Soluzioni

Corso di Economia Pubblica
Giuseppe De Feo
Esercitazione 4
Giuseppe De Feo
[email protected]
Esercizio 1 (Gioco simultaneo ad informazione incompleta)
Le imprese A e B devono decidere se entrare sul mercato oppure starne fuori. Se entrambe
restano fuori il loro profitto pari a zero mentre se un’impresa entra e l’altra resta fuori, il
profitto pari a 40 per l’entrante e zero per l’altra impresa. Se entrambe entrano il payoff
dell’impresa B è pari a −20 mentre quello per l’impresa A è pari ad x. x = −20con una
probabilità del 25%, mentre è uguale a 4 con una probabilità del 75%. Ipotizzando solo l’impresa
A conosce x, mentre l’impresa B conosce solo la distribuzione di probabilità di x, si calcoli
l’equilibrio Bayesiano di questo gioco.
Soluzione.
To solve this simultaneous-move game with imperfect information we can compute the
bayesian normal form of the game and use the best reaction function to find the equilibrium,
as the game has discrete strategies. From the description of the game, the payoff matrix can
be written as follows: where x can be 4 with a 75% chance and −20 with a 25% chance.
Firm A
Entry
No entry
Firm B
Entry
No entry
x, −20
40, 0
0, 40
0, 0
But this is not the true normal form. To find the Bayesian normal form we need to depict
the extensive form of the game with Nature first.
1
Nature
X = −20 ( 41 )
Ai
E −20
E4
N −20
Bi
E
X = 4 ( 34 )
Aii
Bii
N
E
{−20, −20} {40, 0} {0, 40}
N4
Biii
N
E
{0, 0} {4, −20}
Biv
N
E
{40, 0} {0, 40}
N
{0, 0}
The game tree represents the asymmetry of information between firm A that does know
the value of X, its own payoff, while firm B does not. From this extensive form it is possible
to build the Bayesian normal form of the game where firm A has 4 strategies (including an
action at each relevant information set) while firm B has only two strategies since there is
only one information set for firm B.
Firm
E
2, −20
−5, 25
3, −5
0, 40
E −20 E 4
E −20 N 4
Firm A
N −20 E 4
N −20 N 4
B
N
40, 0
10, 0
30, 0
0, 0
The reaction functions are the following
Firm A’s R.F.
Firm B’s R.F.
Firm A
N −20 E 4
E −20 E 4
Firm B
E
N
Firm A
E −20 E 4
E −20 N 4
N −20 E 4
N −20 N 4
Firm B
N
E
N
E
The unique Nash Equilibrium {E −20 E 4 , N } is the one in which firm A enters always and firm
B does not enter.
Esercizio 2 In un mercato dove la domanda è descritta dalla funzione p = 3 − Q tre imprese
con la stessa funzione di costo c(qi ) = qi ∀i = A, B, C competono alla Cournot. Le imprese
B e C stanno ipotizzando una fusione che porterà alla nascita di un’unica impresa M al posto
delle imprese B e C. La fusione ha il 50% di possibilità di ottenere il 50% di riduzione dei
costi. In altre parole,
1
qM
con una probabilità di
2
2
1
= qM con una probabilità di
2
cM (qM ) =
2
1. Assumendo che la funzione non ottenga alcun guadagno di efficienza, e che questa informazione sia rivelata a tutti prima che la concorrenza abbia luogo, si calcoli l’equilibrio
di Cournot ed i profitti di equilibrio delle due imprese A e M.
Al contrario, si consideri invece il caso in cui la fusione avviene, ma che il valore di cM (qM )
sia rivelato all’impresa M prima che la concorrenza abbia luogo, ma non all’impresa A che
conosce solo la sua distribuzione di probabilità.1
2. Si calcolino le funzioni di reazione delle imprese in questo gioco ad informazione incompleta.
3. Utilizzando e spiegando l’appropriato concetto di equilibrio. si verifichi che i profitti
dell’impresa A sono paria a ΠA = 0.27 quando l’impresa M quando la riduzione dei
costi si verifica, e ΠA = 0.41 quando non si ottengono i guadagni di efficienza.
