Tesi Completa - pigrecotechnology
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Facoltà di Ingegneria dell'Informazione, Informatica e Statistica Tesi di Laurea in Ingegneria delle Comunicazioni TEORIA DEI FRATTALI PER L'ELETTROMAGNETISMO Relatore Laureando Prof. Alessandro Galli Francesco Bongiovanni Matricola n° 1208989 Anno Accademico 2014/2015 “. . . Perchè la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi . . . “ Benoit B. Mandelbrot Indice Indice Introduzione............................................................................................................1 1 I frattali: un modello per la complessità..........................................................2 1.1 Introduzione alla Teoria dei Frattali..............................................................2 1.2 Le Trasformazioni Affini del Piano...............................................................5 1.2.1 Proprietà fondamentali ..........................................................................6 1.2.2 Classificazione delle Affinità.................................................................6 Le traslazioni..............................................................................................6 Le Omotetie................................................................................................7 Le Rotazioni...............................................................................................8 Le similitudini............................................................................................9 1.3 Dimensioni Frattali......................................................................................11 Dimensione di Omotetia...............................................................................11 Dimensione di Hausdorff-Besicovitch..........................................................12 1.4 Oggetti Frattali.............................................................................................13 Triangolo di Sierpinski o Sierpinski Gasket.................................................13 Curva di Koch o Curva a Fiocco di Neve.....................................................14 Albero Frattale Deterministico.....................................................................15 Albero Frattale Aleatorio..............................................................................15 Curva di Hilbert o Peano-Hilbert..................................................................16 Curva di Peano-Gosper.................................................................................16 i Indice Piastrella a Fiocco di Neve...........................................................................17 Isola di Gosper..............................................................................................17 Esempi di copertura di piano con piastrellamento........................................18 Interpretazione della dimensione Frattale.....................................................18 1.5 Costruzione di un oggetto Frattale..............................................................19 Procedura di generazione della curva di Koch.............................................20 2 Antenne Frattali...............................................................................................22 2.1 Antenne e Array...........................................................................................22 2.2 Elementi di Antenne Frattali........................................................................23 Antenne dipolo ad albero frattale 3D............................................................24 Vantaggi di una geometria ad albero frattale................................................27 Caso di Studio...............................................................................................28 2.3 Algoritmi Genetici.......................................................................................30 2.4 Antenne a schiera (o Array) con Geometria Frattale...................................31 Processo di costruzione di un array random.................................................32 Processo di costruzione di un array Polifrattale...........................................33 Modello moltiplicativo per il beamforming di array frattali (i sub-array sono orientati nella stessa direzione).....................................................................35 Modello moltiplicativo per il beamforming di array polifrattali (i sotto-array non sono orientati nella stessa direzione).....................................................37 Processo Generatore Autopolyploidization (Espansione del numero di generatori).....................................................................................................38 ii Indice Esempio: Metodologia di progettazione GA per l'evoluzione di un allineamento polifrattale lineare ottimo, uniformemente eccitato. ..............40 Fronte di Pareto.............................................................................................43 2.5 Piastrellamenti aperiodici............................................................................44 Array Frattile................................................................................................44 Peano-Gosper Fractile Array (PGFA)...........................................................45 Eliminazione dei lobi laterali dovuti alla griglia..........................................46 Array Aperiodici...........................................................................................48 Le tessere di Danzer......................................................................................49 Metodo dei Punti di Perturbazione...............................................................51 Bibliografia............................................................................................................54 iii Inroduzione Introduzione I sistemi di comunicazione cellulari, la navigazione satellitare, i sistemi di immagine diagnostica come gli ecografi, i radar SAR, o i comuni router wi-fi sono accumunati da un elemento: l'Antenna. Questo strumento si utilizza per inviare e per raccogliere energia elettromagnetica nel/dallo spazio circostante. Gli attuali sviluppi tecnologici mostrano un notevole interesse verso la miniaturizzazione di questi dispositivi e una gestione di bande sempre più ampie. La geometria frattale cerca di fornire una risposta per il soddisfacimento congiunto di questi due aspetti. Nel presente elaborato il primo capitolo è dedicato alla descrizione, a carattere prevalentemente analitico, delle trasformazioni affini, del loro legame con le forme frattali e di una modalità di costruzione di quest'ultime nota come Teoria IFS. Nel capitolo due vengono visionati diversi metodi per il disegno di elementi di antenna e di array. 