguito dal
solito 25 finale ottenendo 2025.
Ancora con 85.
Il successivo di 8 è 9. Il quadrato di 85 sarà perciò composto da 8x9=72 (per la
tabellina del 9 usa la regola delle mani di pag. 3!) seguito dal solito 25 finale
ottenendo 7225.
Un po’ più complesso: il quadrato di 125.
Questa volta si cerca il successivo di 12 che è 13. Il quadrato di 125 sarà perciò
composto da 12x13=156 (vedi “tecniche di moltiplicazione”, punto 4, di pag. 6)
seguito dal solito 25 finale ottenendo 15625.
Radici quadrate di numeri che terminano con 25
La regola è inversa alla precedente.
Iniziamo dalla radice quadrata di 4225.
Tolto il 25 finale (che genererà il 5 finale nella radice) prendiamo in considerazione il
42 cercando da quale prodotto di due numeri consecutivi è generato cioè 42=6x7 e
dei due prendiamo il più piccolo (6) per comporre la radice che sarà 6 seguito da 5
cioè la radice è 65.
Ora la radice quadrata di 3025.
30=5x6 perciò 5 seguito dal 5 finale; la radice è 55.
Ancora con la radice quadrata di 9025.
90=9x10 perciò 9 seguito dal 5 finale; la radice è 95.
dita alzate 1+1=2, dita abbassate 4x4=16,
perciò 2 decine e 16 unità da trasformare
in 1 decina e 6 unità, totale 36!
e il risultato sarà 63!
3
4
Quadrati di numeri che terminano con la cifra 0
Fare il quadrato di un numero che termina con la cifra 0 è semplicissimo e si riduce a
fare il quadrato delle sole cifre che gli stanno davanti raddoppiando gli zeri finali!
Iniziamo dal quadrato di 60.
La cifra davanti allo 0 è 6 ed il suo quadrato è 36.
Il quadrato di 60 sarà composto da 36 seguito dal doppio degli zeri presenti in 60,
cioè da 00, ottenendo 3600.
Riproviamo con 80.
Il quadrato di 80 si compone con il quadrato di 8 che è 64 seguito da due zeri finali
cioè 6400.
Ora 160 al quadrato.
Dalle nozioni fondamentali, 256 seguito da 00 perciò 25600.
Nota: se gli zeri finali sono più di uno non cambia nulla: calcoliamo il quadrato di
11000: 121 seguito da 000 000 perciò 121000000.
Radici quadrate di numeri che terminano con 00
La regola è inversa alla precedente: gli zeri finali si dimezzano e, naturalmente, le
cifre significative devono essere un quadrato perfetto.
Iniziamo dalla radice quadrata di 400.
Facciamo la radice quadrata di 4 (cioè 2) seguita dalla metà degli zeri presenti in 400
cioè uno perciò la radice è 20.
Riproviamo con 810000.
Facciamo la radice quadrata di 81 (cioè 2) seguita dalla metà degli zeri presenti in
810000 cioè due perciò la radice è 900.
Quadrati e radici quadrate di particolari numeri con la virgola
La regola è simile alle precedenti.
Quadrato: si esegue il quadrato del numero senza considerare la virgola e le cifre
decimali si raddoppiano.
0,05 al quadrato ha per risultato 0,0025 (le cifre decimali da due diventano quattro).
Radice quadrata: si esegue la radice quadrata del numero senza considerare la virgola
e le cifre decimali si dimezzano (è naturale che debbano essere in numero pari).
La radice quadrata di 12,25 è 3,5 (le cifre decimali da due diventano una).
Nota: se il numero di cui fare la radice quadrata non ha un numero pari di cifre
decimali la radice non si può fare utilizzando questa regola per es. 1,225…
5
Tecniche di moltiplicazione
1. prodotti di numeri equidistanti da decine o cinquine
esempi: 26x24 (equidistanti da 25 che è una cinquina) oppure 28x32
(equidistanti da 30 che è una decina).
Si utilizza il prodotto notevole somma per differenza inserendo proprio la
cinquina o la decina:
26x24=(25+1)x(25-1)=252-1=625-1=624
ecco che torna ancora utile conoscere come calcolare il quadrato di un numero
che termina per 5!
28x32=(30-2)x(30+2)=302-4=900-4=896
ecco che torna di nuovo utile conoscere come calcolare il quadrato di un
numero che termina per 0!
Esercizi:
39x41
32x38
43x47
82x78
64x66
54x56
73x67
81x89
99x101
2. quadrati
Si utilizza il prodotto notevole quadrato del binomio inserendo proprio la
cinquina o la decina più vicine, esempio:
=(30+3)2=302+2x30x3+32=900+180+9=1089
332=
oppure
=(35-2)2=352-2x35x2+22=1225-140+4=1089
Esercizi:
392
412
632
2
2
58
74
262
2
2
87
79
992
3. uso della proprietà associativa (e commutativa)
Nel prodotto è spesso conveniente associare diversamente i fattori per arrivare
a prodotti semplici come 2x5 oppure 4x25, esempio:
12x25=(3x4)x25=3x(4x25)=3x100=300
6x25=(2x3)x(5x5)=2x3x5x5=(2x5)x(3x5)=10x15=150
Lo scopo è sempre di arrivare a potenze di dieci.
4. uso della proprietà distributiva (e dissociativa)
Si può distribuire il numero più piccolo rispetto alla dissociazione del più
grande, esempi:
6x24=
oppure
=6x(20+4)=6x20+6x4=120+24=144
=6x(25-1)=6x25-6x1=150-6=144
7x138
=7x(100+30+8)=700+210+56=966
…a questo punto ci si può divertire con le dissociazioni più creative e
personalizzate!
6
Esercizi di riepilogo
Esegui i calcoli a mente, dopo l’uguale scrivi il risultato e
soprattutto le regole che usi come nell’esempio:
27x33=….. (equidistanti dalla decina, somma per differenza e
quadrati di numeri che terminano con 0)
65x65=
41x49=
120x5=
9x6=
Radice quadrata di 5625=
Indice
Calcolo mentale e stenaritmia ............................................................................................................1
Nozioni di base: ...............................................................................................................................1
1. “tabelline”: ..........................................................................................................................1
2. quadrati:...............................................................................................................................1
3. cubi: .....................................................................................................................................2
4. alcuni prodotti notevoli e scomposizioni: ............................................................................2
5. aree di alcune figure piane: .................................................................................................2
6. proprietà associativa (e proprietà dissociativa):.................................................................2
7. proprietà commutativa:........................................................................................................2
8. proprietà distributiva (della moltiplicazione rispetto all’addizione): .................................2
Curiosità… nelle mani! ..................................................................................................................3
Lo sapevi che… sono una calcolatrice? ......................................................................................3
E lo sapevi che… sanno la tabellina del nove? ...........................................................................3
Quadrati di numeri che terminano con la cifra 5 ..........................................................................4
Radici quadrate di numeri che terminano con 25 .........................................................................4
Quadrati di numeri che terminano con la cifra 0 ..........................................................................5
Radici quadrate di numeri che terminano con 00 .........................................................................5
Quadrati e radici quadrate di particolari numeri con la virgola...................................................5
Tecniche di moltiplicazione ............................................................................................................6
1. prodotti di numeri equidistanti da decine o cinquine ..........................................................6
2. quadrati................................................................................................................................6
3. uso della proprietà associativa (e commutativa).................................................................6
4. uso della proprietà distributiva (e dissociativa) ..................................................................6
Esercizi di riepilogo.........................................................................................................................7
78x9=
Quadrato di 8,05=
84x25=
per controllare i risultati puoi usare… la calcolatrice!
7
8