4. Si confrontino i profitti ottenuti da A nel caso di informazione completa calcolati al punto
1 con quelli ottenuti nel caso di informazione incompleta calcolati al punto 3 quando la
fusione non ottiene alcun guadagno di efficienza e si spieghi perché sono diversi.
Soluzione.
1. If all the firms know the production cost of everyone else and the demand function, the
game is a complete information game and the solution is the Cournot-Nash equilibrium
of the game. The reaction function of firm A is:
qM
if qM ≤ 2
2
= 0 if qM > 2
q̂A (qM ) = 1 −
Firm M ’s reaction function is
qA
if qA ≤ 2
2
= 0 if qA > 2
q̂M (qA ) = 1 −
⋆ = q⋆ =
The equilibrium quantities are qA
M
4
9.
2
3
and the equilibrium profits are Π⋆A = Π⋆M =
2. There are three reaction functions to compute as we have to consider: the merged firm
when she achieves efficiency gains and therefore has a low production cost (we call it
firm M L); the merged firm when it does not achieve any efficiency cost (we call it firm
M H); and firm A which will face firm M L with a 50% chance, and firm M H with a
50% chance.
1
Qui si assume che comunque la funzione di costo dell’impresa A e la domanda di mercato siano note a tutti.
3
Their reaction functions are therefore:
qM L + qM H
if qM L + qM H ≤ 4
4
0 if qM L + qM H ≤ 4
5
5 qA
−
if qA ≤
4
2
2
5
0 if qA >
2
qA
1−
if qA ≤ 2
2
0 if qA > 2
q̂A (qM ) = 1 −
=
q̂M L (qA ) =
=
q̂M H (qA ) =
=
3. When the game is a game of incomplete information the appropriate solution concept is
the Bayesian Nash equilibrium and there are two solution techniques which can be used.
One solution is to construct the Bayesian normal of the game and solve it. When it is
not possible to construct the Bayesian normal form we can solve the game considering
the different type of players as different players. In this case a normal form cannot be
constructed as the game is a game with continuous strategies. Therefore we will use
the second approach. The Bayesian Cournot equilibrium of this game is defined by the
following quantities:
23
17
7
⋆
⋆
⋆
; qM
.
qA
= ; qM
L =
H =
12
24
24
So, when the merger does not achieve any efficiency gain, the market
price is 41
24 and the
119
289
7
41
17
41
⋆
⋆
profits are: ΠA = 24 − 1 12 = 288 = 0.41 and ΠM = 24 − 1 24 = 576 = 0.5. When
35
. In such a case
the merged firm does achieve
price
7 the 77efficiency gains the⋆ market
is 24529
35
35
1 23
⋆
profits are: ΠA = 24 − 1 12 = 288 = 0.27, while ΠM = 24 − 2 24 = 576 = 0.92.
4. By comparing the outcome of the incomplete information game with the one of complete
information we can see that even though no efficiency gains are achieved, the firm which
has no information about the cost of the rival is induced to reduce the quantity chosen
in equilibrium as there is a possibility that the rival is more efficient. This is anticipated
by the rival which will produce more in the Bayesian equilibrium with asymmetric information than in the equilibrium with complete information. In other words the informed
party can exploit the information advantage to its own benefit, earn larger profits at the
expenses of the other firm’s profits, which are lower under asymmetric information even
though no change occurred to the rival’s costs.
Esercizio 3 Si discuta il trade-off in un modello principale-agente tra protezione dal rischio
e incentivo in presenza di azzardo morale quando l’agente è avverso al rischio. Pensi sia vero
che un principale neutrale al rischio per attirare un agente avverso al rischio debba offrire un
contratto migliore di quello sufficiente ad attrarre un agente neutrale al rischio? Perché?
