DINAMICA NELLE ACQUE SOTTERRANEE: ADVECTION SU

DINAMICA NELLE ACQUE SOTTERRANEE:
ADVECTION SU SCALA LOCALE
E DISPERSIONE IDRODINAMICA
Acque sotterranee: la tipica stratificazione
- Zona insatura (o “zona vadosa”, vadose zone)
- Zona satura di acqua
- Falde acquifere (o “acquifero”, aquifer)
- Rocce e materiali impenetrabili all’acqua (aquitard)
Definizioni
Con riferimento ad un volume di campione di terreno:
pori/canali occupabili ad acqua/aria
volume libero
n :=
volume totale
porosità del materiale
volume di acqua
θ w :=
volume totale
frazione (volumetrica) di acqua
volume di aria
θ a :=
volume totale
frazione (volumetrica) di aria
θw + θa = n
θw = n
nella zona satura
Anche per la dinamica degli inquinanti trasportati dall’acqua nella
matrice del terreno si adotta (come visto per la dinamica nell’aria e nelle
acque superficiali) una equazione advection-dispersione:
- advection data dal flusso medio locale u (r, t ) dell’acqua nel punto r al
tempo t.
- la dispersione idrodinamica viene modellizzata come un processo di
tipo diffusivo con tre coefficienti efficaci (usiamo qui il pedice “h” per
hydrodynamic) che possono dipendere dal punto e variare nel tempo:
Dh, x (r, t ) , Dh , y (r, t ) , Dh, z (r, t ) .
 Dh, x (r, t )



Dh (r, t ) = 
Dh, y (r, t )