1 1 I frattali: un modello per la complessità 1.1 Introduzione alla Teoria dei Frattali L'ambiente naturale nel quale viviamo è costituito da oggetti come alberi, montagne, coste e nuvole che posseggono un carattere irregolare. Lo studio di queste forme per mezzo della geometria Euclidea risulta notevolmente difficoltoso. Il matematico Benoit B. Mandelbrot a seguito di studi di carattere multidisciplinare (economia, analisi delle turbolenze, il problema del calcolo della lunghezza della coste, l'analisi delle distorsioni introdotte dal rumore in un collegamento) notò una sotto-struttura comune alle varie discipline e introdusse il concetto di geometria frattale dimostrando come questa potesse essere utilizzata come chiave di lettura di molti processi naturali e di prodotti dell'attività umana. Nel suo libro “Les objets fractals: forme, hasard et dimension” propose una interpretazione matematica di tali fenomeni reali. Definì quindi i frattali come forme geometriche “auto-similari” che si ripetono continuamente su scala sempre più ridotta. Contrariamente a qualsiasi oggetto geometrico, un frattale, invece di perdere i dettagli quando viene ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari, che si vanno man mano scoprendo, assomigliando alla figura nella sua totalità. Il termine frattale dal latino 'fractus' (rompere) è stato coniato per mettere in risalto il fatto che la dimensione frattale non è intera, anche se questi oggetti vengono rappresentati in uno spazio convenzionale a due o a tre dimensioni. 2 1.1 Introduzione alla teoria dei Frattali La lunghezza di un frattale 'piano' non può essere misurata definitivamente, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale. Vengono distinte due classi: frattali deterministici e frattali statistici. I primi ottenuti tramite un procedimento ricorsivo, i secondi ottenuti come i precedenti ma con l'inserimento di parametri casuali nell'algoritmo di costruzione. La teoria dei frattali trova applicazioni in biologia, economia, geografia, astronomia e ingegneria e permette di rappresentare la complessità dei fenomeni naturali, quali, per esempio, le coste marine, il fiocco di neve, la felce, i coralli, la forma delle montagne, la forma del cervello, le diramazioni dendritiche, i terremoti. L'organizzazione frattale sembra essere infatti la forma nella quale la natura si auto-organizza. Le proprietà di questi oggetti hanno suscitato l'interesse anche in campo dell'elettromagnetismo. Oggetto di svariati studi sono i radiatori su dominio frattale, in grado di soddisfare determinate caratteristiche. A pagina seguente viene mostrato un insieme di figure ad indicare come il concetto di oggetto frattale e la tecnica di costruzione di determinate figure ha un riscontro in differenti in settori. 3 1.1 Introduzione alla teoria dei Frattali Fig.1.1: Strutture Frattali naturali, artificiali e riprodotte al pc. 4 1.2 Le Trasformazioni Affini del Piano 1.2 Le Trasformazioni Affini del Piano Lo studio delle trasformazioni geometriche elementari del piano ha un ruolo molto importante nello studio della geometria. Ad esempio si pensi al "Programma di Erlanger" di Klein (1872) che definì la geometria come lo studio delle proprietà che restano invarianti rispetto ad un certo gruppo di trasformazioni. Vediamo come viene definito un tipo particolare di trasformazioni geometriche: Le Affinità. Un'affinità (o trasformazione affine) fra due piani π e π' è un'applicazione biettiva T che fa corrispondere al punto P di coordinate (x, y) il punto P' di coordinate (X, Y) secondo la formula: {YX == cxax dyby fe dove i coefficienti a, b, c, d, e, f sono numeri reali. Usando le notazioni dell'algebra lineare si può anche scrivere: XY = ac db xy ef L'applicazione è biettiva se: det A= ac db ac db ≠ 0 è la matrice dell'affinità. 5 dove la matrice 1.2 Le Trasformazioni Affini del Piano 1.2.1 Proprietà fondamentali Si può dimostrare che un'affinità gode delle seguenti proprietà: • trasforma rette in rette; • a rette parallele corrispondono rette parallele; • a rette incidenti corrispondono rette incidenti; • conserva il rapporto fra segmenti paralleli (in particolare al punto medio di un segmento corrisponde il punto medio del segmento omologo); • se la figura S' è l'immagine corrispondente di una figura S, allora Area (S')= |det( A )| Area (S) dove det( A )= ad – bc ; In generale un'affinità non conserva la forma delle figure. Infatti l'immagine di un rettangolo è in generale un parallelogramma, così come l'immagine di una circonferenza sarà un'ellisse. 1.2.2 Classificazione delle Affinità Le traslazioni Definizioni L'equazione di una traslazione è del tipo: {YX == yx ef con 'e' ed 'f' costanti reali. La matrice della trasformazione è la matrice identità. 6 1.2 Le Trasformazioni Affini del Piano Proprietà fondamentali Si può dimostrare che una traslazione gode delle seguenti proprietà: • la trasformazione identità, ovvero la trasformazione che porta ogni punto del piano in se stesso, è una particolare tipo di traslazione. Tutti i suoi punti sono uniti. Le sue equazioni sono le seguenti: {YX == yx ; • una traslazione diversa dall'identità non ha punti uniti; • una traslazione trasforma una figura geometrica in una figura congruente a quella data, ma traslata; Le Omotetie Definizioni {YX == KyKx con K costante reale e non nulla. La matrice della trasformazione è 0K K0 . La L'equazione di una traslazione è del tipo: costante K è detta rapporto di omotetia: • se ' K > 0 ' l'omotetia si dice diretta; • se ' K < 0 ' l'omotetia si dice inversa; Proprietà fondamentali Si può dimostrare che un'omotetia gode delle seguenti proprietà: • trasforma una retta in una retta parallela alla retta data; 7 1.2 Le Trasformazioni Affini del Piano • l'unico punto unito è il centro di omotetia; • trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data; • se la figura S' è l'immagine corrispondente di una figura S, allora Area ( S' )= K 2 Area ( S ); Le Rotazioni Definizioni Nel caso di una rotazione in senso antiorario di un angolo α, le equazioni analitiche della rotazione sono le seguenti: sin α y {XY == sincosααxx − cos α y La matrice della trasformazione vale: A= cos α −sin α sin α cos α Proprietà fondamentali Si può dimostrare che una rotazione delle seguenti proprietà: • l'unico punto unito è l'origine; • una rotazione trasforma una figura geometrica in una figura congruente a quella data; 8 1.2 Le Trasformazioni Affini del Piano Le similitudini Definizioni Una similitudine è un tipo particolare di trasformazione affine che conserva l'ampiezza degli angoli. In particolare le similitudini conservano il parallelismo fra le rette e trasformano una figura in un'altra simile a quella data. Ricordiamo che una trasformazione affine è definita dalle seguenti equazioni: {YX == cxax dyby fe Una similitudine è un'affinità in cui risulti: • c = -b e d = a • c = b e d = -a Da questa relazione segue che una similitudine può essere definita in due soli modi: • • {YX == bxax − ayby ef {YX == bxax − ayby ef Da un punto di vista strettamente geometrico, in una similitudine resta invariato il rapporto fra le distanze di coppie di punti corrispondenti (A,B) e (A', B') ovvero: A ' B' =k AB . Il numero ' k ' positivo definito da k = similitudine. 