Le simmetrie di rosoni, fregi e carte da parati
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Le simmetrie di rosoni, fregi e carte da parati
Corso di Formazione per Docenti di Matematica (11 maggio 2016) Le simmetrie di rosoni, fregi e carte da parati Eva Ferrara Dentice - S.U.N. “Simmetria” è un concetto intuitivo Nell’arte: L’uomo Vitruviano In natura http://snowflakebentley.com/ In natura In architettura: Basilica di Santa Chiara-Napoli Altre simmetrie… Palazzo della Prefettura-Verona Galleria Umberto I-Napoli Anche queste decorazioni hanno una loro simmetria intrinseca, ma questa è “evidentemente” diversa da quella degli oggetti della diapositiva precedente… Altre simmetrie… Alhambra-Granada 1240 Ancora simmetrie… Volta del Mausoleo di Galla Disegno egizio Placidia V sec. - Ravenna Copripiumone Bassetti Simmetria (dal dizionario Zingarelli) 1.(gener.) In un oggetto, un corpo, un insieme, una struttura e sim., disposizione dei vari elementi che lo compongono tale che rispetto ad un dato punto, asse o piano cui si fa riferimento vi sia tra essi piena corrispondenza di forma, dimensione, posizione e sim. 2. (biolog.)Disposizione regolare delle parti di un organismo rispetto ad un piano o ad un asse. 3. Rispondenza nella struttura dei cristalli rispetto a linee rette, o assi o piani. 4. (mus.) Rispondenza di frasi o periodi nel giro delle melodie, o nella qualità degli accordi, o nella durata delle note. 5. Armonia di proporzioni, combinazioni, disposizioni, e sim. 6. (fis.) Proprietà di cui godono i sistemi e le leggi fisiche che si mantengono invariati a seguito di una trasformazione. ISOMETRIA = applicazione tra i punti che conserva le distanze Un’isometria conserva anche gli angoli, e quindi l’ortogonalità Le simmetrie di un oggetto geometrico X sono le isometrie dello spazio che mutano X in sé. Il gruppo delle simmetrie di X L’identità fissa X Se X è un insieme di punti del piano, e M(X) è l’insieme delle simmetrie di X, Se F e G fissano X, allora la composizione GF fissa X allora Se F fissa X, allora F-1 fissa X M(X) è un gruppo Classificazione delle isometrie del piano Chasles (1831) identità traslazione rotazione riflessione glissosimmetria Isometrie pari e dispari • Traslazioni e rotazioni. Non cambiano l’orientamento della figura • Riflessioni e glissosimmetrie. Invertono l’orientamento della figura I gruppi ornamentali del piano T(G)=Traslazioni nel gruppo di simmetrie G • T(G)={1} Rosette Groups • T(G)=[tu], u≠0 Frieze Groups • T(G)=[tu,tv], {u, v} non paralleli Wallpaper groups (Cartan-Dieudonné) Ogni isometria non identica del piano è composizione di al più tre riflessioni. u=2AB Traslazione tu B A a b b Rotazione C, tu=ba =2ab C=ab C, = ba C a c Glissosimmetria a b c b a E’ fissato soltanto dall’identità M={1} E’ fissato dalla riflessione a M={1, a} a E’ fissato dalla rotazione M,π M M={1, M,π} M={1, C,π/2, C,π, C,3π/2 } C =[C,π/2] = C4 b M a M={1, a, b, M,π } =[|2=1=2, ] =D2 I gruppi diedrali Dn, n≥3 (Gruppi delle simmetrie dei poligoni regolari) a C a C D3=[, | 2=3=1, =2] =a=C,2π/3 D4=[, | 2=4=1, =3] =a=C,π/2 ………. C a π/n Dn=[, | 2=n=1, =n-1] =a=C,2π/n Come ottenere altri gruppi di poligoni? Fissato un poligono regolare con n lati Si divide in 4 parti ciascun lato Si fissa un verso di rotazione e si sceglie il secondo quarto su ogni lato Si costruisce così un poligono di 2n lati C4={1, , 2,3} =C,π/2 ………….. Cn={1, , 2,3, …, n-1} =C,2π/n Un gruppo di simmetrie finito non contiene né traslazioni, né glissosimmetrie Il gruppo delle simmetrie di un poligono con n lati contiene al più 2n simmetrie Teorema di Leonardo: Un gruppo finito di simmetrie o è un gruppo ciclico o è diedrale Un poligono ha per gruppo delle simmetrie un gruppo ciclico o diedrale no E’ ciclico Esistono riflessioni? sì E’ diedrale C2 D2 D3 Santa Chiara-Napoli D4 Musei Vaticani-Roma C6 D5 D6 Ma se guardiamo anche alle decorazioni pentagonali all’interno dei sei cerchi… C2 Il rosone di santa Chiara ha un motivo centrale a base esagonale, ed un motivo esterno, a doppia base quadrata D6 D4 = D2 Chiesa di Santa Croce-Lecce D24 C8 C3 C4 Marchio XX sec. Motivo ornamentale musulmano C4 Motivo peruviano epoca precolombiana C2 Motivo ornamentale paraguaiano XIX sec C2 Pianta della Basilica di San Pietro (Bramante) D4 D8 Duomo di Orvieto D3 Basilica di Santa Chiara-Assisi Fregi Galleria Umberto I-Napoli Villa comunale-Napoli Palazzo della Prefettura-Verona Fregio (ancora dal dizionario Zingarelli) Fascia ornamentale ad andamento orizzontale; parte della trabeazione compresa tra l’architrave e la cornice, decorata a rilievo con figure o con motivi geometrici o più o meno stilizzati. (arch.) Ogni decorazione, specialmente in rilievo, con andamento orizzontale, a forma di fascia Insieme X di punti del piano contenente una retta c e verificante le seguenti condizioni: 1) Le traslazioni che fissano X costituiscono un gruppo ciclico []. 2) Ogni simmetria di X fissa la retta c. c è l’asse del fregio c ha la direzione del vettore u =tu u A=A0 M=M0 Mi=i(M) Ai=i(A) c A M A1 M1 A2 M2 M è il punto medio di A ed A1 Mi è il punto medio di Ai e Ai+1 Mi è il punto medio di A e A2i+1 A3 A a M m A1 a1 M1 m1 A2 a2 M2 m2 ai è la retta per Ai perpendicolare a c (a0=a) mi è la retta per Mi perpendicolare a c (m0=m) Risulta ai=i(a) e mi=i(m) A3 a3 Infine: N n N’ n’ N1 n1 N’1 n’1 N è il punto medio di A ed M1 N’ è il punto medio di M1 ed A1 n è la retta per N perpendicolare a c n’ è la retta per N’ perpendicolare a c Risulta Ni=i(N), N’i=i(N’), ni=i(n), n’i=i(n’) Come sono fatte le isometrie di un fregio? Sia X un fregio, ed F il suo gruppo delle simmetrie Le traslazioni di F sono del tipo n Le rotazioni di F hanno centro uno dei punti Ai, Mi ed angolo π. In tal caso, tutte queste rotazioni stanno nel gruppo. Le riflessioni di F hanno asse c, oppure una delle rette ai, mi (e quindi tutte) , oppure una delle rette ni - n’i (e quindi tutte). Anche le glissosimmetrie di F sono “speciali” F1=[] A F2=[] A F11=[c] A M M M F21=[c] F1 2=[ a] F22=[n] F13=[] A M Dal punto di vista geometrico, i frieze groups sono 7, ma dal punto di vista algebrico, essi sono soltanto 4. • F1, F 13 Z • F 2 , F 1 2 , F 2 2 D • F11 ZZ2 • F21 DZ2 Come classificare il gruppo di un fregio? Contiene rotazioni? no sì Contiene riflessioni di asse c? no sì Contiene riflessioni di asse ortogonale a c? no sì Contiene glissosimmetrie? no F1 sì F 13 Contiene riflessioni di asse c? F 12 no F 11 Contiene riflessioni di asse ortogonale a c? sì no F2 F22 sì F 21 Vaso cinese-XI sec. SSSSSSSSSSSSS Fregio arabo DDDDDDDDDDDD Arte precolombiana-Perù F2 Fascia ornamentale cilena F 11 Fascia decorativa (J. Hoffmann) FFFFFFFFFFFFF Fregio egizio AAAAAAAAAAA Fregio tipografico moderno F1 Fascia ornamentale fenicia F 12 Arte indiana IIIIIIIIIIIIIIIII F 21 Arte precolombiana MWMWMWMWMW F 22 MDWDMDWDMDW Arte minoica, II sec a.C. F 13 F1 F1 F2 F 12 Gruppi delle carte da parati (Gruppi cristallografici piani) Sono i gruppi delle isometrie piane il cui sottogruppo delle traslazioni È generato da due traslazioni di vettori non proporzionali. Un punto P è un n-centro per un gruppo G di isometrie se le rotazioni di centro P formano un gruppo ciclico Cn. Teorema di Restrizione Cristallografica: Se P è un n-centro di un wallpaper group W, allora n=2,3,4,6. Teorema di Fedorov (1891) Nessun ncentro Solo 2-centri p2 4-centri p1 W2 W11 cm W21 cmm W41 p4m W31 p3m1 W61 p6m W1 2 pm W22 pmm W13 pg W24 pgg p4 W3 p3 6-centri W1 W23 pmg W4 Solo 3 centri W42 p4g W32 p31m W6 p6