Dh, z (r, t ) 
La dispersione (rispetto al flusso medio) è principalmente di tipo
meccanico, ed è dovuta alla tortuosità del percorso del liquido nella
matrice del terreno (pori e canali di dimensioni diverse, ostacoli granulari
di varie forme e dimensioni).
A questo si aggiunge la diffusione molecolare (vera e propria) nel
liquido.
Complessivamente, l’evoluzione temporale della concentrazione di
inquinante in un punto r è descritta da
∂c(r, t )
= −∇ ⋅ [u (r , t )c(r , t ) ] + ∇ ⋅ Dh (r, t )∇c (r , t )
∂t
Eventuali fenomeni reattivi e/o di sink-source devono essere addizionati
(per il momento li escludiamo).
Attenzione: la concentrazione c(r, t ) è espressa in termini di quantità di
inquinante (es. massa) per unità di volume di terreno (cioè di spazio nel
quale la dinamica ha luogo).
Il primo passo è esplicitare il termine di advection, cioè determinare
l’evoluzione di u (r, t ) .
La zona satura (senza aria) e la zona insatura (con una frazione d’aria)
hanno una diversa resistenza al trasporto di acqua per advection.
Procediamo trattando separatamente l’advection nella zona satura e
nella zona insatura.
Advection nella zona satura (100% acqua, 0% aria)
Il moto di un elemento di acqua è determinato dalle seguenti forze:
• forza-peso dell’elemento stesso (gradiente del campo di energia
potenziale gravitazionale);
• carichi esterni/azioni esterne che producono modulazione della
pressione nei vari punti della superficie che racchiude l’elemento in
esame (gradiente del campo di pressione); ne risulta una forza netta agente
sull’elemento di acqua. Vari contributi alla pressione in ogni punto:
- peso della colonna di materiale sovrastante;
- depressioni per capillarità nei canali della matrice (nella zona insatura);
- azioni esterne quali pompaggio (estrazione) o immissione di acqua in
vari punti: fissano la pressione in tali punti.
[Data la bassa velocità di scorrimento dell’acqua nel sottosuolo, vengono
trascurate le forze di attrito che si oppongono al moto.]
I campi di energia potenziale e di pressione vengono “tradotti” in termini
di corrispondenti quote (carichi):
• carico di quota (elevation head) associato al campo gravitazionale: z
E’ direttamente la quota rispetto ad un arbitrario livello di riferimento (es.
il livello del mare).
• carico di pressione (pressure head): ψ (r, t )
[Nella zona insatura è detto anche potenziale di matrice (matric
potential)]. E’ una “quota efficace” che equivale alla pressione locale. Tale
quota dipende da tutte le coordinate del punto (non solo da z) e può variare
nel tempo dato che la pressione locale può cambiare.
z
aumenta
ψ
aumenta
In condizioni stazionarie, cioè se ψ (r, t ) ≡ ψ (r ) non varia nel tempo, per
misurare ψ (r ) si può inserire un tubo (aperto sopra) perpendicolarmente al
terreno fino al punto r; l’estremità inserita deve avere una membrana
permeabile solo all’acqua; l’acqua salirà nel tubo fino ad una altezza pari a
ψ (r ) .
La somma dei due contributi dà il carico idraulico (hydraulic head):
h(r, t ) := z + ψ (r, t )
Posso determinare la velocità media del fluido u (r, t ) (che serve per il
contributo di advection) dalla conoscenza del carico idraulico h(r, t ) ?
L’esperimento di Darcy
Consideriamo una linea di flusso media passante per un dato punto del
materiale saturo di acqua. Prendiamo una sezione ortogonale ad essa, di
area A⊥ , e misuriamo la portata volumetrica Q di acqua che passa
attraverso tale superficie.
Velocità di Darcy:
portata volumetrica dell'acqua Q
q :=
=
A⊥
sezione trasversale al flusso
Consideriamo uno spostamento (piccolo) ∆L nella direzione del flusso
medio e valutiamo la variazione di carico idrodinamico tra il punto finale
(2) e il punto di partenza (1) : ∆h = h2 − h1 .
Il rapporto ∆h / ∆L (un numero puro) è detto gradiente idraulico. Nella
direzione spontanea del moto h diminuisce, quindi ∆h / ∆L < 0 .
Se il regime di moto è laminare (bassi numeri di Reynolds,
indicativamente Re < 10), si verifica sperimentalmente che la velocità di
Darcy, q, è direttamente proporzionale al gradiente idraulico (preso in
valore assoluto).
E’ la legge di Darcy (1856):
∆h
q=K
∆L
con il fattore di proporzionalità
K = conducibilità idraulica (Hydraulic conductivity)
La dimensione fisica di K è L T-1 (tipicamente è espressa in cm/s o in
m/giorno).
K esprime la permeabilità del mezzo sotto un dato gradiente idraulico che
funge da forza-guida.
L’effettiva (vera) velocità media dell’acqua, u , è maggiore di q e si
calcola tenendo conto della porosità n del mezzo:
n :=
volume libero
volume totale
(porosità del mezzo)
Dato che l’acqua passa solo attraverso i pori, l’effettiva sezione trasversale
è A⊥ ridotta per il fattore n. Quindi si ha
portata volumetrica dell'acqua
Q
q
u=
=
=
sezione trasversale effettiva
n A⊥ n
K ∆h
u=
n ∆L
Osserviamo che la legge di Darcy è una relazione del tipo flusso-forza
in cui la forza è il gradiente idraulico [Ricordare, per analogia, la
relazione flusso-forza termodinamica vista nel contesto della diffusione
molecolare…].
La conducibilità idraulica quantifica la resistenza del sistema
complessivo (matrice + fluido) a “rispondere” dinamicamente a tale
forza.
K dipende da:
- proprietà del mezzo poroso (dimensione e impaccamento delle
particelle);
- proprietà del liquido che fluisce (elevata densità ρl incrementa il
trascinamento per gravità, bassa viscosità di shear η riduce l’attrito e
facilita lo scorrimento).
ρl g
K =k
η
k = permeabilità intrinseca del mezzo
Dimensione fisica L2 (tipicamente in cm2)
La permeabilità intrinseca esprime la capacità di un dato mezzo poroso di
lasciarsi attraversare da un qualsiasi fluido.
Empiricamente:
k = C d2
con C un “fattore di forma” (numero puro) dipendente dalla forma delle
particelle del mezzo e dall’impaccamento, e d il diametro medio delle
particelle.
In generale:
particelle di forma regolare,
piccole dimensioni,
alto impaccamento
(es. argille)
particelle di forma irregolare,
grandi dimensioni,
scarso impaccamento,
(es. ghiaia)
bassa k
elevata k
In termini di velocità
lineare, tipici valori
sono 1 m/anno (si arriva
a 10 m/anno per terreni
sabbiosi).
La dinamica è molto più
lenta rispetto a quella in
acque superficiali e in
aria!
In termini matematici, per piccoli ∆L il rapporto incrementale ∆h / ∆L è
una derivata parziale direzionale della funzione h fatta nella direzione del
flusso medio. Tenendo conto che h può anche dipendere dal tempo, la
relazione generale è quindi
K
u (r, t ) = − ∇h(r, t )
n
(*)
 ∂ / ∂x 
∇ = ∂ / ∂y 


∂
 / ∂z 
operatore
gradiente
Introducendo il versore uˆ (r , t ) che specifica direzione/verso del flusso medio
istantaneo, si verifica infatti che
u (r, t ) = uˆ (r, t ) ⋅ u(r, t ) = −
K
K ∂h K ∂h
uˆ (r, t ) ⋅ ∇h(r, t ) ≡ −
=
n
n ∂L n ∂L
Dalla conoscenza del campo h(r, t ) (valore in ogni punto al dato istante),
con la (*) posso determinare il campo di velocità attuale dell’acqua in ogni
punto della regione di controllo!
La relazione
u (r , t ) = −
stabilisce che:
K
∇h(r, t )
n
1) il flusso istantaneo dell’acqua è diretto da punti ad elevato h a punti a
più basso h;
2) il flusso è localmente perpendicolare alle superfici che congiungono
punti ad uguale valore di carico idraulico h (“superfici equipotenziali”).
(es. depressione creata da pompaggio in un
punto: “richiama” l’acqua circostante)
Problema: in generale le condizioni non sono stazionarie!
E’ necessario conoscere se/come h(r, t ) varia nel tempo: un cambio di
carico idraulico può modificare in modo rilevante lo scorrimento
dell’acqua sotterranea.
E’ la situazione comune, ad esempio se si studia la dinamica delle acque
sotterranee in seguito a pioggia intensa, o nel caso in cui si pompi acqua
dal sottosuolo.
Occorre costruire un’equazione che descriva l’evoluzione di h(r, t )
Consideriamo una celletta di volume ∆V e valutiamo il tasso di variazione
di volume d’acqua, ∆Vacqua / ∆t , all’interno di essa:
Consideriamo i flussi di acqua entranti/uscenti attraverso le facce della
celletta tenendo conto della porosità n del materiale:
∆Vacqua
∆t
= [u x ( x − ∆x / 2, y, z , t ) − u x ( x + ∆x / 2, y, z , t ) ] n ∆y∆z
+ u y ( x, y − ∆y / 2, z , t ) − u y ( x, y + ∆y / 2, z , t )  n ∆x∆z
+ [u z ( x, y, z − ∆z / 2, t ) − u z ( x, y, z + ∆z / 2, t ) ] n ∆x∆y
aree delle
superfici
effettivamente
offerte al flusso
di acqua
 u ( x − ∆x / 2, y, z, t ) − u x ( x + ∆x / 2, y, z, t ) 
=n x
∆x∆y∆z