9 a 2 b2 si dice rapporto di 1.2 Le Trasformazioni Affini del Piano Notiamo che le omotetie, le traslazioni, le rotazioni sono tutte tipi particolari di similitudini. Proprietà fondamentali Si può dimostrare che una similitudine gode delle seguenti proprietà: • conserva il parallelismo delle rette; • trasforma angoli in angoli di uguale ampiezza; • trasforma una figura geometrica in una figura simile a quella data; • se la figura S' è l'immagine corrispondente di una figura S, allora Area (S')= k2 Area (S); 10 1.3 Dimensioni Frattali 1.3 Dimensioni Frattali Dimensione di Omotetia Un frattale può essere definito come un oggetto a dimensione frazionaria. Il concetto di dimensione di un oggetto è abbastanza familiare, ad esempio un segmento ha dimensione 1, un quadrato ha dimensione 2 ed un cubo ha dimensione 3. Un oggetto è auto-somigliante quando può essere suddiviso in un certo numero di parti simili alla figura intera. Consideriamo una figura Ddimensionale e dividiamo ogni sua dimensione in N parti uguali, di cui ciascuna è 1/N dell'intero ( ' N ' è detto fattore di scala ). Esempi: • un segmento (D=1) può essere suddiviso in N segmenti di lunghezza 1/N; • un quadrato (D=2) può essere suddiviso in N2 quadrati di area 1/N2; • un cubo (D=3) può essere suddiviso in N3 cubetti di volume 1/N3; Per ogni figura D-dimensionale si hanno ND parti. Ricordando la proprietà dei logaritmi log ab = b ∗ log a , possiamo scrivere: log numero di pezzi = D ∗ log fattore di scala Definiamo così la dimensione frattale o dimensione di omotetia come: D = log numero dei pezzi log fattore di scala 11 1.3 Dimensioni Frattali D = log N log N = 1 log N 2 log N = 2 • per il segmento • per il quadrato • per il cubo • per la curva di Koch ad ogni iterazione si ottengono 4 pezzi di dimensione • D = D = log N 3 log N 1 dunque, 3 = 3 D = log N log N log N log N log 4 log 3 = 2 = 3 ≈ 1.26 per il triangolo di Sierpinski ad ogni iterazione si ottengono 3 pezzi di lato 1 dunque, 2 D = log 3 log 2 ≈ 1.58 Dimensione di Hausdorff-Besicovitch Mentre la dimensione di omotetia è valida solo per strutture auto somiglianti, ne esiste un'altra detta di Hausdorff-Besicovitch che è applicabile a qualunque oggetto frattale, anche di tipo statistico. Questa fornisce una visione più ampia e completa sul significato vero e proprio della dimensione frattale mentre la prima rappresenta un utile strumento di calcolo. 12 1.4 Oggetti Frattali 1.4 Oggetti Frattali In questa sezione saranno presentate alcune forme geometriche frattali ampiamente usate per lo studio delle proprietà delle corrispettive antenne frattali. Triangolo di Sierpinski o Sierpinski Gasket Fig 1.4.1: Triangolo di Sierpinski. Procedura per la costruzione geometrica: 1. Considerare un triangolo equilatero nel piano; 2. Rimuovere il triangolo centrale, i cui vertici sono posizionati nei punti medi dei lati del triangolo originale; 3. Si procede sui triangoli rimanenti rimuovendo ogni volta il triangolo ottenuto congiungendo i punti medi dei lati; 4. Il triangolo di Sierpinski è ottenuto iterando questo processo un numero infinito di volte; La figura che si ottiene ha area che è sempre 3/4 dell'area precedente. Quindi il frattale così ottenuto ha al limite area nulla. 13 1.4 Oggetti Frattali Curva di Koch o Curva a Fiocco di Neve Fig 1.4.2: Curva di Koch. Procedura per la costruzione geometrica: 1. Considerare un triangolo equilatero nel piano; 2. Si sostituisce il terzo centrale di ogni lato con due lati di un triangolo equilatero. In tal modo si ottengono per ogni lato quattro segmenti uguali; 3. Si ripete il passo due per ogni segmento; 4. La curva di Koch è ottenuta iterando questo processo un numero infinito di volte; Ad ogni tappa della sua costruzione aumenta la lunghezza totale nel rapporto di 4/3, quindi la cura di Koch ha una lunghezza infinita (proprio come una costa). 14 1.4 Oggetti Frattali Albero Frattale Deterministico Fig 1.4.3: Albero Frattale Deterministico. Procedura per la costruzione di un albero frattale deterministico con un generatore a tre rami: 1. Considero un segmento; 2. Costruisco un Generatore come insieme di tre segmenti aventi un punto in comune ed equispaziati angolarmente di un valore ' α '; 3. PRIMO STEP: Posiziono il Generatore avente determinata dimensione in un punto nel piano; 4. SECONDO STEP: Scalo il generatore di un fattore K e ne applico una copia su ogni estremità libera osservabile al primo step; 5. Itero i punti 3 e 4 un numero desiderato di volte; Albero Frattale Aleatorio Fig. 1.4.4: Albero Frattale Aleatorio. 15 1.4 Oggetti Frattali L'albero frattale aleatorio si costruisce nella stessa maniera di quello deterministico. La differenza principale risiede nel fatto che invece di usare un unico generatore se ne possono usare due o più i quali vengono selezionati casualmente durante il processo di costruzione. Curva di Hilbert o Peano-Hilbert Fig. 1.4.5: Curva di Hilbert. La curva di Peano-Hilbert è un esempio di curva frattale che riempe completamente lo spazio e che non ha punti di intersezione. Questa curva viene impiegata per il disegno di antenne frattali. In Fig.1.4.5 sono mostrati i primi quattro passi del processo di costruzione della curva. Notiamo che alla quarta iterazione si rende evidente la proprietà di riempimento dello spazio. Curva di Peano-Gosper Fig. 1.4.6 : Curva di Peano-Gosper. 16 1.4 Oggetti Frattali La curva di Peano-Gosper così come quella di Peano-Hilbert riempe completamente lo spazio e non si interseca in nessun punto con se stessa. Anche questa viene impiegata per il design di antenne frattali. In figura vengono mostrati i primi tre passi di costruzione della curva. Il generatore è mostrato come un segmento tratteggiato sovrapposto al generatore nella prima fase. La seconda fase è ottenuta sostituendo ognuno dei sette segmenti con una copia scalata di se stesso. Nella terza iterazione la proprietà di riempimento dello spazio comincia ad apparire più evidente. Piastrella a Fiocco di Neve Le piastrelle frattali rappresentano un'altra importante categoria di oggetti frattali che trovano applicazione in teoria e disegno delle antenne. Queste possono essere usate per ricoprire il piano senza osservare sovrapposizioni o intersezioni tra di esse. In figura le prime sei iterazioni: Fig. 1.4.7: Piastrella a fiocco di Neve. Isola di Gosper L'isola di Gosper è un altro esempio di piastrellamento e può essere usato per fornire una perfetta copertura del piano. La terminologia inglese rende molto bene il concetto associato a queste figure: “ no gaps or overlap between tiles ” 17 1.4 Oggetti Frattali Fig. 1.4.8 : Isola di Gosper. Esempi di copertura di piano con piastrellamento Fig. 1.4.9: Piastrellamento. Interpretazione della dimensione Frattale Si può osservare in modo molto approssimativo, che una figura la cui dimensione si situa tra 1 e 2 deve essere più affilata di una superficie ordinaria, pur essendo più ' corposa ' di una linea ordinaria. In particolare se si tratta di una curva dovrebbe avere una superficie nulla ma lunghezza infinita. Analogamente se la sua dimensione è compresa tra 2 e 3, dovrebbe avere un volume nullo. 18 1.5 Costruzione di un oggetto Frattale 1.5 Costruzione di un oggetto Frattale Vari tipi di insiemi frattali vengono costruiti mediante IFS (Iterated Function System), cioè applicando ad una qualunque geometria di partenza un'opportuna sequenza di contrazioni e ripetendo questo procedimento all'infinito. Questa iterazione produce insiemi autosomiglianti, le cui caratteristiche geometriche si ripropongono su differenti (eventualmente infinite) scale di grandezza decrescenti. Le IFS possono quindi essere viste come il linguaggio matematico dei frattali e rappresentano un strumento estremamente versatile per generare una grande varietà di strutture frattali. 