Soluzione. In the presence of uncertainty, in order to give incentives, a principal can only
reward the good performance, as effort cannot be monitored. However, this means also to
transfer some risk to the agent, as the performance is also affected by randomness (without
randomness one can perfectly infer the effort by the performance, and therefore there would
4
be no uncertainty). So, providing incentives means also to transfer some risk on to the agent
and, if he is risk averse, a trade-off between insurance and incentives clearly arises. Of course
if the agent is risk neutral, he does not care about risk (or insurance) and therefore should
not be compensated to take on some risk. Therefore the expected wage he requires in order
to be induced to sign the contract is lower than the pay required by a risk averse agent
Esercizio 4
I proprietari degli Studios Galactic vogliono assumere la dott.ssa Wilma Quilici come CEO
della loro azienda. Vogliono offrirle un contratto che consiste in un salario base fisse w e un
bonus b che dia i giusti incentivi per lavorare con dedizione ed impegno. Allo stesso tempo
vogliono essere sicuri che il contratto sia più attraente rispetto a quello lega attualmente Wilma
agli Studios Comet che include solo un salario fisso pari a K. I proprietari degli Studios
Galactic sanno che Wilma è avversa al rischio e che le sue preferenze sono descritte dalla
funzione di utilità U (x) = xα con 0 < α < 1.
Inoltre, se Wilma si impegnasse a fondo nel suo lavoro cè una probabilià p di ottenere
profitti elevati pari a Πh ed una probabilità (1 − p) di profitti bassi Πl con Πh > Πl .Se al
contrario Wilma non dovesse impegnarsi nel suo lavoro a fondo, l’impresa avrà profitti bassi
Πl di sicuro. Quando si impegna a fondo il costo in termini monetari del suo impegno è pari
a eh , mentre il costo monetario prr l’impegno minimo è el con eh > el .
1. Si descriva l’interazione strategica fra i proprietari e Wilma utilizzando la rappresentazione in forma estesa del modello principale-agente.
2. Si descriva il vincolo d’incentivo che à necessario rispettare per motivare Wilma ad
impegnarsi a fondo nel suo nuovo lavoro.
3. Si determini la condizione per cui Wilma accetta la proposta degli Studios Galactic lasciando il suo impiego attuale.
4. Si spieghi perché in questi casi cè sempre un trade off tra incentivi e protezione dal
rischio che puó risultare in inefficienze e fallimento del mercato.
Soluzione.
1. This is the game tree representation of the principal-agent problem between the owners
of Galactic Studios and dr Megan McIntyre.
Galactic Studios
{w, b}
M.McIntyre
reject
accept
{Π, K α }
M.McIntyre
eh
el
Nature
Πh (p)
Nature
Πl (1 − p)
{Πh − w − b, (w + b − eh
Πl (p)
)α }
{Πl − w, (w − eh )α }
{Πl − w, (w − el )α }
5
2. The incentive compatibility condition come from the solution to the third stage of the
principal agent model, where the agent has to choose whether to exert high or low effort.
She will exert high effort if the expected utility of exerting high effort is larger than the
expected utility of shirking; i.e.:
p(w + b − eh )α + (1 − p)(w − eh )α > (w − el )α
3. The condition under which Megan accepts the contract offered by the principal (owners
of Galactic Studios) is the so-called participation constraint.
This is the solution to the second stage of the principal-agent model. When in the third
stage Megan exerts high effort the participation constraint is:
p(w + b − eh )α + (1 − p)(w − eh )α > K α
While, if in the third stage of the game she shirks, the participation constraint becomes
(w − el )α > K α
4. In this context, the trade-off between insurance and incentives arise because the risk
averse agent would prefer a higher basic wage to a larger bonus, but this would reduce
the incentive to exert high effort. But if the bonus required to give the correct incentives
is too high, the firm may decide not to give an incentive at all or even not to offer
contract which are efficient ex ante.
Esercizio 5 : Asimmetrie Informative.