∆x


 u y ( x, y − ∆y / 2, z , t ) − u y ( x, y + ∆y / 2, z, t ) 
+n 
 ∆y∆x∆z
y
∆


 u ( x, y, z − ∆z / 2, t ) − u z ( x, y, z + ∆z / 2, t ) 
+n  z
∆z ∆x∆y

∆z


rapporti incrementali
 ∂u x (r, t ) ∂u y (r, t ) ∂u z (r, t ) 
+
+
∆V = −∆V × n ∇ ⋅ u (r, t )
≃ −n 

∂y
∂z 
 ∂x
con ∇ ⋅ l’operatore divergenza.
Sostituendo al posto di u (r , t ) la relazione u (r, t ) = −
∆Vacqua
∆t
K
∇h(r, t ) si ha:
n
K
= ∆V × × n ∇ ⋅ ∇h(r, t ) = ∆V × K ∇ 2 h(r , t )
n
∂2
∂2
∂2
∇ ≡ ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
2
∆Vacqua
∆V ∆t
operatore Laplaciano
= K ∇ 2 h(r, t ) (§)
Per i terreni acquiferi nella regione satura si definisce il coefficiente di
specific storage (immagazzinamento specifico) del materiale poroso:
S s :=
∆Vacqua
∆V ∆h
(specific storage del mezzo)
Dato il materiale, Ss rappresenta la variazione del volume di acqua
immagazzinata al suo interno per unità di volume di materiale,
quando si applica un dislivello unitario di carico idraulico. E’
misurabile.
Si ricava che
∆Vacqua
∆h
∂h(r , t )
= Ss
≃ Ss
∆V ∆t
∆t
∂t
(§§)
dal rapporto incrementale
alla derivata
Uguagliando (§) e (§§) otteniamo l’equazione di evoluzione temporale
cercata:
∂h(r, t ) K 2
= ∇ h(r, t )
∂t
Ss
Il sistema di equazioni completo per h(r , t ) e u (r , t ) è il seguente:
 ∂h(r, t ) K 2
 ∂t = S ∇ h(r, t )
s

K
u (r, t ) = − ∇h(r, t )