1. Le IFS si basano su una collezione di contrazioni ottenute attraverso l'applicazione di una serie di trasformazioni affini ' w ' definite come: = ca db xy ef w x y o equivalentemente: w x , y = ax by e , cx dy f dove a, b, c, d, e, f sono sei numeri reali; 2. Date una geometria iniziale A e un insieme di trasformazioni w1,w2,w3, … ,wN siamo così in grado di generare una nuova geometria e combinare i risultati ottenuti nel seguente modo: N W A= ∪ w n A n=1 dove l'operatore ' W ' viene chiamato operatore di Hutchinson; 19 1.5 Costruzione di un oggetto Frattale 3. Una geometria frattale può essere ottenuta applicando l'operatore ' W ' in modo iterativo. Ad esempio se l'insieme A 0 rappresenta una geometria iniziale, il processo iterativo produrrebbe una sequenza dell'operatore di Hutchinson dato da: A 1=W(A0),A2=W(A1), … , Ak+1=W(Ak) ; Una IFS genera una sequenza che converge all'immagine finale A ∞ così che: W(A∞)=A∞. Questa immagine è chiamata Attrattore dell'IFS e rappresenta un punto fisso per ' W '. Procedura di generazione della curva di Koch La procedura iterativa IFS per generare una curva di Koch frattale è indicata nella Fig. 1.5.1: Fig. 1.5.1: Operatore di Hutchinson per la curva di Koch. In questo caso la geometria iniziale A 0 è il segmento di lunghezza unitaria così definito: A0 = { x : x ∈ [0,1] }. Vengono applicate quattro trasformazioni 20 1.5 Costruzione di un oggetto Frattale affini, per poi essere combinate tramite l'operatore di Hutchinson per formare la prima iterazione indicata da A 1. Versioni di ordine elevato della curva di Koch sono generate ripetendo tale processo fino raggiungimento della dimensione e della lunghezza desiderata. Nella seguente Fig. 1.5.2 vengono riportate le prime quattro iterazioni. Fig. 1.5.2 : Prime quattro iterazioni della curva di Koch. 21 al 2 Antenne Frattali 2.1 Antenne e Array Le antenne sono uno strumento utilizzato per inviare energia elettromagnetica nello spazio circostante e hanno caratteristiche diverse a seconda del tipo di servizio e di applicazione che devono supportare. Vediamo due casi: • Ponte Radio: le antenne sono fortemente direttive al fine di irradiare la maggior parte della potenza disponibile nella direzione del ricevitore che a sua volta deve essere in grado di raccogliere la maggior potenza possibile; • Sistemi d'Area: il trasmettitore dovrà essere in grado di raggiungere il ricevitore ovunque si trovi, ed il ricevitore dovrà essere in grado di ricevere il segnale da qualsiasi direzione provenga(esempio di copertura GPS, i ricevutori sono dotati di antenne emisferiche); Un'array è un insieme di antenne (aventi tutte la stessa geometria) alimentate in modo coerente, cioè da una singola sorgente che distribuisce la potenza alle singole antenne in modo uguale (array uniforme) o diverso. L'interferenza tra gli N elementi della schiera va a modificare il campo irradiato dal singolo elemento della schiera nella direzione (θ,φ) di un fattore pari a F(θ,φ). Il campo complessivo irradiato dall'antenna è uguale alla sovrapposizione dei campi irradiati dai singoli elementi. Per ottenere antenne molto direttive occorre 22 che i campi interferiscano 2.2 Elementi di Antenne Frattali costruttivamente nelle direzioni desiderate e distruttivamente in tutte le altre. 2.2 Elementi di Antenne Frattali Le antenne frattali individuano una famiglia di oggetti con potenziali possibilità di applicazione in elettromagnetismo. I vantaggi derivanti dall'utilizzo di geometrie frattali per la progettazione di antenne sono: • Miniaturizzazione (Fiocchi di Neve e Isole di Koch); • Banda Larga e Multi banda (Le strutture auto-similari del triangolo e del tappeto di Sierpinski); • Frequenze di risonanza più di basse; • Creazione di risonanze vicine in frequenza; In figura sono mostrate alcune delle geometrie usate: Fig. 2.2.1 : Geometrie usate per le Antenne. 23 2.2 Elementi di Antenne Frattali Per soddisfare contemporaneamente requisiti di miniaturizzazione e multibanda si usano antenne a monopolo e dipolo, progettate usando le curve di Koch e gli alberi frattali. Antenne dipolo ad albero frattale 3D Fig. 2.2.2. : Primi quattro stadi di un'antenna ad albero frattale 3D con generatore a quattro rami. 1. Gianvittorio e Rahmat-Samii studiano una serie di antenne a dipolo che utilizzano strutture ad albero frattale 3D. Questi insiemi di antenne, illustrate in Fig. 2.2.2, hanno fornito i seguenti risultati: • frequenze di risonanza più basse rispetto quelle di un classico dipolo di paragonabile lunghezza; • larghezza di banda e guadagno pressoché invariato rispetto ad un dipolo di lunghezza paragonabile; 24 2.2 Elementi di Antenne Frattali 2. Petko e Werner effettuano ulteriori indagini sulle prestazioni di vari dipoli ad albero frattale 3-D, dalle quali scaturisce che: • esiste un legame di proporzionalità inversa tra la densità dei rami dell'albero e la frequenza di risonanza. Si osserva uno spostamento in frequenza verso il basso all'aumentare della densità della struttura e uno spostamento in frequenza verso l'alto al diminuire della densità della struttura; • esiste un legame di proporzionalità diretta tra gli angoli di elevazione dei rami del generatore e il ROS (Rapporto D'onda Stazionaria). Le antenne con piccoli angoli di elevazione hanno un ROS basso, ma una più alta frequenza di risonanza rispetto a quelli con grandi angoli di elevazione; In Fig. 2.2.3 viene disegnato il valore del ROS (o VSWR) in funzione della frequenza di risonanza parametrizzato con l'angolo di elevazione dei rami. Fig. 2.2.3 : ROS in funzione della frequenza di risonanza parametrizzata con l'angolo di elevazione dei rami. 25 2.2 Elementi di Antenne Frattali La frequenza di risonanza diminuisce fino a raggiungere un minimo corrispondente a strutture aventi angoli di elevazione pari a 50°. Angoli di elevazione maggiori di 50° non sono ottimali perché sia la frequenza di risonanza che il ROS aumentano con l'aumentare dell'angolo di elevazione. La conoscenza di questi andamenti è stata utilizzata al fine di rendere più efficienti e miniaturizzare dipoli ad albero frattale. Ad esempio, è stato creato un generatore avente sei rami con due angolazioni di 30° e 50°. La Fig 2.2.4 illustra la geometria dei carichi finali per le prime tre iterazioni. Fig. 2.2.4 : Prime tre fasi di un albero frattale 3D con generatore a sei rami e angoli di elevazione pari a 30°e 50°. Nella Fig. 2.2.5, sono confrontate le proprietà di riflessione, S11 e ROS, delle antenne studiate in “Gianvittorio e Rahmat-Samii“ con quelle studiate in “Petko e Werner“ Fig. 2.2.5: Andamento di S11 26 2.2 Elementi di Antenne Frattali Nella seconda iterazione, l'antenna a sei rami con angolazioni 30°/50°, ha una frequenza di risonanza di 920 Mhz, identica alla frequenza di risonanza della terza iterazione dell'antenna ad albero frattale a quattro rami. La frequenza di risonanza per la terza iterazione, è 790 MHz. Questa