Calcolo del modulo di deformazione lineare (ml)

POLITECNICO DI TORINO
Dipartimento di Georisorse e Territorio
Ing. Andrea Lingua
Arch.Elena Albery
Fondamenti di Geodesia e Cartografia
Calcolo del modulo di deformazione lineare (ml) in un punto individuato
su una carta disegnata nella proiezione di GAUSS.
Consideriamo un punto particolare rappresentato nella tavoletta 67 II S.E. e
precisamente il vertice trigonometrico M. BRACCO (2° ordine).
Le coordinate di questo punto sono misurabili direttamente sulla cartografia o,
trattandosi di un vertice trigonometrico, sono note dalla monografia del punto:
Monte
BRACCO
Nord
Est
H
ϕ
λ
coordinate cartografiche
geografiche
4.948.869,84 m
1.368.365,55 m
1.306,56 m
44° 40’ 49”,072
- 5° 06’ 41”,543
e
POLITECNICO DI TORINO
Dipartimento di Georisorse e Territorio
Ing. Andrea Lingua
Arch.Elena Albery
Fondamenti di Geodesia e Cartografia
a) depuro la coordinata Est della falsa origine:
per il fuso ovest
X = Est - 1.500.000 m
= - 131.634,45
per il fuso est
X = Est - 2.520.000 m
la X rappresenta la distanza dal meridiano centrale del fuso
b) calcolo dei parametri ρ, N, e R:
W = 1 − e 2 sin 2 ϕ
a (1 − e 2 )
ρ=
W3
a
N=
W
R= ρN
= 0,99833676
= 6.377.227,12 m
= 6.389.014,81 m
= 6.378.111,66 m
c) calcolo del modulo di deformazione lineare ml


X2
ml = 0,99961 +
2 
 2 ρ N 0,9996 
= 0,999812
Viste le approssimazioni introdotte per ricavare la formula indicata sopra, si
considera valido il modulo di deformazione lineare ricavato in un intorno
non superiore a 10 km.
Il modulo di deformazione lineare può essere calcolato anche utilizzando le
coordinate geografiche (latitudine ϕ e longitudine λ):
 1

ml = 0,9996 1 + λ2 cos 2 ϕ 
 2

la longitudine λ deve essere riferita al meridiano centrale del fuso e deve
essere espressa in radianti:
per il fuso ovest
λdepurata = λletta + 12° 27’ 08”,4 - 9°
per il fuso est
λdepurata = λletta + 12° 27’ 08”,4 - 15°
nell’esempio sarà:
λdepurata = - 5° 06’ 47”,543 + 12° 27’ 08”,4 - 9°
e quindi:
= - 1° 39’ 39”,143
λdepurata = - 1° 39’ 39”,143
π
= - 0,028987703
180
e quindi:
λrad = - 1°,660873056
POLITECNICO DI TORINO
Dipartimento di Georisorse e Territorio
Ing. Andrea Lingua
Arch.Elena Albery
Fondamenti di Geodesia e Cartografia
 1

ml = 0,9996 1 + λ2 cos 2 ϕ  = 0,999812
 2

Viste le approssimazioni introdotte per ricavare la formula indicata sopra, si
considera valido il modulo di deformazione lineare ricavato in un intorno
non superiore a 10 km.
Calcolo del modulo di deformazione lineare ml di un segmento di retta.
Consideriamo un particolare segmento di retta definito da due vertici
trigonometrici: M. Bracco e M. Pagliano.
Le coordinate di questi punti sono misurabili direttamente sulla cartografia o,
trattandosi di vertici trigonometrici, sono note dalle monografie dei punti:
Monte
BRACCO
(2° ordine)
Nord
Est
H
ϕ
λ
Coordinate
cartografiche
geografiche
4.948.869,84 m
1.368.365,55 m
1.306,56 m
44° 40’ 49”,072
- 5° 06’ 41”,543
Monte
PAGLIANO
(1° ordine)
Nord
Est
H
ϕ
λ
e
coordinate
cartografiche
geografiche
4.933.038,81 m
1.376.791,92 m
988,77 m
44° 32’ 21”,594
- 5° 00’ 11”,276
a) calcolo dei parametri ρ e N nel punto medio del segmento M. Bracco - M.
Pagliano:
ϕmedio = (ϕBRACCO + ϕPAGLIANO ) / 2
= 44° 36’ 35”,333
W = 1 − e 2 sin 2 ϕ medio
= 0,99834084
ρm =
Nm =
R=
a (1 − e 2 )
W3
a
W
ρN
= 6.367.147,88 m
= 6.388.988,31 m
= 6.378.058,75 m
b) depuro le coordinate Est della falsa origine:
Monte Bracco
X = Est - 1.500.000 m
= - 131.634,45
Monte Pagliano
X = Est - 1.500.000 m
= - 123.208,08
la X rappresenta la distanza dal meridiano centrale del fuso
c) calcolo del modulo di deformazione lineare ml del segmento M. Bracco - M.
Pagliano:
e
POLITECNICO DI TORINO
Dipartimento di Georisorse e Territorio
Ing. Andrea Lingua
Arch.Elena Albery
Fondamenti di Geodesia e Cartografia

X 2 + X 1 X 2 + X 22
ml = 0,99961 + 1
2
 6 ρ m N m 0,9996




= 0,9997997
Calcolo della distanza tra due punti di coordinate note o misurate sulla
cartografia.
Consideriamo i due punti noti M. Bracco e M. Pagliano di cui conosciamo già le
coordinate:
Monte
BRACCO
(2° ordine)
Nord
Est
H
coordinate
cartografiche
Monte
PAGLIANO
(1° ordine)
Nord
Est
H
4.948.869,84 m
1.368.365,55 m
1.306,56 m
a) calcolo della distanza cartografica dc:
∆EST = ESTBRACCO - ESTPAGLIANO
∆NORD = NORDBRACCO - NORDPAGLIANO
= - 8.426,37 m
= 15.831,03 m
d c = ∆2NOR + ∆2EST
= 17.933,91 m
b) calcolo della distanza ridotta alla superficie di riferimento dg
dg =
d c 17.933,91
=
ml 0,999799
= 17.937,50 m
c) calcolo della distanza ridotta alla quota di M. Bracco:
d
B
di
ZAB
A
QA
QB
dg
A0
B0
R
ω
O
coordinate
cartografiche
4.933.038,81 m
1.376.791,92 m
988,77 m
POLITECNICO DI TORINO
Dipartimento di Georisorse e Territorio
Ing. Andrea Lingua
Arch.Elena Albery
Fondamenti di Geodesia e Cartografia
d0 =
dc
=
ml
dg
17.937,50
=
1.306,56
QBRACCO
1−
1−
6.378.058,75
R
= 17.941,18 m
d) calcolo della distanza ridotta alla quota di M. Pagliano:
d0 =
dc
=
ml
dg
17.937,50
=
QPAGLIANO
988,77
1−
1−
6.378.058,75
R
= 17.940,28 m