n
equazione autonoma
per h(r, t )
La soluzione formale della prima equazione è semplice! [Basta notare che
ha la stessa forma della equazione di diffusione in un mezzo
omogeneo/isotropo, e ricordare il metodo di espansione in componenti di
Fourier…].
La difficoltà maggiore consiste nell’includere le condizioni al contorno
specifiche del caso che si sta trattando:
- specificare eventuali barriere confinanti e/o interfacce che consentono scambio di
acqua con altri comparti; le condizioni di questo tipo possono essere anche molto
complesse, ad esempio se sono presenti piante che assorbono acqua dal suolo e la
disperdono nell’aria (sono termini di sink);
- specificare le condizioni iniziali: il profilo h(r ,0) ;
- specificare l’eventuale controllo del carico idraulico, in determinati punti, da parte
di azioni esterne. Ad esempio, azioni di pompaggio di acqua da punti specifici
impongono una pressione locale specifica per garantire la portata di pompaggio
stabilita; ciò impone che h(r, t ) abbia un valore stabilito in certi punti e sia
controllato nel tempo.
Esempio di soluzione per un caso di interesse: pompaggio di acqua da
un aquifer ideale confinato verticalmente, di spessore b, ma di estensione
orizzontale infinita.
stato iniziale: carico
idraulico costante
in ogni punto
pozzo di monitoraggio a distanza r
b
Il pozzo: aspira a portata costante in modo
uniforme lungo tutta l’estensione dello
strato confinato
sezioni delle superfici
isopotenziali (stesso carico
idraulico): sono superfici
cilindriche concentriche: il
flusso medio di acqua è in
orizzontale, radiale ed
entrante nel pozzo…
La soluzione analitica del problema è dovuta a C. V. Theis [Trans. Amer.
Geophys. Union 16, 519 (1935)]:
h( r , t ) = h0 −
Qpompaggio
4π K b
× W ( r 2 S s / 4t )
Qpompaggio la portata volumetrica dell’acqua pompata, h0 il carico di
pressione molto lontano dal punto di pompaggio (è anche il valore in ogni
punto), e W ( x) la “funzione pozzo” (è la “funzione esponenziale
integrale”):
e− x '
W ( x) = ∫ dx '
x'
x
∞
per x > 0
Per tempi t abbastanza lunghi dall’inizio del pompaggio e distanze piccole
dal punto di pompaggio, una forma approssimata è
Qpompaggio
h( r , t ) = h0 +
×  0.5772 + ln( r 2 S s / 4t ) 
per r 2 S s / 4t < 0.1
4π K b
Vista dall’alto delle superfici equipotenziale (stesso carico idraulico):
h decrescente
Andando verso il centro la velocità
dell’acqua aumenta in quanto il gradiente
idraulico cresce…
vettori u a distanza fissa
dal centro (e ad un dato
istante)
h
“Cono di drawdown”
(ad un dato istante)
Spesso è importante riuscire a determinare in modo rapido (ma
approssimativo) la velocità di scorrimento dell’acqua, in un dato punto,
da poche misure dirette e senza fare calcoli complessi!
In condizioni stazionarie (carico idraulico h(r ) e velocità locale u (r )
che non variano nel tempo), per determinate la proiezione di u (r ) sul
piano orizzontale (xy) è sufficiente misurare il carico idraulico in 3 punti
nelle vicinanze del punto di interesse: è il “metodo dei tre punti”.
1) Misuro h1 , h2 , h3 in tre punti 1, 2 e 3 attorno al punto di interesse e posti alla
stessa quota (tutti giacenti sullo stesso piano orizzontale); i punti siano
etichettati in modo che h1 > h2 > h3 ;
2) Rappresento graficamente i tre punti (con le coordinate in scala effettiva);
3) Traccio la congiungente 1-3; assumo che il carico idraulico decresca
linearmente andando da 1 a 3 e colloco un punto “A” su tale congiungente in
corrispondenza del valore di h pari a h2;
4) Traccio la congiungente 2-A e la prolungo; considerando che h2 = h A , assumo
che su tale retta tutti i punti abbiano lo stesso carico idraulico: è una
approssimazione locale della intersezione della “superficie isopotenziale” (che
contiene il punto 2) con il piano xy; la proiezione di u sul piano xy è quindi
perpendicolare a tale retta e punta verso 3 (regione a basso carico idraulico);
5) Da 3 faccio partire la retta ortogonale alla congiungente 2-A; l’intersezione tra
le due rette dà il punto B;
6) Valuto la proiezione di u sul piano xy dal gradiente idraulico tra il punto B
(con hB = h2 noto) e il punto 3. Devo conoscere la conducibilità idraulica e la
porosità:
uorizz. nella regione tra 1, 2, 3 ≃
K h3 − h2 K h2 − h3
×
= ×
n
lB ,3
n
lB ,3
Per determinare la componente verticale della velocità media basta
misurare il gradiente idraulico in tale direzione, cioè valutare il carico
idraulico alla quota z e ad una quota z + ∆z :
1) lo scorrimento è nel verso della diminuzione di carico idraulico;
2) il modulo della componente verticale della velocità è pari a
K h( z + ∆z ) − h( z )
×
n
∆z
Esempio. Per determinare la velocità media orizzontale dell’acqua in un
punto di della regione satura in condizioni stazionarie, si è misurato il
carico idraulico in tre punti vicinali:
l1,3 = 2
40 m
=
l 1,2
0
11
h1 = 36.5 m
h2 = 35.0 m
h3 = 34.0 m
m
Noto che K = 10−6 m/s e che la porosità del terreno è n = 0.32 , determinare
direzione/verso/modulo della velocità media (sul piano orizzontale).
Colloco il punto A sull’asse 1-3 tale che hA = h2 (assumo decrescita lineare
l1, A
del carico idraulico andando da 1 verso 3):
h3 − h1
l1, A
l1,3
h −h 
 35 − 36.5 
= l1,3  A 1  = 240 m × 
 = 144 m
 34 − 36.5 
 h3 − h1 
hA = h1 +
⇒ l1, A
Traccio (graficamente) la retta che passa
per 2 e per A; traccio la retta che passa
per 3 e perpendicolare alla precedente;
individuo B e misuro direttamente la
lunghezza lB,3 . Poniamo che dal questa
costruzione risulti 85 m.
uorizz.
K h3 − h2 10−6 m/s  35 − 34 
−8
≃ ×
=
×
 = 3.7 × 10 m/s = 3 mm/giorno
0.32
n
lB ,3
 85 
Quindi: nei punti tra 1, 2, 3 l’acqua scorre nella direzione/verso B→3,
con velocità (in orizzontale) di 3 mm/giorno.
Con questa semplice tecnica posso
stabilire in che direzione e con che
velocità si sta propagando un inquinante
per advection!
Advection nella zona insatura (mix aria/acqua)
La dinamica di advection nella zona insatura è analoga a quella vista per la
zona satura. La differenza consiste nel fatto che sia la conduttività
idraulica che il carico idraulico dipendono dal grado di idratazione
della matrice, che è espresso dalla frazione volumetrica di acqua:
volume di acqua
θ w :=
volume di terreno
Ulteriore complicazione: in ogni punto, θ w può cambiare nel tempo!
La frazione di acqua nella zona insatura varia tra un valore minimo θ r
detto “contenuto di acqua irriducibile” e il valore massimo (sul water
table) che è pari alla porosità della matrice: θ w = n .
θ r (ad una data temperatura) corrisponde al contenuto minimo di acqua
che non può essere estratto dalla matrice neppure creando elevatissime
depressioni (costituisce il limite all’essiccamento del terreno).
Tipici profili sono i seguenti. Notare che le curve in “andata” (wetting) e in
“ritorno” (drying) non coincidono: fenomeno di isteresi.
ψ (θ w )
Il carico di pressione è negativo nella zona
insatura (si annulla alla saturazione)
K (θ w )
La conducibilità idraulica aumenta
all’aumentare della frazione di acqua.
Più la matrice è impregnata di acqua,
più risulta permeabile all’acqua stessa.
Si spiega con il fatto che i pori sono
connessi da canali che contengono già
dell’acqua; ciò facilita lo scorrimento
come processo collettivo…
Come già visto per la zona satura, valutiamo la variazione del volume di
acqua (∆Vacqua) in una celletta di volume ∆V, nel tempo ∆t. Ripetendo lo
sviluppo si arriva a
∆Vacqua
= −∆V × ∇ ⋅ [θ w (r, t ) u (r , t )]
∆t
Notiamo che
(∆Vacqua / ∆V )
∆t
Segue quindi
≡
∂θ w (r , t )
∂t
∂θ w (r, t )
= ∇ ⋅ K [θ w (r, t )] ∇h(r, t )
∂t
L’assunzione comunemente fatta per la zona insatura è di uniformità sul
piano xy; si considera solo la componente z:
∂θ w ( z , t ) ∂
∂h( z , t )
= K [θ w ( z , t )]
∂t
∂z
∂z
∂ { z + ψ ( z , t )}
∂
= K [θ w ( z , t )]
∂z
∂z
∂
 ∂ψ ( z , t ) 
= K [θ w ( z , t )] 1 +