risonanza avviene ad una frequenza inferiore del 57% di quella di un equivalente antenna a dipolo euclidea la cui risonanza ha valore 1820MHz, ed è 70 Mhz inferiore alla quarta iterazione dell'antenna ad albero frattale a quattro rami. Vantaggi di una geometria ad albero frattale Uno dei vantaggi principali di un'antenna a dipolo con una geometria ad albero frattale è evidente quando sono incorporati in tutta la struttura di carico risonatori LC o switch RF. I risonatori e gli interruttori sono spesso utilizzati per fare le antenne convenzionali multibanda e riconfigurabili; tuttavia, in strutture convenzionali, è difficile creare risonanze che siano vicine le une alle altre in frequenza. Questa difficoltà si pone innanzitutto poiché per ottenere questo tipo di comportamento, i carichi reattivi e gli switch dovrebbero essere posizionati in prossimità fisica tra loro e l'antenna. Inoltre, i carichi reattivi e gli switch sono generalmente distribuiti in serie lungo l'antenna, e ciò può aumentare le perdite associate all'utilizzo di questi dispositivi. Avendo a disposizione un carico ad albero frattale, questi problemi sono notevolmente ridotti poiché i carichi reattivi e gli switch possono essere distribuiti in tutta la struttura frattale, posizionandoli in una 27 2.2 Elementi di Antenne Frattali configurazione in parallelo e separando la distanza fisica richiesta tra loro. Il posizionamento dei carichi reattivi e degli switch discrimina: • frequenza di funzionamento; • dimensione della geometria di carico; Caso di Studio Consideriamo il caso in cui i commutatori RF vengano posizionati strategicamente in tutto il fine-carico di una terza fase, per renderla riconfigurabile (sintonizzabile) su una larghezza di banda del 68%. Nel progetto si utilizzano 102 interruttori individuali posizionati in ciascuna estremità del carico dell'antenna, come mostrato nella Fig. 2.2.6, al fine di produrre 20 stati riconfigurabili. Fig. 2.2.6 : Layout per antenna ad albero frattale riconfigurabile con sei rami. L'antenna a dipolo risultante è risultata riconfigurabile: • da 770 MHz a 1570 MHz con una larghezza di banda di 800 Mhz e 28 2.2 Elementi di Antenne Frattali con un ROS sotto 3: 1; • da 970 MHz a 1.570 MHz con una larghezza di banda di 560 MHz con un ROS sotto 2: 1; Inoltre, poiché il progetto utilizza i carichi finali ad albero frattale, la risonanza più bassa di questa antenna avviene ad una frequenza del 57 % inferiore a quella di un dipolo lineare convenzionale di lunghezza equivalente. Nella Fig. 2.2.7 ciascuno dei 20 stati riconfigurabili è rappresentato da un separata curva S 11 (indicata dalle linee grigio chiaro) con la frequenza di risonanza più bassa rappresentata dallo stato con tutti gli interruttori chiusi e la massima frequenza di risonanza rappresentata dallo stato con tutti gli interruttori aperti. Gli stati rimanenti vengono raggiunti con una progressiva apertura degli switch dall'alto verso il basso. Inoltre, l'antenna opera efficacemente per tre degli stati riconfigurabili le cui curve S11 sono indicate sul grafico da spesse linee grigio scuro. La linea continua in nero rappresenta il valore minimo assumibile dal parametro S11 e sul quale l' antenna può essere configurata per una particolare frequenza dell'intera gamma di funzionamento dell'antenna. Fig 2.2.7 : Andamento di S in funzione della frequenza per un albero riconfigurabile con 20 stati. 29 2.3 Algoritmi Genetici 2.3 Algoritmi Genetici Gli Algoritmi Genetici riproducono il processo evolutivo della specie umana. Sono usati per risolvere problemi di ricerca e ottimizzazione. Un algoritmo genetico è uno strumento di progettazione che ottimizza un problema a livello globale utilizzando le nozioni darwiniane della selezione naturale e della sopravvivenza del più forte: • considerano una popolazione di cromosomi (individui) che rappresentano soluzioni possibili per un certo problema; • la qualità di un individuo (cioè quanto è buona la soluzione per il problema) è misurata mediante una funzione di fitness. In un certo senso, la funzione di fitness indica l’adattabilità all’ambiente: gli individui che meglio si adattano (‘fit’) hanno più probabilità di riprodursi e di trasmettere i propri geni alle generazioni future; • un GA è una procedura di ricerca iterativa il cui scopo è l’ottimizzazione della funzione di fitness, cioè la ricerca di individui che si adattano meglio; • partendo da una popolazione iniziale, un GA produce nuove generazioni che contengono (di solito) individui migliori delle precedenti: l’algoritmo evolve verso l’ottimo globale della funzione di fitness; In realtà, non è garantito che un GA trovi una soluzione ottima globale; un GA è in grado di trovare soluzioni buone in tempi ragionevoli. I più importanti operatori di ricerca sono: • ricombinazione ( Crossover ); 30 2.4 Array di Antenne Frattali • mutazione; Osserviamo inoltre che i GA sono procedure di massimizzazione, quindi valori di fitness più alti sono associati ad individui migliori. 2.4 Antenne a schiera (o Array) con Geometria Frattale I vantaggi dei frattali sono più evidenti quando queste forme vengono usate come elementi di geometrie più grandi, le antenne a schiera o array. Si distinguono fondamentalmente due tipologie di array frattali: • • array frattali deterministici (Possiedono bassi lobi laterali); array frattali casuali (Ampio Range di Larghezza di Banda); Gli array Frattali offrono proprietà radiative non riscontrate in array convenzionali. Una prima caratteristica è avere il livello dei lobi laterali più basso rispetto alle controparti omologhe basate su convenzionali geometrie euclidee. Inoltre il fatto che queste geometrie possano essere costruite in modo iterativo è sfruttato al fine di sviluppare rapidi algoritmi per la computazione di efficienti pattern di radiazione. Puente e Pous sviluppano tecniche di sintesi di array lineari con caratteristiche di radiazione multibanda. Werner et Al sviluppano tecniche di sintesi di diagrammi di radiazione per la progettazione di array multibanda (lineari e planari) riconfigurabili. 31 2.4 Array di Antenne Frattali Processo di costruzione di un array random Una struttura frattale random viene costruita applicando ad ogni iterazione un generatore selezionato in modo casuale da un insieme di più generatori. Vengono così costruite configurazioni di array che sono da qualche parte completamente ordinate (cioè, periodiche) e da qualche parte completamente disordinate (cioè, casuali). Un esempio di un layout di un array frattale random è mostrato in Fig. 2.4.1. Fig. 2.4.1: Array casuale. Il principale vantaggio di questa tecnica è di produrre array che: • possiedono un livello dei lobi laterali relativamente basso, caratteristica indicativa di array periodici; • hanno una gamma di larghezze di banda paragonabile ad array casuali; 32 2.4 Array di Antenne Frattali Processo di costruzione di un array Polifrattale Per costruire un array polifrattale, bisogna prima modificare la tecnica IFS introdotta nella Sezione 1.5 al fine di poter gestire più generatori. Gli array polifrattali sono costruiti a partire da: • un insieme di generatori 1,2, ..., M, ciascuno dei quali ha un corrispondente