La presenza di asimmetrie informative può essere causa di fallimento del mercato.
a. Definisci brevemente e distingui i casi di azzardo morale e selezione avversa anche utilizzando esempi tratti dal mercato assicurativo.
Soluzione.
Per azzardo morale definiamo il caso in cui le asimmetrie informative generano un comportamento opportunistico dopo che una relazione economica (un contratto, ad esempio)
è stata stabilita. Le azioni non monitorabili di un agente economico sono nascoste ad un
altro agente, ma influenzano l’esito del contratto stesso. Ad esempio, gli acquirenti di una
polizza assicurativa avranno minori incentivi ad esercitare la cura necessaria ad evitare
danni. In tal modo la probabilità che si verifichino eventi negativi aumenta e le compagnie
assicurative subiscono conseguenze negative da questo comportamento in quanto aumenta
la probabilità che ci siano danni da risarcire.
Per selezione avversa indichiamo quel fenomeno per il quale l’asimmetria informativa è
presente prima che un contratto venga firmato e genera incentivi a comportamenti opportunistici miranti a nascondere tratti negativi o qualità non desiderate dalla controparte non
informata. L’effetto è che agenti economici con caratteristiche non desiderabili per la controparte abbiano più probabilità di essere parte di uno scambio e che quindi beni di cattiva
qualità scaccino dal mercato beni di buona qualità.
Un esempio nell’ambito assicurativo è quello in cui persone con un più alto livello di rischio
(che non è conosciuto dalla compagni assicurativa) sono disposte a pagar di più per una
polizza assicurativa.
6
b. Illustra l’inefficienza dell’equilibrio concorrenziale in un mercato assicurativo caratterizzato
da selezione avversa.
Soluzione.
Si consideri un mercato assicurativo dove tutti i consumatori sono avversi al rischio ma il
livello di rischi è diverso. Si assuma per semplicità che esistano solo 2 livelli di rischio.
Ciascun consumatore conosce il proprio rischio, ma le imprese assicurative conoscono solo
la distribuzione del rischio nella popolazione ed il rischio medio. In tal caso, imprese neutrali al rischio offrirebbero un contratto assicurativo che avrebbe un prezzo non inferiore al
costo atteso, ovvero al costo medio nella popolazione. Al limite questo prezzo sarà proprio
pari a questo costo atteso se il mercato è in concorrenza perfetta. Tuttavia è probabile che
tale prezzo sia considerato eccessivo dagli individui a basso rischio nella popolazione, che
decideranno di non acquistare il contratto. Di conseguenza le imprese, anticipando il fatto
che se un individuo acquista il contratto apparterrà al gruppo ad alto rischio, (le azioni
portano informazioni) aggiorneranno le proprie ipotesi sul rischio di coloro che acquistano
il contratto ed alzeranno il prezzo al fine di coprire il costo atteso di una polizza stipulata
solo da individui ad alto rischio. Il risultato sarà che solo gli individui ad alto rischio
acquisteranno una polizza assicurativa, mentre quelli a basso rischio, ancorché avversi al
rischio, non si assicureranno. Questo genera inefficienza in quanto persone che sarebbero
disposte pagare più del costo atteso non comprano perché il prezzo è più alto del costo atteso
per effetto dell’impossibilità di distinguere gli alti rischi dai bassi rischi.
c. Analizza l’effetto dell’introduzione dell’assicurazione obbligatoria.
Soluzione.
L’assicurazione obbligatoria è un drastico rimedio al problema della mancanza di assicurazione causato dalla selezione avversa. Imponendo a tutti di Assicurarsi, non solo si evita
che individui lascino il mercato a causa dai prezzi alti, ma anche che il prezzo si abbassi in
virtù del fatto che gli individui con rischio basso non escono più dal mercato e riducono il
rischio medio che sar pari a quello dell’intera popolazione di riferimento. Tuttavia, anche
se questo genera un aumento dell’efficienza allocativa, non si determina un incremento
paretiano in quanto alcuni consumatori preferirebbero comunque star fuori dal mercato,
anche se il prezzo è diminuito.
7