∂z
∂z 

Dal fatto che si ha corrispondenza biunivoca tra carico di pressione e
frazione d’acqua (per il wetting), cioè esiste una funzione ψ (θ w ) , si può
esprimere
ψ ( z , t ) = ψ [θ w ( z , t )]
Si arriva ad una equazione di evoluzione autonoma per θ w ( z , t ) :
 dψ
∂θ w ( z , t ) ∂
∂θ w ( z , t ) 
= K [θ w ( z , t )] 1 +
×

∂t
∂z
∂z 
 dθ w θ w ( z ,t )

E’ una forma particolare della equazione di Richards
per la zona insatura
Per risolverla rispetto a occorre utilizzare i profili empirici di wetting del
tipo mostrato sopra:
ψ (θ w )
K (θ w )
Occorre conoscere le condizioni iniziali, cioè il grado di idratazione in
ogni punto della zona insatura al tempo-zero: θ w (r,0)
Ottenuta la soluzione θ w (r, t ) si procede in sequenza:
θ w (r, t )
h(r, t ) = h(θ w ) θ ( r ,t )
w
K (r, t ) = K (θ w ) θ (r ,t )
w
K (r, t )
u (r, t ) = −
∇h(r, t )
θ w (r, t )
nella zona insatura entra la
frazione di acqua al posto
della porosità n
ho costruito il termine di advection!
Contributo di dispersione idrodinamica
nelle zone satura/insatura
Ricordiamo che il contributo di dispersione dell’inquinante è modellizzato
come un processo di “diffusione”:
∂c(r, t )
= ∇ ⋅ Dh (r, t )∇c(r, t )
∂t dispersione
con
 Dh, x (r, t )



Dh (r, t ) = 
Dh, y (r, t )