operatore Hutchinson W1, W2, …, WM; • ogni operatore di Hutchinson W m a sua volta contiene Nm trasformazioni lineari affini ωm,1, ωm,2, …, ωm,N; • le trasformazioni affini ωm,n sono semplificate e invece di essere rappresentate con i sei parametri nel paragrafo 1.5 vengono ridotti a tre parametri locali rm,n, ϕm,n, ψm,n , e un parametro globale di scala sf , ottenendo: ss cossinϕϕ ωm , n x = y f ψ m , n −s f sin ϕ m ,nψ m , n s f cos ϕ m ,n ψ m , n m , nψ m , n m ,n f x r m ,n cos ϕ m , n y r m ,n sin ϕm , n Eq. 2.2.1 Oltre a questi tre parametri locali, un quarto parametro locale km, n, è associato ad ogni trasformazione lineare affine. Questo parametro, detto fattore di collegamento, è un valore intero compreso tra 1 e M e rappresenta il numero di generatori utilizzati per costruire l'array polifrattale. In questa G-IFS ( Generalized – Iterated Function System ), l'operatore di Hutchinson, Wm, viene utilizzato per costruire il livello 'L + 1' dell'array polifrattale a partire da un insieme 'L' di array polifrattali FL : • ad ogni livello 'L' dell'array polifrattale viene eseguito un insieme di trasformazioni lineari affini alle quali è associato il fattore di 33 2.4 Array di Antenne Frattali collegamento km, n relativo al particolare generatore utilizzato; • poiché il fattore di collegamento dice come sono applicate le trasformazioni affini, allora solo un'unica geometria polifrattale può essere associata ad ogni operatore di Hutchinson; • l'insieme dei livelli 'L' dell' array polifrattale, FL, può essere espresso dalla notazione: F L = {F L ,1 , F L ,2 ,. .. , F L , M } Eq.2.2.2 dove il primo indice definisce il livello dell'array polifrattale e il secondo indice definisce il generatore impiegato a quel livello; Un'array polifrattale al livello 'L + 1' è definito quindi dalla seguente scrittura: Eq. 2.2.3 Dopo aver formato la struttura polifrattale, la struttura complessiva è regolata da un ulteriore parametro globale di scala Sg, ottenendo quindi per il livello 'L': Eq.2.2.4 34 2.4 Array di Antenne Frattali Fig. 2.4.2: Elementi di Antenna mostrati sui rami più alti. I numeri sopra i rami sono i fattori di collegamento. Questo processo è illustrato per un'array polifrattale lineare in Fig. 2.4.2 utilizzando l'albero frattale come analogia. In questa figura, i numeri che rappresentano i fattori di collegamento sono fissati all'estremità dei rami del generatore. I rami che finiscono con il numero 1 hanno il generatore 1 collegato alla loro estremità. Allo stesso modo, i rami che terminano con il numero 2 hanno il generatore 2 collegato alla loro estremità. Le estremità dei rami più alti rappresentano le posizioni degli elementi di antenna. Modello moltiplicativo per il beamforming di array frattali (i sub-array sono orientati nella stessa direzione) – Ipotesi di applicazione del modello moltiplicativo: i sub-array devono avere lo stesso modello di radiazione e devono essere orientati nella stessa direzione. Gli algoritmi ricorsivi per la formazione del fascio possono essere creati 35 2.4 Array di Antenne Frattali sia per i frattali che per gli array polifrattali e sono basati su un modello di approccio di tipo moltiplicativo, cioè il diagramma di radiazione di un'array frattale ad una livello ' L ' si ottiene moltiplicando il diagramma di radiazione del sotto-array frattale al livello ' L - 1 ' per il fattore di array appropriatamente scalato del generatore. Un'equazione che esprime al livello ' L ' il diagramma di radiazione del sotto-array frattale, FRLl, è derivata utilizzando la trasformazione di similitudine wn e si basa sull' Eq. 2.2.1, utilizzando i parametri locali, rn, ϕn, ψn e i parametri di scala Sg e Sf. Per eseguire il modello moltiplicativo, tutti i diagrammi di radiazione dei sotto-array devono essere identici e orientati nella stessa direzione. Quindi, è necessario che la somma di ϕm e ψm sia pari ad un multiplo di 2π, rendendo gli assi di simmetria del sotto-array paralleli. Allora l'equazione che si riferisce alla forma del fascio può essere scritta come: Eq.2.2.5 Utilizzando una sorgente isotropica come modello iniziale di radiazione di un sotto-array, la stadio finale L del fattore di array può essere scritto come: Eq.2.2.6 dove = 1 Sf e S = sg s f L−1 . In genere, i valori di rn sono scalati tali che S può essere impostata uguale a uno. 36 2.4 Array di Antenne Frattali Modello moltiplicativo per il beamforming di array polifrattali (i sottoarray non sono orientati nella stessa direzione) Quando i sotto-array non necessariamente puntano nella stessa direzione l'espressione risultante sarà del tipo: Eq.2.2.7 Il diagramma di radiazione finale: 1. può essere determinato utilizzando fonti isotrope per i diagrammi di radiazione del sotto-array iniziale; 2. può essere determinato applicando ricorsivamente l'espressione fino allo stadio L del modello di radiazione voluto; Nella Fig.2.4.3 viene mostrato un esempio che illustra questo processo per l'array della Fig. 2.4.2. Fig. 2.4.3: Formazione del fascio con algoritmo ricorsivo. La formazione del fascio in modo ricorsivo può essere sfruttata per 37 2.4 Array di Antenne Frattali accelerare la convergenza dell'algoritmo genetico (GA): • Generalizzazione dell'algoritmo genetico di routine con crossover per array polifrattali di varie dimensioni: questo processo combina essenzialmente varie trasformazioni lineari affini di ogni array genitore ed esegue crossover a questo livello. Le trasformazioni risultanti sono poi combinate negli array figli; • Generalizzazione dell'algoritmo genetico di routine con mutazione per array polifrattali di varie dimensioni: la mutazione genetica consiste tipicamente nella modifica di un singolo parametro che può essere eseguita sia su qualsiasi parametro globale che su qualsiasi trasformazione. Inoltre, la mutazione può anche rimuovere o aggiungere un gene ad un generatore e può essere utilizzata per commutare l'ordine dei generatori; Processo Generatore Autopolyploidization (Espansione del numero di generatori) Quando per una popolazione di array polifrattali l'ottimizzazione sembra raggiungere convergenza prematura può essere usato un unico processo di mutazione per stimolare l'evoluzione del processo, chiamato generatore autopolyploidization. Il processo generatore autopolyploidization divide ogni generatore frattale casuale in due parti uguali. I fattori di collegamento utilizzati per selezionare il generatore precedente vengono divisi uniformemente per scegliere tra i due nuovi generatori. In questo modo gli array sono esattamente gli stessi ma sono descritti utilizzando il doppio del numero di parametri locali, aggiungendo così nuova flessibilità per l'evoluzione 38 2.4 Array di Antenne Frattali genetica. Dopo la duplicazione del generatore, ogni parametro cromosoma è mutato di una piccola quantità attraverso un processo di perturbazione che aggiunge un grado di diversità genetica alla popolazione e che è d'aiuto alla generale procedura evolutiva. La popolazione è così pronta per un altro periodo, o epoca, di evoluzione genetica. Un esempio di questo processo generatore autopolyploidy è illustrato nella Fig. 2.4.4 per la trasformazione di un unico generatore array