Dh, z (r, t ) 
I tre coefficienti di dispersione comprendono due contributi:
- la dispersione meccanica dovuta alle inomogeneità dei granuli della
matrice (contributo proporzionale alla velocità media dell’acqua);
- diffusione molecolare nell’acqua all’interno dei pori (unico coeff. di
diffusione Dm )
Tipici valori del coefficienti di dispersione in acque sotterranee variano tra
10-2 e 10 cm2/s.
Empiricamente si osserva che
Dh, x (r, t ) = α x u (r, t ) + Dm
Dh, y (r, t ) = α y u (r, t ) + Dm
Dh, z (r, t ) = α z u (r, t ) + Dm
con i fattori α x , α y , α z detti dispersività del mezzo nelle tre direzioni
(dimensione fisica L).
Le tre dispersività si possono misurare monitorando la dispersione di
“puffs” di traccianti [rivedere il discorso fatto a proposito della misura dei
coefficienti di dispersione turbolenta…].
Come già visto per la dispersione turbolenta, anche per quella nel terreno
si riscontra una forte dipendenza dalla scala spaziale di monitoraggio, cioè
dalla distanza tra il punto di rilascio e i punti di campionamento ( Lscala ).
Misurando la dispersività longitudinale α L (nella direzione del flusso
medio), si nota empiricamente che:
- per scale piccole (es. test di laboratorio con colonne impaccate col
terreno in esame) si trova che α L è dell’ordine del diametro medio dei
granuli;
- aumentando la scala spaziale si ha un aumento molto marcato di α L :
Si osserva una dipendenza circa lineare. Senza disporre di informazioni
specifiche, una stima ragionevole è α L = 0.1 × Lscala .
Torniamo all’equazione advection-dispersione…
∂c(r, t )
= −∇ ⋅ [u (r , t )c(r, t ) ] + ∇ ⋅ Dh (r , t )∇c(r , t )
∂t
Abbiamo discusso come ottenere la velocità media dell’acqua, u(r, t ) ,
nelle zone satura/insatura, e come quantificare i coefficienti di dispersione.
Estensioni da introdurre (se rilevanti, da valutare caso per caso):
1) In presenza di immissione/sottrazione diretta (source/sink) di
inquinante dal comparto-terreno occorre aggiungere uno specifico
termine S (r, t ) al 2° membro: nella celletta centrata nel punto r della
regione di controllo, S (r, t )∆V dà il tasso di variazione di quantità di
inquinante (in positivo/negativo).
Ricordiamo che per “source” si intende l’atto di inquinamento del
comparto.
- Se il rilascio di inquinante è istantaneo al tempo-zero, basta solo definire
la condizione iniziale c(r,0) che viene creata (non c’è un termine S (r, t )
da aggiungere…).
- Se invece il rilascio si protrae nel tempo (ad esempio se l’inquinante
fuoriesce da una tubatura rotta…) allora occorre inserire il corrispondente
termine S (r, t ) .
immissione da t = 0
profilo a t = 0
c(r,0)
no S (r, t )
occorre S (r, t )
2) In presenza di reazioni chimiche occorre aggiungere l’appropriato
termine R[c (r , t )] .
3) Trattare l’eventuale ripartizione dell’inquinante tra acqua e
materiale della matrice solida (per assorbimento/adsorbimento).
4) Se l’inquinante è volatile, nella regione insatura occorre trattare anche
la ripartizione dell’inquinante tra acqua ed aria.
Nel seguito sviluppiamo tali punti.
(Alcune) ulteriori complicazioni:
a) Anche l’aria, nella regione insatura, ha una propria dinamica e può
trasporare l’inquinante anche all’esterno del comparto-terreno.
b) Le cinetiche di scambio di inquinante acqua-solido e acqua-aria
possono essere lente! Ciò complica l’analisi…
c) Nel comparto-terreno, oltre all’acqua, possono essere presenti anche
altri liquidi non solubili in essa, ma nei quali l’inquinante è solubile.
Anche tali liquidi sono soggetti ad una propria dinamica!
Effetto “ritardante” della ripartizione dell’inquinante tra acqua e
matrice solida sulla dinamica (regione satura)
Definiamo il seguente coefficiente di ripartizione della specie soil-water in
condizioni di equilibrio (niente dinamica) a temperatura fissata:
K s,w =
Cs ,eq
cw,eq
con cw la concentrazione volumetrica (massa/volume di acqua) di
inquinante nella fase acquosa e Cs la concentrazione in massa di
inquinante/massa di solido (qui riferite a condizioni di equilibrio).
Assumiamo che i processi cinetici di scambio di inquinante tra fase
acquosa e fase solida siano estremamente rapidi rispetto alla dinamica di
spostamento dell’inquinante nello spazio.
In questo limite assumiamo che ci sia equilibrio di ripartizione ad ogni
istante e in ogni punto della regione. Quindi
Cs (r, t )
≡ K s,w
cw (r, t )
Cs (r, t ) = K s , wcw (r, t )
Consideriamo una celletta di materiale, di volume ∆V . Poniamo:
M tot la massa totale di inquinante presente nella celletta (parte in acqua e
parte nel solido) al tempo t ;
M s la massa di solido presente nella celletta;
ρs “bulk density” del terreno = massa di solido / volume totale (acqua
inclusa).
Bilancio di massa rispetto all’inquinante:
M tot in ∆V al tempo t
= Cs M s + cw (r, t ) n ∆V
= K s , wcw (r , t ) M s + cw (r, t ) n ∆V
= K s , wcw (r , t ) ρ s ∆V + cw (r, t ) n ∆V
M tot in ∆V al tempo t
= ∆V ( K s , w ρ s + n ) cw (r, t )
Passiamo al tasso di variazione di massa in ∆V:
∆M tot
in ∆V
∆t
volume di acqua
nella celletta
cw (r, t ) = c(r, t ) / n
∂cw (r, t ) ∆V ( K s , w ρ s + n ) ∂c(r, t )
≃ ∆V ( K s , w ρ s + n )
=
∂t
n
∂t
D’altro canto, la massa di inquinante dentro la celletta può variare solo per
advection e dispersione (per ora ignoriamo reazioni e source/sink).
∆M tot
in ∆V
∆t
= −∆V × ∇ ⋅ [u(r, t )c(r, t ) ]
+∆V × ∇ ⋅ Dh (r, t )∇c(r, t )
Uguagliando le due espressioni si ottiene
( K s,w ρs + n ) ∂c(r, t )
∆V ×
∂t
n
= −∆V × ∇ ⋅ [u (r, t )c(r, t ) ]
+∆V × ∇ ⋅ Dh (r, t )∇c(r, t )
R
Dividendo membro a membro per ∆V otteniamo l’equazione finale:
R
∂c(r, t )
×
= −∇ ⋅ [ u (r, t )c(r, t ) ] + ∇ ⋅ Dh (r, t )∇c(r, t )
∂t
= 1+
K s,w ρs
n
“fattore di ritardo”
(retardation factor)
R
Osserviamo che > 1 ed è un numero puro tanto più elevato
- quanto più la densità del terreno è alta;
- quanto più l’inquinante si distribuisce nel solido.
Dividiamo membro a membro per R:
R
con
∂c(r, t )
= −∇ ⋅ [u '(r, t )c(r, t ) ] + ∇ ⋅ D 'h (r, t )∇c(r, t )
∂t
D 'h, x (r, t ) ≃ α x u '(r, t )
u (r , t )
u '(r, t ) =
D 'h, y (r, t ) ≃ α y u '(r, t )
D 'h, z (r, t ) ≃ α z u '(r, t )
(i contributi Dm di diffusione
molecolare sono stati trascurati)
R
E’ l’usuale eq. di advection-dispersione, ma è come se l’acqua avesse la
velocità fittizia u '(r , t ) con modulo inferiore a quella vera ( u '(r , t ) < u (r , t )
in quanto > 1).
Per questo motivo si usa il termine “ritardo”: di fatto, lo scambio di
inquinante tra acqua e solido rallenta la sua dinamica di spostamento
nello spazio senza però modificare il tipo di evoluzione [è una sorta di
“effetto moviola”…].
Più R è elevato, più l’inquinante
si sposta /disperde lentamente.
Dato il tipo di terreno (densità e
porosità fissate), R cresce al
crescere della costante di
ripartizione Ks,w per la specie
chimica in esame.
Inquinanti diversi si spostano
/disperdono nel terreno con
velocità diverse [osservare
l’analogia con la cromatografia
in colonna solido /liquido!]
Effetto “ritardante” della ripartizione dell’inquinante tra
acqua, matrice solida, e aria (regione insatura)
La trattazione è identica a quella vista per la regione satura. Occorre
introdurre anche la costante di ripartizione aria-acqua:
ca ,eq
K a,w =
cw,eq
con cw,eq la concentrazione volumetrica (massa/volume di acqua) di
inquinante nella fase acquosa e ca ,eq la concentrazione volumetrica
(massa/volume di aria) di inquinante nell’aria.
Assumiamo:
1) che gli scambi di inquinante tra acqua-aria e acqua-solido siano molto
rapidi, tali in ogni istante si abbia equilibrio di ripartizione;
2) che nella regione insatura θ w sia la stessa in ogni punto e non vari nel
tempo.
Dai bilanci di materia (farlo come utile esercizio!) si ottiene ancora una
equazione advection-dispersione modificata :
R
×
∂c (r, t )
= −∇ ⋅ [ u(r, t )c(r, t ) ] + ∇ ⋅ Dh (r, t )∇c(r, t )
∂t
in cui ora il fattore di ritardo è dato da:
R
=1+
K s , w ρ s + K a , wθ a
θw
con θ a = n − θ w la frazione di aria nella regione insatura. [Per i passaggi
tenere presente che nella regione insatura vale cw (r, t ) = c(r, t ) / θ w ].
Effetto di reazioni di decomposizione del 1° ordine
in acqua, aria, solido
Ammettiamo la possibilità che l’inquinante si decomponga in acqua, in aria
e sul solido secondo le seguenti reazioni
costanti
kw
cinetiche
(reazione in acqua) Inquinante → prodotti
ka
(reazione in aria)
Inquinante → prodotti
ks
(reazione nel solido) Inquinante → prodotti
con leggi cinetiche del 1° ordine così scritte (attenzione diverse alle
dimensioni fisiche delle costanti cinetiche!):
 ∂cw (r, t ) 
= −kwcw (r, t )