frattale in due generatori array polifrattali. Fig.2.4.4: Processo Generatore Autopolyploidization. Al generatore autopolyploidization può essere applicato il processo di ottimizzazione. Inizialmente, l'algoritmo genetico è utilizzato per far evolvere soluzioni semplici costituite da un piccolo numero di generatori. Il numero limitato di generatori limita l'iniziale geometria dell'antenna ad una piccola area di ricerca. L'ottimizzazione sfrutta questo breve tempo di valutazione fino a che la convergenza è raggiunta. A questo punto l'algoritmo non potendo ottenere ulteriore miglioramento richiama 39 il processo generatore 2.4 Array di Antenne Frattali autopolyploidization per espandere il numero di generatori. Questa espansione ha per contro l' aumento del tempo di valutazione, ma il processo di ottimizzazione ha ora una buona idea di dove cercare soluzioni più complesse basate sui disegni più semplici trovati durante l'epoca precedente. Contrariamente, se l'algoritmo genetico iniziasse ottimizzando soluzioni più complesse richiedere molto più tempo per valutare ogni array. Questo ciclo di autopolyploidization può essere ripetuto più volte, producendo più e più soluzioni complesse per ogni epoca di ottimizzazione. Se il progresso evolutivo fosse riassunto per ogni generazione, il diagramma risultante mostrerebbe un pattern a scalini. Esempio: Metodologia di progettazione GA per l'evoluzione di un allineamento polifrattale lineare ottimo, uniformemente eccitato. Si consideri un array con N-elementi. In questo caso, una popolazione iniziale è ottimizzata per minimizzare il livello di picco dei lobi laterali e mantenere una stretta apertura del fascio per un'array polifrattale avente spaziatura minima tra elementi di 0,5λ. La popolazione iniziale si basa su 2401 elementi. Il processo di ottimizzazione è diviso in tre epoche evolutive. 40 2.4 Array di Antenne Frattali Fig. 2.4.5: Diagramma di evoluzione. Lo schema evolutivo, mostrato nella Fig. 2.4.5, presenta il caratteristico modello a scala risultante dalle tre operazioni del generatore autopoliploidi: • la prima epoca, gli array polifrattali hanno due generatori. Questa epoca finisce alla generazione 217; • la seconda poca, gli array polifrattali hanno quattro generatori e termina 200 generazioni dopo; • la terza epoca iniza con ogni array polifrattale avente otto generatori; Il progetto finale con 1616 elementi è stato trovato dopo 700 generazioni e ha un livello di sidelobe -24,30 dB e apertura del fascio a 3 dB di 0,056 °. L'algoritmo ricorsivo per la formazione del fascio mediamente ha calcolato diagrammi di radiazione: • 20 volte più veloce per array con due generatori; • 15 volte più veloce per gli array con quattro generatori; • 10 volte più veloce per gli array con otto generatori; rispetto ad un convenzionale approccio con DFT. 41 2.4 Array di Antenne Frattali La Tabella 2.4.1 riassume questi aumenti di velocità per ogni epoca. Tabella 2.4.1: Numero di Generatori e Valutazione della velocità di incremento. Nella Tab. 2.4.2 vengono inoltre riassunti i valori di prestazione dell'antenna, in Fig. 2.4.6 sono mostrati i grafici dell'AF e in Fig.2.4.7 la disposizione geometrica dell'array. Tab. 2.4.2: Proprietà dell'Array polifrattale ottimizzato con GA alla generazione 700 con 1616 elementi. Fig. 2.4.6: Diagramma di radiazione per un array polifrattale ottimizzato con GA alla 700 generazione con 1616 elementi. Fig. 2.4.7: Layout di un array polifrattale ottimizzato da 1616 elementi. Altri problemi di progettazione complessi possono avere criteri diversi da ottimizzare. In questi casi, è opportuno confrontare le soluzioni che si trovano sul fronte di Pareto. Diverse sono le tipologie di AG sviluppate per la ricerca di questo fronte di Pareto. 42 2.4 Array di Antenne Frattali Fronte di Pareto L'Analisi di Pareto è una metodologia statistica utilizzata per individuare i problemi più rilevanti nella situazione in esame e quindi le priorità di intervento. Il fronte di Pareto è un insieme di soluzioni ottime, ovvero è costituito da tutti i punti non dominati, cioè da quei punti per i quali non esiste nessun punto che sia migliore contemporaneamente per tutti gli obiettivi considerati nella funzione di ottimizzazione. 43 2.5 Piastrellamenti Aperiodici 2.5 Piastrellamenti aperiodici Questo paragrafo è dedicato alle metodologie di progettazione per antenne a schiera che si basano sul piastrellamento frattale e aperiodico. Questa tecnica ha trovato applicazioni in molti campi, come la cristallografia, la biologia, e la teoria della comunicazione e recentemente è stata applicata con successo anche all'elettromagnetismo. Fig.2.5.1: Piastrella Frattale La particolare geometria di questi oggetti è sfruttata per generare array di antenne che mostrano bassi livelli di lobi laterali quando le minime distanze tra gli elementi sono di almeno una lunghezza d'onda. Inoltre, è stato dimostrato che robusti schemi di perturbazione con GA possono essere utilizzati per migliorare notevolmente le prestazioni di questi array. Array Frattile Un'array frattile (cioè con piastrella frattale) è definito come un array composto da un affiancamento di sotto-array autosimilari il quale: Per • ha confini frattali; • ricopre il piano o una sua porzione senza sovrapposizioni o lacune; array sufficientemente grandi, sfruttando la proprietà di autosimilarità si può sviluppare una procedura iterativa per il calcolo del campo lontano più veloce rispetto all'utilizzo di una DFT. 44 2.5 Piastrellamenti Aperiodici Peano-Gosper Fractile Array (PGFA) Un tipo specifico di array frattile, ampiamente discusso in letteratura, è basato sulla famiglia di curve di Peano-Gosper ed è noto come array frattile Peano-Gosper (PGFA). Gli elementi dell'array sono uniformemente distribuiti lungo una curva Peano-Gosper, che porta a una configurazione planare con geometria esagonale delimitata da un perimetro frattale di Koch. Il confine frattale di Koch e il suo interno formano un'isola Gosper che può essere utilizzata per ricoprire il piano. Il PGFA può essere costruito iterativamente a qualsiasi livello usando un insieme di formule per lo spostamento, ridimensionamento e rotazione della matrice di generazione definita nella fase iniziale. Werner et al e Bogard et al sfruttano queste proprietà per sviluppare una metodologia di progetto per gli array deterministici aventi differenti proprietà desiderabili, tra cui: • una distribuzione di corrente uniforme; • bassi livelli dei lobi laterali; • ampia larghezza di banda; • architettura modulare; • capacità di eseguire una rapida formazione del fascio; Poiché i PGFA posseggono un confine frattale, i livelli dei lobi laterali sono inferiori a quelli di una matrice rettangolare di dimensione equivalente con una griglia di elementi esagonali al suo interno. La Fig.2.5.2 mostra un confronto tra l'AF di un array rettangolare-esagonale con 352 elementi, un PGFA con 344 elementi, e una Square-Periodic con 361 elementi (19x19). 45 2.5 Piastrellamenti Aperiodici Fig. 2.5.2: Confronto tra l'AF di PGFA, Array Rettangolare con piastrelle esagonali e squareperiodic. Tutti gli elementi dell'array hanno un'eccitazione uniforme e una minima spaziatura di una lunghezza d'onda. Con questa distanza la PGFA presenta complessivamente lobi inferiori rispetto allo Square-Periodic e al rettangolo-esagonale. Eliminazione dei lobi laterali dovuti alla griglia Nella progettazione di un'array bisogna fare attenzione a garantire che non appaiano lobi dovuti al reticolo quando il fascio principale è allontanato dal broadside. In Bogard e Werner e in Bogard e al viene dimostrata una tecnica GA utilizzabile per perturbare le posizioni degli 46 2.5 Piastrellamenti Aperiodici elementi in modo ottimale per la struttura interna del PGFA. Questa procedura comporta un'architettura phased array modulare o piastrelle che abbiano: • un contorno frattale; • una disposizione aperiodica degli elementi al suo interno; Ad ogni livello di progettazione, l'array mantiene la sua caratteristica di banda larga all'interno di un volume di scansione specificato. Esempi di posizionamento di elementi con algoritmi genetici lungo la curva di Peano-Gosper sono mostrati nella Fig. 2.5.3. Indichiamo con il simbolo '+' le posizioni degli elementi uniformemente spaziati e con 'o' la posizione degli elementi perturbati con GA. Fig 2.5.3: Distribuzione di elementi a due livelli differenti di progetto di un PGFA. In Bogard et Werner e in Bogard et al viene studiato e ottimizzato con GA un PGFA prefrattale arrestato al terzo livello di costruzione e le sue prestazioni vengono confrontate con quelle di un PGFA uniforme. L'array ha una spaziatura iniziale tra elementi di 2λ e viene ottimizzato per la 47 2.5 Piastrellamenti Aperiodici scansione fino ad un massimo di θ = 30°. La Fig. 2.5.4 mostra che nell'AF del PGFA uniforme è presente un lobo dovuto al reticolo mentre i PGFA ottimizzati con GA hanno completa soppressione dei lobi reticolari nello stesso intervallo di scansione. Fig. 2.5.4: (a) AF di un PGFA uniforme (b) AF un PGFA perturbato con GA. Array Aperiodici A differenza degli array con piastrelle frattali, che consistono in un insieme di elementi posizionati a distanza uniforme l'uno dall'altro lungo una curva e che riempiono lo spazio (ad esempio una curva PeanoGosper), gli array aperiodici sono costituiti da elementi che si trovano ai vertici di un reticolo aperiodico di piastrelle. Array siffatti tendono ad avere strutture geometriche che posseggono un ordine locale e una simmetria di rotazione, ma sono privi di qualsiasi simmetria traslazionale. Un comune metodo che viene utilizzato per generare questi piastrellamenti si basa su un processo di decomposizione simile in alcuni casi alle tecniche IFS utilizzate per generare geometrie di frattali. Nel processo, le piastrelle vengono scomposte in una collezione di 48 2.5 Piastrellamenti Aperiodici piastrelle più piccole, copie scalate delle piastrelle originali o di altre tessere. Questo processo iterativo continua fino a quando si crea una grande piastrella. Le tessere di Danzer Le tessere di Danzer sono un esempio di piastrellamento aperiodico che può essere utilizzato per generare schiere di antenne planari a banda larga e con bassi lobi laterali . Le tessere di Danzer comprendono una collezione di tre specifiche forme-base triangolari. Il piastrellamento ha luogo coprendo il piano con i triangoli purchè questi mantengano regole di corrispondenza specifiche. È mostrata una porzione di una piastrellatura Danzer in Fig. 2.5.5 insieme con le sue forme-base. Fig. 2.5.5: Regione troncata di un piastrellamento Danzer e le sue tre forme-base. Un esempio di un array basato su piastrelle-Danzer è mostrato in Fig.2.5.6. 49 2.5 Piastrellamenti Aperiodici Fig. 2.5.6: Geometria iniziale di un array Danzer. Il livello di picco dei lobi laterali in funzione della spaziatura minima tra elementi espresa in termini di lunghezze d'onda è mostrato nella Fig2.5.7 Fig. 2.5.7: Comparazione di grafici relativi ai lobi laterali per tre configurazioni di array diverse. Tutti gli array hanno un'apertura circolare con raggio di 12λ e una distanza minima tra elementi d = 0.5λ alla più bassa frequenza operativa. 50 2.5 Piastrellamenti Aperiodici Le piastrelle per l'array : • sono state scalate in modo che le sue dimensioni fisiche corrispondano ad una distanza minima tra gli elementi di d = • λ 2 in relazione alla frequenza operativa prevista più bassa; sono state troncate per avere una apertura circolare con 12 λ di raggio; Inoltre nella Fig.2.5.7, le prestazioni dell'array Danzer sono confrontate rispetto ad un'array periodico convenzionale avente la stessa apertura circolare e spaziatura tra elementi. E' chiaro che l'array Danzer supera l'array periodico in termini di soppressione dei lobi reticolari per grandi distanze tra elementi. Inoltre, per rientrare nella stessa dimensione di apertura, la matrice periodica convenzionale richiede circa 1.793 elementi, mentre l'array di Danzer ne richiede solo 811. Questa classe di array è candidata per essere utilizzata come riferimento in vari progetti di antenne. Metodo dei Punti di Perturbazione Questa tecnica prevede l'aggiunta di un punto all'interno della piastrella di riferimento. Il processo risultante è la formazione di un piastrellamento aperiodico che contiene un ulteriore punto all'interno di ciascuna piastrella. L'array può essere ulteriormente: • scalata per avere una determinata spaziatura minima tra elementi; • tagliata per adattarsi all'interno di un area desiderata; 51 2.5 Piastrellamenti Aperiodici Regolando la posizione del punto all'interno di ogni tassello di base, è possibile variare notevolmente le proprietà di radiazione dell'array aperiodico. Una tecnica di ottimizzazione basata su GA è stata combinata con una tecnica di perturbazione al fine di progettare una matrice Danzer avente livelli dei lobi laterali più bassi possibili, come d = 5 . Il GA è stato λ usato solo per ottimizzare le coordinate planari dei tre punti perturbazione aggiuntivi, come illustrato nella Fig.2.5.8 Fig. 2.5.8: (a) Punti di perturbazione per le piastrelle base (b) Esempio di piastrellamento Danzer troncato con posizionamento di punti di perturbazione. Durante l'ottimizzazione, tutti gli array generati sono stati scalati per avere una minima distanza tra elementi di λ/2 e sono stati troncati per avere un'apertura circolare con un raggio di 12λ alla più bassa frequenza operativa. La piastrella di base per l'ottimizzazione è la stessa utilizzata per la formazione dell'array mostrato nella Fig.2.5.6. 52 2.5 Piastrellamenti Aperiodici Il disegno derivante da questo processo di ottimizzazione è mostrato in Fig. 2.5.9 e presenta un diagramma di radiazione normalizzato con un massimo livello dei lobi laterali di -10,05 dB e una frequenza spaziale normalizzata corrispondente a d/λ= 5. Il massimo livello dei lobi laterali in funzione della frequenza per l'array è mostrato in Fig.2.5.7. Per questo particolare esempio, il semplice schema di perturbazione è in grado di estendere notevolmente la larghezza di banda della matrice base di Danzer. Fig.2.5.9: Geometria di un Array Danzer ottimizzata con GA. 53 Bibliografia Bibliografia [1] Antenna Engineering HandBook, Capitolo 33 Fractal Antennas, Douglas H. Werner, Joshua S. Petko, Thomas G. Spence [2] Sito web: www.frattali.it [3] Sito web: www.miorelli.net 54