 ∂t  reaz.
 ∂ca (r, t ) 
= −ka ca (r, t )


 ∂t reaz.
 ∂Cs (r, t ) 
= −ks Cs (r, t )


 ∂t  reaz.
in acqua
in aria
nel solido
Dai bilanci di materia (farlo come utile esercizio!) si ottiene ora una
equazione advection-dispersione-reazione:
R
×
∂c(r, t )
= −∇ ⋅ [ u (r, t )c(r, t ) ] + ∇ ⋅ Dh (r, t )∇c(r, t ) + R[c(r, t )]
∂t
con il fattore di ritardo (già visto)
R
= 1+
K s , w ρ s + K a , wθ a
θw
e il contributo di reazione
R[c(r, t )] = − keff c(r, t )
con keff la “costante cinetica efficace"
keff = k w +
ks K s , w ρ s + ka K a , wθ a
θw
Esercizio. 1000 gr di un liquido organico fuoriescono da un pozzo che
pesca nella zona satura del sottosuolo. Noto che:
- K = 0.1 m/giorno (conducibilità idraulica),
- n = 0.33 (porosità),
- il gradiente idraulico vale in modulo 1.1 nella direzione verticale e 0.1
nella direzione orizzontale del flusso,
- α x = α y = α z = 1 m (coefficienti di dispersività),
- Dm = 1.02 × 10−5 cm 2 /s (coeff. di diffusione molecolare nell’acqua)
Determinare:
1) a quali coordinate si ha il picco della concentrazione volumetrica di
inquinante dopo 30 giorni dalla fuoriuscita (prendere come coordinare
0,0,0 quelle del punto di rilascio);
2) quanto vale la concentrazione a tali coordinate se l’inquinante si
ripartisce tra acqua e matrice solida, noto che la densità “di bulk” del
terreno è pari a ρ s = 2 gr/cm3 e il coefficiente di ripartizione vale
K s , w = 0.5 litri acqua per kg di terreno.
Scegliamo il sistema di assi:
Caso 1)
Valutiamo le componenti della velocità media:
ux = 0
K
uy =
n
K
uz =
n
dh 0.1 m/giorno
=
× 0.1 = 0.030 m/giorno = 3.5 × 10-5 cm/s
dy
0.33
dh 0.1 m/giorno
=
× 1.1 = 0.333 m/giorno = 3.9 × 10-4 cm/s
dz
0.33
Ricordiamo le relazioni per i coefficienti di dispersione idrodinamica:
Dh, x = α y u + Dm
Dh, y = α y u + Dm
Dh, z = α z u + Dm
(
u = ux + u y + uz
2
2
)
2 1/ 2
= 3.92 × 10−4 cm/s
Dato che le tre dispersività sono uguali si ottiene che
Dh , x = Dh, y = Dh, z = 3.92 × 10−2 cm 2 /s = 3.92 × 10−6 m 2 /s
Il profilo di concentrazione di inquinante è una Gaussiana (in tre
dimensioni) con allargamenti omogenei nelle tre direzioni Cartesiane, e il
cui centro si sposta con la velocità media dell’acqua:
c ( x, y , z , t ) =
( 4π t )
m0
3/ 2
Dh, x Dh, y Dh , z
2 

 2 ( y − u t )2
z
−
u
t
(
 1 x
y
z ) 
exp − 
+
+



4
t
D
D
D
h, y
h, z

 h, x
 
Valutiamo gli spostamenti del picco di concentrazione dopo
30 giorni = 2.6 ×106 s
Lo spazio percorso è nullo nella direzione x, mentre nella direzione
orizzontale del flusso e in quella verticale si ha:
u y t = 3.5 × 10-5 cm/s × 2.6 × 106 s = 91 cm (0.91 metri)
u z t = 3.9 × 10−4 cm/s × 2.6 × 106 s = 1014 cm (10.1 metri)
La concentrazione massima (picco) vale
c(0, y = 0.91 m, z = 10.1 m t = 30 giorni) =
1000 gr
=
3/ 2
6
−6 3
4π × 2.6 × 10 s
3.92 × 10
1000 gr
−4
3
=
=
6.9
×
10
gr/dm
di terreno
3
1450 m
(
)
(
)
(attenzione: per ottenere la concentrazione di inquinante nell’acqua
presente nel terreno devo dividere il valore ottenuto per la porosità n).
Caso 2)
R
=1+
ρs K s,w
n
2 × 103 kg/m3 × 0.5 × 10−3 m3 / kg
= 1+
= 4.0
0.33
La soluzione della equazione advection-diffusione è la stessa di prima,
salvo il fatto che occorre usare velocità e coeff. di dispersione “corretti”
per il fattore di ritardo:
c ( x, y , z , t ) =
( 4π t )
3/ 2
Dh' , x Dh' , y Dh' , z
(
) + (z − u t)
2
'
z
Dh' , z
2

 


RR
R
,
Dh' , y = Dh , y /
R
,
Dh' , x = Dh, x /
= 3.5 × 10-5 cm/s /4.0 = 8.8 × 10-6 cm/s
= 3.9 × 10-4 cm/s /4.0 = 9.8 × 10-5 cm/s
R
ux ' = 0
uy ' = uy /
uz ' = uz /
m0


y − u y' t
 1  x2
+
exp −
'
'

t
4
D
D
h
,
x
h
,y



Dh' , z = Dh, z /
Dh' , x =Dh' , y = Dh' , z = 3.92 × 10−6 / 4.0 m 2 /s = 9.80 × 10−7 m 2 /s
Le nuove coordinate del picco di concentrazione sono:
u y ' t = 8.8 × 10-6 cm/s × 2.6 × 106 s = 22.9 cm (0.23 metri)
u z ' t = 9.8 × 10-5 cm/s × 2.6 × 106 s = 255 cm (2.6 metri)
Se valuto la concentrazione in corrispondenza della posizione del picco del
caso precedente ottengo
c(0, y = 0.91 m, z = 10.1 m t = 30 giorni) =
1000 gr
=
×
3
/
2
3
4π × 2.6 × 106 s
9.80 × 10−7
(
)
(
)
2
2


 
−
−
0.91
0.23
10.1
2.6
(
)
(
)
1
× exp −
+
6
−7
−7 


×
×
×
×
4
2.6
10
9.80
10
9.80
10


 
1000 gr −5.56
−5
3
=
e
≃
2.1
×
10
gr/dm
di terreno
3
181 m
La concentrazione, nello stesso punto, è molto più bassa! L’inquinante ha
“corso” meno a parità di tempo di attesa….